PAGEPAGE2內(nèi)容摘要詳細介紹保守力的特定性質(zhì)證明以及常見的保守力種類。定義勢能函數(shù)，論證了幾種常見勢能的計算方法。保守力和勢能是經(jīng)典物理學(xué)中極其重要的內(nèi)容，具有十分重要的研究意義。為此，學(xué)者們在此領(lǐng)域研究十分深入，主要研究保守力和勢能之間是怎樣的關(guān)系，那么什么是保守力呢？保守力的本質(zhì)是什么？勢能又是怎么引入的，勢能的定義是什么，以及引入勢能后，保守力與勢能的關(guān)系如何。關(guān)鍵詞：保守力勢能勢能零點平衡AbstractDetailedintroductionofspecificpropertiesconservativeforceproofandcommonconservativeforcetypes.Thenatureofthepotentialenergyofphysicalmeaningofadeepelaborated,demonstratesthepotentialofcommoncalculationmethodsKeywords:ConservativeforcePotentialenergyPotentialenergyzeroBalance內(nèi)容摘要引言…………………11.保守力……………21.1保守力的定義…………………21.2保守力的性質(zhì)…………………21.3保守力的證明…………………22.勢能………………32.1勢能的定義……………………32.2勢能的性質(zhì)……………………42.3勢能零點………………………52.4物體在勢能場中的平衡………73.幾種常見勢能的計算……………73.1引力勢能………………………73.2重力勢能………………………83.3彈性勢能………………………93.4電勢能…………93.5分子勢能………………………104.結(jié)束語…………125.參考文獻………………………136.致謝……………14引言保守力和勢能是經(jīng)典物理學(xué)中極其重要的內(nèi)容，具有十分重要的研究意義。為此，學(xué)者們在此領(lǐng)域研究十分深入，主要研究保守力和勢能之間是怎樣的關(guān)系，那么什么是保守力呢？保守力的本質(zhì)是什么？勢能又是怎么引入的，勢能的定義是什么，以及引入勢能后，保守力與勢能的關(guān)系如何。人們對其作了深刻的分析與研究，得到如果一對力所做的功與相對移動的路徑無關(guān)，而只決定于相互作用的物體的始末相對位置，這樣的力稱為保守力（conservativeforce）。其力場叫保守力場（ConservativeField）。例如重力場、靜電場等，萬有引力場都是保守力場。1.保守力1.1保守力的定義在一個物理系統(tǒng)里，感受到某作用力，一個粒子從初始位置移動到終結(jié)位置，而此作用力所做的機械功，跟移動路徑無關(guān)，則稱此力為保守力(conservativeforce)，又稱為守恒力。等價地，假設(shè)一個粒子從某位置，移動經(jīng)過一條閉合路徑后，又回到原本位置，則作用與這粒子的保守力所做的機械功（保守力對于整個閉合路徑的積分）等于零。在一個物理系統(tǒng)里，所有的作用力都是保守力，則稱此物理系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，又稱為守恒系統(tǒng)。對於這種系統(tǒng)，在空間里的每一個位置，都可以給位勢設(shè)定一個唯一的數(shù)值。當(dāng)粒子從某位置移動至令一位置時，保守力會改變粒子的勢能，前后差值與所經(jīng)過的路徑無關(guān)。例如，重力、彈性力、靜電力等等，都是保守力；而摩擦力和空氣阻力是經(jīng)典的非保守力（能量被輸送出去后，轉(zhuǎn)換為熱能，不能收復(fù)回來）。1.2保守力的性質(zhì)設(shè)定F為在空間任意位置良好定義（或空間內(nèi)單連通的區(qū)域）的\o"矢量場"矢量場，假若它滿足以下三個等價的條件中任意一個條件，則可稱此矢量場為\o"保守矢量場"保守矢量場：1、F的\o"旋度"旋度是零：2、假設(shè)粒子從某閉合路徑C的某一位置，經(jīng)過這閉合路徑C，又回到原先位置，則力矢量F所做的機械功W等于零：3、作用力F是某\o"位勢"位勢的\o"梯度"梯度：保守力因為可以保守機械能而得名。最常見的保守力為重力、電場力（伴隨的磁場與時間無關(guān)，）、彈簧力。1.3保守力的證明1?2：設(shè)定C為任意簡單閉合路徑，即初始位置與終結(jié)位置相同、不自交的路徑。思考邊界為C的任意曲面S。\o"斯托克斯定理"斯托克斯定理表明假設(shè)F的旋度等于零，方程左邊為零，則機械功W是零，第二個條件是正確的。2?3：假設(shè)，對于任意簡單閉合路徑C，F(xiàn)所做的機械功W是零，則保守力所做于粒子的機械功，獨立于路徑的選擇。設(shè)定\o"函數(shù)"函數(shù)其中，x和o分別是特定的初始位置和空間內(nèi)任意位置。根據(jù)\o"微積分基本定理"微積分基本定理，所以，第三個條件是正確的。3?1：假設(shè)第三個條件是正確的。思考下述方程：所以，第一個條件是正確的?？偨Y(jié)，這三個條件彼此等價。由于符合第二個條件就等于通過保守力的閉合路徑考試。所以，只要滿足上述三個條件的任何一條件，施加于粒子的作用力就是保守力。2.勢能2.1勢能定義勢能，亦稱“位能”，是物體由于位置或位形而具有的能量。動能定理告訴我們,力做功將使物體(系統(tǒng))的能量發(fā)生變化,功是物體(系統(tǒng))在運動過程中能量變化的量度。那么,在保守力做功的時候,是什么形式的能量在發(fā)生變化呢?由保守力做功的特點,我們已經(jīng)知道這種形式的能量即勢能。我們將物體從位置a到位置b的過程中,重力的功、彈力的功、萬有引力的功表為如下形式:=三式的左側(cè)均為保守力的功,而右側(cè)則是兩項之差,其中第一項與系統(tǒng)末態(tài)時的相對位置相聯(lián)系,第二項與系統(tǒng)初態(tài)時的相對位置相聯(lián)系,每一項都與系統(tǒng)的相對位置有關(guān),因此,保守力做功改變的是與系統(tǒng)相對位置有關(guān)的一種能量。這種與系統(tǒng)相對位置(一般稱作位形)有關(guān)的能量定義為系統(tǒng)的勢能或勢函數(shù),用Ep表示。對一個質(zhì)點系而言,若其內(nèi)兩質(zhì)點間的作用力都是保守力,則稱該質(zhì)點系為保守體系。在保守體系內(nèi),力對質(zhì)點所做的功只與始末位置有關(guān),而與路徑無關(guān),因此,我們總可以相應(yīng)地引進勢能的概念。在力學(xué)中,按作用性質(zhì)的不同,可以分為重力勢能、彈性勢能、引力勢能等。引入勢能概念后,為我們處理有關(guān)的物理問題帶來了很多方便,這是我們將物體間的相互作用分為保守力和非保守力的一個重要的原因。這樣,與初態(tài)位形相關(guān)的勢能用表示,與末態(tài)位形相關(guān)的勢能用表示,上面三個式子就可以歸納為：即：上式表明:在系統(tǒng)由位形a變化到位形b的過程中,保守力做的功等于系統(tǒng)勢能的減少(或勢能增量的負值)。若保守力做正功則勢能減少;若保守力做負功則勢能增加。2.2勢能的性質(zhì)勢能為能量的一種，具有能量量綱，在國際單位制下的單位是焦耳（J），另外在涉及到\o"粒子物理"粒子物理時常用到電子伏特（eV），高斯單位制下為\o"爾格"爾格（erg）。勢能一般使用“Ep”表示，也常使用“W”“U”和“V”。勢能是一個標(biāo)量函數(shù)，當(dāng)一個物體與多個物體共有勢能或共有多種勢能時，這個物體所具有的總勢能為所有勢能的代數(shù)和。由定義可知，勢能取決于兩個或多個物體的相對位形，是兩個或多個物體所共有的。然而，在兩物體A、B組成的保守體系中，如果我們以其中一個物體A作為參考系，則勢能僅取決于另一物體B的相對位置。這時，在不引起混淆的情況下，我們常把“A、B具有的勢能”稱作是“B的勢能”。比如，在電場中的\o"電荷"電荷具有靜電勢能，或者是在一個天體附近的另一個天體具有引力勢能。除此之外，有時候保守體系中只存在一個物體，勢能來自于物體內(nèi)部各部分間的相對位移，這時候我們也說，勢能是這個物體所具有的。比如，彈簧，或者是具有體分布電荷的絕緣體球。需要注意的是，即使在同一保守力場中的同一處，不同物體的勢能也一般不同，比如在重力作用范圍內(nèi)，物體的重力勢能不僅取決于其高度，還取決于其質(zhì)量。2.3勢能零點當(dāng)物體在保守力的作用下（但不一定僅受保守力）從a處沿任意路徑移動到b處時，總勢能變化量為保守力作功的相反值，即:通常我們并不在意勢能的絕對大小，而是關(guān)心其變化量，這從勢能的定義可以明顯看出；實際上，談一個物體究竟擁有多少絕對勢能是沒有意義的。不過，有時為了計算或者敘述方便，我們也取一個勢能零點O，規(guī)定O處勢能Ep(O)=0，這樣質(zhì)點在a點的勢能大小為:原則上勢能零點可任意取，一般依方便而定；如果可能，一般選=0點為勢能零點。勢能為保守力關(guān)于位移的積分，相對地，保守力為相應(yīng)勢能函數(shù)關(guān)于位移的負梯度，即:使用廣義坐標(biāo)描述時，可寫為:描述勢能隨位置變化的圖稱為勢能圖。若勢能為僅與一個坐標(biāo)（或廣義坐標(biāo)）有關(guān)的函數(shù)，這時勢能圖成為勢能曲線，可以在平面直角坐標(biāo)系上表示出來，這時負梯度退化為負導(dǎo)數(shù)：2.4物體在勢能場中的平衡只受保守力作用的物體，總有向總勢能更低處運動的趨勢。當(dāng)物體所處位置不受力作用或合力為零時，即，則稱物體處于平衡。圖（2）A、B、C三點皆處于平衡。當(dāng)物體偏離平衡位置時，若受合力背向平衡位置，則物體有離開平衡位置的趨勢，則稱物體處于不穩(wěn)定平衡。勢能曲線上，不穩(wěn)定平衡即滿足的點。圖（1）A點處于不穩(wěn)定平衡。當(dāng)物體偏離平衡位置時，若受合力指向平衡位置，則物體有回到平衡位置的趨勢，則稱物體處于穩(wěn)定平衡。勢能曲線上，穩(wěn)定平衡即滿足的點。圖（1）B點處于穩(wěn)定平衡。當(dāng)物體在平衡位置附近時合力恒為零，則稱物體處于隨遇平衡。勢能曲線上，隨遇平衡即滿足的點。圖（1）C點處于隨遇平衡。圖（1）以上只是一種粗略的分析方法，實際上，在二維或高維空間中情況會更加復(fù)雜，比如，在不同的方向上具有不同的平衡種類。一個最簡單的例子是，若物體被約束在馬鞍形勢能曲面上如圖（2），位于中心時，在x方向上為穩(wěn)定平衡，在y方向上為不穩(wěn)定平衡。圖（2）3.幾種常見勢能的計算下面介紹幾種常見勢能。在下面的介紹中，我們?？紤]一個兩質(zhì)點組成的保守體系，兩質(zhì)點間受且僅受相應(yīng)的一種保守力。兩質(zhì)點的勢能是一種最簡單、最理想的模型，然而也是實際模型的基礎(chǔ)。實際的問題理論上都可以由兩質(zhì)點勢能的函數(shù)加以積分得到。3.1引力勢能圖（3）根據(jù)牛頓萬有引力定律，對于兩質(zhì)點m0、m，質(zhì)點m受到的萬有引力為：其中G是萬有引力常數(shù)，m0、m是兩質(zhì)點的\o"質(zhì)量"質(zhì)量，r0、r分別為兩質(zhì)點的位置矢量。引力場中的物體會具有引力勢能。對于兩個質(zhì)點，定義無窮遠處為勢能零點，則質(zhì)點m在r處的的引力勢能為：在實際問題中，對于已知引力勢分布φ=φ(r)，質(zhì)點m在r處的引力勢能為：3.2重力勢能圖（4）重力勢能是\o"引力勢能"引力勢能在一種特殊情況下的簡化形式?？梢宰C明，對一球?qū)ΨQ分布物體在其外一質(zhì)點產(chǎn)生的引力，上面兩質(zhì)點間的作用力公式仍適用，其中m0為該物體總質(zhì)量，r0為其球心位矢。當(dāng)|r-r0|在不太大范圍內(nèi)變動時，對作用力公式取零級近似，作用力不變，則引力退化為重力。由此可見，重力的近似要求很嚴格。然而由于在日常生活中這個條件很容易滿足，而且極簡便，符合人們的日常生活經(jīng)驗，故仍有研究價值，單列一項。在這種情況下，重力大致只與星體性質(zhì)與物體質(zhì)量有關(guān)，而與位置無關(guān)，方向鉛直向下。將\o"重力加速度"重力加速度定為常數(shù)g，則物體重力大小為：其中m為物體質(zhì)量，g為重力加速度常數(shù)。則物體在h處的重力勢能為其中h為物體的高度。重力勢能并沒有嚴格的勢能零點定義，完全依計算方便而定，不過比較常用的是以地面或桌面為勢能零點。在地球上g的值約為9.8ms-2，在不同地區(qū)稍有不同。這個值已經(jīng)包括了和\o"地球自轉(zhuǎn)"地球自轉(zhuǎn)所需的\o"向心力"向心力造成的差別。一般計算中g(shù)可近似的取作標(biāo)準重力加速度，即g=gn=9.80665ms-2。3.3彈性勢能圖（5）彈簧、鋼片、金屬絲等滿足胡克定律的物體，在彈性限度內(nèi)\o"應(yīng)力"應(yīng)力與\o"應(yīng)變"應(yīng)變成正比。下面以彈簧為例。在彈性限度內(nèi)，彈簧彈力與長度變化量的關(guān)系為F（x）=-kx其中，k為彈簧彈性系數(shù)，x為彈簧長度變化（即固定一端時另一端相對平衡位置的位移）。則其彈性勢能為：彈性勢能為對應(yīng)物體自身所擁有，一般選擇彈簧原長時（x=0）為勢能零點。3.4電勢能圖（6）在\o"靜電學(xué)"靜電學(xué)里，根據(jù)\o"庫倫定律"庫倫定律，對于兩靜止點電荷q、q0，點電荷q受到的靜電力為：其中ε0是\o"電常數(shù)"電常數(shù)，r0、r分別為兩點電荷的位置矢量。靜電場中的點電荷會具有電勢能。對于兩個點電荷，定義無窮遠處為勢能零點，則點電荷q在r處的的電勢能為：在實際問題中，對于已知電勢分布φ=φ(r)，點電荷q在r處的電勢能為：電勢能基于靜電場的定律\o"庫侖定律"庫侖定律。在變化電磁場中，粒子受力不再為保守力，不再能單獨用一個標(biāo)量勢函數(shù)描述，需要使用標(biāo)勢φ與矢勢A共同描述。3.5分子勢能圖（7）\o"范德瓦耳斯力"分子力實際上來源于多個方面，精確的計算與各分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)有很大關(guān)系，會變得十分復(fù)雜。對于無極性分子，兩分子間作用力可近似用以下半經(jīng)驗公式表示：其中正表示排斥力，負表示牽引力；r為兩分子間距，λ、μ、s、t為常數(shù)，隨兩分子不同而不同，且s>t。這種力的特點是在某一個值r0以內(nèi)，分子里表現(xiàn)為排斥力并且隨r減小而急劇上升；在r0以外表現(xiàn)為牽引力，分子力逐漸增大，到某最大值后減小；力程短，在r約為r0十倍時已幾乎為零。由此，對無極性分子間的相互作用勢能有以下幾個常用曲線。一個典型且常用的模型是\o"蘭納-瓊斯勢"蘭納-瓊斯勢，該勢能僅與兩分子間距有關(guān)，具有\(zhòng)o"球?qū)ΨQ位勢"球?qū)ΨQ性，其函數(shù)解析式為：其中，r為兩分子距離，Ep0為分子勢能的勢阱（勢能最低處的勢能絕對值），r0為勢阱處兩分子間距。Ep0與r0需要對于具體分子通過實驗確定。對\o"蘭納-瓊斯勢"蘭納-瓊斯勢在排斥力部分簡化，成為\o"蘇則朗勢"蘇則朗勢（Sutherlandpotential），即：其中E、d為常數(shù)，因分子而異。滿足蘇則朗勢的氣體稱為范德瓦爾斯氣體，分子力又稱作范德瓦爾斯力，滿足\o"范德瓦爾斯方程"范德瓦爾斯方程。對蘇則朗勢在引力部分再次簡化，成為\o"球?qū)ΨQ位勢"剛球勢，即：d=0時，分子勢能完全忽略，變?yōu)橘|(zhì)點勢，這時氣體稱作理想氣體，滿足\o"理想氣體狀態(tài)方程"理想氣體狀態(tài)方程。結(jié)束語通過本次論文的完成，我對保守力與勢能有了更深的了解。其中我學(xué)習(xí)到保守力與非保守力怎么來區(qū)分以及保守力的定義。對于勢能，在高中的理解知識簡單的能量形式，在大學(xué)物理中有著更深層的意義。在對勢能的研究中