學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂重難突破本課時(shí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)是求曲線的極坐標(biāo)方程,要重點(diǎn)掌握特殊情形的直線與圓的極坐標(biāo)方程。一、在極坐標(biāo)系中，平面曲線的極坐標(biāo)方程f（ρ，θ）=0。1.一般地,在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)滿足方程f（ρ，θ）=0,并且坐標(biāo)適合方程f(ρ，θ）=0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f（ρ，θ）=0稱為曲線C的極坐標(biāo)方程。2。在直角坐標(biāo)系中，曲線可以用含有變量x、y的方程表示；同樣地，在極坐標(biāo)系中，曲線可以用含有ρ、θ這兩個(gè)變量的方程f（ρ，θ）=0來(lái)表示，這種方程即為曲線的極坐標(biāo)方程.3。求曲線的極坐標(biāo)方程的方法、步驟和求直角坐標(biāo)方程的步驟類似，就是把曲線看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡；將已知條件用曲線上點(diǎn)的極坐標(biāo)ρ、θ的關(guān)系式f(ρ，θ)=0表示出來(lái)，就得到曲線的極坐標(biāo)方程.具體如下：(1）建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ,θ）是曲線上任意一點(diǎn)；（2）由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式；（3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn),得出曲線上的極坐標(biāo)方程；（4)證明所得方程就是曲線的極坐標(biāo)方程，若方程的推導(dǎo)過(guò)程正確，化簡(jiǎn)過(guò)程都是同解變形，這一證明可以省略.注意:(1）在找平面曲線的極坐標(biāo)方程時(shí),就要找極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式，常用解三角形(正弦定理，余弦定理）的知識(shí)以及利用三角形的面積相等來(lái)建立ρ、θ之間的關(guān)系。此法稱作三角形法。(2)在求曲線的極坐標(biāo)方程時(shí)，關(guān)鍵是找出曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件,將它用坐標(biāo)表示，再通過(guò)代數(shù)變換進(jìn)行化簡(jiǎn).二、用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)來(lái)表示點(diǎn)和曲線的區(qū)別.1。對(duì)極徑ρ〈0的理解。根據(jù)極徑定義，極徑是距離，當(dāng)然是正的。極徑是負(fù)的，等于極角增加π。負(fù)極徑的負(fù)與數(shù)學(xué)中歷來(lái)的習(xí)慣相同，用來(lái)表示“反向"，比較來(lái)看，負(fù)極徑比正極徑多了一個(gè)操作，將射線OP“反向延長(zhǎng)”。而反向延長(zhǎng)也可以說(shuō)成旋轉(zhuǎn)π，因此，所謂“負(fù)極徑”實(shí)質(zhì)是管方向的。這與數(shù)學(xué)中通常的習(xí)慣一致，用“負(fù)”表示“反向”。如：直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)是負(fù)的；兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)的數(shù)一正一負(fù)，方向也表示是相反的。一般情況下,如果不作特殊說(shuō)明，極徑都指的是正的.2.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)即坐標(biāo)(x，y)是一一對(duì)應(yīng)的，可是在極坐標(biāo)系內(nèi)，雖然一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（ρ,θ)只能與一個(gè)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)，但一個(gè)點(diǎn)P卻可以與無(wú)數(shù)多個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ，θ）對(duì)應(yīng)。例如(ρ,2nπ+θ）與（-ρ,(2n+1）π+θ)(n∈Z）表示的是同一個(gè)點(diǎn)，所以點(diǎn)與極坐標(biāo)(ρ,θ）不是一一對(duì)應(yīng)的。3。在直角坐標(biāo)系內(nèi)，一條曲線如果有方程，那么曲線和它的方程是一一對(duì)應(yīng)的(解集完全相同且互相可以推導(dǎo)的等價(jià)方程,只看作一個(gè)方程）?？墒窃跇O坐標(biāo)系內(nèi)，雖然是一個(gè)方程只能與一條曲線對(duì)應(yīng)，但一條曲線卻可以與多個(gè)方程對(duì)應(yīng).如θ=(ρ∈R)與θ=（ρ∈R)表示同一條直線.4.在直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合它的方程，可是在極坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上一點(diǎn)的所有坐標(biāo)不一定都適合方程。例如給定曲線ρ=θ,設(shè)點(diǎn)P的一極坐標(biāo)為（,),那么點(diǎn)P適合方程ρ=θ，從而是曲線上的一個(gè)點(diǎn)，但點(diǎn)P的另一個(gè)極坐標(biāo)（，）就不適合方程ρ=θ了。所以在極坐標(biāo)系內(nèi)，確定某一個(gè)點(diǎn)P是否在某一曲線C上,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P的極坐標(biāo)中是否有一對(duì)坐標(biāo)ρ=θ適合曲線C的方程。三、以下幾種特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程是要掌握的.1.過(guò)點(diǎn)（a,0)(a>0）且垂直于極軸的直線方程是ρcosθ=a。2。過(guò)點(diǎn)（a,π)（a>0）且垂直于極軸的直線方程是ρcosθ=-a，如圖（1）。3.過(guò)點(diǎn)（a，)(a>0)且平行于極軸的直線方程是ρsinθ=a,如圖(2)。4.過(guò)點(diǎn)(a,)(a〉0）且平行于極軸的直線方程是ρsinθ=-a，如圖(3）.5。過(guò)極點(diǎn)傾角為α的直線方程是θ=α（ρ∈R).(1）(2)（3）四、以下幾種特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程也需要掌握.1.以極點(diǎn)為圓心且半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程ρ=r.2。過(guò)極點(diǎn)且圓心坐標(biāo)為(a,0）(a>0）的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2acosθ.3。過(guò)極點(diǎn)且圓心坐標(biāo)為（a，π)(a〉0）的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=-2acosθ，如圖（1）。4.過(guò)極點(diǎn)且圓心坐標(biāo)為（a，）(a〉0）的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2asinθ，如圖（2）.5.過(guò)極點(diǎn)且圓心坐標(biāo)為（a，）(a>0）的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=-2asinθ,如圖（3).(1）（2)(3）活學(xué)巧用【例1】求：（1)過(guò)A(2，)且平行于極軸的直線方程；(2)過(guò)A(3,)且和極軸成的直線方程.解析:(1）在直線上任意取一點(diǎn)M，根據(jù)已知條件想辦法找到變量ρ、θ之間的關(guān)系.我們可以通過(guò)圖中的直角三角形來(lái)解決，因?yàn)橐阎狾A的長(zhǎng)度,還知∠AOx=，還可以得到MH的長(zhǎng)度，從而在Rt△OMH中找到變量ρ、θ之間的關(guān)系.（2)在三角形中利用正弦定理來(lái)找到變量ρ、θ之間的關(guān)系.解:（1）如圖所示，在直線l上任意取點(diǎn)M(ρ，θ），∵A（2,),∴｜MH｜=2·sin=,在Rt△OMH中，|MH|=｜OM｜sinθ，即ρsinθ=,∴過(guò)A（2,）且平行于極軸的直線方程為ρsinθ=。（2)方法一：如圖所示,A(3，），｜OA｜=3,∠AOB=，由已知∠MBx=，∴∠OAB=∴∠OAM=π—。又∠OMA=∠MBx-θ=—θ，在△MOA中，根據(jù)正弦定理得∵sin=sin(＋）=,將sin（-θ）展開(kāi),化簡(jiǎn)上面的方程，可得ρ(sinθ+cosθ)=∴過(guò)A(3,)且和極軸成的直線方程為ρ（sinθ+cosθ)=方法二:利用教材P15例3的結(jié)論可得ρsin(—θ)=ρsin（-)=3sin點(diǎn)評(píng):可以看到，在求曲線方程時(shí)，關(guān)鍵是找出曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件，將它用坐標(biāo)表示,再通過(guò)代數(shù)變換進(jìn)行化簡(jiǎn)?！纠?】判斷點(diǎn)（-）是否在曲線ρ=cos上？解析：在極坐標(biāo)系內(nèi)，判斷點(diǎn)是否在直線上與在直角坐標(biāo)系內(nèi)是不同的.不能只是簡(jiǎn)單地將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入不能滿足方程時(shí)，我們還要找到這個(gè)點(diǎn)的其他坐標(biāo)是否符合曲線方程.解:∵點(diǎn)(-)和點(diǎn)（）是同一點(diǎn)，而cos=cos=,∴點(diǎn)()在曲線ρ=cos上,即點(diǎn)（-）在曲線ρ=cos上。點(diǎn)評(píng):我們?nèi)菀赘鶕?jù)直角坐標(biāo)系的習(xí)慣,當(dāng)把點(diǎn)的坐標(biāo)代入,不滿足方程時(shí)就說(shuō)點(diǎn)不在曲線上，這是不對(duì)的。在這個(gè)問(wèn)題上,兩種坐標(biāo)系是不相同的.在極坐標(biāo)系中，盡管點(diǎn)(-）并不滿足ρ=cos，但是據(jù)此并不能肯定這個(gè)點(diǎn)不在曲線上.【例3】設(shè)M是定圓O內(nèi)一定點(diǎn)，任作半徑OA，連結(jié)MA，自M作MP⊥MA交OA于P，求P點(diǎn)的軌跡方程.解：以O(shè)為極點(diǎn)，射線OM為極軸，建立極坐標(biāo)系,如圖。設(shè)定圓O的半徑為r，OM=a，P(ρ,θ)是軌跡上任意一點(diǎn).∵M(jìn)P⊥MA，∴｜MA｜2+|MP|2=|PA|2，由余弦定理可知｜MA｜2=a2+r2-2arcosθ，｜MP|2=a2+ρ2-2aρcosθ,而|PA｜=r—ρ,由此可得a2+r2-2arcosθ+a2+ρ2-2aρcosθ=(r—ρ)2，整理化簡(jiǎn)，得ρ=點(diǎn)評(píng)：尋找一個(gè)關(guān)鍵三角形，使動(dòng)點(diǎn)的極半徑和極角與已知條件成為該三角形的元素，借助于三角形的邊角關(guān)系建立起動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法稱為三角形法。若三角形為直角三角形，可利用勾股定理及其他邊角關(guān)系建立動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)方程；若三角形為一般三角形，可利用正、余弦定理建立動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)方程?！纠?】極坐標(biāo)方程分別是ρ=cosθ和ρ=sinθ的兩個(gè)圓的圓心距是()A。2B.2C。1D。解法一：兩圓圓心的極坐標(biāo)分別是(，0）和（，）,這