3.3拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（滿分100分時(shí)間：40分鐘）班級(jí)姓名得分一、單項(xiàng)選擇題：1．拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則的最大值是（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，則，當(dāng)直線PA與拋物線相切時(shí)，最小，取得最大值，設(shè)出直線方程得到直線和拋物線相切時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后進(jìn)行計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，設(shè)垂直于準(zhǔn)線于，由拋物線的性質(zhì)可得，所以則，當(dāng)最小時(shí)，則值最大，所以當(dāng)直線PA與拋物線相切時(shí)，θ最大，即最小，由題意可得，設(shè)切線PA的方程為：，，整理可得，，可得，將代入，可得，所以，即P的橫坐標(biāo)為1，即P的坐標(biāo)，所以，，所以的最大值為：，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義．一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時(shí)可以應(yīng)用結(jié)論來(lái)處理的；平時(shí)練習(xí)時(shí)應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用．尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線距的轉(zhuǎn)化．2．已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線與直線垂直相交于點(diǎn)，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由題，由于過(guò)拋物線上一點(diǎn)的直線與直線垂直相交于點(diǎn)，可得，又，故，所以的坐標(biāo)為，由余弦定理可得.故選：D.考點(diǎn)：拋物線的定義、余弦定理．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力3．已知，，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的模的幾何意義可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，再根據(jù)向量模的幾何意義以及拋物線的定義可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)的始點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)分別為，因?yàn)閷?duì)任意恒成立，所以，所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)向量的終點(diǎn)為，則在該拋物線內(nèi)，則表示，過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，所以，設(shè)，則，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以的取值范圍?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的模的幾何意義，考查了拋物線的定義，考查了向量垂直的數(shù)量積表示，解題關(guān)鍵是利用向量的模的幾何意義得到點(diǎn)的軌跡為拋物線，屬于難題4．是拋物線上一點(diǎn)，是圓關(guān)于直線的對(duì)稱曲線上一點(diǎn)，則的最小值是A．2 B． C． D．【答案】D【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱得到曲線方程，設(shè)，計(jì)算，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到答案.【詳解】設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，曲線為，設(shè)，故，當(dāng)時(shí)，有最小值為，故的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了圓關(guān)于直線對(duì)稱，拋物線中距離的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，應(yīng)用能力.5．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，若點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，給出以下命題：①當(dāng)為正三角形時(shí)，的值為；②存在點(diǎn)，使得；③若，則等于；④的最小值為，則等于或.其中正確的是（）A．①③④ B．②③ C．①③ D．②③④【答案】C【分析】對(duì)于①可知，當(dāng)為正三角形時(shí)與準(zhǔn)線垂直，畫出圖形結(jié)合幾何關(guān)系即可求得的值；對(duì)于②根據(jù)向量關(guān)系可知，結(jié)合點(diǎn)的位置即可判斷；對(duì)于③，作出幾何圖形，根據(jù)線段比例關(guān)系即可求得的值；對(duì)于④，作關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交準(zhǔn)線于，可知即為的最小值，根據(jù)線段幾何關(guān)系及最小值即可求得的值.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)為正三角形時(shí)，如下圖所示，拋物線的準(zhǔn)線交軸于，,由拋物線定義可知，則與準(zhǔn)線垂直，所以，則，所以,而，即，所以①正確；對(duì)于②，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，即，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，由拋物線圖像與性質(zhì)可知，為拋物線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，線段在軸右側(cè)，點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上，在軸左側(cè)，因而不可能為的中點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，則，作垂直于準(zhǔn)線并交于，準(zhǔn)線交軸于，如下圖所示：由拋物線定義可知，根據(jù)相似三角形中對(duì)應(yīng)線段成比例可知，即，解得，所以③正確；對(duì)于④，作關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交準(zhǔn)線于，作垂直于準(zhǔn)線并交于，作垂直于軸并交于，如下圖所示：根據(jù)對(duì)稱性可知，此時(shí)即為的最小值，由拋物線定義可知，所以的橫坐標(biāo)為，代入拋物線可知，的最小值為，，則，即，化簡(jiǎn)可得，即，解得或，當(dāng)p=12時(shí)，不滿足點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離為4，所以④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的為①③.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的求法與幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用，應(yīng)用幾何線段關(guān)系求參數(shù)，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.二、多選題6．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與該拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為，，則（）A．B．以為直徑的圓與直線相切C．的最小值D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線與直線交點(diǎn)一定在定直線上【答案】ABD【分析】直線的方程為，聯(lián)立可得，然后表示出，，，即可判斷A、B，當(dāng)直線與軸平行時(shí)，，，可判斷C，直線的方程為，與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，可判斷D.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為聯(lián)立可得，所以，故A正確以為直徑的圓的圓心為，即半徑為所以圓心到直線的距離為，等于半徑所以以為直徑的圓與直線相切，即B正確當(dāng)直線與軸平行時(shí)，，所以的最小值不是，故C錯(cuò)誤直線的方程為，與的交點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)?，所以?jīng)過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線與直線交點(diǎn)在定直線上故D正確故選：ABD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積為定值，以兩交點(diǎn)為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.7．泰戈?duì)栒f(shuō)過(guò)一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無(wú)法相依，而是相互了望的星星，卻沒(méi)有交會(huì)的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交會(huì)，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓．已知點(diǎn)，直線l：，若某直線上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)P的軌跡曲線是一條線段B．點(diǎn)P的軌跡與直線：是沒(méi)有交會(huì)的軌跡即兩個(gè)軌跡沒(méi)有交點(diǎn)C．不是“最遠(yuǎn)距離直線”D．是“最遠(yuǎn)距離直線”【答案】BCD【分析】先根據(jù)題意與拋物線的概念，可以得到點(diǎn)P的軌跡方程，再根據(jù)“最遠(yuǎn)距離直線”逐一判斷即可．【詳解】由題意可得，點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l的距離小1，即等價(jià)于“點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離等于到直線：的距離”故P點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，直線：為準(zhǔn)線的拋物線，其方程是，故A錯(cuò)誤點(diǎn)P的軌跡方程是拋物線，它與直線沒(méi)交點(diǎn)，即兩者是沒(méi)有交會(huì)的軌跡，故B正確要滿足“最遠(yuǎn)距離直線”則必須滿足與上述拋物線有交點(diǎn)，把代入拋物線，消去y并整理得因?yàn)?，無(wú)解，所以不是“最遠(yuǎn)距離直線”，故C正確；把代入拋物線，消去y并整理得，因?yàn)?，有解，所以是“最遠(yuǎn)距離直線”，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的概念以及圓錐曲線的軌跡問(wèn)題，還考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于較難題．8．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A．拋物線的方程為B．的最小值為6C．存在直線，使得、兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱D．當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與軸相切【答案】BD【分析】根據(jù)得到故，錯(cuò)誤，，正確，計(jì)算中點(diǎn)在拋物線上，錯(cuò)誤，計(jì)算，正確，得到答案.【詳解】，故，，故，錯(cuò)誤；過(guò)作垂直于準(zhǔn)線于，則，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，故正確；設(shè)，，設(shè)中點(diǎn)則，，相減得到，即，故，故，點(diǎn)在拋物線上，不成立，故不存在，錯(cuò)誤；如圖所示：為中點(diǎn)，故，故為直徑的圓與軸相切，故正確；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線方程，最值，對(duì)稱，直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力，綜合應(yīng)用能力.三、填空題9．拋物線：與雙曲線：有一個(gè)公共焦點(diǎn)，過(guò)上一點(diǎn)向作兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則______．【答案】49【分析】將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入雙曲線方程，可求得的值，從而可得雙曲線的方程，則可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得拋物線的準(zhǔn)線方程，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得兩點(diǎn)處的切線的斜率，求得切點(diǎn)弦AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義，計(jì)算即可【詳解】解：由于點(diǎn)在曲線上，所以，則雙曲線的方程為，即，則，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，由，得，所以處的切線方程為，即，即，將點(diǎn)代入可得，同理可得，所以直線的方程為，聯(lián)立拋物線的方程，可得，所以，所以.故答案為：49【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查切線方程的求法，考查拋物線的定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，，從而可得切點(diǎn)弦的方程為，考查計(jì)算能力，屬于較難題10．拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)在上，已知，，則直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.【答案】【分析】先畫出圖形，設(shè)，由及可得，，再設(shè)在上射影為，由拋物線定義，及，可得，進(jìn)而再求出，，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.【詳解】設(shè)，則，，由可得，設(shè)在上射影為，由拋物線定義，，因?yàn)椋?，故垂直平分，直線經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)，因?yàn)檩S，所以中點(diǎn)在軸上，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此.11．已知拋物線：，其焦點(diǎn)為，的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，，為拋物線上動(dòng)點(diǎn)，且直線過(guò)點(diǎn)，過(guò)，分別作，的平行線，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線，相交于點(diǎn)，記點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線，直線與曲線無(wú)交點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)題意得，設(shè)，直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立得，，再設(shè)，根據(jù)題意得曲線的方程為：，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意得，直線的斜率存在且不取零，記為，設(shè)，直線的方程為：聯(lián)立直線與拋物線方程得：，所以有所以，所以，設(shè)，則，，所以，即：，所以的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線的方程為：，因?yàn)橹本€與曲線無(wú)交點(diǎn)，曲線的漸近線方程為：，所以或者時(shí)，直線與曲線無(wú)交點(diǎn).故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查曲線的軌跡方程的求解，直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)，是難題.四、解答題12．已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，且為圓的圓心.過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線與圓分別為，，，（從上到下）.（1）求拋物線方程并證明是定值；（2）若，的面積比是，求直線的方程.【答案】（1），證明見解析；（2）.【分析】（1）求得圓心坐標(biāo)，從而求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得拋物線的方程.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合拋物線的定義計(jì)算出為定值.（2）首先由得到，結(jié)合求得，結(jié)合弦長(zhǎng)公式以及根與系數(shù)關(guān)系求得，從而求得直線的方程.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為.所以故，所以拋物線方程為.設(shè)直線的方程為，，，，∴，，∴為定值.（2）（），由（1）知，可求得，，故，，，由圖可知，故，所以的方程為即.【點(diǎn)睛】有關(guān)直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，可以設(shè)而不求，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.13．已知過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的值；（2）當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)直線的方程為和拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理代入即可求得；（2）利用拋物線定義結(jié)合基本不等式求得取最小值時(shí)的值，代入點(diǎn)B坐標(biāo)，將點(diǎn)代入，求得直線方程.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，得設(shè)，，所以，因?yàn)?，所以又，所以，又因?yàn)?，所?（2）根據(jù)拋物線定義，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.將代入，得（負(fù)值舍去）.將代入，得，即點(diǎn)將點(diǎn)代入，得所以直線的方程為，即.14．已知拋物線和右焦點(diǎn)為F的橢圓．如圖，過(guò)橢圓左頂點(diǎn)T的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且．連接AF交于兩點(diǎn)M，N，交于另一點(diǎn)C，連BC，Q為BC的中點(diǎn)，TQ交AC于D．（1）證明：點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為定值；（2）記，的面積分別為，，若，求拋物線的方程．【答案】(1)證明見解析;(2).【分析】(1)設(shè)直線的斜率為，，寫出直線的方程，與拋物線進(jìn)行聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得，由可知，從而可得，進(jìn)而可求出，即可證明A的橫坐標(biāo)為定值.(2)由(1)知，，，寫出直線的方程，與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，設(shè)，由韋達(dá)定理可得橫坐標(biāo)之和和之積，由弦長(zhǎng)公式可求出，直線與拋物線聯(lián)立，可求出，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出，即可求出直線的方程，與直線聯(lián)立可求出，從而可求出，由點(diǎn)到直線的距離公式可求出兩三角形的高，由已知兩面積的比可得，即可求出，進(jìn)而可求出，結(jié)合在拋物線上可求出，進(jìn)而可求出拋物線的方程.【詳解】(1)證明：由題意知，，直線的斜率存在設(shè)為，，不