專題21數(shù)列求和方法總結(jié)：1.等差數(shù)列求和公式：2.等比數(shù)列求和公式：3.錯位相減法：特點：等差等比對“錯位相減法”的深層理解：通項公式的特點在錯位相減法的過程中體現(xiàn)了怎樣的作用？通過解題過程我們可以發(fā)現(xiàn)：等比的部分使得每項的次數(shù)逐次遞增，才保證在兩邊同乘公比時實現(xiàn)了“錯位”的效果。而等差的部分錯位部分“相減”后保持系數(shù)一致（其系數(shù)即為等差部分的公差），從而可圈在一起進行等比數(shù)列求和。體會到“錯位”與“相減”所需要的條件，則可以讓我們更靈活的使用這一方法進行數(shù)列求和4.裂項相消：特點：的表達式能夠拆成形如的形式（），從而在求和時可以進行相鄰項（或相隔幾項）的相消。(5）分類求和：如果通項公式是前幾種可求和形式的和與差，那么在求和時可將通項公式的項分成這幾部分分別求和后，再將結(jié)果進行相加。例：可知通項公式為，那么在求和的過程中可拆成3部分：分別求和后再相加5.分組求和（1）利用周期性求和：如果一個數(shù)列的項按某個周期循環(huán)往復(fù)，則在求和時可將一個周期內(nèi)的項歸為一組求和，再統(tǒng)計前項和中含多少個周期即可（2）通項公式為分段函數(shù)（或含有，多為奇偶分段。若每段的通項公式均可求和，則可以考慮奇數(shù)項一組，偶數(shù)項一組分別求和，但要注意兩點：一是序數(shù)的間隔（等差等比求和時會影響公差公比），二是要對項數(shù)的奇偶進行分類討論（可見典型例題）；若每段的通項公式無法直接求和，則可以考慮相鄰項相加看是否存在規(guī)律，便于求和6.倒序相加：若數(shù)列中的第項與倒數(shù)第項的和具備規(guī)律，在求和時可以考慮兩項為一組求和，如果想避免項數(shù)的奇偶討論，可以采取倒序相加的特點，典型例題：例1．（2022·山東菏澤·高三期末）已知數(shù)列的前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，求的前項和.例2．（2022·河南濮陽·高三開學(xué)考試（文））已知在單調(diào)遞增的等差數(shù)列中，，為方程的兩個實根．(1)求的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和．例3．（2022·貴州貴陽·高三期末（文））設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知成等差數(shù)列.(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.例4．（2022·福建福州·高三期末）設(shè)數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，若是，的等比中項，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項的和.例5．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且組成等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項和為，求證：．例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列中，，又成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，前n項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，.(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.例8．（2022·江西九江·一模（文））已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，數(shù)列的前n項和為.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求.過關(guān)練習(xí)：一、單選題1．（2022·黑龍江·鐵力市第一中學(xué)校高三開學(xué)考試（文））已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．2．（2022·四川·威遠中學(xué)校高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=n2，記數(shù)列的前n項和為Tn，n∈N*.則T20的值為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理）（文））定義為n個正數(shù)u1，u2，u3，…，un的“快樂數(shù)”.若已知正項數(shù)列{an}的前n項的“快樂數(shù)”為，則數(shù)列的前2022項和為（）A． B． C． D．二、填空題4．（2022·黑龍江·哈九中高三開學(xué)考試（文））數(shù)列中，，且，記數(shù)列的前n項和為，則______.5．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列、，，，其前項和分別為，，記最接近的整數(shù)為，則______．6．（2022·吉林·長春十一高高三階段練習(xí)（理））數(shù)列已知數(shù)列滿足：，（）.正項數(shù)列滿足：對于每個，，且，，成等比數(shù)列，則的前n項和為_____．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））數(shù)列的通項公式為，前項和為，則＝________.8．（2022·浙江·模擬預(yù)測）數(shù)列的通項公式為，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則的前32項和為__________．9．（2022·福建福州·高三期末）函數(shù)稱為高斯函數(shù)，表示不超過，x的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足，且，若，則數(shù)列的2022項和為___________.三、解答題10．（2022·四川·模擬預(yù)測（理））給出以下條件：①成等比數(shù)列；②成等比數(shù)列；③.從中任選一個，補充在下面的橫線上，再解答.已知遞增等差數(shù)列的前n項和為，且，______________.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項的和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.11．（2022·四川成都·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的通項公式為(1)求數(shù)列的前項和；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．12．（2022·四川·眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前n項和．13．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，的前項和，，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和．14．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的前n項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式以及前n項和；(2)若，求數(shù)列的前2n－1項和.15．（2022·安徽省宣城中學(xué)高三開學(xué)考試（文））設(shè)首項為2的數(shù)列的前項積為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.16．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）已知在數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的前項和；(2)設(shè)，求數(shù)列的項的和.17．（2022·黑龍江·鐵力市第一中學(xué)校高三開學(xué)考試（理））已知公差不為0的等差數(shù)列中，，，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．18．（2022·湖北武漢·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且對任意的有.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.19．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列是等差數(shù)列，，數(shù)列是等比數(shù)列，，公比，且，.(1)求，的通項公式；(2)設(shè)，，求證：.20．（2022·廣東中山·高三期末）已知數(shù)列滿足，且數(shù)列是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式：(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，若且，求集合A中所有元素的和.21．（2022·吉林·長春十一高高三階段練習(xí)（理））已知正項數(shù)列滿足，，，成等比數(shù)列，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求及數(shù)列的通項公式；(3)若，求數(shù)列的前n項和22．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列{an}和{bn}，a1＝2，，，(1)證明：是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前n項和Sn.23．（2022·江西上饒·高三階段練習(xí)（理））已知等比數(shù)列的前n項和為（b為常數(shù)）．(1)求b的值和數(shù)列的通項公式；(2)記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前n項和．24．（2022·廣東高州·二模）已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．25．（2022·河南濮陽·高三開學(xué)考試（理））已知數(shù)列的首項，數(shù)列是等差數(shù)列，且，．(1)求的通項公式．(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，證明：．26．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））已知數(shù)列的前項和為，，給出以下三個命題：①；②是等差數(shù)列；③(1)從三個命題中選取兩個作為條件，另外一個作為結(jié)論，并進行證明；(2)利用（1）中的條件，證明數(shù)列的前項和.27．（2022·山東濰坊·高三期末）已知公差不為0的等差數(shù)列，，．記，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.7]=0，[1.9]=1．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列前101項和．28．（2022