專題04ω的取值范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：零點問題題型二：單調(diào)問題題型三：最值問題題型四：對稱性問題題型五：性質(zhì)的綜合問題【方法技巧與總結(jié)】1、在區(qū)間內(nèi)沒有零點同理，在區(qū)間內(nèi)沒有零點2、在區(qū)間內(nèi)有個零點同理在區(qū)間內(nèi)有個零點3、在區(qū)間內(nèi)有個零點同理在區(qū)間內(nèi)有個零點4、已知一條對稱軸和一個對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．5、已知單調(diào)區(qū)間，則.【典型例題】題型一：零點問題例1．（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（文））函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】因為函數(shù)，在上沒有零點，所以，所以，即，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，因為，所以或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，又因為，所以的取值范圍是：.故選：C.例2．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，若，即，必有，令，則，設(shè)，則函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)有4個交點，又由于，必有，即的取值范圍是，故選：B.例3．（2022·廣西·貴港市高級中學(xué)三模（理））已知在有且僅有6個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【解析】由，得，即.設(shè)，即在有且僅有6個實數(shù)根，因為，故只需，解得，故選：D．變式1．（2022·海南華僑中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上有且僅有個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】因為，當(dāng)時，，因為函數(shù)在上有且僅有個零點，則，解得.故選：B.變式2．（2022·陜西·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)在上有且只有5個零點，則實數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．【解析】因為，令，即，所以，在上有且只有5個零點，因為，所以，所以，如圖，由正弦函數(shù)圖像，要使在上有且只有5個零點，則，即，所以實數(shù)的范圍是.

故選：C變式3．（2022·廣東·三模）已知函數(shù)，且f（x）在[0，]有且僅有3個零點，則的取值范圍是（

）A．[，） B．[，） C．[，） D．[，）【解析】因為，當(dāng)時，，因為函數(shù)在上有且只有3個零點，由余弦函數(shù)性質(zhì)可知，解得.故選：D．題型二：單調(diào)問題例4．（2022·江西贛州·二模（理））已知函數(shù)相鄰兩個對稱軸之間的距離為2π，若f（x）在（m，m）上是增函數(shù)，則m的取值范圍是（

）A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]【解析】因為相鄰兩個對稱軸之間的距離2π，則，即，則，則，由，得，所以在上是增函數(shù)，由得.故選：B.例5．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（文））函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，的零點到軸的最近距離小于，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】設(shè)的最小正周期為，依題意為的一個零點，且在上單調(diào)遞增，所以，所以，因為的零點到軸的最近距離小于，所以，化簡得，即的取值范圍是.故選：D例6．（2022·安徽·蕪湖一中高三階段練習(xí)（文））函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】因為函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，，，解得，所以，解得，又，所以，所以的取值范圍是.故選：A變式4．（2022·河南·汝州市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由題意得，函數(shù)，令，即.因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則且，且，解得，且，又，所以.故選：C.變式5．（2022·陜西榆林·三模（理））已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對任意，都有，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】由，得，則，解得．又，∴，故，即．由，得，則，解得，因為，故，即，綜上所述，的取值范圍為．故選：A.變式6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍縱坐標(biāo)不變，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍縱坐標(biāo)不變，得到，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，即，若在上單調(diào)遞減，則的周期，即，得，由，，得，，即，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，，若在上單調(diào)遞減，則，，即，，當(dāng)時，，即的取值范圍是.故選：D．變式7．（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．或【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，由在上單調(diào)遞增知，，所以，故選：C變式8．（2022·湖南·長沙一中模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，依題意得，，所以，，所以，，由得，由得，所以且，所以或，當(dāng)時，，又，所以，當(dāng)時，.綜上所述：.故選：C.題型三：最值問題例7．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）函數(shù)在上的值域是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】，，則，要使f(x)在上的值域是，則.故選：C.例8．（2022·安徽馬鞍山·三模（理））函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個最小值點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】令，因為，所以，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在時恰有兩個最小值點，所以有，因為，所以，故選：A例9．（2022·河南·寶豐縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】當(dāng)時，，因為函數(shù)在區(qū)間上的值域為，所以，解得.故選：.變式9．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)的定義域為，值域為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】由的值域為,可得，由可得，所以，解得，所以a的取值范圍是，故選:C變式10．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））函數(shù)在內(nèi)恰有兩個最小值點，則的范圍是（

）A． B．C． D．【解析】當(dāng)時，即時，函數(shù)有最小值，令時，有，，，，因為函數(shù)在內(nèi)恰有兩個最小值點，，所以有：，故選：B題型四：對稱性問題例10．（2022·安徽·蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)在區(qū)間[0，]上有且僅有3條對稱軸，則的取值范圍是（

）A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）【解析】，令，，則，，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上有且僅有3條對稱軸，即有3個整數(shù)k符合，，得，則，即，∴.故選：C.例11．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有三條對稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】當(dāng)時，，函數(shù)在內(nèi)有且僅有三條對稱軸，則有，解得，故選：B.題型五：性質(zhì)的綜合問題例12．（2022·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且在區(qū)間內(nèi)恰好取得一次最大值2，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，可得，即，所以且，解得，，又，當(dāng)時，可得，因為函數(shù)在區(qū)間上恰好取得一次最大值2，且函數(shù)的圖象過原點，所以，解得綜上可得：，故選：B例13．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，，由，則，則，解得，∴；當(dāng)時，，要使得該函數(shù)取得一次最大值，故只需，解得；綜上所述，的取值范圍為.故選：C.例14．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）若有零點，值域為則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】定義在上的函數(shù)，，函數(shù)有零點，，．因為函數(shù)的值域，求得，則的取值范圍為，故選：D．變式11．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞減，且在該區(qū)間上沒有零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，由，得，因為函數(shù)在單調(diào)遞減，且在該區(qū)間上沒有零點，所以，解得，所以的取值范圍為，故選：D變式12．（多選題）（2022·廣東清遠(yuǎn)·高一期末）設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有4個零點，則（

）A．的取值范圍是B．的圖象與直線在上的交點恰有2個C．的圖象與直線在上的交點恰有2個D．在上單調(diào)遞減【答案】AB【解析】當(dāng)時，，因為在上有且僅有4個零點，所以，解得，故A正確；又由以上分析可知，函數(shù)在上有且僅有4個零點，且，則在上，出現(xiàn)兩次最大值，此時函數(shù)的大致圖象如圖示：即在上兩次出現(xiàn)最大值1，即取時，取最大值，故的圖象與直線在上的交點恰有2個，故B正確；由于當(dāng)時，，，當(dāng)時，取最小值，由于是否取到不確定，故的圖象與直線在上的交點可能是1個或2個，故C錯誤；當(dāng)時，，因為，所以，，故的值不一定小于，所以在上不一定單調(diào)遞減.故選：AB.變式13．（多選題）（2022·云南師大附中高一期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則函數(shù)的最小正周期為C．關(guān)于x的方程在區(qū)間上最多有3個不相等的實數(shù)解D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為【答案】ABCD【解析】，所以，A正確；由在區(qū)間上單調(diào)，，得，，，則是對稱軸方程，而是對稱中心，所以，，B正確；由在區(qū)間上單調(diào)，，得，，所以在上至多有3個完整周期，而在1個完整周期內(nèi)只有1解，故在上最多有3個實數(shù)解，因此C正確；函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則，即，解得，又，即，，所以，D正確．故選：ABCD．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有3個最高點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【解析】由題意，函數(shù)，因為，可得，又函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有3個最高點，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是．故選：C．2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】依題意，即，又，所以，解得，又，所以，所以，要使函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，解得，即；故選：B3．（2022·河南南陽·高一期末）設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有個零點，則下列說法錯誤的是（

）A．的取值范圍是B．的圖象與直線在上的交點恰有個C．的圖象與直線在上的交點可能有個D．在上單調(diào)遞減【解析】對于A選項，因為，當(dāng)時，，因為函數(shù)在上有且僅有個零點，所以，，解得，A對；對于B選項，當(dāng)時，且，由可得或，故的圖象與直線在上的交點恰有個，B對；對于C選項，若，即當(dāng)時，由，可得或，所以，的圖象與直線在上的交點可能有個，C對；對于D選項，當(dāng)時，，因為，則，，所以，函數(shù)在不一定單調(diào)遞減，D錯.故選：D.4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】，由，，可得，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得：，又，所以，即.故選：D.5．（2022·遼寧·沈陽市第三十一中學(xué)高一期中）已知函數(shù)在上有且只有4個零點，則取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由題意，，，∴，解得．故選：B．6．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，，且在區(qū)間內(nèi)有最小值無最大值，則（

）A． B．2 C． D．8【解析】，易知當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上取得最小值，所以，，所以，，又，所以，所以．故選：C．7．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一階段練習(xí)）為了使函數(shù)在區(qū)間上至少出現(xiàn)5次最大值，則的最小值為（

）A．4π B．8π C．10π D．12π【解析】由題意知：，又在上的最大值依次在處取得，要至少出現(xiàn)5次最大值，可得.故選：B.8．（2022·遼寧·大連二十四中高一期中）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，若函數(shù)在上的圖像與直線有且僅有一個交點，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【解析】因為函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，并且在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，又，得，令，得，所以在上的圖像與直線的第一個交點的橫坐標(biāo)為，第二個交點的橫坐標(biāo)為，所以，解得，綜上所述，，故的最小值為故選：D9．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若直線是曲線的一條對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的最小值為（

）A．9 B．15 C．21 D．33【解析】當(dāng)時，因為，所以，又在區(qū)間上不單調(diào)，所以，即．因為直線是曲線的一條對稱軸，所以，即，故的最小值為21．故選：C10．（2022·新疆·烏市一中高一期末）已知函數(shù)（ω>0），對任意x∈R，都有≤，并且在區(qū)間上不單調(diào)，則ω的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解析】對任意，都有，為函數(shù)的最大值，則，，得，，在區(qū)間，上不單調(diào)，，即，即，得，則當(dāng)時，最小.故選：B.二、多選題11．（2022·江西上饒·高一期末）設(shè)函數(shù)，若在上有且僅有3條對稱軸，則（

）A．在上有且僅有2個最大值點B．在上有且僅有2個零點C．的取值范圍是D．在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】∵，，∴，∴，令，∴，畫出圖象進(jìn)行分析：對于A選項：由圖象可知：在上有且僅有，對應(yīng)的這2個最大值點，故A選項正確；對于B選項：當(dāng)，即時，在有且僅有2個零點；當(dāng)，即時，在有且僅有3個零點，故B選項不正確；對于C選項：∵在有且僅有3條對稱軸，∴，∴，∴的取值范圍是，故C選項正確；對于D選項：∵，，∴，∴，由C選項可知，，∴，即在上單調(diào)遞增，故D選項正確.故選：ACD.12．（2022·河北保定·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且恰好存在2個，使得的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A．B．的取值范圍為C．一定不存在3個，使得的圖象關(guān)于點對稱D．在上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】因為，得，A正確．設(shè)，則如圖所示，由，得，所以，得，B正確．如圖所示，當(dāng)時，存在3個，使得的圖象關(guān)于點對稱．C錯誤．因為，所以，又，所以，所以在上單調(diào)遞減，D正確．故選：ABD三、填空題13．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期中）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且存在唯一，使得，則的取值范圍為_______．【答案】【解析】由，得，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以，解得，由，得，因為存在唯一，使得所以，解得，綜上所述的取值范圍為.故答案為：.14．（2022·遼寧營口·高一期末）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則取值范圍為_____【答案】【解析】令，可得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得，結(jié)合，故當(dāng)時，取值范圍為，時不符合題意，故取值范圍為，故答案為：15．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，且函數(shù)在上有且僅有一個零