高等數(shù)學（第二版）一、笛卡兒坐標系二、空間中的向量第一節(jié)空間中的笛卡兒（直角）坐標向量空間解析幾何三、向量的長度與方向四、距離和中點一、笛卡兒坐標系

我們用如圖所示的三個互相垂直的軸來確定空間中的點位置。圖中所示的軸組成一個右手坐標系。通過你如此握住右手，即大拇指以外的手指從

軸向

軸彎曲，那么大拇指指向為

軸正方向。

空間中的點

的笛卡兒坐標

是過點

垂直于坐標軸的平面與該軸的交點在該軸上的坐標。由于定義的這種坐標的軸相互以直角相交，因此笛卡兒坐標也稱為直角坐標。ⅦO

x

y

Ⅰ

Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅷ

Ⅱ

Ⅲ

z

由坐標軸

軸和

軸構(gòu)成的平面為

平面，它的標準方程是

；

平面，它的標準方程為

；

平面，它的標準方程為

。三個坐標平面的的交點為原點

。且三個坐標平面將空間分成了八個部分，依次稱為第一至第八卦限。例1.給出下列方程和不等式的幾何解釋：在

平面內(nèi)和其上方的點組成的空間。垂直于

軸并且在

與

軸相交且與平面平行的平面。

平面上的第二象限。第一卦限。平面

和

之間的板形區(qū)域（包含平面）。平面

和

的交線。二、空間中的向量若

是一個起點在點

，終點在

的向量，則

的分量形式是

。跟平面情形一樣，這也是點

的位置向量。從起點

到終點

的向量為

。用從原點到點

，

，

的有向線段表示的向量為標準單位向量，用

，和

表示。于是從原點到任意一點

的位置向量就可以寫成：這樣，向量

可以表示成我們把這作為空間向量的主要記號?？臻g中向量的運算法則：加、減法數(shù)量乘法設(shè)

和

是向量，

是實數(shù)，三、向量的長度與方向從三角形ABC得

再從三角形ACD得定義（1）空間向量

的長度為：（3）單位向量

是長度為1的向量。標準單位向量的長度是（2）空間中的零向量是：

。與平面上一樣，

的長度為零而且無方向。若

，則

是與

同方向的單位向量。等式

把

表示成它的長度

和方向

的乘積。例2求與從

到

的向量同方向的單位向量

。故：解：只要用

的長度除它即可：解：速率是速度向量的大小，于是有例3．把一個質(zhì)點的速度向量

表示成它的速度和方向的乘積。例4．一個6牛頓的力F作用在向量

的方向上。把F表示成它的長度和方向的乘積。解：

力向量是四、距離和中點空間中點

到點

的距離為

的長度。即：一個點

在中心為

、半徑為

的球面上，那么

。即半徑為

中心為

的標準球面方程為：中點連接

和

的線段的中點M是點例5．求下列球面的中心和半徑：解：用求圓周的中心和半徑的辦法求球面的中心和半徑：對含

和

的項進行必要的配方，并把每個二次函數(shù)寫成線性表達式的平方。然后從標準形式的方程求得中心和半徑。故中心是

，半徑是

。

例6.已知和的，求線段的中點。代入中點坐標公式解：一、數(shù)量積二、垂直（正交）向量和投影第二節(jié)空間向量的數(shù)量積、向量積、混合積空間解析幾何三、向量積四、混合積一、數(shù)量積當把空間中兩個非零向量

和

的起始點重合在一起時，它們形成一個大小為

的夾角?？臻g中兩個向量的數(shù)量積（或內(nèi)積，點積）可以用定義平面向量數(shù)量積的同樣方式定義。定義

設(shè)

和

是空間中的兩個非零向量，

和

的數(shù)量積（點積、內(nèi)積）為，其中

是

和

之間的夾角。1.數(shù)量積的定義空間中的兩個非零向量

和

的數(shù)量積的計算：設(shè)

，

，則

把數(shù)量積定義中的

解出來，就得到求空間中的兩個給定向量之間夾角的公式。空間中的兩個非零向量

和

之間的夾角為例1.求

和

之間的夾角。解：2.數(shù)量積的性質(zhì)若

和

是任意向量，而

是數(shù)，則（1）（2）（3）（4）（5）二、垂直（正交）向量和投影與平面向量的情形一樣，兩個非零向量

和

是垂直的或正交的，當且僅當

在一個非零向量

上的投影向量（如圖）是由從Q到直線PS做垂線而得的向量

。這與平面向量的情形完全一樣，該向量記為

（

在

上的向量投影）。

如果

表示一個力，那么

表示在方向

的有效力

由于在上的向量投影：故數(shù)

稱為

在方向

的數(shù)量分量。我們可以通過

“點乘”

的方向求得數(shù)量分量。例2．求在上的向量投影和在方向的數(shù)量分量。解：

的數(shù)量分量。在方向

與平面向量一樣，可以把一個向量表示成個平行于的向量和一垂直于的向量之和。例3．一個力作用在速度為的太空船上。把F表示成一個平行于的向量和一個垂直于的向量之和。解：

。三、空間中兩個向量的向量積我們假定在空間中給定兩個非零向量和。和我們用右手法則選擇一個垂直于這個平面的單位向量。如果不平行，那么它們決定一個平面。1.定義

設(shè)給定兩個非零向量和，和的向量（叉）積為如果和中的一個或兩個為零，我們定義為零。這樣一來，和的叉積為零，和平行或它們中的一個或兩個為零。當且僅當非零向量和稱為平行向量，當且僅當2.向量積（叉積）的性質(zhì)：通常，由于位于和所在的平面上，而在和所在的平面上，所以向量積乘法是不滿足結(jié)合律的。當我們用定義計算

和

的兩兩向量積時，便得到

3.的行列式表示假定那么由分配律和

和

相乘的法則告訴我們于是我們可以用下列行列式計算向量積（叉積）

例5．求垂直于

，

和

所在的平面的向量。解：

向量

垂直于平面，因為它垂直于平面上的兩個向量。利用分量我們求得

例6．

求頂點

，

和

的三角形的面積。解：由和所確定的平行四邊形的面積是三角形的面積是這個值的一半

。

例7．求垂直于

，

和

所在的平面的單位向量。解：向量垂直于平面，它的方向是垂直于平面的單位向量，由例5和例6有：4.轉(zhuǎn)矩當我們在扳手上用一個力F轉(zhuǎn)動一個螺栓時，我們產(chǎn)生一個轉(zhuǎn)矩作用在螺栓的軸上以使螺栓前進。轉(zhuǎn)矩的大小依賴于力作用在扳手的多遠處及垂直于扳手的作用點處的力有多大。我們測量轉(zhuǎn)矩大小的數(shù)是杠桿

的臂長和F的垂直于

的數(shù)量分量的乘積。

轉(zhuǎn)矩的大小

轉(zhuǎn)矩向量

如果令

是沿螺栓的軸并指向轉(zhuǎn)矩方向的單位向量，那么轉(zhuǎn)矩向量可以完整地表示為當

和

平行時，定義

為零。這與轉(zhuǎn)矩的解釋正好是吻合的。假如圖中的力F平行于扳手，即我們試圖通過沿著扳手的柄的方向拉或推扳手，所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩為零。四、混合積積

稱為

和

（按這個次序）的混合積。從公式可以看出，積的絕對值是由

和

確定的平行六面體（由

組成的平行四邊形為底面的箱體）的體積。數(shù)

是箱體底面平行四邊形的面積，數(shù)

是平行六面體的高。把

和

以及

和

確定的平面作為平行六面體的底所在的平面，我們可以看出由此，我們還得到（點積與叉積可交換）向量的混合積可以用行列式計算：一、空間中的直線和線段二、空間中的平面方程第三節(jié)空間中的直線和平面空間解析幾何三、相交直線一、空間的直線和線段假定

是一條過點

且平行于向量

的直線。則

是使

平行于

的所有點

的集合。于是對某個數(shù)值參數(shù)

有

。

的值依賴點

在直線上的位置，并且

的定義域是

。方程

的展開形式是這個方程可以寫成：過點

平行于

的直線的向量方程為其中

是

上的點

的位置向量，而

是

的位置向量。直線的參數(shù)方程：過

平行于

的直線的標準參數(shù)方程為例1.求過點

平行于

的直線的參數(shù)方程。解：例2.求過點

和點

的直線的參數(shù)方程。解：向量平行于直線，又上例中我們還可以取

作為“基點”而寫出這些方程的作用跟第一組完全一樣；只不過在一個給定時刻

點在直線上的位置不同。為參數(shù)化連結(jié)兩點的線段，我們首先參數(shù)化過點的直線。再求端點對應(yīng)的

的值并限制以這些為端點的區(qū)間。直線連同這個附加的限制就是參數(shù)化線段。例3.求過點

和點

的線段。我們注意點解：從例2中的點

和

的直線在

過點

，而在

過點

。我們加上限制

就得到這線段的參數(shù)方程：二、空間中的平面方程假定平面M過點

并且正交于（垂直于）非零向量

。則M是使

正交于

的所有點

的集合，于是點積

。這個方程等價于或過點

且正交于（垂直于）

平面有：向量方程：分量方程：簡化分量方程：其中解：分量方程是經(jīng)化簡得例4．求過

垂直于

的平面方程。我們要注意例4中

的分量如何成為方程

的系數(shù)。例5．求過

和

的平面的方程。解：我們求一個垂直于該平面的向量，再利用這個向量和三個點中的一個寫平面的方程，向量積是正交于所求平面的向量。把這個向量的分量和坐標

代入分量形式的方程，即得三、相交直線不平行的兩張平面交于一條直線。兩條直線平行當且僅當它們方向相同。類似地，兩張平面平行當且僅當存在某個數(shù)

，有

。例6．求平行于平面

和

的交線的向量。解：兩平面的交線正交于法向量

和

從而平行于

。反之，

為一個平行于交線的向量。的任何非零倍數(shù)都符合要求。例7．求平行于平面

和

的交線。由于例6中已經(jīng)確定了一個平行于交線的向量

，故僅需求交線上的一個點。我們可以求兩平面的任何公共點，在兩平面方程中令

，并解

和

的聯(lián)立方程求得一個公共點為

，故該交線為解：一、柱面二、二次曲面第四節(jié)柱面和二次曲面空間解析幾何一、柱面一個柱面是由在空間中平行于各頂直線通過給定平面曲線的所有直線組成的曲面。這里的曲線稱為柱面的母線。在立體幾何中，柱面意味圓柱面，母線是圓周，但允許母線是任何類型的曲線。曲面同平行于坐標平面的平面相交形成的曲線稱為橫截線或跡。母線（在yOz平面）過母線平行于x軸的直線例1．求由平行于

軸過拋物線

的直線構(gòu)成的柱面的方程。解：假定點

在

平面的拋物線

上。那么對

的任何值，點

將在柱面上。反之，任何點

的

坐標是

坐標的平方，從而在柱面上，因為它在過

且平行于

軸的直線

上。因此，不管

的值是多少，曲面上的點是坐標滿足方程

的點。這使得

成為曲面的方程。正由于此，我們稱該柱面為“柱面

”。

平面上的任何曲線

定義一個平行于

軸的柱面，其方程也是

，平面

上的任何曲線

定義一個平行于

軸的柱面，其方程也是

。

平面

上的任何曲線

定義一個平行于

軸的柱面，其方程也是

定義

任何兩個笛卡兒坐標的方程定義一個平行于第三軸的柱面，稱為柱面的方程。二、二次曲面其中的

等等是常數(shù)，但是跟二維曲線一樣方程可以經(jīng)過平移旋轉(zhuǎn)化簡。我們將僅僅研究簡化后的方程?；镜亩吻媸菣E球面，拋物面，橢圓錐面和雙曲面。一個二次曲面是空間中

和

的二次方程的圖形。最一般的形式是(1)橢圓錐面由方程

所表示的曲面稱為橢圓錐面。

圓錐曲面在y軸方向伸縮而得的曲面。把圓錐面

沿y軸方向伸縮

倍

所得曲面稱為橢圓錐面

(2)橢球面由方程

所表示的曲面稱為橢球面。它是球面在x軸、y軸或z軸方向伸縮而得的曲面。把x2+y2+z2

a2沿z軸方向伸縮

倍

得旋轉(zhuǎn)橢球面

再沿y軸方向伸縮

倍

即得(3)單葉雙曲面由方程

所表示的曲面稱為單葉雙曲面。把zOx面上的雙曲線

繞z軸旋轉(zhuǎn)

得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面

再沿y軸方向伸縮

倍

即得單葉雙曲面

(4)雙葉雙曲面由方程

所表示的曲面稱為雙葉雙曲面。把zOx面上的雙曲線

繞x軸旋轉(zhuǎn)

得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面

再沿y軸方向伸縮

倍

即得雙葉雙曲面

。

(5)橢圓拋物面由方程

所表示的曲面稱為橢圓拋物面。把zOx面上的拋物線

繞z軸旋轉(zhuǎn)

所得曲面稱為旋轉(zhuǎn)拋物面

再沿y軸方向伸縮

倍

所得曲面稱為橢圓拋物面

。(6)雙曲拋物面雙曲拋物面又稱馬鞍面。用平面x

t截此曲面

所得截痕l為平面x

t上的拋物線此拋物線開口朝下

其頂點坐標為

當t變化時

l的形狀不變

位置只作平移

而l的頂點的軌跡L為平面y

0上的拋物線由方程

所表示的曲面稱為雙曲拋物面。

一、空間曲線二、極限和連續(xù)第五節(jié)向量值函數(shù)和空間曲線空間解析幾何三、導數(shù)和運動四、微分法則五、定長的向量函數(shù)六、向量函數(shù)的積分一、空間曲線點

就組成了空間中的一條曲線，我們稱之為質(zhì)點的路徑。上式中的方程和區(qū)間參數(shù)化了該曲線。空間曲線還可以表示為向量形式：當一個質(zhì)點在空間中經(jīng)歷時間區(qū)間

而運動時，我們假設(shè)質(zhì)點的坐標為定義在

上的函數(shù)：是實變量在區(qū)間I上的向量函數(shù)。二、極限和連續(xù)定義

若

，則若

，則向量函數(shù)

在定義域內(nèi)的點

連續(xù)。若其在定義域的每個點都連續(xù)，則函數(shù)是連續(xù)的。

在

處連續(xù)當且僅當每個分量函數(shù)在

處是連續(xù)的。例1．若

，則三、導數(shù)和運動定義

如果

和

在

處是可微的，則向量函數(shù)

在

處是可微的，其向量導數(shù)為如果在定義域內(nèi)的每個點是可微的，則向量函數(shù)

是可微的。如果

是連續(xù)的并且恒不等于0，即

和

有連續(xù)一階導數(shù)并且不同時為0，則由

描繪的曲線是光滑的。導數(shù)的幾何意義若

不等于0，我們定義

為曲線在點P的切向量。曲線在點

的切線定義為過該點平行于

的直線。對光滑曲線我們要求

是為了保證曲線在每點有連續(xù)轉(zhuǎn)動的切線。在光滑曲線上沒有拐角或尖。一條曲線由有限段光滑曲線以連續(xù)方式組成，則稱之為分段光滑曲線當

時，導數(shù)是沿空間中由

定義的曲線運動的質(zhì)點的速度的模型。導數(shù)指向運動的方向并且給出位置對于時間的變化率。對于一條光滑曲線，速度恒不為零，質(zhì)點運動也不停止或顛倒方向。定義

若

是沿空間光滑曲線運動的質(zhì)點的位置，則在任何時刻

，下列定義適用：(1)，位置的導數(shù)，是質(zhì)點的速度向量，與曲線相切；(2)的大小，是質(zhì)點的速率；(3)，速度的導數(shù)及位置的二階導數(shù)，是質(zhì)點的加速度；(4)，一個單位向量，是運動方向。例2一個人在懸掛式滑翔機上由于遇到快速上升氣流而沿位置向量的路徑螺旋式地向上。路徑類似于螺旋線并在圖中顯示了

部分，求：（