3.5數(shù)學(xué)探究活動(一)：正方體截面探究1.通過探究，了解正方體截面的形狀.2.了解凸多面體中頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間的關(guān)系.問題：用一個平面去截正方體，能否截出直角三角形呢？不能.用一個平面去截正方體，如果三角形截面的三邊在正方體共頂點(diǎn)的三個面上，那么三個頂點(diǎn)在正方體的三條棱上，如圖中的△ABC.∵△ABD是直角三角形，由勾股定理有BD2+AD2=AB2，問題：用一個平面去截正方體，能否截出直角三角形呢？又BC>BD，AC>AD，∴BC2+AC2>AB2，即△ABC不是直角三角形.∵上述△ABC是任意截得的三角形截面，∴用一個平面去截正方體，不能截出直角三角形.探究：用一個平面去截正方體，并在正方體中面出所有可能的截面示意圖.（1）如果截面是三角形，你認(rèn)為可以截出幾類不同的三角形（分別按邊、角分類）？為什么？（2）指出最大面積的三角形截面，并說明理由.（3）你認(rèn)為可以截出幾類不同的四邊形？為什么？（4）能否截出正五邊形？為什么？（5）是否存在正六邊形的截面？為什么？（6）邊數(shù)最多的截面是幾邊形？為什么？探究建議：（1）成立探究小組，一起討論研究，集思廣益.（2）可以利用計算機(jī)作圖軟件協(xié)助，也可以直接做模型，甚至切蘿卜塊來探究.（3）大膽猜想，小心求證.（4）梳理探究的結(jié)果，撰寫一個報告.歸納總結(jié)通過探究正方體的截面圖得到如下可能出現(xiàn)的結(jié)論:銳角三角形、等邊、等腰三角形、正方形、矩形、非矩形的平行四邊形、非等腰梯形、等腰梯形、五邊形、六邊形、正六邊形.不可能出現(xiàn):鈍角三角形、直角三角形、直角梯形、正五邊形、七邊形或更多邊形.例1:已知凸多面體的各面都是四邊形，求證:該凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F有關(guān)系式F=V-2.

歸納總結(jié)1.五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù):正多面體頂點(diǎn)數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E正四面體446正六面體8612正八面體6812正十二面體201230正二十面體122030歸納總結(jié)2.歐拉公式:簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E有關(guān)系式V+F-E=2.計算棱數(shù)E的常見方法:(1)E=V+F-2；(2)E=各面多邊形邊數(shù)和的一半；(3)E=頂點(diǎn)數(shù)與共頂點(diǎn)棱數(shù)積的一半.1.如圖，M，N為正方體中所在棱的中點(diǎn)，過兩點(diǎn)M，N作正方體的截面，則截面的形狀可能為（

）A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形BD2.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)：簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E之間滿足有趣的關(guān)系式V+F-E=2，這個關(guān)系式被稱為歐拉公式.比如：正二十面體，是由20個等邊三角形組成的正多面體，已知每個頂點(diǎn)處有5條棱，則可以通過歐拉公式算出正二十面體的頂點(diǎn)有

個；如果一個簡單多面體的每個面都是