第四章激光器的工作特性

在速率方程及據(jù)此導(dǎo)出的激光工作物質(zhì)增益飽和的基礎(chǔ)上討論激光器的振蕩條件、激光形成過程、模競爭效應(yīng)、激光輸出功率或能量、弛豫振蕩效應(yīng)等基本特性。激光線寬及頻率牽引也是激光器的重要特性，對(duì)它們的嚴(yán)格理論分析必須運(yùn)用量子理論及半經(jīng)典理論。本章僅作簡單介紹，而不涉及嚴(yán)格的理論分析。

表示能級(jí)E3向E2能級(jí)無輻射躍遷的量子效率表示能級(jí)E2向基態(tài)躍遷的熒光效率結(jié)論：當(dāng)t＝t0時(shí),n2(t)達(dá)到最大值,當(dāng)t>t0時(shí),因自發(fā)輻射而指數(shù)衰減。

在整個(gè)激勵(lì)持續(xù)期間n2(t)處在不斷增長的非穩(wěn)定狀態(tài)

脈沖激光器中，脈沖泵浦持續(xù)時(shí)間短，尚未達(dá)到新的平衡之前，過程就結(jié)束了，所以在整個(gè)脈沖工作過程中，各能級(jí)的粒子數(shù)及腔內(nèi)光子數(shù)均處于劇烈變化中，系統(tǒng)處于非穩(wěn)態(tài)。連續(xù)激光器中各能級(jí)粒子數(shù)及腔內(nèi)輻射處于穩(wěn)定狀態(tài)。非穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)打破原有熱平衡狀態(tài)到達(dá)新的穩(wěn)態(tài)過程的階段。若泵浦脈沖長脈沖，脈沖激光器也達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。長脈沖激光器也可看成連續(xù)激光器。脈沖激光器和連續(xù)激光器既有差別又有聯(lián)系。激勵(lì)脈沖波形及高能級(jí)集居數(shù)隨時(shí)間的變化情況4．1激光器的振蕩閾值

一、閾值反轉(zhuǎn)集居數(shù)密度

如果諧振腔內(nèi)工作物質(zhì)的某對(duì)能級(jí)處于集居數(shù)反轉(zhuǎn)狀態(tài)，則頻率處在它的譜線寬度內(nèi)的微弱光信號(hào)會(huì)因增益而不斷增強(qiáng)。另一方面，諧振腔中存在的各種損耗，又使光信號(hào)不斷衰減。能否產(chǎn)生振蕩，取決于增益與損耗的大小。下面由速率方程出發(fā)推導(dǎo)激光器自激振蕩的閾值條件

對(duì)光子數(shù)密度速率方程作修正。設(shè)諧振腔中光束體積為VR，工作物質(zhì)中的光束體積為Va。諧振腔中折射率均勻分布，則諧振腔中第l個(gè)模式的光子數(shù)的變化速率應(yīng)表示為

假設(shè)光束直徑沿腔長均勻分布，則上式可化簡為

腔內(nèi)輻射場由起始的微弱的自發(fā)輻射場增長為足夠強(qiáng)的受激輻射場。

不同模式具有不同的散射截面，閾值不同。頻率為v0的模式閾值最低

二、閾值增益系數(shù)

不同縱橫具有相同的

，因而具有相同的閾值gt。不同的橫模具有不同的衍射損耗，因而有不同的閾值，高次橫模的閾值比基模大。

三、連續(xù)或長脈沖激光器的閾值泵浦功率

1．四能級(jí)激光器：

四能級(jí)系統(tǒng)中，激光下能級(jí)E1是激發(fā)態(tài)，其無輻射躍遷幾率S10很大，因而

E2能級(jí)集居數(shù)密度的閾值為

當(dāng)E2能級(jí)上集居數(shù)密度n2穩(wěn)定于n2t時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)在單位體積中有n2t／

2

s個(gè)粒子自E2能級(jí)躍遷到E1能級(jí)。為使n2穩(wěn)定于n2t，單位時(shí)間內(nèi)在單位體積中必須有n2t／

2

s個(gè)粒子自E3能級(jí)躍遷到E2能級(jí)。因此在單位時(shí)間內(nèi)單位體積中必須有n2t／

2

s個(gè)粒子自E0能級(jí)躍迂到E3能級(jí)。激光器的閾值泵浦功率以Ppt表示:

2.三能級(jí)激光器

在典型三能級(jí)系統(tǒng)紅寶石中

四、短脈沖激光器的閾值泵浦能量

若光泵激勵(lì)時(shí)間很短，不考慮E2能級(jí)的自發(fā)輻射和無輻射躍遷的影響。要使E2能級(jí)增加一個(gè)粒子，只須吸收1／

1個(gè)泵浦光子。因此，當(dāng)單位體積中吸收的泵浦光子數(shù)大于n2t／

1時(shí)，就能產(chǎn)生激光。由此可見，四能級(jí)系統(tǒng)須吸收的光泵能量的閾值為

三能級(jí)系統(tǒng)須吸收的光泵能量的閾值為

對(duì)于脈沖寬度t0可與

相比擬的情況，泵浦能量的閾值不能用一個(gè)簡單的解析式表示。但可以用數(shù)字計(jì)算的辦法求出EPt的值。實(shí)驗(yàn)說明，當(dāng)固體激光器的氖燈儲(chǔ)能電容越大因而光泵脈沖持續(xù)時(shí)間t0增長時(shí)，光泵的閾值能量也增大。這是由于t0越長自發(fā)輻射的損耗越嚴(yán)重所致。圖激光器起振模譜的形成（a)增益曲線(b)諧振腔模譜（c)激光器的起振模譜

(l)三能級(jí)系統(tǒng)所需的閾值能量比四能級(jí)大得多。連續(xù)工作時(shí)所需閾值功率太大，三能級(jí)系統(tǒng)的紅寶石激光器一般只能以脈沖方式工作。

(2)三能級(jí)系統(tǒng)激光器中光腔損耗的大小對(duì)光泵閾值能量（功率)的影響不大。而在四能級(jí)系統(tǒng)中，閾值能量(功率)正比于光腔的損耗。但當(dāng)損耗很大時(shí)，同樣會(huì)影響三能級(jí)激光器的閾值能量(功率)。

(3)四能級(jí)的閾值能量(功率)反比于發(fā)射截面，發(fā)射截面又反比于熒光譜線寬度

F，所以閾值能量(功率)正比于

F。如：Nd：YAG的

F即比Nd玻璃小得多，其量子效率又比Nd玻璃高得多，所以Nd：YAG激光器的閾值能量(功率)較Nd玻璃激光器低得多，可以連續(xù)工作，而Nd玻璃激光器一般只能脈沖工作。

4.2激光器的振蕩模式

一、均勻加寬激光器中的模競爭

1．增益曲線均勻飽和引起的自選模作用

結(jié)論：在均勻加寬激光器中，幾個(gè)滿足閾值條件的縱模在振蕩過程中互相競爭，結(jié)果總是靠近中心額率v0的一個(gè)縱模得勝，形成穩(wěn)定振蕩，其他縱模都被抑制而熄滅。一般情況下，均勻加寬穩(wěn)態(tài)激光器的輸出應(yīng)是單縱模的，單縱橫的頻率總是在譜線中心頻率附近。

2．空間燒孔引起多橫振蕩均勻加寬穩(wěn)態(tài)激光器應(yīng)為單縱模輸出。但實(shí)際上，當(dāng)激發(fā)較強(qiáng)時(shí)，往往出現(xiàn)多縱模振蕩。激發(fā)越強(qiáng)，振蕩模式越多。

當(dāng)頻率為vq的縱模形成穩(wěn)定振蕩時(shí)，腔內(nèi)形成一個(gè)駐波場，波腹處光強(qiáng)最大，波節(jié)處光強(qiáng)最小。實(shí)際上軸向各點(diǎn)的反轉(zhuǎn)集居數(shù)密度和增益系數(shù)是不相同的，波腹處增益系數(shù)(反轉(zhuǎn)集居效密度)最小，波節(jié)處增益系數(shù)(反轉(zhuǎn)集居數(shù)密度)最大。這一現(xiàn)象稱作增益的空間燒孔效應(yīng)。

如果激活粒子的空間轉(zhuǎn)移很迅速，空間燒孔便無法形成。以均勾加寬為主的高氣壓氣體激光器可獲得單縱橫振蕩。在固體工作物質(zhì)中，激活粒子被束縛在晶格上，借助粒子和晶品格的能量交換完成激發(fā)態(tài)的空間轉(zhuǎn)移，激發(fā)態(tài)在空間轉(zhuǎn)移半個(gè)波長所需的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于激光形成所需的時(shí)間，所以空間燒孔不能消除。

如不采取特殊措施，以均勻加寬為主的固體激光器一般為多縱模振蕩。在含光陷離器的環(huán)形行波腔內(nèi)，光強(qiáng)沿軸向均勻分布，因而消除了空間燒孔，可以得到單縱模振蕩

激光器中，除了存在軸向空間燒孔外，由于橫截面上光場分布的不均勻性，還存在著橫向的空間燒孔。由于橫向空間燒孔的尺度較大，激活粒子的空間轉(zhuǎn)移過程不能消除橫向空間燒孔。不同橫模的光場分布不同，它們分別使用不同空間的激活粒子，因此當(dāng)激勵(lì)足夠強(qiáng)時(shí)，可能形成多橫模振蕩。

二、非均勻加寬激光器的多縱模振蕩

在非均勻加寬激光器中，假設(shè)有多個(gè)縱模滿足振蕩條件，由于某一縱模光強(qiáng)的增加，并不會(huì)使整個(gè)增益曲線均勻下降，而只是在增益曲線上造成對(duì)稱的兩個(gè)燒孔，所以只要縱模間隔足夠大，各縱模基本上互不相關(guān)，所有小信號(hào)增益系數(shù)大于gt的縱模都能穩(wěn)定振蕩。在非均勻加寬激光器中，一般都是多縱模振蕩。當(dāng)外界激發(fā)增強(qiáng)時(shí)。小信號(hào)增益系數(shù)增加，滿足振蕩條件的縱模個(gè)數(shù)增多因g而激光器的振蕩模式數(shù)目增加。圖非均勻加寬激光器的增益曲線和振蕩模譜

在非均勻加寬激光器中也存在模競爭現(xiàn)象。當(dāng)兩模形成的兩個(gè)燒孔重合．也就是說，它們共用同一種表觀中心頻率的激活粒子，因而產(chǎn)生模競爭，此時(shí)模的輸出功率會(huì)有無規(guī)起伏。此外，當(dāng)相鄰縱模所形成的燒孔重疊時(shí)，相鄰縱模因共用一部分激活粒子而產(chǎn)生相互競爭。4.3輸出功率與能量一、連續(xù)或長脈沖激光器的輸出功率

如果一個(gè)激光器的小信號(hào)增益系數(shù)恰好等于閾值，激光輸出是非常微弱的。實(shí)際的激光器總是工作在閾值水平以上，腔內(nèi)光強(qiáng)不斷增加。那么，光強(qiáng)是否會(huì)無限增加呢?實(shí)驗(yàn)表明．在一定的激發(fā)速率下，即當(dāng)g0(v)一定時(shí)，激光器的輸出功率保持恒定，當(dāng)外界激發(fā)作用增強(qiáng)時(shí)，輸出功率隨之上升，但在一個(gè)新的水平上保持恒定。

如果腔內(nèi)某一振蕩模式的頻率為vq．開始時(shí)，腔內(nèi)光強(qiáng)逐漸增加。同時(shí)，由于飽和效應(yīng)，增益系數(shù)將隨之減少，直到增益和損耗達(dá)到平衡，光強(qiáng)才不再增加。這時(shí)，激光器建立了穩(wěn)定工作狀態(tài)

當(dāng)外界激發(fā)作用增強(qiáng)時(shí)，小信號(hào)增益系數(shù)g0(v)增大，必須增加光強(qiáng)到一個(gè)更大的值才能建立起穩(wěn)定工作狀態(tài)，因此激光器的輸出功率增加。但是不管激發(fā)強(qiáng)或弱，穩(wěn)態(tài)工作時(shí)激光器的大信號(hào)增益系數(shù)總是等于gt。可以確定穩(wěn)態(tài)工作時(shí)的腔內(nèi)光強(qiáng)。

1．均勻加寬單模激光器

駐波型激光器中，腔內(nèi)存在著沿腔軸方向傳播的光I＋和反方向傳播的光I－。若諧振腔由一面全反射鏡和一面透射率為T的輸出反射鏡組成

圖駐波型激光器腔內(nèi)光強(qiáng)示意圖

如果T<<1，則穩(wěn)定工作時(shí)增益系數(shù)也很小，這時(shí)可近似認(rèn)為I+＝I－，腔內(nèi)平均光強(qiáng)激光束的有效截面面積為A，則激光器的輸出功率為a為往返指數(shù)凈損耗因子，通常a<<1

式中PP及Ppt分別為工作物質(zhì)吸收的泵浦功率及閾值泵浦功率，S為工作物質(zhì)橫截面面積，

0＝T/2

輸出功率正比于飽和光強(qiáng)Is,并隨激發(fā)參數(shù)的增加而增加。輸出功率隨Pp線性增加，它是由超過閾值那部分泵浦功率轉(zhuǎn)換而來的。增加泵浦功率(即提高小信號(hào)增益系數(shù))及工作物質(zhì)長度或降低損耗都將使輸出功率提高。飽和光強(qiáng)大的工作物質(zhì)可產(chǎn)生較大的輸出功率。對(duì)于放電激勵(lì)的氣體激光器，無論均勻加寬還是非均勻加寬，gm與pp并不成正比。存在一個(gè)使gm最大的最佳放大電流jm,輸出功率最大。

輸出功率還和輸出反射鏡的透射率T有關(guān)。當(dāng)T增大時(shí)，一方面提高了透射光的比例，有利于提高輸出功率，同R時(shí)卻又使閾值增加，從而導(dǎo)致腔內(nèi)光強(qiáng)的下降。因此存在一個(gè)使輸出功率達(dá)到極大值的最佳透射率T。透射率T<<1時(shí)，令dP／dt＝0，可求出Tm為可求出輸出鏡具有最佳透射率時(shí)的輸出功率Pm為最佳透射率和2gml輸出功率和透射率

2．非均勻加寬單模激光器

和均勻加寬激光器不同的是，當(dāng)振蕩模頻率vq

v0時(shí)，I＋和I－兩束光在增益曲線上分別燒兩個(gè)孔。對(duì)每一個(gè)孔起飽和作用的分別是I＋或I－

，而不是兩者的和。因此振蕩模的增益系數(shù)激光器穩(wěn)態(tài)工作時(shí)單模輸出功率為

當(dāng)vq=v0時(shí)，I+和I-同時(shí)在增益曲線上中心頻率處燒一個(gè)孔，燒孔深度取決于腔內(nèi)平均光強(qiáng)

因此vq=v0時(shí)的輸出功率較小，單模輸出功率P和單模頻率vq的關(guān)系曲線。在vq=v0處曲線有一凹陷。稱作蘭姆凹陷。解釋：當(dāng)vq=v1時(shí)，gi0(v1)=gt,輸出功率P＝0,當(dāng)vq=v2時(shí),激光振蕩將在增益曲線的v2及v2’＝2v0-v2處造成兩個(gè)凹陷，也就是說，速度vz＝

c(v0-v2)/v0的兩部分粒子對(duì)頻率v2的激光有貢獻(xiàn)。激光功率P2正比于這兩個(gè)凹陷面積之和。

當(dāng)vq=v3時(shí)，由于燒孔面積增大，所以功率P3比P2大。當(dāng)頻率vq接近v0時(shí)，兩個(gè)燒孔部分重疊，燒孔面積的和可能小于vq=v3時(shí)兩個(gè)燒孔面積的和，因此P＜P3。當(dāng)vq=v0時(shí)，兩個(gè)燒孔完全重合，此時(shí)只有vz＝0附近的原子對(duì)激光有貢獻(xiàn)。雖然它對(duì)應(yīng)著最大的小信號(hào)增益，但由于對(duì)激光作貢獻(xiàn)的反轉(zhuǎn)集居數(shù)減少了，即燒孔面積減少了，所以輸出功率P0下降到某一極小值。

蘭姆凹陷的寬度大致等于燒孔的寬度

運(yùn)用半經(jīng)典理論，可以得出蘭姆凹陷的定量關(guān)系。凹陷的深度和激發(fā)參量gml/

成正比

3．多模激光器

在非均勻加寬激光器中，每個(gè)模式各自消耗表現(xiàn)中心頻率與其頻率相應(yīng)的激活粒子。如果模間隔足夠大，各個(gè)模式相互獨(dú)立，分別計(jì)算每個(gè)縱模的輸出功率，總的輸出功率應(yīng)是各模輸出功率之和。

在均勻加寬激光器中，由于各模式相互影響，所以必須由多模速率方程求出輸出功率。在矩形線型函數(shù)及各模損耗相同的簡化假設(shè)下，多模速率方程可證明其輸出功率與單模情況相同。

二、短脈沖激光器的輸出能量

在短脈沖激光器中，工作物質(zhì)吸收的泵源能量為Ep，則有Ep

1/hp個(gè)粒子從基態(tài)經(jīng)E3能級(jí)躍遷到E2能級(jí)上去。如果Ep

1/hp>n2tV，則增益大于損耗，腔內(nèi)受激輻射光強(qiáng)不斷增加，n2將因受激輻射而不斷減少，當(dāng)n2減少到n2t時(shí)，受激輻射光強(qiáng)便開始迅速衰減直至熄滅。E2能級(jí)剩余的n2t個(gè)粒子通過自發(fā)輻射而返回基態(tài)腔內(nèi)光能部分變?yōu)闊o用損耗，部分經(jīng)輸出反射鏡輸出脈沖紅寶石激光器的輸出能量和光泵輸入電能EP的關(guān)系4.4馳豫振蕩大量實(shí)驗(yàn)表明，一般固體脈沖激光器所輸出的并不是一個(gè)平滑的光脈沖，而是一群寬度只有微秒量級(jí)的短脈沖序列，即所謂‘尖峰”序列。激勵(lì)越強(qiáng)，則短脈沖之間的時(shí)間間隔越小。人們把上述現(xiàn)象稱作弛豫振蕩效應(yīng)或尖峰振蕩效應(yīng)。

紅寶石單模激光器的輸出波形

(a)泵浦能量低于閾值時(shí)示波器上看到的熒光波形。(b)為泵浦能量高于閥值時(shí)的激光波形。

解釋：第一階段(t1-t2)：泵浦激勵(lì)使

n增加，當(dāng)t=t1時(shí),n達(dá)到閾值nt，開始產(chǎn)生激光。當(dāng)t>t1時(shí)n＞nt，所以激光器內(nèi)光子數(shù)密度急劇增加。與此同時(shí)，受激輻射特使n減小。但在此階段，泵浦激勵(lì)使n增加的速率仍超過受激輻射使n減少的速率，所以n仍繼續(xù)增加。第二階段(t2一t3)：隨著光子數(shù)密度N的增加，受激輻射使

n減少的速率也不斷增加。到時(shí)刻t2，受激輻射使

n減少的速率恰好等于泵浦激勵(lì)使

n增加的速率。以后

n開始減少。但由于

n仍大于

nt，所以腔內(nèi)光子數(shù)仍繼續(xù)增加。

第三階段(t3-t4)：當(dāng)t＝t3時(shí)

n=

nt,t＞t3后．由于n仍大于0，仍有受激輻射產(chǎn)生，這就使n繼續(xù)減小。但因n<

nt，增益小于損耗，所以腔內(nèi)光子數(shù)急劇減少。第四階段（t4-t5）：隨著腔內(nèi)光子數(shù)密度N的減少，受激輻射使

n減少的速率逐漸變小，至t4時(shí)刻，泵浦激勵(lì)使

n增加的速率恰好等于受激輻射使

n減少的速率，此后

n又重新增加。至t5時(shí)刻

n達(dá)到閾值

nt

。于是又產(chǎn)生第二個(gè)尖峰。在整個(gè)脈沖激勵(lì)時(shí)間內(nèi)，這種過程反復(fù)發(fā)生，形成一個(gè)尖峰序列。泵浦功率越大，尖峰形成越快，因而尖峰的時(shí)間間隔越小。

圖

腔內(nèi)光子數(shù)密度及反轉(zhuǎn)集居數(shù)密度隨時(shí)間的變化

4．5單模激光器的線寬極限

在腔內(nèi)工作物質(zhì)增益為零的無源腔中

有源腔中的光子壽命

激光器穩(wěn)態(tài)工作時(shí)，凈損耗為0，激光器的凈損耗以及單縱模的線寬似乎應(yīng)等于零，但這只是對(duì)激光器內(nèi)物理過程的一種理想化的近似描述。這種理想情況的物理圖象是：腔內(nèi)的受激輻射能量補(bǔ)充了損耗的能量，而且由于受激輻射產(chǎn)生的光波與原來的光波具有相同的相位，二者相干疊加使腔內(nèi)光波的振幅始終保持恒定，因而輸出激光在理想情況下為一無限長的波列，其線寬應(yīng)等于零。

實(shí)際的單縱模激光器的線寬也不會(huì)等于零。在分析激光器振蕩過程時(shí)，忽略了自發(fā)輻射的存在，由于和受激輻射相比自發(fā)輻射的貢獻(xiàn)極其微弱，因而在討論閾值及輸出功率等問題時(shí)可以忽略不計(jì)，但在考慮線寬問題時(shí)必須考慮自發(fā)輻射的影響

式中第二項(xiàng)為自發(fā)輻射項(xiàng)，al為分配