專題14四邊形

多邊形、四邊形、平面向量及其線性運算是中考的重要考點，尤其是特殊的平行四邊形更是中考的

難點，主要考查基礎概念，幾何推理與證明，綜合分析幾何問題.

1.掌握多邊形內角和與外角和公式，靈活運用多邊形內角和與外角和公式解決有關問題.

2.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它們之間的關系.掌握它們的性質和判別方

法，并能運用這些知識進行證明和計算.

3.掌握三角形和梯形的中位線定理，并能靈活應用.

4.了解平面向量的概念，掌握平面向量的線性運算.

在知識導圖

一、多邊形內角和定理、外角定理

“邊形的內角和為(”-2)?180°(”23).

要點詮釋：(1)內角和定理的應用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內角和；②已知多邊形內角和求其邊數(shù);

(2)正多邊形的每個內角都相等，都等于5—2)?180；

n

多邊形的外角和為360。.“邊形的外角和恒等于360°,它與邊數(shù)的多少無關.

二、平行四邊形

定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

性質：1.邊的性質：平行四邊形兩組對邊平行且相等；

2.角的性質：平行四邊形鄰角互補，對角相等；

3.對角線性質：平行四邊形的對角線互相平分；

4.平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心.

判定：1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

平行線的性質

1.平行線間的距離都相等

2.等底等高的平行四邊形面積相等

三、梯形

定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形；有一個角是直角的梯形叫直角梯形；有兩條腰相

等的梯形叫做等腰梯形.A________D

等腰梯形性質：（1）兩底平行，兩腰相等；

（2）同一底邊上的兩個角相等；/\

（3）兩條對角線相等；Ax\\

（4）軸對稱圖形（底的中垂線就是它的對稱軸）.口上--------------

（上底+下底）x高

面積：s梯形=

2

等腰梯形判定：（1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；

（2）同一底邊上的兩個角相等的梯形是等腰梯形;

（3）對角線相等的梯形是等腰梯形.

解決梯形問題的常用方法（如下圖所示）：

（1）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中.

（2）“移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中.

（3）“延長兩腰”：構造具有公共角的兩個三角形.

（4）“等積變形”：連接梯形上底一端點和另一腰中點，并延長交下底的延長線于一點，構成三角形.并

且這個三角形面積與原來的梯形面積相等.

轉住

綜上，解決梯形問題的基本思路：梯形問題八二工…三角形或平行四邊形問題,這種思路常通過

分割、拼接

平移或旋轉來實現(xiàn).

三角形、梯形的中位線

聯(lián)結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.

聯(lián)結梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線.

梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.

典例引燃

J■_________?___________L-

一、單選題

1.一個多邊形的每一個外角都等于60。，則這個多邊形的邊數(shù)是（）

A.10B.9C.6D.4

2.若一個多邊形的內角和比它的外角和大540。，則該多邊形的邊數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

3.小紅：我計算出一個多邊形的內角和為2020。；老師：不對呀，你可能少加了一個角！則小紅少加的這個

角的度數(shù)是（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

4.劉師傅給客戶加工一個平行四邊形A3CD的零件，他要檢查這個零件是否為平行四邊形，用下列方法不

能檢查的是（）

A.AB//CD,AB=CDB.ZB=ZD,ZA=Z.C

C.AB//CD,AD=BCD.AB=CD,BC=AD

5.如圖，在YABCD中，3尸平分/ABC交AD于點F,CE平分NBCD交AD于點E,若AB=6,AD=8,

則EF的長度為（）

A.4B.5C.6D.7

6.下列命題：①等腰梯形的兩個底角相等；②兩個底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的對角線等;

⑤對角線相等的梯形是等腰梯形，其中真命題的個數(shù)是（）

A.0B.2C.3D.4

7.如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,ZC=60°,AD=6,AB=8,貝!J8C=（）

C

A.10B.12C.14D.16

8.如圖，將平行四邊形A3CD沿對角線AC折疊，使點B落在點"處，若4=48。，N2=32。，則的

度數(shù)為（）?

A.124°B.114°C.104°D.56°

9.如圖，在YABCD中，如果點E是邊AO的中點，且NA=NAEC,那么下列結論不正確的是（）

B.BF=2DF

D.$四邊形ABFE=SSgEF

10.某花木場有一塊如等腰梯形ABCD的空地（如圖），各邊的中點分別是E、F、G、H,用籬笆圍成的

四邊形EFG”場地的周長為40cm,則對角線AC的長度為（）

15cmC.10cmD.5cm

二、填空題

11.如果某個等腰梯形的一個底角為60。，它的上、下底長分別為3和5,那么這個梯形的腰長是.

12.如圖，在梯形ABCD中，AB//DC,DE//CB,VADE周長為18,0c=4,則該梯形的周長等于.

13.在等腰梯形A8C。中，E、F、G、H分別為各邊中點，已知對角線AC=10,則四邊形EFGH的周長為

14.如圖，平行四邊形A3CD中，AELBC,AFLCD,垂足分別是￡、F,ZEAF=60°,BE=2,DF=3,

則平行四邊形ABC。的周長為.

15.如圖，梯形ABC。中，ZABC=NBCD,AD//BC,3D平分/ABC,若A￡>=3,BC=7,則8。的

長為.

16.如圖，YABCD中，連接3D,E是BD上一點、,連接AE并延長交C。于R交8c延長線于點G,若

EF=2,FG=3,則AE=.

17.如圖，在梯形ABCD中，AD^BC,AC與3D相交于點。，如果Sic=25〃。，那么：

S^ABC=_____

18.如圖，點/在正五邊形4BCDE的內部，若為等邊三角形，則-3FC的度數(shù)是

D

2

19.如圖，YABCD對角線AC與BD交于點。，且AD=3,AB=5,在A3延長線上取一點E,使BE=gAB,

連接OE交BC于尸，則3尸的長為.

20.如圖，梯形A8CD中，？O90?,AB//CD,將線段CB繞著點8按順時針方向旋轉，使點C落在8

S1

延長線上的點E處.聯(lián)結AE、BE,設BE與邊AD交于點尸,如果AB=4,且封上=孑，那么梯形ABC。

的中位線等于.

四、特殊平行四邊形

矩形的判定

平行四邊形：（1）有一個角為直角（2）對角線相等.

一般四邊形中，三個角為直角.

菱形的判定：

在平行四邊形中，（1）有一組鄰邊相等。（2）對角線互相垂直.

一般四邊形中，四條邊相等.

正方形的判定：

C

平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質:

相關

平行四邊形矩形菱形正方形

元素

①對邊平行①對邊平行

邊對邊平行且相等對邊平行且相等

②四條邊都相等②四條邊都相等

角對角相等四個角都是直角對角相等四個角都是直角

①對角線互相平分

①對角線互相平分

②對角線互相垂直.

①對角線互相平分②對角線互相垂直

對角線對角線互相平分③每一條對角線平分

②對角線相等③每一條對角線平分

一組對角

一組對角

④對角線相等

既是中心對稱既是中心對稱既是中心對稱

對稱性中心對稱

又是軸對稱又是軸對稱又是軸對稱

典例引微

1___?____________I

一、單選題

1.下列命題中，正確的命題是（）

A.一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線相等的平行四邊形是矩形

C.對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形

D.對角線垂直且平分的四邊形是正方形

2.在菱形A8CD中，對角線AC、8。相交于點。，AB=5,AC=6,過點。作AC的平行線交8c的延長線

于點E,則ABZ汨的面積為（）

A.22B.24C.48D.44

3.如圖，正方形A8CD的兩條對角線AC,8。相交于點。點E在8。上，MBE=AD,則/ACE的度數(shù)為

A.22.5°B.27.5°C.30°D.35°

4.如圖，矩形ABCD中，AB=6,如果將該矩形沿對角線8。折疊，那么圖中陰影部分△￡￡￡）的面積是22.5,

則BC=（）

A.8B.10C.12D.14

5.如圖，在矩形ABC。中，48=24,8c=12,點E在邊4B上，點E在邊C￡＞上，點G、”在對角線AC

上，若四邊形EGF”是菱形.則AE的長是（）

6.如圖，在44BC中，/區(qū)4c=90°,AB=3,AC=4,尸為邊BC上一動點，于E,尸尸，AC于

F,則即的最小值為（）

B

A.1.2B.1.25C.2.4D.2.5

7.如圖，點E,F,G,”分別為四邊形ABC。四條邊AB,BC,CD,D4的中點，則關于四邊形EFGH,

下列說法正確的是（）

A.不一定是平行四邊形B.當AC=BO時，它為菱形

C.一定是軸對稱圖形D.不一定是中心對稱圖形

8.如圖，兩個正方形的邊長都為6,其中正方形OEFG繞著正方形A3CD的對角線的交點。旋轉，正方形

OEFG與邊AB、分別交于點M、N（不與端點重合），設兩個正方形重疊部分形成圖形的面積為機，

的周長為"，則下列說法正確的是（）

A.機發(fā)生變化，〃存在最大值B.機發(fā)生變化，九存在最小值

C.旭不發(fā)生變化，〃存在最大值D.機不發(fā)生變化，"存在最小值

二、填空題

9.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質是.填代號①對邊平行且相等；②對角線互相平分;

③對角相等；④對角線相等；⑤四個角都是90。；⑥軸對稱圖形.

10.菱形的邊長為5,一條對角線長為6,則這個菱形的面積是.

11.如圖，在矩形ABC。中，對角線AC,3D相交于點。，若NAC?=60。，AB=4cm,則AC的長為

12.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與8D相交于點O,OE±AB,垂足為E點，若NADC=130。，則

ZAOE=

D

13.如圖，在矩形A8CD中，AB=8,8c=6,點P為邊4B上任意一點，過點尸作尸E_LAC,PFLBD,垂足

分別為E、F,則PE+PP=.

14.如圖，點E為正方形ABC。外一點，且ED=CD,連結AE,交BD于點產(chǎn).若/CZ)E=30。，貝U/OPC

的度數(shù)為一.

三、解答題

15.已知：如圖，矩形A8CD的兩條對角線AC與相交于點。，點E、F分別是線段OC、6?的中點，

聯(lián)結AF、BE.

(1)求證：四邊形AB即是等腰梯形；

(2)過點。作垂足為點聯(lián)結ME,如果NOME=NBAC,求證：四邊形4WEF是菱形.

16.已知如圖，四邊形ABCD中，/54。=々。￡>=90。，E為對角線3D的中點，點尸在邊AD上，CF交BD

于點G,CF//AE,CF=-BD.

2

(1)求證：四邊形AECF為菱形；

(2)如果Nr>CG=NDEC,求證：AE2=ADDC.

中重點考向

五、平面向量

平面向量的概念：既有大小，又有方向的量叫做向量.向量一般用成瓦工……來表示，或用有向線段的起點

與終點的大寫字母表示，如：AB.向量的大小也叫做向量的長度（或向量的模），記作|通|或IaI.

向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.

方向相同且長度相等的兩個向量叫做相等的向量.

方向相反且長度相等的兩個向量叫做互為相反向量.

方向相同或相反的兩個向量叫做平行向量.

平面向量的加法：

向量加法的三角形法則：求不平行的兩個向量的和向量時，只要把第二個向量與第一個向量首尾相接，

那么以第一個向量的起點為起點、第二個向量的終點為終點的向量就是和向量.設初或=B,則

a+b^AB+BC^AC-

向量加法的平行四邊形法則：如果Z,另是兩個不平行的向量，那么求它們的和向量時，任取一點為公共

起點，作兩個向量分別和Z了相等；再以這兩個向量為鄰邊作平行四邊形；然后以所取的公共起點為起點，

作這個平行四邊形的對角線向量，則這一對角線向量就是3與辦的和向量.

向量的加法滿足交換律=滿足結合律0+后）+2=￡+。+工）.

零向量：長度為o的向量，記為0,其方向是任意的，0與任意向量平行零向量.

a—0OIaI=O.0+a=a+O=a-

平面向量的減法：已知兩個向量的和及其中一個向量，求另一個向量的運算叫做向量的減法.減去一個向量

等于加上這個向量的相反向量.

向量減法的三角形法則：在平面內任取一點，以這點為公共起點作出這兩個向量，那么它們的差向量是

以減向量的終點為起點、被減向量的終點為終點的向量.

要點：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的

那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量.

（2）三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的

有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點

當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則.向量加法的

三角形法則可推廣至多個向量相加：

AB+BC+CD+-+PQ+QR=AR,但這時必須“首尾相連”.

六、實數(shù)與向量相乘

1.實數(shù)與向量相乘的意義：

一般地，設”為正整數(shù)，1為向量，我們用點表示幾個］相加；用.而表示〃個相加.又當加為

正整數(shù)時，二彳表示與〉同向且長度為a|的向量.

mm

要點：

設P為一個正數(shù)，P。就是將。的長度進行放縮，而方向保持不變；-P。也就是將。的長度進行放縮，但

方向相反.

2.向量數(shù)乘的定義

一般地，實數(shù)人與向量￡的相乘所得的積是一個向量，記作左日，它的長度與方向規(guī)定如下：

(1)如果kwO,且￡力0時，貝I］：

①左a的長度：|左。|=|左||。|；②左a的方向：當左＞0時，左a與。同方向；當上＜0時，ka與a反

方向；

(2)如果k=0,或3=0時，貝i|：ka=6,左Z的方向任意.

實數(shù)左與向量3相乘，叫做向量的數(shù)乘.

要點：

(1)向量數(shù)乘結果是一個與已知向量平行(或共線)的向量；

(2)實數(shù)與向量不能進行加減運算；

(4)左Z表示向量的數(shù)乘運算，書寫時應把實數(shù)寫在向量前面且省略乘號，注意不要將表示向量的箭頭寫

在數(shù)字上面；

(5)向量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關系和數(shù)量關系.

3.實數(shù)與向量的相乘的運算律：

設根、〃為實數(shù)，貝！I：

(1)m(nd)-(mri)a(結合律)；

(2){m+ri)a=ma+na(向量的數(shù)乘對于實數(shù)加法的分配律);

(3)m(a+b)=ma+mb(向量的數(shù)乘對于向量加法的分配律)

七、平行向量定理

1.單位向量：長度為1的向量叫做單位向量.

要點：

任意非零向量A與它同方向的單位向量可的關系：行=同心，一1一

ao=Ha，

2.平行向量定理：如果向量b與非零向量占平行，那么存在唯一的實數(shù)m,使6=m￡

要點：

(1)定理中，［m|=二,m的符號由b與a同向還是反向來確定.

a

(2)定理中的不能去掉，因為若5=0,必有6=6,此時m可以取任意實數(shù)，使得6=m￡成

立.

(3)向量平行的判定定理：A是一個非零向量，若存在一個實數(shù)m,使E=m￡,則向量6與非零向量;平

行.

(4)向量平行的性質定理：若向量b與非零向量占平行，則存在一個實數(shù)m,使6=m￡

(5)A、B、C三點的共線o醺〃肥o若存在實數(shù)入，使AB=ABC.

八、向量的線性運算

1.向量的線性運算定義：

向量的加法、減法、實數(shù)與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算.

要點：

(1)如果沒有括號，那么運算的順序是先將實數(shù)與向量相乘，再進行向量的加減.

(2)如果有括號，則先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.

2.向量的分解：

平面向量基本定理：如果冢，目是同一平面內兩個不共線(或不平行)的向量，那么對于這一平面內的

任一向量。，有且只有一對實數(shù)4,4，使得a=46+402.

要點：

(1)同一平面內兩個不共線(或不平行)向量冢，晟叫做這一平面內所有向量的一組基底.

一組基底中，必不含有零向量.

(2)一個平面向量用一組基底吊回■表示為2=4不+4可形式，叫做向量的分解，當,弓相互垂直時，

就稱為向量的正分解.

(3)以平面內任意兩個不共線的向量為一組基底，該平面內的任意一個向量都可表示成這組基底的線性組

合，基底不同，表示也不同.

3.用向量方法解決平面幾何問題：

(1)利用已知向量表示未知向量

用已知向量來表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運算外，還應充分利用平面幾何的一

些定理，因此在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形對應

邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解.

(2)用向量方法研究平面幾何的問題的“三步曲”：

①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問題轉化為向量問題.

②通過向量運算，研究幾何元素的關系.

③把運算結果“翻譯”成幾何關系.

典例引微

JJ._______?__________

一、單選題

1.若非零向量々和B互為相反向量，則下列說法中錯誤的是（）

A.a//bB.a^=bC.，卜忖D.b=—a

2.下列說法中不正確的是（）

A.如果加、“為實數(shù)，那么（加+〃”=海+位

B.如果k=0或&=。，那么初=6

C.如果上中0,且那么屈的方向與方的方向相同

D.長度為1的向量叫做單位向量

3.矩形A3C。的對角線AC與3D相交于點。，如果配=1，DC=b，那么（）

A.DO=^a-b)B.DO=^(b-a)

C.DO=a—bD.DO——^b+a^

4.下列說法正確的是()

A.如果9為單位向量，那么修B.如果商=工，那么萬〃B

c.如果豆、5都是單位向量，那么a=5D.如果|洲=|5|,那么及=5

5.下列命題正確的個數(shù)是（）

①設上是一個實數(shù)，Z是向量，那么左與Z相乘的積是一個向量；

②如果人o,那么果的模是|胴;

③如果左=0,或a=6，那么上q=0；

④如果上＞0,左々的方向與￡的方向相反.

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.下列命題中，正確的是（）

A.如果左=0或￡=0，那么h￡=0B.如果?！?，那么°=后3（%為實數(shù)）

c.如果2=歷C為實數(shù)）,那么D.如果卜|=120,那么。=2石或a=—2石

7.如圖，已知A、B、C是直線/上的三點,尸是直線/外的一點，BC=2AB,PA=7t,PB=fi,那么定等

于（）

A.—2萬+3為B.—元+2為C.2元一百D.4萬一3為

8.已知單位向量）與非零向量4、b，下列四個選項中，正確的是（）

C—=~^b1__

A.\a\e=aB.\e\b=bD.:-a=e

\a\\b\\a\

二、填空題

9.計算：3（2萬一B）—（3萬+25）=

10.如果向量Z、b,［滿足關系式1-卜-25）=5,那么1（用向量￡、石表示）.

11.如圖，在“1BC中，AB=AC,AD1BC,垂足為點。.設荏=￡,BC=b,那么蒞=（結果

用￡、辦的式子表示）.

A

12.如圖，已知在AABC中，AD=2,AB=5,DE//BC.設福=%，AC=b試用向量M、石表示向量

BE=?

13.如圖，已知梯形ABCD中，AD〃BC,BC=3AD,設麗=￡,DC=b，那么向量通用向量Z、B表

示為.

14.如圖，在正六邊形A5CDE尸中，設麗=￡,通=石，那么向量而用向量2、B表示為.

15.如圖，點G是A3c的重心，過點G且平行于5C,點。、￡分別在AB、AC上，設〃J,AC=b，

那么DE=.（用a、b表示）

Dt

BC

16.如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,對角線AC、5。相交于點。，點E、方分別是邊A3、C。的中點,

AO:OC=1:4,設耳5=￡,那么/=.（用含向量％的式子表示）

在模擬檢測

一、單選題

1.（2021.上海青浦?統(tǒng)考二模）如果一個正多邊形的每一個外角都是45。，那么這個正多邊形的內角和為（）

A.360°B.720°C.1080°D.1440°

2.（2022?上海.上海市婁山中學?？级＃┮来芜B接等腰梯形各邊的中點得到的四邊形是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形

3.（2021.上海寶山?統(tǒng)考三模）下列命題中正確的是（）

A.對角線相等的梯形是等腰梯形

B.有兩個角相等的梯形是等腰梯形

C.一組對邊平行的四邊形一定是梯形

D.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形一定是等腰梯形

4.（2020?上海徐匯?統(tǒng)考二模）下列命題中，假命題是（）

A.順次聯(lián)結任意四邊形四邊中點所得的四邊形是平行四邊形

B.順次聯(lián)結對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形

C.順次聯(lián)結對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形

D.順次聯(lián)結兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形

5.（2022?上海長寧?統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形A3CD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（）

A.當9=成1時，四邊形A3CD是菱形

B.當AC，3D時，四邊形A3CD是菱形

C.當NABC=90。時，四邊形ABCD是矩形

D.當時，四邊形ABCD是正方形

6.（2022?上海青浦?統(tǒng)考二模）已知非零向量日和單位向量配那么下列結論中，正確的是（）

A.同=|眼B.巨=同苕C.商=|啊D.a=\a\e

7.（2022?上海?一模）點G是AABC的重心，設通AC=b，那么而關于。和B的分解式是（）

11-11_11_11_

A.—a+—bB.一萬bC.—a+—bD.—a——b.

22223333

8.（2021?上海虹口?統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，點。、E分別是邊8C、AC的中點，和BE交于點G,

設原=2,AE=b?那么向量BG用向量&、B表不為（）

E

A,工&77

B.-a+-bC.--a+-bD.-a+-b

33332222

9.（2020?上海寶山?統(tǒng)考一模）已知九行為非零向量，如果加=-52,那么向量Z與萬的方向關系是（）

A.a//b＞并且2和B方向一致B.a//b,并且Z和瓦方向相反

c.Z和B方向互相垂直D.Z和B之間夾角的正切值為5

10.（2020?上海閔行?校考一模）如圖，在正方形ABC。中，ABPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交

于點E、F,連結8。、DP,與CF相交于點H,給出下列結論：①BE=2AE；②LDFPs^BPH；

③DP2=PH?PC；@FE；8c=（2百-3）:3,其中正確的個數(shù)為（

B.2C.3D.4

二、填空題

11.（2022?上海崇明?統(tǒng)考二模）若一個正多邊形的內角和等于外角和的兩倍，則該正多邊形的邊數(shù)是

12.（2022?上海普陀?統(tǒng)考二模）菱形的兩條對角線長分別為5和12,那么這個菱形的面積為

13.（2018?上海金山?統(tǒng)考二模）如果梯形的中位線長為6,一條底邊長為8,那么另一條底邊長等于

14.（2022?上海青浦?統(tǒng)考二模）如圖，已知平行四邊形ABC。中，E是AD上一點，ED=2AE,聯(lián)結BE交

AC于歹，若向量麗=。，向量反^方，則向量麗=.

15.（2018?上海長寧?統(tǒng)考中考模擬）在四邊形A3CD中，E,尸分別是邊AB,A￡＞的中點，若3C=15,8=9,

EF=6,ZAFE=55°,則NADC=.

D

E

16.（2022?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，在YABCD中，ZB=70°,BC=6,以為直徑的。。交CD于點E,

則劣弧用E的長為.（結算結果保留乃）

17.（2021?上海普陀?統(tǒng)考一模）如圖，小明在教學樓的樓頂A測得：對面實驗大樓CO的頂端C的仰角

為a,底部。的俯角為如果教學樓AB的高度為加米，那么兩棟教學樓的高度差為米.

18.（2021.上海徐匯?一模）如圖，己知“LBC是邊長為2的等邊三角形，正方形。EFG的頂點2E分別在

邊AC,A3上，點尸,G在邊3c上，那么AZ）的長是.

19.（2018?上海閔行?統(tǒng)考二模）在直角梯形ABCD中，ABIICD,ZDAB=90°,AB=12,DC=7,cosZABC=—,

13

點E在線段AD上，將△ABE沿BE翻折，點A恰巧落在對角線BD上點P處，那么PD=.

三、解答題

3

20.（2022.上海.上海市進才中學?？家荒＃┤鐖D，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=10,sinA=-,

CDLAB,垂足為D.

⑴求BD的長；

（2）設衣=￡,BC=b，用Z，石表示詬.

21.（2021?上海虹口?統(tǒng)考一模）如圖，在AABC中，點G是AABC的重心，聯(lián)結AG,聯(lián)結BG并延長交邊AC

于點。，過點G作GE/ABC交邊AC于點￡.

（1）如果荏=2，AC=b>用2、B表示向量反

（2）當AG_L3￡>,BG=6,/G4D=45。時，求AE的長.

22.（2022?上海金山?統(tǒng)考二模）如圖，梯形A8C。中，AD//BC,E是的中點，NCDE=9Q°,CD=6,

2

tanZZ）CE=—.

3

⑴求CE的長；

（2）求/ADE的余弦.

23.（2022?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，四邊形48CE中，ZBAC=90°,AB=AC,8/U.CE于點尸，點。為

上一點，且/BAO=NCAE.

（1）求證：AD=AE；

⑵設防交AC于點G,若BCJ2BDBG,判斷四邊形A。巫的形狀，并證明.

專題14四邊形

多邊形、四邊形、平面向量及其線性運算是中考的重要考點，尤其是特殊的平行四邊

形更是中考的難點，主要考查基礎概念，幾何推理與證明，綜合分析幾何問題.

1.掌握多邊形內角和與外角和公式，靈活運用多邊形內角和與外角和公式解決有關問題.

2.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它們之間的關系.掌握它們

的性質和判別方法，并能運用這些知識進行證明和計算.

3.掌握三角形和梯形的中位線定理，并能靈活應用.

4.了解平面向量的概念，掌握平面向量的線性運算.

在知識導圖

一、多邊形內角和定理、外角定理

“邊形的內角和為（〃-2）?180°（a23）.

要點詮釋：（1）內角和定理的應用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內角和；②已知多邊形

內角和求其邊數(shù)；

（2）正多邊形的每個內角都相等，都等于（"—2）?180；

n

多邊形的外角和為360。.“邊形的外角和恒等于360。，它與邊數(shù)的多少無關.

二、平行四邊形

定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

性質：L邊的性質：平行四邊形兩組對邊平行且相等；

2.角的性質：平行四邊形鄰角互補，對角相等；

3.對角線性質：平行四邊形的對角線互相平分；

4.平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心.

判定：1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

2.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

平行線的性質

1.平行線間的距離都相等

2.等底等高的平行四邊形面積相等

三、梯形

定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形；有一個角是直角的梯形叫直角梯

形；有兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形.

等腰梯形性質：（1）兩底平行，兩腰相等；

（2）同一底邊上的兩個角相等；

（3）兩條對角線相等；

（4）軸對稱圖形（底的中垂線就是它的對稱軸）.

（上底+下底）X高

面積：S梯形=

2

等腰梯形判定：（1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；

（2）同一底邊上的兩個角相等的梯形是等腰梯形;

（3）對角線相等的梯形是等腰梯形.

解決梯形問題的常用方法（如下圖所不）:

（1）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中.

（2）“移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中.

（3）“延長兩腰”：構造具有公共角的兩個三角形.

（4）“等積變形”：連接梯形上底一端點和另一腰中點，并延長交下底的延長線于一點，

構成三角形.并且這個三角形面積與原來的梯形面積相等.

綜上，解決梯形問題的基本思路：梯形問題八二工一三角形或平行四邊形問題,這

分割、拼接

種思路常通過平移或旋轉來實現(xiàn).

三角形、梯形的中位線

聯(lián)結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.

聯(lián)結梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線.

梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.

善例引踐

一、單選題

1.一個多邊形的每一個外角都等于60。，則這個多邊形的邊數(shù)是（）

A.10B.9C.6D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360。，可以用360。除一個外角的度數(shù)，可以算出多邊形

的邊數(shù)即可.

【解析】解：；360+60=6,

，這個多邊形的邊數(shù)是6,

故選：c.

【點睛】本題考查多邊形的外角和，能夠熟練掌握根據(jù)多邊形的外角和與正多邊形一個外角

的度數(shù)求出多邊形的邊數(shù)是解決本題的關鍵.

2.若一個多邊形的內角和比它的外角和大540。，則該多邊形的邊數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【分析】設多邊形的邊數(shù)為〃，根據(jù)多邊形的外角和內角和之間的關系可到關于〃的方程，

解方程即可得.

【解析】解：：多邊形的外角和是360。，多邊形的內角和比它的外角和大540。

；?設這個多邊形的邊數(shù)為〃

由題意得：（〃一2）/80°=360°+540°

解得：n=7

故選：D

【點睛】本題考查了多邊形的外角和與內角和，理清外角和與內角和的關系是解題的關鍵.

3.小紅：我計算出一個多邊形的內角和為2020。；老師：不對呀，你可能少加了一個角！則

小紅少加的這個角的度數(shù)是（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

【答案】D

【分析】設這個多邊形的邊數(shù)為小少加的角的度數(shù)為x,由多邊形內角和定理可得等式：

1805-2）=2020+無，由〃為整數(shù)即可確定尤的值.

【解析】設這個多邊形的邊數(shù)為％少加的角的度數(shù)為X,

由題意得：180（"-2）=2020+彳，

由于〃為整數(shù)，x為正數(shù)且小于180,

.'.40+%=180,

則x=140,

故選：D.

【點睛】本題考查了多邊形內角和定理，關鍵是設多邊形的邊數(shù)及少加的角的度數(shù)，由多邊

形內角和定理得到等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)確定少加的角.

4.劉師傅給客戶加工一個平行四邊形ABCD的零件，他要檢查這個零件是否為平行四邊形,

用下列方法不能檢查的是（）

A.AB//CD,AB=CDB.ZB=ZD,ZA=ZC

C.AB//CD,AD=BCD.AB=CD,BC=AD

【答案】c

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，兩組對

角分別相等的四邊形是平行四邊形，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，即可得A,

B,D可以判定四邊形ABCD是平行四邊形，不能通過一組對邊平行另一組對邊相等得到平

行四邊形，也可以是等腰梯形；即可求得答案.

【解析】A.AB//CD,AB=CD,根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知

本選項正確，但不符合題意；

B.ZB=ZD,ZA=ZC,根據(jù)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，可知本選項正確，

但不符合題意；

C.AB//CD,AD=BC,可知四邊形ABCD可以是平行四邊形，也可以是等腰梯形；故本

選項錯誤，符合題意；

D.AB=CD,BC=AD,根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可知本選項正確，

但不符合題意；

故選：C.

【點睛】此題考查了平行四邊形的判定.此題比較簡單，注意熟記平行四邊形的判定定理是

解此題的關鍵.

5.如圖，在YABCD中，所平分/ABC交AD于點孔CE平分/BCD交AD于點E,若

AB=6,AD=8,則EF的長度為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質可得=由角平分線可得=所以

ZAFB=ZABF,所以瓶=AB=6,同理可得DE=OC=6,貝I］根據(jù)EF=AF+DE—AD=4

即可求解.

【解析】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，AD=8,

AAD//BC,DC=AB=6.

：.ZAFB=ZFBC.

:郎平分/ABC,

ZABF=ZFBC.

：.ZAFB=ZABF.

AF=AB=6.

同理可得。E=OC=6.

EF=AF+DE-AD=6+6-8=4.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、角平分線的定義，解題的關鍵是掌握數(shù)學模型

“角平分線+平行線得到等腰三角形”.

6.下列命題：①等腰梯形的兩個底角相等；②兩個底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯

形的對角線等；⑤對角線相等的梯形是等腰梯形，其中真命題的個數(shù)是()

A.0B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)等腰梯形的性質對①③進行判斷；根據(jù)等腰梯形的判定方法對②④進行判斷.

【解析】解：等腰梯形的兩個底角相等，所以①為真命題；

兩個底角相等的梯形是等腰梯形，所以②為真命題；

等腰梯形的對角線相等，所以③為真命題；

對角線相等的梯形是等腰梯形，所以④為真命題.

故選：D.

【點睛】本題考查了命題：命題的“真”“假”是就命題的內容而言.任何一個命題非真即假.要

說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反

例即可.

7.如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,NC=60。，AD=6,AB=8,則BC=()

【答案】C

【分析】過。作DE7/AB交3c于E,得出四邊形A5ED是平行四邊形，推出AD=8E=6,

AB=ED,證出ADEC是等邊三角形，得至ljEC=CD=Z)E=8,即可求出答案.

【解析】解：過。作交2C于E,

?.?AD//BC,DE//AB,

四邊形ABED是平行四邊形，

:.AD=BE=6,AB=ED=CD,

'：ZC=60°,

:.ADEC是等邊三角形，

：.EC=CD=DE=AB=8,

，3C=6+8=14.

故選：c.

【點睛】本題主要考查對等腰梯形的性質，平行四邊形的性質和判定，等邊三角形的性質和

判定等知識點的理解和掌握，把等腰梯形轉化成平行四邊形和三角形是解此題的關鍵.

8.如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊，使點8落在點"處，若4=48。，Z2=32°,

則的度數(shù)為（）.

A.124°B.114°C.104°D.56°

【答案】A

【分析】根據(jù)折疊、平行四邊形的性質，三角形的內角和定理，即可求出答案.

【解析】解:

由折疊得，N4=Z5,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AB//CD,

Z5=N3,

???/3=/4,

又?.,N1=N3+N4=48。，

Z5=Z4=Z3=-x48°=24°,

2

在^ABC中，ZB=180°-Z5-Z2=180°-24°-32°=124°,

故選：A.

【點睛】本題考查折疊的性質、平行四邊形的性質，三角形的內角和定理等知識，由圖形直

觀得出各個角之間的關系是正確解答的關鍵.

9.如圖，在YABCD中，如果點E是邊AO的中點，且NA=/AEC,那么下列結論不正確

的是（）

A.CE=CDB.BF=2DF

C.AB=—EFD.S四邊形ABFE=55ApM

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質與等腰梯形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，逐個

判斷即可.

【解析】解：在口A8C。中，AD//BC,AD^BC,AB=CD,

'.,AD//B