專題04多邊形內(nèi)角和定理重難點(diǎn)題型

國【題型目錄】

題型一三角形內(nèi)角和定理的證明

題型二與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題

題型三與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題

題型四三角形折疊中的角度問題

題型五三角形外角的性質(zhì)

題型六多邊形的內(nèi)角和問題

題型七正多邊形的內(nèi)角、外角問題

題型八多邊形內(nèi)角和、外角和的綜合問題

51經(jīng)典例題一三角形內(nèi)角和的證明】

【知識(shí)歸納】

1、三角形的內(nèi)角：

①三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180。.

②推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

【例1】（2022秋.全國?八年級(jí)專題練習(xí)）定理：三角形的內(nèi)角和等于180。.

已知：AABC的三個(gè)內(nèi)角為—A,NB,NC.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證法1證法2

如圖1,延長(zhǎng)到點(diǎn)。，則如圖2,過點(diǎn)C作。E〃筋，-DE//AB,

ZACD=ZA+ZB（三角形的一個(gè)外角4=NB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）.N2=NA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

,/ZACD+ZACB=180°（平角的定義），又?.?/l+NACB+N2=180。（平角定義），

ZA+ZB+ZACB=180°（等量代換）..?.ZA+ZAC3+/B=180。（等量代換）.

C.證法2還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明過程才完整

D.證法2用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2021春?廣東深圳?七年級(jí)?？计谀┤鐖D，將AABC沿BC翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A，處，過點(diǎn)B

作BD〃AC交AC于點(diǎn)D,若/1=30。，Z2=140°,則/A的度數(shù)為（）

A.115°B.120°C.125°D.130°

【變式2］（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知AB、CD交于點(diǎn)。，且NA=38。，ZB=58°,ZC=44°,

貝.

【變式3］（2022秋.河南駐馬店?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在小學(xué)我們通過觀察、實(shí)驗(yàn)的方法得到了“三角

形內(nèi)角和是180?！钡慕Y(jié)論.

小明受到實(shí)驗(yàn)方法1的啟發(fā)，形成了證明該結(jié)論的想法：實(shí)驗(yàn)1的拼接方法直觀上看，是把N1和N2移動(dòng)

到/3的右側(cè)，且使這三個(gè)角的頂點(diǎn)重合，如果把這種拼接方法抽象為幾何圖形，那么利用平行線的性質(zhì)就

可以解決問題了.

(1)填空：小明的證明過程如下：

已知：如圖，三角形ABC.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證明：延長(zhǎng)BC,過點(diǎn)C作Q0〃3A.

???ZA=Z1(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，

ZB=Z2().

VZ1+Z2+ZACB=18O°(),

：.ZA+ZB+ZACB=180°.

(2)請(qǐng)你參考小明解決問題的思路與方法，畫出實(shí)驗(yàn)2幾何圖形，并寫出利用實(shí)驗(yàn)2證明該結(jié)論的過程.

(3)在實(shí)驗(yàn)過程中，小超不小心把三個(gè)角都撕下來，但他發(fā)現(xiàn)，除了可以利用原三角形三個(gè)頂點(diǎn)外，還可以

在原三角形所在的平面內(nèi)，將撕下來三個(gè)角的頂點(diǎn)重合在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，使撕下來角的兩邊分別平行(或

重合)于原三角形的兩邊，也可以證明三角形內(nèi)角和是180。.請(qǐng)你參考小超解決問題的思路與方法，畫出

幾何圖形，并寫出一種證明該結(jié)論的過程.

【經(jīng)典例題二與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】

【例2】(2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，ZC=45°,〃=30。，小

明得到下列結(jié)論：

①如果N2=30。，則AC〃￡?E；

③如果則N2=3O°；

④如果/CAD=150。，貝U/4=/C.

其中正確的結(jié)論有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AE平分/SAC,BELAEE,ED//AC,/BAE=34。,

D.104°

【變式2］（2022春?廣西南寧?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABC。沿跖折疊后，點(diǎn)A,8分別落

在A,8的位置，再沿邊將/A折疊到處，已知/1=50。，則'

【變式3］（2022秋?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1,在三角形A3C中，/ABC=90。，直線。與邊AC、AB

分別交于D、E兩點(diǎn)，直線6與邊BC、AC分別交于b、G兩點(diǎn)，且a〃從

AAA

⑴若4￡EM4。，求-3PG的度數(shù)；

（2）如圖2,尸為邊AB上一點(diǎn)，連接P/，若ZPbG+一段6=180。，請(qǐng)你探索/PPG與NAED的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由；

⑶如圖3,若/DEB=m,延長(zhǎng)A3交直線匕于點(diǎn)。，在射線。。上有一動(dòng)點(diǎn)P,連接尸E、PQ,請(qǐng)直接寫出

NPEQ、NEPQ、尸。尸的數(shù)量關(guān)系（用含根的式子表示）.

3【經(jīng)典例題三與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】

【例3】（2022秋.山東青島.八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖在AABC中，BO,CO分別平分/A3C,NACB,交于

0,CE為外角/AC。的平分線，8。的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)E,記NA4c=N1,NBEC=N2,則以下結(jié)論

①NBOC=3/2,②Z1=2N2,?ZBOC=900+Zl,?ZBOC=90°+Z2,其中正確的是（）

A.①②③B.①③④C.①④D.②④

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022秋?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將AASC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，且&V平

分/ABC,C4'平分/ACS,若ZBAC=110。，Zl=45°,則N2的度數(shù)為（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【變式2］（2022秋.廣東廣州?八年級(jí)廣州市第四十一中學(xué)?？计谀┤鐖D，中，44=/，NABC與

-ACD的平分線交于點(diǎn)A，得/4；/ABC與/ACD的平分線交于點(diǎn)A,得……，與

幺值⑦的平分線交于點(diǎn)&。23,得乙勺）33,則乙%23=

【變式3］（2022秋?四川南充?八年級(jí)四川省南充高級(jí)中學(xué)校考期中）如圖，在"LBC中，AO平分-54C,

點(diǎn)P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE上AD交2C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴若NB=35。，ZACB=85°,求—E的度數(shù);

⑵若NACB=66。，且，3=/。⑦，求NE的度數(shù).

【經(jīng)典例題四三角形折疊中的角度問題】

【例4】（2022秋?河南南陽?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在AABC中，NA=60。，將AABC沿。E翻折后，點(diǎn)A

落在BC邊上的點(diǎn)4處.若Z/VEC=70。，則ZAT>E的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022秋?湖北武漢.八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1,△ADC中，點(diǎn)E和點(diǎn)尸分別為AD,AC上的動(dòng)

點(diǎn)，把△ADC紙片沿斯折疊，使得點(diǎn)A落在△ADC的外部A處，如圖2所示.若/1-/2=42。，則NA度

數(shù)為（）

A.20°B.21°C.21.5°D.22.5°

【變式2］（2022秋?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=^0°,ZA<NB,"是

斜邊A2的中點(diǎn)，將以。1/沿直線CM折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)。處，如果C￡>恰好與AB垂直，則NA=°.

【變式3】（2022秋?河南鄭州?八年級(jí)?？计谀?）如圖，把AABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)4處，試

探究Nl、N2與/A的關(guān)系；

（2）如圖2,若N1=140°,Z2=80°，作ZABC的平分線BN,與ZACB的外角平分線CN交于點(diǎn)N,求ZBNC

的度數(shù)；

（3）如圖3,若點(diǎn)A落在AABC內(nèi)部，作/ABC,NACB的平分線交于點(diǎn)A,此時(shí)Nl,Z2,NBAC滿

足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明過程.

丹【經(jīng)典例題五三角形外角的性質(zhì)】

【知識(shí)歸納】

1、三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角，叫做三角形的外角.

圖中的NCBD稱為4ABC的一個(gè)外角

2、注意：

①“外角”是三角形的外角，不是它相鄰內(nèi)角的外角.對(duì)三角形的外角,稱某個(gè)角是某個(gè)三角

形的外角，而不稱三角形某個(gè)角的外角

②三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

③三角形的外角和等于360。.

【例5】（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)E在線段DC上，5.ZADC=ZAEB=ZBCD=a,AM,

8M分別是6鉆，的平分線，若N4AZB的度數(shù)可用含。的代數(shù)式表示為（）

M

3

A.450+-aB.90°--aC.135°--(zD.-a-90°

2222

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022秋?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在AABC中，。是三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)。作

ZODC=ZAOC,交邊于點(diǎn)D.若=則/3QD的度數(shù)為（）

222?一‘

【變式2］（2022秋?河北張家口?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與的

交點(diǎn)為C,且NA,NB,-E保持不變.為了舒適，需調(diào)整”的大小，使NEED=110°,則圖中“應(yīng)

（填“增加”或“減少”）度.

【變式3］（2022秋?全國?八年級(jí)期中）如圖，在AABC中，AE是的高.

⑴如圖1,AO是N54C的平分線，若/3=38。，ZC=62°,求m場(chǎng)的度數(shù).

（2）如圖2,延長(zhǎng)AC到點(diǎn)孔/C4E和/BCV的平分線交于點(diǎn)G,求NG的度數(shù).

j【經(jīng)典例題六多邊形的內(nèi)角和問題】

【知識(shí)歸納】

多邊形的外角：

（1）多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做這個(gè)多邊形的外角，在每個(gè)頂點(diǎn)處取這個(gè)多

邊形的一個(gè)外角，它們的和叫做這個(gè)多邊形的外角和.

（2）任意多邊形的外角和等于360。.

多邊形的內(nèi)角：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）-180°

【例6】（2022秋?山西呂梁?八年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明一筆畫成了如圖所示的圖形，則

ZA+N3+NC+/O+NE+Nb+/G的度數(shù)為（）

A.360°B.540°C.720°D.無法計(jì)算

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022春?江蘇?七年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1620。,

則原來多邊形的邊數(shù)是（）

A.11B.12C.11或12D.10或11或12

【變式2］（2023春?七年級(jí)單元測(cè)試）己知AABC中，ZA=65°,將NRNC按照如圖所示折疊，若

ZADB'=35°,貝！M+N2+N3=°.

【變式3］（2021秋?福建龍巖?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）RtAABC中，NC=90。，點(diǎn)。、E分別是AABC邊AC、

BC上的點(diǎn)，點(diǎn)尸是一動(dòng)點(diǎn).4ZPZM=Z1,NPEB=N2,ZDPE=Za.

即圖2

（2）若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則Na、Nl、N2之間的關(guān)系為：

⑶若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，則/a、N1、/2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由.

（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AABC形外，如圖（4）所示，則/a、N1、/2之間的關(guān)系為：

丹【經(jīng)典例題七正多邊形的內(nèi)角、外角問題】

【例7】（2022.四川綿陽??？级＃┤鐖D，在正六邊形ABC。所中，M,N分別為邊CD,BC的中點(diǎn)，AN

與BM相交于點(diǎn)P,則ZAPM的度數(shù)是（）

B.120°C.118°D.122°

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2020春.河北石家莊.九年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，以正五邊形ABCDE的對(duì)角線AC為邊作正方

形ACTG,使點(diǎn)5落在正方形AC/G外，則NE4G的大小為（）

AG

B.28°C.36°D.72°

【變式2】(2022秋?遼寧撫順.八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，將透明直尺疊放在正五邊形之上，若正五邊形有兩

個(gè)頂點(diǎn)在直尺的邊上，且有一邊與直尺的邊垂直.則/a=

【變式3】(2022秋?湖北荊州.八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))如圖1,點(diǎn)、M,N分別在正五邊形A2CL比的邊BC,

CD上,BM=CN,連結(jié)AM,8N相交于”.

圖1圖2

(1)求正五邊形ABCDE外角的度數(shù);

(2)求的度數(shù);

(3)如圖2,將條件中的“正五邊形換成，正六邊形ABCDEF1，，其他條件不變，試猜想/AH8的度數(shù).

【經(jīng)典例題八多邊形的內(nèi)角和、外角和的綜合問題】

【例8】(2022秋?全國?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，七邊形ABCDEPG中，EF,班的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,若

ZABC,NBCD,ZCDE,ZDEF的外角的度數(shù)和為230。，則/尸的度數(shù)為（)

A.40°B.45°C.50°D.55°

【變式訓(xùn)練】

【變式1】（2022秋?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，六邊形ABCDEF中,N4ZB,NC,NO的外角都相等,

即N1=N2=N3=N4=62。，分別作戶和BEE4的平分線交于點(diǎn)P,則一尸的度數(shù)是（)

【變式2］（2022?八年級(jí)單元測(cè)試）（正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等）如圖，在正八邊形ABCDEFG//中，對(duì)

角線BF的延長(zhǎng)線與邊DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)則ZM的大小為

【變式3】（2022秋?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1,四邊形ABC。中，點(diǎn)E在邊A8上，/BCE與/BEC

互余，過點(diǎn)￡作成7口），交A。于點(diǎn)F.

圖1

圖2

G

（1）若EP_LCE,求證：NAEF=NBCE；

（2）如圖2,EG平分/BEC交。C延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,ZBCD+ZECD=180°.點(diǎn)H在尸D上，連接￡77,CH,

/AHE+/BCH=90°.當(dāng)/。+NAE/=2NG時(shí)，判斷線段CH與CE的大小關(guān)系，并說明理由.

【培優(yōu)檢測(cè)】

1.（2022秋?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，。是A3上一點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，BE,CD相交于點(diǎn)凡

ZA=70°,ZACD=20°,ZABE=25°,則—BFC的大小是（）

A.90°B.95°C.105°D.115°

2.（2022秋.河北邯鄲.八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，將三角形紙片43c翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)A的位置，折痕為

DE.若4=30。,/8。4'=80。，則/CE4'的度數(shù)為（）

A.15°B.20°C.30°D.40°

3.（2022秋?廣東梅州?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，ABHCD,ZA=3T,ZC=63°,那么NF等于（）

4.（2022秋?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在"LBC中，/A3C和NACB的外角平分線交于點(diǎn)O,設(shè)/4=加,

貝|JZBOC=（）

17]vn

A.90°-7/zB.90°——C.180°-2mD.180°--

22

5.（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將AABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，且&V平分/ABC,CA'

平分/ACS,若Z&4，C=110。，則/ADE的度數(shù)為（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

6.（2022秋?重慶巴南?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在AABC中，AB^AC,ZA=40°,E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),

—ABC與—ACE的平分線相交于點(diǎn)。，則一。等于（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

7.（2022秋.浙江杭州.九年級(jí)杭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，若《〃射

則Na—乙0=()

C.84°D.90°

8.（2021春?湖北武漢?九年級(jí)?？甲灾髡猩┤鐖D，AABC中，AB=AC,。、E分別為AB、AC上的點(diǎn),

/3?！?、/。瓦）的平分線分別交3。于點(diǎn)尸、6,若ZBGE=100。，則/ADE的度數(shù)為（）

A.18°B.20°C.25°D.30°

9.(2022?全國?七年級(jí)專題練習(xí))如圖，直線AB〃CD,點(diǎn)尸在直線A8上，點(diǎn)N在直線CD上，ZEFA=25°,

ZFGH=90°,NHMN=25。,NCN尸=30°,則NG"M=()

A.45°B.50°C.55°D.60°

10.（2021秋?浙江臺(tái)州?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）圖1是二環(huán)三角形，S=NAI+NA2+...+NA6=360。，圖2

是二環(huán)四邊形，S=NA/+NA2+…+/人8=720。，圖3是二環(huán)五邊形，S=NA/+NA2+...+NAIO=1O8O。…聰明

A.1440B.1800C.2880D.3600

11.（2022秋.天津.八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知AABC中，ZA=5O°,BD±AC^-D,CEJ.AB于E,BD、CE

交于點(diǎn)F,徘BC、FCB的平分線交于點(diǎn)。，則/30C的度數(shù)為.

12.（2022秋?天津?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AABC中，■是NBAC的外角NE4B的平分線，交CB的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E,BG是NABC的外角的平分線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若AF=BG=AB,則NF的大

小=（度）.

13.（2022秋?浙江杭州?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在44BC中，ZACB=90°,ZB-ZA=10°,。是A3上

一點(diǎn)，將AACD沿。翻折后得到ACED，邊CE交AB于點(diǎn)E若力EF中有兩個(gè)角相等,則ZACD=.

14.（2022秋?山西大同?八年級(jí)大同市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，P是AABC的/ABC和NAC3的

外角的平分線的交點(diǎn)，若/P=40°,則NA=.

A

B

CE

15.（2021秋.重慶渝北.八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABC。中，ND4B的角平分線與NA8C的外角平

分線相交于點(diǎn)P,且"+/C=200。，則/P=.

16.（2022春.江蘇泰州?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形A3C。中，NZ14B的角平分線與NA8C的外

角平分線相交于點(diǎn)P，且NO+/C=260。，則NP=.

17.（2022春?吉林長(zhǎng)春.七年級(jí)統(tǒng)考期末）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)

容.

現(xiàn)在我們時(shí)論三角形的外角及外角和.

如圖9.1.9,一個(gè)三角形的每一個(gè)外角對(duì)應(yīng)一個(gè)相鄰的內(nèi)角和兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角.

三角形的外角寫內(nèi)角有什么關(guān)系呢？

在圖9.1.10中，顯然有

"BD（外角）+ZABC（相鄰的內(nèi)角）=180°

那么外角與其他兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角又有什么關(guān)系呢？

依據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°,我們有ZACB+ZBAC+ZABC=180°.

由上面兩個(gè)式子，可以推出

ZCBD=180°-ZABC.

ZACB+ZBAC=180°-ZABC.

因而可以得到你與你的同伴所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：

Z.CBD=ZACB+ZBAC.

由此可知，三角形的外角有兩條性質(zhì)：

1.三角形的一個(gè)外角等于與它不相同的兩個(gè)內(nèi)角的和.

2.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.

【感知】如圖①，在四邊形的C中，EB、ED分別是邊A￡、CF的延長(zhǎng)線，我們把ZB￡F、/。正稱為四

邊形AEFC的外角，若NA+NC=260。，則/BEF+NDFE=___________度.

【探究】如圖②，在四邊形AECF中，EB、ED分別是邊AE、AF的延長(zhǎng)線，我們把ZBEC、/DPC稱為

四邊形AECF的外角，試探究NA、NC與"EC、NDPC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【應(yīng)用】如圖③，根、分別是四邊形的C的外角NDEE、的平分線，若NA+/C=210。，則

的度數(shù)為_______________________

18.（2022?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）剪紙片：有一張長(zhǎng)方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將

其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這

樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣

共有4張紙片；……；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張

四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為.

19.（2022春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)五角星圖案如圖.已知五邊形AAAA4a的各個(gè)內(nèi)角都相等，分別求

/昂線的度數(shù).

20.（2022秋.天津河西?八年級(jí)統(tǒng)考期中）探究一：已知：如圖1,NEDC與—ECD分別為△ADC的兩個(gè)外

角.

試探究NA與NEDC+/ECD的數(shù)量關(guān)系（即列出一個(gè)含有/A,ZFDC,—ECD的等式，直接寫出

答案即可）;

探究二：已知：如圖2,在ZXADC中，DRCP分別平分4DC和2ACD,求：NP與/A的數(shù)量關(guān)系；

探究三：若將探究2中的△ADC改為任意四邊形ABCD呢？

即：如圖3,在四邊形ABCD中，DRCP分別平分—4X7和/BCD,試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究-P與/4+NB的

數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

21.（2022秋.全國?八年級(jí)專題練習(xí)）認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提

出的問題.

(1)探究1：如圖1,在ULBC中，。是—ABC與—AC3的平分線5。和CO的交點(diǎn)，試分析—3OC與NA有

怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

⑵探究2：如圖2中，。是NA5C與外角—ACD的平分線8。和CO的交點(diǎn)，試分析/3OC與NA有怎樣的

關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

(3)探究3：如圖3中，O是外角/ZJ3C與外角/EC3的平分線8。和CO的交點(diǎn)，則N3OC與NA有怎樣的

關(guān)系？(直接寫出結(jié)論)

(4)拓展：如圖4,在四邊形A3CD中，。是—ABC與/DCB的平分線3。和CO的交點(diǎn)，則-3OC與NA+ND

有怎樣的關(guān)系？(直接寫出結(jié)論).

⑸運(yùn)用：如圖5,五邊形

ABCDE中，乙BCDNEDC的外角分別是N尸CD,NGZ)C,CP,D尸分別平分NFCD和NGDC且相交于點(diǎn)P,若

ZA=140。，度.

22.(2022秋?山西呂梁?八年級(jí)統(tǒng)考期中)請(qǐng)認(rèn)真閱讀下列材料，并完成相應(yīng)學(xué)習(xí)任務(wù).

探索四邊形的內(nèi)角和

數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題:我們知道,三角形的內(nèi)角和等于180。，正方形、長(zhǎng)方形的內(nèi)角和都等于360。.那

么，任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和是否也等于360。呢？你能利用三角形內(nèi)角和定理證明四邊形的內(nèi)角和等于

360。嗎？

“勤奮小組’'的思路是：如圖1,連接對(duì)角線AC,則四邊形A3CD被分為兩個(gè)三角形，即AABC和AACD.由

止匕可得，ZBAZ)+ZB+ZfiCD+Z￡)=Zl+Z2+Zfi+Z3+Z4+ZD=(Zl+Z4+ZD)+(Z2+ZS+Z3)

VZl+Z4+ZD=180°,Z2++ZS+Z3=180°

/BAD++/BCD+/。=360。.即四邊形A3CD的內(nèi)角和是360°.

“智慧小組”受至「勤奮小組”的啟發(fā)，他們發(fā)現(xiàn)，在四邊形的一條邊上取一點(diǎn)E,或在四邊形內(nèi)部取一點(diǎn)E,

也可以將四邊形分為幾個(gè)三角形(如圖2或圖3),進(jìn)而證明四邊形內(nèi)角和等于360。.

“創(chuàng)新小組”的思路是：如圖4,在四邊形外部取一點(diǎn)E,分別連接AE,BE,CE,DE...

任務(wù)一：

勤奮小組在探索四邊形內(nèi)角和的過程中，主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是()

A.從一般到特殊B.轉(zhuǎn)化C.抽象

任務(wù)二：

在圖2和圖3中，選擇一種，按照智慧小組的思路.求證：ZBAD+ZABC+ZBCD+ZCDA=360°；

任務(wù)三：

如圖4,請(qǐng)按照創(chuàng)新小組的思路求證：ZBAD+ZABC+ZBCD+ZCDA=360°.

23.(2022秋?遼寧鞍山?八年級(jí)統(tǒng)考期中)RtZVRC中，NC=90。，點(diǎn)。、E分別是AABC邊AC、3c上的

點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn).ZPDA=Z1,ZPEB=Z2,ZDPE=Za.

圖1圖2

(1)若點(diǎn)尸在邊AB上，如圖1所示，且4z=5O。，則Nl+N2=°；

⑵若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，則/0、/I、N2之間的關(guān)系為；

(3)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊的延長(zhǎng)線上，DP與BE的交點(diǎn)、為M,如圖3所示，則Na、4、N2之間有何關(guān)系？

猜想并說明理由.

24.(2022秋.河北滄州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))在四邊形ABCD中，^BAD=14O°,ZADC=8O。.

F

(1)如圖1,若NB=NC,則NC=:

（2）如圖2,若NABC的平分線做交。。于點(diǎn)E,且理〃AD.求NC的度數(shù)；

（3）若ZA3c和ZDCB的平分線交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)54,8交于點(diǎn)尸（如圖3）.將原來?xiàng)l件“々&1。=140。,

NADC=80?！备臑椤癗T=40。"，其他條件不變，求ZBEC的度數(shù).

25.（2022春.江蘇鹽城?七年級(jí)?？计谥校﹩栴}：若8〃尸。，點(diǎn)A在直線8上，點(diǎn)B在直線PQ上，點(diǎn)、E

為CD,尸。之間一點(diǎn)，探NAEB,與NE8。之間的關(guān)系.

⑴如圖1,延長(zhǎng)AE與尸。交于點(diǎn)尸（方法一）;如圖2,過點(diǎn)E作G"〃CL>（方法二），發(fā)現(xiàn):

ZAEB=ZEAD+ZEBQ.請(qǐng)選擇一種方法說明.

（2）小明同學(xué)進(jìn)行了更進(jìn)一步的思考：直線點(diǎn)A、C在直線。上，點(diǎn)、B、。在直線6上，直線CE,BE

分別平分/ACD,ZABD,且交于點(diǎn)E.

①如圖3,若NAC￡>=40o,NAB￡>=70。，則NCEB=

②如圖4,若448=無。,乙45。=70。，貝l]NC￡B=.（用含x的代數(shù)式表示）

(3)如備用圖，射線0尸與射線OQ相交于點(diǎn)。，點(diǎn)A、C在射線0尸上，ZAOB=n。，點(diǎn)B、。在射線3上,

其中A、B是定點(diǎn),C,。是動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)，直線CE,BE分別平分/ACD,且交于點(diǎn)

E.若乙如)=70。，ZACD=m°,直接寫出NCE3的度數(shù).(用含相，”的代數(shù)式表示)

26.(2022春.江蘇揚(yáng)州?七年級(jí)?？计谥?如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，顯然有NA+/3=NC+/O；

閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問題：

(1)如圖2,AP、CP分別平分/BAD、NBCD,若NABC=36。，ZADC=16°,求一尸的度數(shù)；

(2)①在圖3中，直線AP平分/BAD的外角NE4。，"平分ZBCD的外角/BCE,猜想一尸與—3、ZD

的關(guān)系，并說明理由.

②在圖4中，直線AP平分254。的外角/E4￡),CP平分NBCD的外角N3CE,猜想—P與NB、的

關(guān)系，直接寫出結(jié)論，無需說明理由.

③在圖5中，AP平分N&LD,CP平分N3CD的外角4BCE,猜想一尸與—3、NO的關(guān)系，直接寫出結(jié)

論，無需說明理由.

專題04多邊形內(nèi)角和定理重難點(diǎn)題型

旨【題型目錄】

題型一三角形內(nèi)角和定理的證明

題型二與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題

題型三與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題

題型四三角形折疊中的角度問題

題型五三角形外角的性質(zhì)

題型六多邊形的內(nèi)角和問題

題型七正多邊形的內(nèi)角、外角問題

題型八多邊形內(nèi)角和、外角和的綜合問題

幺【經(jīng)典例題一三角形內(nèi)角和的證明】

【知識(shí)歸納】

1、三角形的內(nèi)角：

①三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.

②推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

【例1】（2022秋?全國?八年級(jí)專題練習(xí)）定理：三角形的內(nèi)角和等于180。.

已知：AABC的三個(gè)內(nèi)角為/A,/B,ZC.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證法1證法2

如圖1,延長(zhǎng)3C到點(diǎn)D,貝。如圖2,過點(diǎn)C作?！啊?.?￡）￡〃川,

ZACD=ZA+ZB（三角形的一個(gè)外角4=/B（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）.N2=NA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

NACD+NACB=18O。（平角的定義）,又?.?/l+NAC3+/2=180。（平角定義），

/.ZA+ZB+ZAC5=180°（等量代換）..?.ZA+ZACB+/B=180。（等量代換）.

下列說法正確的是（）A.證法1采用了從特殊到一般的方法證明了該定理

B.證法1用合理的推理證明了該定理

C.證法2還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明過程才完整

D.證法2用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明的常見思路去判斷即可.

【詳解】三角形外角和性質(zhì)是建立在三角形內(nèi)角和定理的基礎(chǔ)上的，不能循環(huán)證明，

故4、8都不符合題意；

證法2用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理，故不需要分三角形的形狀，

故C不符合題意；。符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的證明，熟練掌握嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩ɡ碜C明是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2021春?廣東深圳?七年級(jí)?？计谀┤鐖D，將△ABC沿BC翻折，使點(diǎn)A落在

點(diǎn)A'處,過點(diǎn)B作BD〃AC交AC于點(diǎn)D,若/1=30。，Z2=140°,則/A的度數(shù)為（）

A.115°B.120°C.125°D.130°

【答案】D

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到/BCD=/CBD,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理

即可得到結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)/ABD=a,

:將△ABC沿BC翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A，處，

.,.ZABC=ZA,BC=30°,ZACB=ZA,CB,ZA=ZA\

VAC/7BD,

/.ZACB=ZCBD,

；.NBCD=NCBD,

；/2=140。，

.,.ZCBD=ZBCD=1(180°-140°)=20°,

；/CBA'=30°,

.-.ZA,BD=10°,

NA'=Z2-NA'BD=140°-10°=130°,

，NA=NA'=130°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì),

正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知AB、8交于點(diǎn)。，且

ZA=38°,ZB=58°,NC=44°,貝！I/O=.

【答案】640

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出答案；

【詳解】解:：VZA+ZD+ZAOD=ZC+ZB+ZCOB=180°,ZAOD=ZCOB

NA+ND=/C+/B,

ZD=ZC+ZB-ZA=64°；

故答案為：64°；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

【變式3］（2022秋.河南駐馬店?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在小學(xué)我們通過觀察、實(shí)驗(yàn)的方

法得到了“三角形內(nèi)角和是180。”的結(jié)論.

小明受到實(shí)驗(yàn)方法1的啟發(fā)，形成了證明該結(jié)論的想法：實(shí)驗(yàn)1的拼接方法直觀上看，是把

N1和N2移動(dòng)到/3的右側(cè)，且使這三個(gè)角的頂點(diǎn)重合，如果把這種拼接方法抽象為幾何圖

形，那么利用平行線的性質(zhì)就可以解決問題了.

⑴填空：小明的證明過程如下:

已知：如圖，三角形A3C.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證明：延長(zhǎng)BC,過點(diǎn)C作。欣〃54.

.-.ZA=Z1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）,

Z5=Z2

Zl+Z2+ZACB=180°

ZA+ZB+ZACB=180°.

（2）請(qǐng)你參考小明解決問題的思路與方法，畫出實(shí)驗(yàn)2幾何圖形，并寫出利用實(shí)驗(yàn)2證明該

結(jié)論的過程.

（3）在實(shí)驗(yàn)過程中，小超不小心把三個(gè)角都撕下來，但他發(fā)現(xiàn)，除了可以利用原三角形三個(gè)

頂點(diǎn)外，還可以在原三角形所在的平面內(nèi)，將撕下來三個(gè)角的頂點(diǎn)重合在平面內(nèi)任意一點(diǎn),

使撕下來角的兩邊分別平行（或重合）于原三角形的兩邊，也可以證明三角形內(nèi)角和是

180°.請(qǐng)你參考小超解決問題的思路與方法，畫出幾何圖形，并寫出一種證明該結(jié)論的過

程.

【答案】（1）兩直線平行，同位角相等；平角定義

⑵見解析

（3）見解析

【分析】（1）由證明過程，結(jié)合具體的圖形可得答案；

（2）過點(diǎn)A作。E〃BC,利用平行線的性質(zhì)以及平角的定義可得結(jié)論；

（3）在BC邊上任取一點(diǎn)Q,分別作DF//AC,利用平行線的性質(zhì)和平角的定義

可得答案.

【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)BC,過點(diǎn)C作CM〃血.

/.ZA=Z1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

/B=/2（兩直線平行，同位角相等）.

VZl+Z2+ZACB=180°（平角定義），

ZA+ZB+ZACB=180°.

故答案為：兩直線平行，同位角相等；平角定義；

（2）證明：如圖2,過點(diǎn)A作

圖2

■:DE//BC,

：.ZB=ZBAD,ZC=ZCAE.

,：ZBAD+ZBAC+ZCAE=180°,

：.ZBAC+ZB+ZC=180°；

(3)證明：如圖3,過點(diǎn)。作。石〃AB,DF//AC,

E

BD

圖3

9：DE//AB,

：?/B=/CDE,ZBFD=ZEDF.

'：DF//AC,

:?/C=/BDF,ZBFD=ZA.

：.ZA=ZEDF.

,/ZBDF+ZEDF+ZCDE=180°,

???ZBAC+ZB+ZC=180°.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，掌握平行線的性質(zhì)以及平角的定義是解決問題的前

提.

41經(jīng)典例題二與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】

【例2】（2022秋.八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，NC=45。,

ND=30。，小明得到下列結(jié)論：

①如果N2=3O。，則AC〃DE；

②44E+NC4D=180。；

③如果3C〃AD,則N2=3O。；

④如果NC4D=150。，則N4=NC.

其中正確的結(jié)論有（）

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定和三角形內(nèi)角和定理逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：：N2=30。，ZCAB=90°,

E

B

.\Z1=6O°,

VZE=60°,

.'.Z1=ZE,

AAC//DE,故①正確；

'：ZCAB=ZDAE=90°,

???NBAE+NC4D=90。-N1+90。+/1=180。，故②正確；

VBC//AD,N3=45。，

???N3=N8=45。，

???N2+N3=NDAE=90°,

???N2=45。，故③錯(cuò)誤；

VZCAZ)=150°,ZBAE+ZCAZ)=180°,

.,.ZBAE=30°,

VZE=60°,

ZBOE=/BAE+/E=90。,

???Z4+ZB=90°,

VZB=45°,

???Z4=45°,

VZC=45°,

Z4=ZC,故④正確；

所以其中正確的結(jié)論有①②④共3個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理

是解此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

【變式1](2022?全國?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，已知AE平分NR4C,BELAE于E,ED//AC,

NBAE=34。，那么()

A

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)計(jì)算即可；

【詳解】平分

，ZBAE=ZCAE=34°

,JED//AC

：.ZCAE+ZDEA=18O°

.,.ZD￡A=180°-34°=146°

?.*ZAED+ZAEB+ZBED=360°

：.ZBED=36Q°-146°-90°=124°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，結(jié)合周角的定理計(jì)算是解題的關(guān)

鍵.

【變式2］（2022春?廣西南寧?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，

點(diǎn)A,8分別落在A,8的位置，再沿邊將/A折疊到處，已知Nl=50。，則/EE”

【答案】15

【分析】由折疊可知：ZBFE=ZB'FE,ZAEF=ZA'EF,ZA'EG=ZHEG,由三角形的內(nèi)

角和定理結(jié)合平行線的性質(zhì)可求解NA'EP=115。，過8作則N￡）G8=NG8M,

結(jié)合平行線的性質(zhì)易求NDGg=40。，即可得WGE=40。，由直角三角形的性質(zhì)可求解N/ffiG

=50°,進(jìn)而可求解.

【詳解】解：由折疊可知：ZBFE=ZB'FE,NAEF=NA'EF,/A'EG=NHEG,

"：Zl+ZBFE+ZB'FE=180°,Zl=50°,

：.ZBFE=65°,

'：AD//BC,

NAEF+NBFE=180°,

NAE尸=115。，

JZAEF=115°,

過8作RM//AD,則ZDGB'=/GB'M,

\*AD//BC,

：.NMBF=N1,

AZ1+ZDGB'=ZGB'F=90°,

???NDGB』90。-50°=40°,

???NAGE=NDGB』40。,

*/NA=90。,

ZHEG=ZA'EG=90°-40°=50°,

ZA'EH=2x50°=100°,

：.ZFEH=ZA'EF-ZA'EH=U5°-100°=15°.

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性

質(zhì)、三角形內(nèi)角和及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3](2022秋?全國?八年級(jí)專題練習(xí))如圖1,在三角形A5c中，^ABC=90°,直線

。與邊AC、AB分別交于。、￡兩點(diǎn)，直線人與邊3C、AC分別交于尸、G兩點(diǎn)，且。〃b.

(1)若ZAEZE4。，求/5FG的度數(shù)；

(2)如圖2,尸為邊A5上一點(diǎn)，連接尸/，若/尸尸G+/5尸G=180。，請(qǐng)你探索/P尸G與NA￡D

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,若NDEB二m,延長(zhǎng)AB交直線人于點(diǎn)。，在射線DC上有一動(dòng)點(diǎn)P,連接PE、P。，

請(qǐng)直接寫出/PE。、NEPQ、PQ尸的數(shù)量關(guān)系（用含機(jī)的式子表示）.

【答案】（1）134°

（2）ZPFG+ZAED=9Q°,理由見解析

⑶/PEQ+NEPQ+NPQF=m或PEQ+ZEPQ-NPQF=m

【分析】（1）延長(zhǎng)AB,結(jié)合平行線性質(zhì)和外角定理即可.

（2）延長(zhǎng)AB,結(jié)合平行線性質(zhì)、外角定理和三角形內(nèi)角和即可.

（3）結(jié)合題意畫出圖形，分類討論即可.

【詳解】（1）解：延長(zhǎng)A3交萬于。點(diǎn)，

b=90°,

.:4/G=/Q+ZQB/=44°+90°=134°.

(2)解：延長(zhǎng)A3交6于。點(diǎn)，

圖2

/BFG+/QFB=18Q°,

.:NQFB=/PFG,

在RtAQFB中^QFB+^Q=90°,

.-.^PFG+^Q=90°,

又Y/AEDUNQ,

NPFG+/AED=90。,

(3)解：①當(dāng)點(diǎn)尸在。C的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖,

A

在AQEP中，

XPEQ+XEPQ+XEQP^1SO°,

/EQP=/EQF+NPQF,

^EQF=180°-m,

ZPEQ+ZEPQ+ZEQF+^PQF=180°,

^PEQ+^EPQ+(180°-m)+^PQF=18Q°,

NPEQ+/EPQ+/PQF=m.

②當(dāng)點(diǎn)尸在。C上時(shí)，如圖，

圖3

同理可得,PEQ+NEPQ-NPQF=m.

綜上，NPEQ,ZEPQ,一尸。尸的數(shù)量關(guān)系為：

NPEQ+/EPQ+/PQF=m或PEQ+NEPQ-NPQF=m.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)、外角定理和三角形內(nèi)角和，綜合性較強(qiáng)，畫出輔助線是關(guān)鍵,

方法不唯一.

w【經(jīng)典例題三與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】

【例3】（2022秋?山東青島?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖在