專題32函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題（25題）

一、填空題

1.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)2的坐標(biāo)為（-8,6）,過(guò)點(diǎn)臺(tái)分別作

x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A,直線y=-2x-6與交于點(diǎn)。.與>軸交于點(diǎn)￡.動(dòng)點(diǎn)M在線

段BC上，動(dòng)點(diǎn)N在直線>=-2尤-6上，若AAAW是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)

2.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=-gx+2與x軸，y軸分別交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)。是線段

上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)X是直線>=尤+2上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)磯〃?,0）,網(wǎng)〃?+3,0）,連接3E,DF,HD.當(dāng)

鹿+及取最小值時(shí)，38H+5D”的最小值是.

3.（2023?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)y=a（x-l）（x-5）［a>g］的圖像與x軸交于點(diǎn)A、B,與V軸

交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)“（3,1）的直線將AABC分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，貝匹的值

為.

二、解答題

4.（2023?黑龍江牡丹江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，YABCD的頂點(diǎn)B,C在無(wú)軸上，D

在y軸上，OB,OC的長(zhǎng)是方程Y-6x+8=0的兩個(gè)根（C?>OC）.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

⑴求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

⑵若OD:OC=2:1,直線y=-x+〃分別交工軸、y軸、AO于點(diǎn)E,F,M,且M是AZ）的中點(diǎn)，直線E廳交

DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,求tan/MM）的值；

⑶在（2）的條件下，點(diǎn)P在y軸上，在直線跖上是否存在點(diǎn)。，使△NPQ是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形？若

存在，請(qǐng)直接寫出等腰三角形的個(gè)數(shù)和其中兩個(gè)點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A,B,C在0。上運(yùn)動(dòng)，AB2=BC2+AC2,延長(zhǎng)AC至點(diǎn)

使得/DBC=NCAB,點(diǎn)E是弦AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重合），過(guò)點(diǎn)E作弦的垂線，交于點(diǎn)尸,

交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,交。。于點(diǎn)M（點(diǎn)M在劣弧AC上）.

（1）5□是0。的切線嗎？請(qǐng)作出你的判斷并給出證明；

⑵記ABDGAABGAADB的面積分別為品S2,S,若S/S=（Sj2,求（tanZ））2的值；

（3）若。。的半徑為1,設(shè)=FE-FN-.—1—+—1—=y,試求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式，并寫出

\BCBNAEAC'

自變量X的取值范圍.

6.(2023?湖南?統(tǒng)考中考真題)我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)％=//+6/+<;［與％=4/+么無(wú)+。2同時(shí)滿

足向三+屹+4>+,2-⑷=°，瓦-瓦2吟0,則稱函數(shù)%與函數(shù)內(nèi)互為“美美與共”函數(shù).根據(jù)該約定,

解答下列問(wèn)題：

(1)若關(guān)于x的二次函數(shù)％=2/+履+3與%=〃V+x+〃互為“美美與共”函數(shù)，求上"的值；

(2)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)r,s,點(diǎn)P(r,/)與點(diǎn)Q(s,t)(r^s)始終在關(guān)于尤的函數(shù)％=V+2rx+s的圖像上運(yùn)動(dòng)，

函數(shù)》與必互為“美美與共”函數(shù).

①求函數(shù)上的圖像的對(duì)稱軸；

②函數(shù)%的圖像是否經(jīng)過(guò)某兩個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)某兩個(gè)定點(diǎn)，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中，若關(guān)于x的二次函數(shù)％=/+6x+c與它的“美美與共”函數(shù)上的圖像頂點(diǎn)分

別為點(diǎn)4點(diǎn)B，函數(shù)為的圖像與無(wú)軸交于不同兩點(diǎn)C,。,函數(shù)為的圖像與x軸交于不同兩點(diǎn)￡，E當(dāng)8=防

時(shí)，以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請(qǐng)說(shuō)明理

由.

7.(2023?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考中考真題)如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，/A=60。，點(diǎn)。為CD的中點(diǎn),

P為線段A3上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形PBCQ沿尸。翻折得到四邊形PB'C'Q.

(1)當(dāng)NQPB=45。時(shí)，求四邊形班，CC的面積；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段A2上移動(dòng)時(shí)，設(shè)3P=x,四邊形3?C'C的面積為S,求S關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式.

8.(2023?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)>=-瓜2+23^的圖象與x軸

分別交于點(diǎn)O,A,頂點(diǎn)為B.連接OBAB,將線段AB繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到線段AC,連接.點(diǎn)

D,E分別在線段OB,BC上，連接AD,DE,EA,DE與AB交于點(diǎn)F,ZDEA=60°.

⑴求點(diǎn)AB的坐標(biāo)；

(2)隨著點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng).

①/EZX的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②線段環(huán)的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)當(dāng)線段DE的中點(diǎn)在該二次函數(shù)的因象的對(duì)稱軸上時(shí)，ABDE的面積為一.

9.(2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=-爐+3》+1交y軸于點(diǎn)A,直線

y=-gx+2交拋物線于8,C兩點(diǎn)（點(diǎn)8在點(diǎn)C的左側(cè)），交》軸于點(diǎn)。，交x軸于點(diǎn)E.

⑴求點(diǎn)D,E,C的坐標(biāo);

（2）尸是線段0E上一點(diǎn)（。歹＜"），連接且”2+石產(chǎn)2=21.

①求證：△DPC是直角三角形；

②//mC的平分線尸K交線段DC于點(diǎn)K,尸是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)3tan/丹K=1時(shí)，求點(diǎn)尸的

坐標(biāo).

10.（2023?吉林?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=4cm,點(diǎn)。是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P,

。分別從點(diǎn)A,8同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以：lcm/s的速度沿邊A3向終點(diǎn)8勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。以2cm/s的速度沿折線

BC-CD向終點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng).連接尸。并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)連接。。并延長(zhǎng)交折線ZM-AB于點(diǎn)N,連

接尸Q,QM,MN,NP,得到四邊形PQMV.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)(o<x<4),四邊形PQMN的

面積為>(cm2)

(1)8尸的長(zhǎng)為cm,CM的長(zhǎng)為cm.(用含x的代數(shù)式表示)

⑵求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并寫出自變量X的取值范圍.

⑶當(dāng)四邊形PQWN是軸對(duì)稱圖形時(shí)，直接寫出x的值.

H.(2023?廣東?統(tǒng)考中考真題)綜合運(yùn)用

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，正方形。由C的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，如圖2,將正方形QVC繞點(diǎn)。逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（O°<o<45。），AB交直線y=x于點(diǎn)E,BC交>軸于點(diǎn)尸.

（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角NCOR為多少度時(shí)，OE=O尸；（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過(guò)程）

⑵若點(diǎn)44,3）,求PC的長(zhǎng)；

（3）如圖3,對(duì)角線AC交>軸于點(diǎn)交直線,=彳于點(diǎn)N,連接bN,將△O/W與△OCR的面積分別記為

S1與S2,設(shè)S=S「S2，AN=n,求S關(guān)于〃的函數(shù)表達(dá)式.

12.（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題）已知拋物線丁=-；無(wú)2+法+,與犬軸交于43（4,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C（。,2）,點(diǎn)P為第一象限拋物線上的點(diǎn)，連接

⑴直接寫出結(jié)果；b=,c=,點(diǎn)A的坐標(biāo)為,tanZABC=；

(2)如圖1,當(dāng)NPCB=2Z.0CA時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)。在y軸負(fù)半軸上，8=03,點(diǎn)。為拋物線上一點(diǎn)，NQBD=90。，點(diǎn)E,尸分別為△3D。

的邊DQ，D8上的動(dòng)點(diǎn)，QE=DF,記BE+QF的最小值為優(yōu).

①求m的值；

②設(shè)APCJ5的面積為S,若S二m2-k,請(qǐng)直接寫出左的取值范圍.

4

13.(2023?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題)如圖，已知40,2),8(2,0).點(diǎn)E位于第二象限且在直線y=-2x上,

ZEOD=9Q°,OD=OE,連接AB,DE,AE,DB.

⑴直接判斷MOB的形狀：AAOB是_________三角形;

(2)求證：AAOE咨ABOD；

⑶直線EA交x軸于點(diǎn)CQ,0)/>2.將經(jīng)過(guò)8,C兩點(diǎn)的拋物線％=/+bx-4向左平移2個(gè)單位，得到拋

物線%.

①若直線E4與拋物線％有唯一交點(diǎn)，求f的值；

②若拋物線上的頂點(diǎn)P在直線E4上，求r的值；

2

③將拋物線則再向下平移，廠k個(gè)單位，得到拋物線%.若點(diǎn)。在拋物線為上，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

?—

14.(2023?山東濱州?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形。4SC的一邊OC在x軸正半軸上,

頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為僅,2⑹，點(diǎn)。是邊OC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。3交邊于點(diǎn)E,作方F〃OB交邊BC

于點(diǎn)歹，連接設(shè)OD=x,4r>跳'的面積為S.

(1)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)x取何值時(shí)，S的值最大？請(qǐng)求出最大值.

15.（2023?天津?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，0為原點(diǎn)，菱形ABCD的頂點(diǎn)A（6,0）,3（。』）,0（261）,

矩形EFGH的頂點(diǎn)《0,.

（1）填空：如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為；

⑵將矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形EN'GTT,點(diǎn)E,F,G,”的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為廳，F(xiàn)',G,

H'.設(shè)EE'=t,矩形笈F'GTT與菱形ABC。重疊部分的面積為S.

①如圖②，當(dāng)邊石尸與AB相交于點(diǎn)M、邊G7T與BC相交于點(diǎn)N,且矩形&F'G7T與菱形ABCD重疊部分

為五邊形時(shí)，試用含有/的式子表示S,并直接寫出f的取值范圍:

②當(dāng)氈4區(qū)兇時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

34

16.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考中考真題）如圖1,為半圓。的直徑，C為54延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切半圓于點(diǎn)

3

D,BELCD,交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交半圓于點(diǎn)尸，已知04=5，AC=1-如圖2，連接AF，P為線段

AF上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作BC的平行線分別交CE,BE于點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)尸作P"，AB于點(diǎn)H.設(shè)尸H=x,MN=y.

⑴求CE的長(zhǎng)和y關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式.

Q）當(dāng)PH＜PN,且長(zhǎng)度分別等于PH，PN,。的三條線段組成的三角形與ABCE相似時(shí)，求。的值.

⑶延長(zhǎng)PN交半圓。于點(diǎn)Q,當(dāng)加=米-3時(shí)’求MN的長(zhǎng).

17.（2023?新疆?統(tǒng)考中考真題）【建立模型】（1）如圖1,點(diǎn)8是線段C。上的一點(diǎn)，AC1BC,AB_LBE,

ED±BD,垂足分別為C,B,D,AB=BE.求證：AACB%BDE；

【類比遷移】（2）如圖2,一次函數(shù)y=3x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A、與X軸交于點(diǎn)8,將線段A3繞點(diǎn)8逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到8C、直線AC交x軸于點(diǎn)。.

①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②求直線AC的解析式；

【拓展延伸】（3）如圖3,拋物線＞=/-3彳-4與x軸交于A,3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)5的左側(cè)），與＞軸交于C點(diǎn),

已知點(diǎn)。（0,-D,連接BQ.拋物線上是否存在點(diǎn)〃，使得tanNMBQ=g,若存在，求出點(diǎn)V的橫坐標(biāo).

圖1圖2圖3

18.(2023?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題)【問(wèn)題情境建構(gòu)函數(shù)】

(1)如圖1,在矩形ABCD中，A3=4,M是CO的中點(diǎn)，AEJ.BM,垂足為E.設(shè)8C=x,AE=y,試用

含x的代數(shù)式表示九

【由數(shù)想形新知初探】

(2)在上述表達(dá)式中，y與無(wú)成函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖2所示.若X取任意實(shí)數(shù)，此時(shí)的函數(shù)圖像是否具

有對(duì)稱性？若有，請(qǐng)說(shuō)明理由，并在圖2上補(bǔ)全函數(shù)圖像.

【數(shù)形結(jié)合深度探究】

(3)在“x取任意實(shí)數(shù)”的條件下，對(duì)上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值>隨x的增大而增大；

②函數(shù)值y的取值范圍是忘；③存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn)；④在圖像上存在四點(diǎn)

A8、C、。，使得四邊形ABC。是平行四邊形.其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【抽象回歸拓展總結(jié)】

（4）若將（1）中的"AB=4”改成"AB=2k"，此時(shí)V關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式是；一般地，當(dāng)％*0,無(wú)

取任意實(shí)數(shù)時(shí)，類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究過(guò)程，探究此類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（直接寫出3

條即可）.

19.（2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）閱讀理解題:

閱讀材料:

如圖1,四邊形ABCD是矩形，△皿是等腰直角三角形，記NBAE為a、/FAD為P,若tana=；,則

易證AAEB^A￡FC（AAS）

EC=2k,CF=k,

FD=k、AD=3k

?°DFk\

..tanp==—=—,

AD3k3

若a+/7=45。時(shí)，當(dāng)tana=；,則tan/=；.

同理：若i+尸=45。時(shí)，當(dāng)tana=；,貝!|tan尸=；.

根據(jù)上述材料，完成下列問(wèn)題:

如圖2,直線>=3x-9與反比例函數(shù)>='(x>0)的圖象交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)5.將直線A2繞點(diǎn)A順

x

時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后的直線與y軸交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作AM，無(wú)軸于點(diǎn)V,過(guò)點(diǎn)A作AN軸于點(diǎn)N,已知

04=5.

⑴求反比例函數(shù)的解析式；

⑵直接寫出tan/BA/0、tan/W4E的值;

(3)求直線AE的解析式.

20.(2023?山東泰安?統(tǒng)考中考真題)如圖1,二次函數(shù)>=辦2+法+4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(T,0),3(-l,0).

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵若點(diǎn)尸在二次函數(shù)對(duì)稱軸上，當(dāng)ABCP面積為5時(shí)，求P坐標(biāo)；

(3)小明認(rèn)為，在第三象限拋物線上有一點(diǎn)，使NZMB+NACB=90。；請(qǐng)判斷小明的說(shuō)法是否正確，如果

正確，請(qǐng)求出。的坐標(biāo)；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.（2023?湖北恩施?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系尤。y中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線y=+c

與y軸交于點(diǎn)A,拋物線的對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)8.

⑴如圖，若4（0,追），拋物線的對(duì)稱軸為尤=3.求拋物線的解析式，并直接寫出y26時(shí)x的取值范圍；

⑵在（1）的條件下，若尸為》軸上的點(diǎn)，C為x軸上方拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)APBC為等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)尸，

C的坐標(biāo)；

⑶若拋物線丁=-3*+法+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)￡）（九2）,￡（〃,2）,F（l,-1）,且機(jī)＜〃，求正整數(shù)見〃的值.

22.（2023?遼寧營(yíng)口?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線產(chǎn)加+法-1（"0）與x軸交于點(diǎn)A（l,0）和點(diǎn)3,與丁軸

交于點(diǎn)。，拋物線的對(duì)稱軸交工軸于點(diǎn)。（3,0）,過(guò)點(diǎn)5作直線Ux軸，過(guò)點(diǎn)。作DE1CD,交直線/于點(diǎn)￡.

⑴求拋物線的解析式;

（2）如圖，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接CE和3尸交于點(diǎn)Q,當(dāng)黑時(shí).求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶在（2）的條件下，連接AC,在直線B尸上是否存在點(diǎn)b，使得NZ）EF=NACD+ZBE。？若存在，請(qǐng)直

接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

23.（2023?山東日照?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系無(wú)。了內(nèi)，拋物線y=-辦2+5辦+2（。＞0）交了軸于點(diǎn)

C,過(guò)點(diǎn)C作X軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D.

1/\8,

o7M

（1）求點(diǎn)C,。的坐標(biāo);

（2）當(dāng)a時(shí)，如圖1,該拋物線與x軸交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），點(diǎn)尸為直線AD上方拋物線

上一點(diǎn)，將直線ED沿直線AD翻折，交x軸于點(diǎn)M（4,0）,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)石。+1）/（5,。+1）,以線段E尸為邊向上作正方形EFGH.

①若。=1,求正方形SFGH的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)；

②當(dāng)正方形EFG”的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為|■時(shí)，求。的值.

24.（2023?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)》=4（一+區(qū)+€）的圖像與，軸交于點(diǎn)A,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

2（4,應(yīng)）和點(diǎn)C（-l,也）.

⑴請(qǐng)直接寫出6,。的值；

⑵直線8c交y軸于點(diǎn)。，點(diǎn)E是二次函數(shù)、=等（/+法+C）圖像上位于直線至下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直

線的垂線，垂足為尸.

①求EF的最大值；

②若AAEF中有一個(gè)內(nèi)角是ZABC的兩倍，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo).

25.（2023?遼寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線>=-；必+&+。與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)3（4,0）,與>軸交于點(diǎn)

C（0,4）,點(diǎn)E在拋物線上.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作取〃y軸，交BC于點(diǎn)尸，作EH||x軸，交拋物線于點(diǎn)點(diǎn)H在點(diǎn)E的

左側(cè)，以線段所，初為鄰邊作矩形瓦6”,當(dāng)矩形EFG”的周長(zhǎng)為11時(shí)，求線段的長(zhǎng)；

⑶點(diǎn)M在直線AC上，點(diǎn)N在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形OEMW■是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).

專題32函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題(25題)

一、填空題

1.(2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)2的坐標(biāo)為(-8,6),過(guò)點(diǎn)8分別作

x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A,直線y=-2x-6與交于點(diǎn)。.與＞軸交于點(diǎn)￡.動(dòng)點(diǎn)M在線

段BC上，動(dòng)點(diǎn)N在直線＞=-2尤-6上，若AAAW是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)

為________

【答案】"(—8,6)或

【分析】如圖，由AAAW是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，可得N在以AM為直徑的圓H上，

MN=AN,可得N是圓H與直線＞=-2尤-6的交點(diǎn)，當(dāng)河,8重合時(shí)，符合題意，可得”(-8,6),當(dāng)N在AM

的上方時(shí)，如圖，過(guò)N作N/_Ly軸于J,延長(zhǎng)MB交即于K,貝！I/NZA=/MKN=90°,JK=AB=8,證

明AMNK沿&NAJ,設(shè)N(x,—2x—6),可得MK=NJ=—x,KN=AJ=—2x—6—6=—2x—12,而K/=AB=8,

則-2x-12-x=8,再解方程可得答案.

【詳解】解：如圖,

是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

在以AM為直徑的圓H上，MN=AN,

N是圓H與直線y=-2x-6的交點(diǎn)，

當(dāng)",8重合時(shí)，

V5(-8,6),則H(T,3),

：.MH=AH=NH=4,符合題意，

當(dāng)N在A"的上方時(shí)，如圖，過(guò)N作軸于J,延長(zhǎng)MB交即于K,則N2WAZMKN=90°,

JK=AB=8,

：.ZNAJ+ZANJ=90°,

■:AN=MN,ZANM=90°,

：.ZMNK-^-ZANJ=90°,

：.ZMNK=/NAJ,

:?△MNK"ANAJ,設(shè)N（x,—2x—6）,

：.MK=NJ=-x,KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12,

而燈=AB=8,

??—2x—12—x—8,

解得：1=—奇20，貝2x—6=?22,

22202

CM=CK-MK=----------=-,

333

???小〉

綜上：〃（一8,6）或加（一8彳］.

故答案為：”（—8,6）或

【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定

與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，本題屬于填空題里面的壓軸題，難度較大，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.

2.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=-gx+2與x軸，y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)。是線段

A8上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是直線y=-gx+2上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)石（根,0）,網(wǎng)租+3,0）,連接BE,DF,HD.當(dāng)

BE+七r取最小值時(shí)，3BH+5DH的最小值是.

【分析】作出點(diǎn)C（3,-2）,作CDLAfi于點(diǎn)。，交無(wú)軸于點(diǎn)孔此時(shí)班+方的最小值為8的長(zhǎng)，利用解

直角三角形求得利用待定系數(shù)法求得直線8的解析式，聯(lián)立即可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)。作

以7，y軸于點(diǎn)6,此時(shí)的最小值是5DG的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：：直線y=-gx+2與x軸，y軸分別交于A,8兩點(diǎn),

：.8(0,2),A(6,0),

作點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)9(0,-2)，把點(diǎn)"向右平移3個(gè)單位得到C(3,-2),

作CD,AB于點(diǎn)。，交x軸于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)3'作B'E〃CD交x軸于點(diǎn)E,則四邊形EFCB'是平行四邊形,

此時(shí)，BE=B'E=CF,

???BE+DF=CF+D尸=CD有最小值,

作C尸，九軸于點(diǎn)尸，

貝i」CP=2,OP=3,

ZCFP=ZAFD,

：.ZFCP=ZFAD,

tanZFCP=tanZFAD,

:.巴=嗎即空二

PCOA26

2

:?PF=.則尸T°1

設(shè)直線co的解析式為y=履+"

"3k+b=-2

k=3

則＜,解得

—k+b=0b=-U

13

???直線CD的解析式為y=3x-11,

39

y=3x-llx=——

10

聯(lián)立,1，解得,

y=——x+27

3y=—

10

即。

過(guò)點(diǎn)。作OGLy軸于點(diǎn)G,

r4則=Jog0序V

3

/.sinNOBQ=^=左=3

BQ55

2

3

HG=BHsinZGBH=-BH,

5

^BH+DH}=5(HG+DH)=5DG,

3BH+5DH=5

3939

即33H+5。”的最小值是5￡>G=5x—=—

102

故答案為：二

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解直角三角形，利用軸對(duì)稱求最短距離，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所

學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

3.（2023?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)〉=。5-1）（了-5），＞））的圖像與苫軸交于點(diǎn)八、B,與，軸

交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)M（3,1）的直線將A/RC分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，貝匹的值

為.

【答案】"或句史或叵止

1052

【分析】先求得A（l,0）,3（5,0）,C（0,5a）,直線解析式為尸-：x+：,直線的解析式為y=H,

1）、當(dāng)分成兩個(gè)三角形時(shí)，直線必過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)，平分面積，必為中線，則①如圖1,直線A"過(guò)8C

中點(diǎn)，②如圖2,直線過(guò)AC中點(diǎn)，直線解析式為y=+AC中點(diǎn)坐標(biāo)為"la；待入直

線求得。=，；③如圖3,直線CM過(guò)A3中點(diǎn)，A3中點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,直線MB與V軸平行，必不成立；2）

當(dāng)分成三角形和梯形時(shí)，過(guò)點(diǎn)M的直線必與AABC一邊平行，所以必有“A”型相似，因?yàn)槠椒置娣e，所以

相似比為1:0.④如圖4,直線①欣〃AB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；⑤如圖5,直線ME〃AC,

XE1

⑥如圖6,直線M￡〃BC,同理可得,進(jìn)而根據(jù)tanN7VffiN=tan/CBO,即可求解.

AD

【詳解】解：由y=a(x—1)(%-5),令％=0,解得：y=5a,令y=0,解得：x1=l,x2=5,

A（1,O）,5（5,0）,C（0,5a）,

設(shè)直線解析式為y=履+），

[5k+b=Q

[3k+b=l

k=-

2

解得：

b=-

l2

???直線解析式為y=+當(dāng)x=0時(shí)，J=|,則直線BM與y軸交于og

...點(diǎn)M必在AABC內(nèi)部.

1）、當(dāng)分成兩個(gè)三角形時(shí)，直線必過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)，平分面積，必為中線

設(shè)直線AM的解析式為y=如+幾

.[k+b=0

^[3k+b=l

1

m=—

7

解得：1

n=——

[2

則直線AW的解析式為y=3-g

①如圖1,直線AM過(guò)3c中點(diǎn)，，

BC中點(diǎn)坐標(biāo)為代入直線求得.='＜；,不成立;

、乙乙）1UZ

②如圖2,直線過(guò)AC中點(diǎn)，直線8M解析式為＞=-;x+g,AC中點(diǎn)坐標(biāo)為,待入直線求得

9

CL-----

10

③如圖3,直線CM過(guò)A3中點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,

，直線MB與y軸平行，必不成立;

2）、當(dāng)分成三角形和梯形時(shí),過(guò)點(diǎn)M的直線必與AABC一邊平行，所以必有“A”型相似，因?yàn)槠椒置娣e,

所以相似比為1:拒.

④如圖4,直線￡711〃AB,

：.ACENS衛(wèi)OA

CECN1

CO-CA-7??

5a-}_1

5ay/2'

BE1

又.=4,

BE=2近，

期=5-3=2<2忘，

???不成立;

AE1

⑥如圖6,直線ME〃3C,同理可得其=下,

AJD72

AE=2-72，NE=2夜-2,tanZMEN=tanZCBO,

.1_5ax/2+1

.?南三-M，解傳-?。?/p>

綜上所述，或*史或1±1.

1052

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí),

并分類討論是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

4.（2023?黑龍江牡丹江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，YABCD的頂點(diǎn)B,C在無(wú)軸上，D

在y軸上，OB,OC的長(zhǎng)是方程Y-6x+8=0的兩個(gè)根（C?>OC）.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

⑴求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

⑵若OD:OC=2:1,直線y=-x+〃分別交工軸、y軸、AO于點(diǎn)E,F,M,且M是AZ）的中點(diǎn)，直線E廳交

DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,求tan/MM）的值；

⑶在（2）的條件下，點(diǎn)P在y軸上，在直線跖上是否存在點(diǎn)。，使△NPQ是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形？若

存在，請(qǐng)直接寫出等腰三角形的個(gè)數(shù)和其中兩個(gè)點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴3（-4,0）

（2）tanNMND=g

⑶存在，等腰三角形的個(gè)數(shù)是8個(gè)，殳芋,Q［殳鏟，-更|出），。3（4,-3）,2（T,3）

【分析】（1）解方程得到。8，OC的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)2的坐標(biāo)；

（2）由OD:OC=2:1,OC=2,得O￡>=4.由4。=3。=6,"是AD中點(diǎn)，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入直

線>=_》+6中，求得。的值，從而得到直線的解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)E,點(diǎn)尸的坐標(biāo)，由坐標(biāo)特點(diǎn)可得

ZFEO=45°.過(guò)點(diǎn)C作CH，硒于H,過(guò)點(diǎn)N作NK,3c于K.從而ADOCsANKC,

DO:OC=NK:CK=2:1,進(jìn)而得到冊(cè)=2次，易證NKEN=NKNE=45。,可得EK=NK=2CK,因此

EC=CK,由EC=OC-OE=2—1=1可得CK=1,NK=2,EK=2,從而通過(guò)解直角三角形在Rt△硒K中，

FK-B

得到EN=--------------=2V2,在Rtz\ECH中，CH=EH=EC-cosZCEH=—,因此求得

cosZKEN2

NH=EN—EH=,最終可得結(jié)果tanNA/ND=二二=彳；

2NH3

（3）分尸N=PQ,PN=NQ,PQ=NQ三大類求解,共有8種情況.

【詳解】(1)解方程％2—6X+8=0,得石=4,x2=l.

?.?OB>OC,

.?.05=4,OC=2.

???3(yo)；

(2)v(?D:OC=2:l,OC=2

.\OD=4.

???四邊形ABC。是平行四邊形，

.\AD//BC,AD=BC=6.

???M是AD中點(diǎn),

:.MD=3.

3,4).

將M(—3,4)代入y=—x+b,得3+b=4.

.\b=l.

..磯1,0),*0,1).

.?.NFEO=45。.

過(guò)點(diǎn)。作C”,硒于H,過(guò)點(diǎn)N作八K,5c于K.

vADOC^AA^C,DO:OC=NK:CK=2A.

：.NK=2CK

■:/KEN=/FEO=45。

：.ZKNE=90°-/KEN=45°

：.ZKEN=ZKNE

：.EK=NK=2CK

：.EC=CK

9：EC=OC-OE=2-1=1

：.CK=lfNK=2,EK=2

???在Rta￡7VK中，EN=———=——=272

CGS/KENcos45°

B

在RtAECH中，CH=EH=ECcosACEH=1-cos45°=—

2

/.NH=EN-EH=2y/2--==^-

22

交

\_

tanZMND=—2

NH3A/23

F

（3）解：由（2）知：直線E尸解析式為y=-x+l,N（3,-2）,

設(shè)尸(O,p),Q(q,-q+\),

①當(dāng)PN=QN=5時(shí)，

（3_0『+（_2_p）2=52,（3_療+（_2+?。?=52,

解得0=-6或p=2,q=6+5&或6-50,

22

??.。［gQ［宇，-年），旭-6），g（。，2）,

如圖，4P\Q\N、APQ［N、AP&\N、△鳥2N都是以5為腰的等腰三角形,

..6+5A/2

.------->5,

2

PQz不可能等于5,

如圖，APSQ'N,△舄QN都是以5為腰的等腰三角形,

由①知：蟲0,-6）,￡（0,2）,

當(dāng)耳（0,-6）時(shí)，（0一4+（一6+4一1）2=5,

解得名=3（舍去），%=4,

，。3（4，-3）,

解得d=3（舍去），%=-4,

???2(T3),

綜上，等腰三角形的個(gè)數(shù)是8個(gè),

符合題意的。坐標(biāo)為0/色芋，更詈］,23（4,-3）,2（-4,3）

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)與平行四邊形，等腰三角形的綜合問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合

思想是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A,B,C在。。上運(yùn)動(dòng)，滿足AB?+AC?,延長(zhǎng)AC至點(diǎn)

使得/DBC=/CAB,點(diǎn)￡是弦AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重合），過(guò)點(diǎn)E作弦AB的垂線，交A3于點(diǎn)尸,

交3c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,交。。于點(diǎn)M（點(diǎn)M在劣弧AC上）.

（1）是。。的切線嗎？請(qǐng)作出你的判斷并給出證明;

⑵記△即GAABCMADB的面積分別為H，S?S,若S/S=（S2）2,求（tan￡＞）2的值;

11

（3）若。。的半徑為1,設(shè)=xFEFN--------1-----=--y，試求y關(guān)于％的函數(shù)解析式，并寫出

BCBNAEAC

自變量工的取值范圍.

【答案】（1）5。是。。的切線，證明見解析

（2）1±2^

2

（3）y=x（0<%<l）

【分析】（1）依據(jù)題意，由勾股定理，首先求出NACB=90。，從而NC4B+NABC=90。，然后根據(jù)

/DBC=NCAB,可以得解；

（2）由題意，據(jù)S「S=（S2『得CD（CD+AC）=AC2,再由1皿/￡>=萼=1311442。=空，進(jìn)而進(jìn)行變形

CDBC

利用方程的思想可以得解;

（3）依據(jù)題意，連接OM,分別在RaORW、RMAFE、RMBTW中，找出邊之間的關(guān)系，進(jìn)而由

1__1

FE-FN-BCBN+AEAC=y,可以得解.

【詳解】（1）解：8。是。。的切線.

證明：如圖，在AABC中，AB2=BC2+AC2,

：.ZACB=90°.

又點(diǎn)A,B,C在。。上,

AB是。。的直徑.

?/ZACB=90°,

ZCAB+ZABC=90°.

又NDBC=NCAB,

：.ZDBC+ZABC=90°.

?ABD90?.

二3。是。。的切線.

(2)由題意得，S.=-BCCD,S=-BCAC,S=-ADBC.

2222

：S「S=(S2)2,

：.-BCCD-ADBC=(-BCAc].

22(2J

CD?AD=AC2.

：.CD(CD+AC)=AC1.

XVZD+ZDBC=90°,ZABC+ZA=90°,NDBC=ZA,

：.ZD=ZABC.

tanZD==tanZABC=.

CDBC

CD隼

y.CD(CD+AC)=AC2,

4

.BC22

"AC7+BC=AC.

/.BC4+AC2-BC2=AC4.

由題意，TS(tanZ))2=m,

l+tn=m2■

.1土下

??m=-------

2

*.*m>0,

.1+石

??m=------.

2

(tanD)2=",.

(3)設(shè)NA=a,

NA+NABC=NABC+ZD5C=NABC+NN=90。,

：.ZA=ZDBC=ZN=a.

如圖，連接ON.

'BF=BO+OF=\+11"，AF=OA-OF=l-yll-x1?

l-Jl-V

.?.在RtAAFE中,EF=AFtanor=AE=—

cosacosa

在RtZVIBC中，BC=AB-sina=2sincr.(*.*r=1,AB=2)

AC=ABcosa=2cos。.

2尸二旦

在Rt^BTW中，8N=空1+71-xNJk

sinasinatanatana

11

y=FEFN,BCBN+AEAC

1?1

2+211-爐2-2V1-X2

=x

即尸了.

?.*FM±AB,

???FN最大值為尸與。重合時(shí)，即為1.

0<A：<1.

綜上，y=x(O<x<l).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，切線的判定定理，求角的正切值，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用.

6.(2023?湖南?統(tǒng)考中考真題)我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)尤+9與%=//+打工+。2同時(shí)滿

足)出—《+屹+4)2+卜2—旬=。，4-。;儂中。，則稱函數(shù)為與函數(shù)%互為“美美與共''函數(shù).根據(jù)該約定,

解答下列問(wèn)題：

⑴若關(guān)于尤的二次函數(shù)％=2苫2+區(qū)+3與%=mx2+x+〃互為“美美與共”函數(shù)，求左，加，w的值；

(2)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)r,s,點(diǎn)尸(廠，。與點(diǎn)Q(s,。(廠Ws)始終在關(guān)于尤的函數(shù)％=Y+2rx+s的圖像上運(yùn)動(dòng)，

函數(shù)%與上互為“美美與共”函數(shù).

①求函數(shù)內(nèi)的圖像的對(duì)稱軸;

②函數(shù)上的圖像是否經(jīng)過(guò)某兩個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)某兩個(gè)定點(diǎn)，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若關(guān)于x的二次函數(shù)%=依2+汝+，與它的“美美與共，，函數(shù)上的圖像頂點(diǎn)分

別為點(diǎn)4點(diǎn)8,函數(shù)為的圖像與無(wú)軸交于不同兩點(diǎn)C,，函數(shù)力的圖像與x軸交于不同兩點(diǎn)￡，凡當(dāng)CO=EF

時(shí)，以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【答案】（1）4的值為-1,m的值為3,”的值為2

⑵①函數(shù)V的圖像的對(duì)稱軸為x=-g；②函數(shù)內(nèi)的圖像過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)（。，1），理由見解析

（3）能構(gòu)成正方形，此時(shí)S>2

【分析】（1）根據(jù)題意得到%=c2,bx=*0即可解答；

（2）①求出外的對(duì)稱軸，得到s=-3r，表示出必的解析式即可求解;②％=-3。2-2/%+1=-（3/+2x）r+l,

令3f+2x=0求解即可；

（3）由題意可知必=加+法+。，為=c/一"得至|JA、5的坐標(biāo)，表示出CD,EF,根據(jù)C￡>=￡F且

4QC>0,得到|4=卜|,分。=-。和〃兩種情況求解即可.

【詳解】（1）解：由題意可知：〃2=。2，q=G，a=%wU,

??tn—3,IT=2,k——1.

答：無(wú)的值為-1,根的值為3,〃的值為2.

（2）解：①???點(diǎn)尸。與點(diǎn)。（s,始終在關(guān)于％的函數(shù)%=X2+2仁+5的圖像上運(yùn)動(dòng)，

丁?對(duì)稱軸為x----—,

22

s=-3r,

2

y2=sx-2rx+l,

對(duì)稱軸為》=-—?2F=￡F=—1.

2ss3

答：函數(shù)上的圖像的對(duì)稱軸為x=-g.

22

@y2=-3rr-2rr+l=-（3x+2x）r+l,令3尤?+2x=0,解得％=0,無(wú)2=—1，

.??過(guò)定點(diǎn)f-pl'j.

答：函數(shù)>2的圖像過(guò)定點(diǎn)@1）,

2

(3)解：由題意可知%=R(：2+8X+C,y2=cx-bx+a,

.(b4ac-b2(b4ac-b2

：.A\----,---------，B—

I2a4a2c?4c

y/b2-4ac\lb2-4ac

：.CD=EF=

lcl

,/CD=EFS.b2-4ac>0,

l?l=lch

①若〃=-C,則％=加+。%一”2=-〃必-Ox+Q,

要使以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形,

則ACADACBD為等腰直角三角形，

：.CD=2\yA\,

.yjb2+4a2_.-4a2-b1.

??-------------=2--------------,

\a\4。

2\Jb2+4a2=b2+4a2

"2+4/=4,

222

.c1「八21b-4ac1b+4a2

?,3正一~CD——2_72__~2，

22a2aa

：戶=4一4/>0,...o/vi,，”>2；

②若a=c,則43關(guān)于y軸對(duì)稱，以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形不能構(gòu)成正方形，

綜上，以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形，此時(shí)S>2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思

想解決問(wèn)題.

7.（2023?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，NA=60。，點(diǎn)。為C。的中點(diǎn)，

P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形PBCQ沿PQ翻折得到四邊形PB'C'Q.

(1)當(dāng)NQPB=45。時(shí)，求四邊形3H