重慶南開中學(xué)高2027屆高一（上）期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷A、B；根據(jù)集合的性質(zhì)判斷C；根據(jù)集合之間的關(guān)系判斷D；【詳解】A選項，不是整數(shù)，所以，A選項錯誤；B選項，是無理數(shù)，所以，B選項錯誤；C選項，集合元素的無序性，所以C選項正確；D選項，是點集，是數(shù)集，兩者沒有包含關(guān)系，故D錯誤.故選：C2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由全稱命題的否定為特稱命題即可求解.【詳解】命題“，”的否定為“，”，故選：B.3.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)特征得到不等式，求出定義域.【詳解】由題意得，解得且.故選：C.4.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性及具體點函數(shù)值即可判斷.【詳解】，定義域為，故函數(shù)是偶函數(shù)，排除選項A；又，排除C,D,故選：B.5.設(shè)，，若，則的最小值為（）A.8 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意利用乘“1”法結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】因為，，，則，當且僅當，即，時取等，所以的最小值為8.故選：A.6.函數(shù)的值域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由解析式直接確定函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】由得定義域為；因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增；當，，當時，，所以函數(shù)的值域為，故選：C.7.已知函數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，，解方程即可.【詳解】因①，用代替①中的得：②，則得：，解得.故選：D.8.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分段函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，則函數(shù)各段均單調(diào)遞減，且左邊函數(shù)的右端點值大于左邊函數(shù)左端點值，建立不等式組，解得范圍.【詳解】由題可知，解得，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.下列命題正確的有（）A.與是同一個函數(shù)B.是偶函數(shù)C.是單調(diào)遞減函數(shù)D.的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】ABD【解析】【分析】對于A：根據(jù)函數(shù)相等分析判斷；對于B：根據(jù)偶函數(shù)的定義分析判斷；對于C：舉反例說明即可；對于D：根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對于選項A：定義域均為，且化簡后解析式均為，所以是同一個函數(shù)，故A選項正確；對于選項B，由，解得，可知函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，所以是偶函數(shù)，故B選項正確；對于選項C，因為，所以不是單調(diào)遞減函數(shù)，故C選項錯誤；對于選項D，由，解得，可知函數(shù)的定義域為，因為開口向下且對稱軸為，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D選項正確.故選：ABD.10.已知實數(shù)，，且滿足，則（）A.的最小值為9 B.的最小值為7C.的最大值為18 D.的最小值為1【答案】AD【解析】【分析】由基本不等式可判斷A、B是否正確；由可判斷C；由可得，再由基本不等式化簡計算，可判斷D.【詳解】對于A：因為，所以，令，則，解得（舍），所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為9，故A正確；對于B：，令，則，解得（舍），所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為6，故B不正確；對于C：因為，由選項A可知，，所以，當且僅當時取等，所以有最小值18，C不正確；對于D：由可得，，所以，當且僅當即時取等號，所以D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)的定義域為.且滿足，當時，，，則下列結(jié)論正確的有（）A.是奇函數(shù) B.在上單調(diào)遞增C. D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】【分析】令，求得的值，再令得到；由函數(shù)單調(diào)性的定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性；令，得到，由此遞推出；由題中等量關(guān)系化簡不等式得，由函數(shù)單調(diào)性列出不等式，解的解集.【詳解】選項A，令，則，則；令，則，所以，所以不是奇函數(shù)，A選項錯誤；選項B，，，且，因為，所以；又因為當時，，所以fx1?x2故在R上的單調(diào)遞增，B選項正確；選項C，令，則有，所以，，，…，，將以上式子相加可得：，C選項正確；選項D，因為，所以原不等式可化為；由選項C可知，所以原不等式可化為；因為在R上單調(diào)遞增，所以，解得，D選項正確.故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題3個小題，每小題5分，共15分.各題答案必須填寫在答題卡上相應(yīng)位置（只填結(jié)果，不寫過程）.12.已知數(shù)集，，若，則________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論即可.【詳解】易知，所以或，若，即，此時，，符合題意；若，此時，，，舍；綜上，.故答案為：113.已知“函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)”，根據(jù)這個結(jié)論，若函數(shù)圖象的對稱中心是，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)充要條件可得是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)；，由，解得.故答案為：14.已知關(guān)于不等式在區(qū)間有解，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】分離參數(shù)，然后將不等式有解轉(zhuǎn)化為最值問題即可.【詳解】法一：原不等式可化為，因為不等式在有解，所以；令，則；令，易知在1,2單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以.法二：令，則即可；由二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值可知，，所以或，解得或，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，集合，其中.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式得集合，根據(jù)集合的并集運算即可；（2）根據(jù)交集的定義即可列不等式求解.【小問1詳解】對于集合，由可得，所以；當時，，所以.【小問2詳解】因為，所以，因為，所以或，解得或，故實數(shù)的取值范圍為16.近日，重慶市第七屆運動會田徑比賽在合川體育中心落下帷幕，重慶南開中學(xué)田徑隊奮勇爭先、頑強拼搏，經(jīng)過個單元的激烈比拼，創(chuàng)造了金銀銅的佳績，累計打破項賽會紀錄.好成績離不開平時的刻苦訓(xùn)練.根據(jù)相關(guān)研究，某一體能訓(xùn)練項目有助于運動員的肌力改善，其肌力增長速度值（值越大，表示肌力增長速度越快、效果越好）與訓(xùn)練時間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系如下：vt=-240t+2+120,0<t≤10（1）訓(xùn)練開始多長時間，訓(xùn)練的效果可以達到最好？最多維持多少分鐘？（2）若在集訓(xùn)中，要求運動員的肌力增長速度值不低于，并且至少保持分鐘才能達標，請判斷進行該項體能訓(xùn)練能否達標？并說明理由.【答案】（1）訓(xùn)練開始后10分鐘效果最好，且能維持分鐘（2）能達標，理由見解析【解析】【分析】（1）分段求出函數(shù)的最值，再比較大小即可；（2）分段列出不等式，解出即可.【小問1詳解】由題意可知，當時，單調(diào)遞增，所以當時，的最大值為；當時，；當時，.所以訓(xùn)練開始后10分鐘效果最好，且能維持分鐘.【小問2詳解】進行該項體能訓(xùn)練能達標.理由如下：當時，，解得；當時，vt=100>80當時，，解得；故分鐘分鐘，所以進行該項體能訓(xùn)練能達標.17.已知函數(shù)為一次函數(shù)，且對均滿足.（1）求函數(shù)解析式；（2）已知，，且，求的最小值.【答案】（1）（2）最小值為9【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列式求即可；（2）根據(jù)題意可得，法一：利用基本不等式可得，化簡整理即可得結(jié)果；法二：利用乘“1”法結(jié)合基本不等式運算求解.【小問1詳解】設(shè)，則，可得，解得，，所以.【小問2詳解】因為，所以，即；法一：所以，化簡得，當且僅當時取等，所以，故的最小值為9；法二：，當且僅當且，即，時取等號，故的最小值為9.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）判斷并用定義證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（3）記函數(shù)的最大值為，最小值為，當時，，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）單調(diào)遞減，證明見解析（3）1或【解析】【分析】（1）根據(jù)求出的值，再代入檢驗即可；（2）由（1）可得，再根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）結(jié)合（2）得在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，顯然，再分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的最值，從而得到方程，解得即可.【小問1詳解】因是上的奇函數(shù)，故，當時，，，滿足題意.綜上知，.【小問2詳解】由（1）知，則在上單調(diào)遞減，下面用定義證明：任取且，則，因為，故，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減.【小問3詳解】由于是上的奇函數(shù)，結(jié)合（2）得在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，顯然，當時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，，于是有，解得，舍去；當時，在單調(diào)遞增，，，于是有，整理得，即，解得或或（舍去）.綜上，實數(shù)的值為或.19.給定函數(shù)，若實數(shù)使得，則稱為函數(shù)不動點，若實數(shù)使得，則稱為函數(shù)的穩(wěn)定點，函數(shù)的不動點一定是該函數(shù)的穩(wěn)定點.（1）求函數(shù)的不動點：（2）設(shè)，，且恰好有兩個穩(wěn)定點和.（i）求實數(shù)的取值范圍，（ii），，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）不動點為－2和3（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）令，求出或，得到答案；（2）（i），變形得到，此方程恰好有兩個不同的實數(shù)解，分和兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出的取值范圍；（ii）法一：在（i）知，的兩個穩(wěn)定點為和1，分和兩種情況，換元，再根據(jù)對稱軸分為，，和四種情況，求出每種情況下的值域，得到不等式，求出答案；法二：由（i）知，的兩個穩(wěn)定點為和1，取，得，解得，所以，，結(jié)合（i）知，，故，有，換元，根據(jù)對稱軸得到函數(shù)單調(diào)性，求出值域，得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍為.【小問1詳解】令，得，整理得，解得或，經(jīng)檢驗知均滿足要求，故函數(shù)的不動點為－2和3.【小問2詳解】（i）令，得，即，得，所以有，此方程恰好有兩個不同的實數(shù)解.①當，即時，方程化為，僅有一個實數(shù)解，不滿足題意；②當時，要么方程無實數(shù)解，要么方程僅有一個實數(shù)解為1或者.故或或，解得或.綜上，當恰好有兩個穩(wěn)定點時，實數(shù)的取值范圍為.（ii）法一：由（i）知，的兩個穩(wěn)定點為和1，當時，，故，，于是，.此時函數(shù)的對稱軸，令.①當時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，故，而，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，注意到，故，所以當時的值域為，即的值域為.于是由題意得，無解.②當時，在單調(diào)遞增，當時，，，即值域為，不滿足題意，舍去.當時，，故，，于是，，此時函數(shù)的對稱軸，令.③當時，，在單調(diào)遞增，當時，，，即的值域為，于是有，解得；④當時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，故，而，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，注意到，故，所以當時的值域為，即的值域為.于是由題意得，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍為.法二：由（i）知，的兩個穩(wěn)定點為和1，因為，，故取，得，解得，所以，，因為，解得，由（i）知，，故，故有，.當時，，令，當時，因，，故.而，故在單