學(xué)年赤峰市松山區(qū)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A． B．C． D．2．已知命題；命題，則（

）A．和都是真命題 B．和都是真命題C．和都是真命題 D．和都是真命題3．已知向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)跳水隊(duì)表現(xiàn)卓越，成功包攬了全部8枚跳水金牌，這一成績(jī)不僅創(chuàng)造了歷史，也再次證明了“夢(mèng)之隊(duì)”的實(shí)力和統(tǒng)治力.跳水比賽計(jì)分規(guī)則如下：針對(duì)運(yùn)動(dòng)員每次跳水，共有7個(gè)裁判評(píng)分，去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分，剩下的分?jǐn)?shù)相加后乘以難度分，即可得出最終得分.下列說(shuō)法正確的是（

）A．去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定改變B．去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的方差可能不變C．去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變D．去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分前后，兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不變5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，圓，若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的值是（

）A．0 B．0或10 C．4或68 D．687．甲烷是一種有機(jī)化合物，分子式為，其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分．如圖所示的為甲烷的分子結(jié)構(gòu)模型，已知任意兩個(gè)氫原子之間的距離（H-H鍵長(zhǎng)）相等，碳原子到四個(gè)氫原子的距離（C-H鍵長(zhǎng)）均相等，任意兩個(gè)H-C-H鍵之間的夾角為（鍵角）均相等，且它的余弦值為，即，若，則以這四個(gè)氫原子為頂點(diǎn)的四面體的體積為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù).若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．記函數(shù)的最小正周期為T(mén).若為的零點(diǎn)，則的值可以是（

）A． B．3 C．6 D．1210．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)C上，若，則（

）A． B．以為直徑的圓與x軸相切C．F的坐標(biāo)為 D．11．定義為角的正矢，記作；定義為角的余矢，記作.定義：為一組數(shù)據(jù)相對(duì)于常數(shù)的“正弦方差”.若，一組數(shù)據(jù)相對(duì)于的：“正弦方差”為，則的取值可能是（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知等差數(shù)列的公差不為零，且成等比數(shù)列，，則.13．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則角.14．2024年9月1日出版的第17期《求是》雜志發(fā)表了中共中央總書(shū)記、國(guó)家主席、中央軍委主席習(xí)近平的重要文章《培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人》·某校積極響應(yīng)總書(shū)記的指示，創(chuàng)造性提升學(xué)生勞動(dòng)意識(shí)和社會(huì)實(shí)踐能力，利用周末進(jìn)社區(qū)義務(wù)勞動(dòng).高三年級(jí)共有6個(gè)班，其中只有1班有2個(gè)勞動(dòng)模范，本次義務(wù)勞動(dòng)一共20個(gè)名額，勞動(dòng)模范必須參加并不占名額，每個(gè)班都必須有人參加.給出以下四個(gè)命題：①若1班不再分配名額，則共有種分配方法；②若1班有除勞動(dòng)模范之外的學(xué)生參加，則共有種分配方法；③若每個(gè)班至少3人參加，則共有90種分配方法；④若每個(gè)班至少3人參加，則共有126種分配方法.其中正確命題的序號(hào)是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，，且存在實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足.(1)求m的值及通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.16．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線(xiàn)方程；(2)，關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.17．如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在上，且.(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.18．某校高三年級(jí)部組織高中生數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為個(gè)人賽和團(tuán)體賽，競(jìng)賽規(guī)則如下：個(gè)人賽規(guī)則：每位參賽選手只有一次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì)，電腦同時(shí)給出2道判斷題（判斷對(duì)錯(cuò)）和4道選擇題（每個(gè)選擇題的四個(gè)選項(xiàng)中有且僅有一個(gè)是正確的），要求參賽者全都作答，若有4道或4道以上答對(duì)，則該選手挑戰(zhàn)成功.團(tuán)體賽規(guī)則：以班級(jí)為單位，每班參賽人數(shù)不少于20人，且參賽人數(shù)為偶數(shù)，參賽方式有如下兩種可自主選擇其中之一參賽：方式一：將班級(jí)選派的個(gè)人平均分成n組，每組2人，電腦隨機(jī)分配給同組兩個(gè)人一道相同試題，兩人同時(shí)獨(dú)立答題，若這兩人中至少有一人回答正確，則該小組挑戰(zhàn)成功，若這n個(gè)小組都挑戰(zhàn)成功，則該班級(jí)挑戰(zhàn)成功.方式二：將班級(jí)選派的個(gè)人平均分成2組，每組n個(gè)人，電腦隨機(jī)分配給同組n個(gè)人一道相同試題，各人同時(shí)獨(dú)立答題，若這n個(gè)人都回答正確，則該小組挑戰(zhàn)成功.若這兩個(gè)小組至少有一個(gè)小組挑戰(zhàn)成功則該班級(jí)挑戰(zhàn)成功.(1)在個(gè)人賽中若一名參賽選手全部隨機(jī)作答，求這名選手恰好答對(duì)一道判斷題并且答對(duì)兩道選擇題的概率；(2)甲同學(xué)參加個(gè)人賽，他能夠答對(duì)判斷題并且答對(duì)選擇題，其余題目只能隨機(jī)作答，求甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功的概率；(3)在團(tuán)體賽中，假設(shè)某班每位參賽同學(xué)對(duì)給出的試題回答正確的概率均為常數(shù)，為使本班團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？說(shuō)明理由.19．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，求面積的最小值.(3)如圖，過(guò)點(diǎn)作兩條直線(xiàn)分別與橢圓相交于點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)和相交于點(diǎn).證明點(diǎn)在定直線(xiàn)上.

參考答案1．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算即可求解.【詳解】由，可得.故選B.2．【答案】B【分析】分別判斷命題與命題的真假，利用命題和命題的否定真假相反即可判斷、的真假，即可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于命題p，取，則有，故p是假命題，是真命題，對(duì)于命題q，取，則有，故q是真命題，是假命題，所以，和都是真命題.故選B.3．【答案】A【分析】利用投影向量公式進(jìn)行求解.【詳解】在上的投影向量為.故選A.4．【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)出裁判的評(píng)分，根據(jù)數(shù)字特征計(jì)算即可.【詳解】若7個(gè)裁判的評(píng)分分別為：10，10，9.9，9.9，9.9，9.8，9.7，去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分后評(píng)分為：10，9.9，9.9，9.9，9.8，去掉前后的中位數(shù)都為9.9，故錯(cuò)誤；去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分前平均數(shù)為去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后平均數(shù)為，故錯(cuò)誤；若7個(gè)裁判的評(píng)分分別為：10，10，10，9.9，9.9，9.9，9.8，眾數(shù)為：10和9.9，去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分后評(píng)分為：10，10，9.9，9.9，9.9，眾數(shù)為9.9，故錯(cuò)誤；若七個(gè)裁判的評(píng)分為：10，10，10，10，10，10，10，則去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分前后均值都為10，方差都為0，則正確；故選.5．【答案】B【解析】先求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓D,再根據(jù)圓D和圓C相交或相切，得到的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，所以，所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓D,由題得圓C和圓D相交或相切，所以，所以.故選B.6．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求得，進(jìn)而求對(duì)應(yīng)函數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，則，所以或，當(dāng)，則，滿(mǎn)足，此時(shí)；當(dāng)，則不是奇函數(shù)，不合題設(shè).故選D.7．【答案】A【分析】利用余弦定理求得，計(jì)算出正四面體的高，從而計(jì)算出正四面體的體積.【詳解】設(shè)，則由余弦定理知：，解得，故該正四面體的棱長(zhǎng)均為，由正弦定理可知：該正四面體底面外接圓的半徑，高，故該正四面體的體積為．故選A.8．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)畫(huà)出的圖象，結(jié)合的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，所以函數(shù)fx在上單調(diào)遞減，.當(dāng)時(shí)，，令解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此畫(huà)出、的大致圖象如下圖所示，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍是.故選C.

【思路導(dǎo)引】在通過(guò)圖象判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，容易由于圖象的不準(zhǔn)確或?qū)?shù)符號(hào)變化的錯(cuò)誤判斷，導(dǎo)致零點(diǎn)個(gè)數(shù)錯(cuò)誤．在分析圖象時(shí)，要特別注意極值點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.9．【答案】ABD【分析】求出，根據(jù)和求出，為的零點(diǎn)，故，解得，從而得到ABD正確.【詳解】因?yàn)?，所以，故，又，故，故，為的零點(diǎn)，故，故，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，解得（舍去），ABD正確，C選項(xiàng)不成立.故選ABD.10．【答案】AB【分析】由拋物線(xiàn)的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷C；由焦半徑的公式求出即可判斷A；求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷B，D；【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，故C錯(cuò)誤；點(diǎn)在拋物線(xiàn)C上，若，則，所以，故A正確；代入，得，故或所以，故D錯(cuò)誤；所以以為直徑的圓的圓心為：或，半徑為，所以圓心為：或到x軸的距離為：等于圓的半徑，故以為直徑的圓與x軸相切，故B正確；故選AB.11．【答案】BCD【分析】根據(jù)正矢和余矢的定義可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦方差的定義可求的范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的值域，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】由正矢和余矢的定義可得：，而，因?yàn)?，故，故，故，，而，故的值域?yàn)?，因?yàn)椋瘮?shù)的最大值是，故函數(shù)值不可能取，而，故，故，故函數(shù)值可取BCD.故選BCD.12．【答案】【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式列方程組，解方程組求得，由此求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，即，化簡(jiǎn)，得．因?yàn)?，所以，解得所?故答案為：.13．【答案】【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)得，由余弦定理得，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，可得，即，由余弦定理得，即，可?故答案為：.14．【答案】②④【分析】根據(jù)題意，由隔板法，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，若1班不再分配名額，即將20個(gè)名額分配到5個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)都必須有人參加，可以將20個(gè)名額看成20個(gè)小球，排成一排，中間有19個(gè)空位，在其中任選4個(gè)，放置4個(gè)隔板，有種分配方法，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若1班有除勞動(dòng)模范之外的學(xué)生參加，即將20個(gè)名額分配到6個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)都必須有人參加，可以將20個(gè)名額看成20個(gè)小球，排成一排，中間有19個(gè)空位，在其中任選5個(gè)，放置5個(gè)隔板，有種分配方法，故②正確；對(duì)于③④，若每個(gè)班至少3人參加，可以將每個(gè)班的2個(gè)名額收回，即將10個(gè)名額分配到6個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)都必須有人參加，可以將10個(gè)名額看成10個(gè)小球，排成一排，中間有9個(gè)空位，在其中任選5個(gè)，安排5個(gè)擋板，有種分配方法，故③錯(cuò)誤，④正確.故答案為：②④.15．【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為，然后相減便可得出結(jié)果；（2）先根據(jù)求得，根據(jù)錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為，，由，得，兩式相減得，又，所以，將代入可得，即，所以，又，所以；（2）由（1）可知，則，所以，則，即，，，，即，.16．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求對(duì)應(yīng)切點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）由題設(shè)得在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值，即可得確定參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，則，所以，故在處的切線(xiàn)方程.（2）由恒成立，對(duì)于且，則，對(duì)于且，則，所以在上遞增，則，故，所以在上遞增，則，綜上，只需.17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理，即可得出答案．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量為，平面的法向量為，,，設(shè)平面與平面夾角為，則，即可得出答案．【詳解】（1）由于平面，平面，故，根據(jù)題意可得，，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，由于平面，平面，故，又，平面,故平面,平面，故，又，平面，平面，所以平面．平面，故平面平面；（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系：所以，,4,，，,結(jié)合（1）知，平面的法向量為,又，,4,，設(shè)平面的法向量為,則，令，則，所以,3,，設(shè)平面與平面夾角為，則．18．【答案】(1)(2)(3)選擇方式一【分析】（1）由獨(dú)立事件的概率乘法公式即可得到答案；（2）分析出甲同學(xué)挑戰(zhàn)不成功的事件，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式，再用對(duì)立事件即可得到結(jié)果；（3）分別計(jì)算出方式一和方式二的團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的概率，再通過(guò)作差比較，利用函數(shù)單調(diào)性判斷差值大小即可得到結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)事件A：選手答對(duì)1道選擇題；事件：選手答對(duì)1都選擇題，則，，這名選手恰好答對(duì)一道判斷題并且答對(duì)兩道選擇題的概率：（2）甲同學(xué)挑戰(zhàn)不成功可能得情況如下：①只答對(duì)一道判斷題和選擇題；②除和外只答對(duì)一道填空題或一道選擇題（中任意一道）∴甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功的概率：（3）方式一：小組調(diào)整成功的概率：，該班級(jí)挑戰(zhàn)成功的概率：；方式二：小組調(diào)整成功的概率：，該班級(jí)挑戰(zhàn)成功的概率：，令則∵，則，，可得，，∴，即，∴單調(diào)遞增，又∵，且，∴，從而，即，所以為使本班調(diào)整成功的可能性更大，應(yīng)該選方式一參賽.19．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法計(jì)算即可求解；（2）由題意求出MN，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出到的距離，結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可求解；（3）設(shè)，利用平面向量的坐標(biāo)表示和點(diǎn)差法計(jì)算表示出A、B、C、D的坐標(biāo)，由直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程分別表示出直線(xiàn)