2024-2025學(xué)年四川省涼山州高二（上）綜合測評數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．方法一：因為，而，所以．故選：C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．2.已知，則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．因為，所以，即．故選：A．3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間量比較大小即可.解：∵，，，∴.故選：D．4.已知圓關(guān)于直線（，）對稱，則的最小值為（）A. B.9 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】由題可得，然后利用基本不等式即得.圓的圓心為，依題意，點在直線上，因此，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以的最小值為9.故選：B.5.已知點，，若過的直線與線段相交，則直線斜率k的取值范圍為（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求出直線，的斜率，結(jié)合圖象可得答案.根據(jù)題意，，，，則，，結(jié)合圖象可得直線的斜率k的取值范圍是.故選：D.6.已知直線過點，且與向量平行，則直線在軸上的截距為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)直線與軸的交點為，根據(jù)求得.設(shè)直線與軸的交點為，因為與向量平行，所以，即，則，所以.故選：D7.已知點在直線上的運動，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】表示點與距離的平方，求出到直線的距離，即可得到答案.表示點與距離的平方，因為點到直線的距離，所以的最小值為．故選：A8.如圖，在平面四邊形中，，.若點為邊上的動點，則的最小值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合二次函數(shù)知識，即可求得答案.由于，如圖，以D為坐標(biāo)原點，以為軸建立直角坐標(biāo)系，連接,由于，則≌,而，故，則，則，設(shè)，則，，故，當(dāng)時，有最小值，故選：A．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，不止一個選項符合題目要求，請選出你的選項，全部正確得5分，部分正確得2分，含錯誤選項或未選擇得0分）9.下列結(jié)論錯誤的是（

）A.過點，的直線的傾斜角為B.若直線與直線垂直，則C.直線與直線之間的距離是D.過兩點的直線方程為【答案】ACD【解析】【分析】對A，利用斜率得到角度；對B，根據(jù)斜率乘積為-1，計算可得；對C，利用平行線之間的距離公式計算可判斷；對D，直線方程兩點式成立條件即可判斷.對A，設(shè)直線傾斜角為，則，所以傾斜角不是，故錯誤；對B，由兩條直線垂直，則，故正確；對C，直線，即，所以與直線之間的距離是，故錯誤；對D，過兩點的直線方程為，故錯誤.故選：ACD10.已知事件滿足，，則下列結(jié)論正確是（

）A.B.如果，那么C.如果與互斥，那么D.如果與相互獨立，那么【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和獨立事件的概率公式逐個分析判斷即可對于選項A，，故選項A錯誤；對于選項B，如果，那么，選項B正確；對于選項C，如果與互斥，那么，所以選項C正確；對于選項D，如果與相互獨立，那么，所以選項D正確.故選：BCD11.如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為的中點，則（）A. B.直線平面C.直線與平面所成角的正切值為 D.點到平面的距離是【答案】ABD【解析】【分析】依題意可得到為等邊三角形，又為的中點，即可判斷A；利用線面平行的判定定理證明B；用線面角的定義可知為所求角，進(jìn)而求得其正切值，即可判斷C；利用等體積法判斷D．解：對于A，，，，為等邊三角形，又為的中點，所以，故A正確；對于B，取中點，連接，，，可知且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面，故B正確；對于C，取的中點，連接，則，因為平面，所以平面，所以與平面所成的角為，所以，故C錯誤；對于D，設(shè)點到平面的距離為，利用等體積法知，即，解得，故D正確；故選：ABD12.已知點，，且點在直線：上，則（）A.存在點，使得 B.存在點，使得C.的最小值為 D.最大值為3【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)，利用斜率公式判斷A，利用距離公式判斷B，化折線直線，利用兩點之間線段最短判斷C，根據(jù)幾何意義判斷D.對于A：設(shè)，若時，此時的斜率不存在，，與不垂直，同理時與不垂直，當(dāng)且時，，若，則，去分母整理得，，方程無解，故與不垂直，故A錯誤；對于B：設(shè)，若，則，即，由，所以方程有解，則存在點，使得，故B正確；對于C：如圖設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時取等號（在線段之間），故C正確；對于D：如下圖，，當(dāng)且僅當(dāng)在的延長線與直線的交點時取等號，故D正確.故選：BCD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，，且，則___________.【答案】3【解析】【分析】利用向量平行的坐標(biāo)表示即可得解.因為，，且，所以，則.故答案為：3.14.已知點四點共圓，則點D到坐標(biāo)原點O的距離為______.【答案】【解析】【分析】運用待定系數(shù)法求得過A、B、C的圓的方程，由點D在此圓上可求得的值，再根據(jù)兩點間距離公式即可求得結(jié)果.設(shè)過A、B、C的圓的方程為：（），則，解得，所以過A、B、C的圓的方程為：，又因為點D在此圓上，所以，解得，所以點D到坐標(biāo)原點O的距離為.故答案為：.15.直線的傾斜角的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】先求得直線的斜率的取值范圍，進(jìn)而求得傾斜角的取值范圍.設(shè)直線的傾斜角為，因為直線的斜率，即，所以.故答案為：.16.三棱錐，平面，，，，（單位：cm）則三棱錐外接球的體積等于_____________．【答案】【解析】【分析】補充圖形為長方體，三棱錐的外接球，與棱長為1，1，的長方體外接球是同一個外接球，用長方體的對角線長求外接球的半徑，可得球的體積．三棱錐中，平面，，，，畫出幾何圖形如圖所示；補充圖形為長方體，則棱長分別為1，1，；∵對角線長為，∴三棱錐的外接球的半徑為1，∴該三棱錐外接球的體積為．故答案為：．四、解答題（共6題，70分，每個題請寫出必要的文字說明、演算或證明過程）17.（1）求過直線和的交點，且與直線垂直的直線方程.（2）已知某圓經(jīng)過，兩點，圓心M在直線上，求該圓的方程．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）計算交點，然后假設(shè)所求直線方程，代點計算即可；（2）假設(shè)圓心坐標(biāo)，然后根據(jù)，求得圓心，進(jìn)一步得到半徑，計算即可.（1），所以交點坐標(biāo)為設(shè)所求直線方程為：則，所以所求直線方程為（2）由圓心M在直線上，設(shè)又，所以所以，半徑為所以圓的方程為：18.青島二中高一年級的同學(xué)們學(xué)習(xí)完《統(tǒng)計與概率》章節(jié)后，統(tǒng)一進(jìn)行了一次測試，并將所有測試成績（滿分100分）按照進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中．（1）估計測試成績的上四分位數(shù)和平均分；（2）按照人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法，從成績在內(nèi)的學(xué)生中抽取4人，再從這4人中任選2人，求這2人成績都在內(nèi)的概率．【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】（1）由所有長方形的面積和為1列方程，結(jié)合可求出，然后判斷出上四分位數(shù)即分位數(shù)在第4組，從而可求出分位數(shù)；再由平均數(shù)的定義求解即可.（2）根據(jù)頻率分布直方圖可得抽取的4人中成績在內(nèi)的有3人，成績在內(nèi)的有1人，然后利用列舉法可求得結(jié)果.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，即，又，所以，．測試成績的上四分位數(shù)即分位數(shù)，前三組的頻率之和為，前四組的頻率之和為，則分位數(shù)，且．測試成績的平均分為：.【小問2詳解】成績在和內(nèi)人數(shù)之比為，故抽取的4人中成績在內(nèi)的有3人，設(shè)為，，，成績在內(nèi)的有1人，設(shè)為，再從這4人中選2人，這2人的所有可能情況為，，，，，，共6種，這2人成績均在內(nèi)的情況有，，，共3種，故這2人成績都在內(nèi)的概率為．19.已知函數(shù)是偶函數(shù).當(dāng)時，.（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知，試討論的零點個數(shù)，并求對應(yīng)的的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)奇偶性求函數(shù)解析式，進(jìn)而結(jié)合圖象即可求解；（2）先畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)而圖象即可求解.【小問1詳解】設(shè)，則，則，因為為偶函數(shù)，所以，所以，作出的圖象如圖：因為函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，由圖可得或，解得或；所以實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】令，即，由（1）作出的圖象如圖：由圖像可知：當(dāng)時，有兩個零點；當(dāng)時，有四個零點；當(dāng)時，有六個零點；當(dāng)時，有三個零點；當(dāng)時，沒有零點.20.在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，，為的中點（1）求三棱錐的體積；（2）求直線與平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得到平面的距離為，結(jié)合，即可求解；（2）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量和平面的一個法向量為，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】解：因為平面，平面，所以，又因為，且平面，所以平面，因為，，，又因為為的中點，所以到平面的距離為，則.【小問2詳解】解：以為坐標(biāo)原點，以所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，因為，所以，即直線與平面所成的角的大小為21.已知向量，，，設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)，，分別為的內(nèi)角，，的對邊，若，，的面積為，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積公式及三角恒等變換得到，從而利用整體法求出函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）（1）基礎(chǔ)上，求出，結(jié)合三角形面積公式求出，進(jìn)而由余弦定理求出答案.【小問1詳解】，，令，，解得，，的單調(diào)遞增區(qū)間是，【小問2詳解】由（1）知：，，即，，，，，的面積為，，解得，，由余弦定理得，，綜上所述，結(jié)論是：.22.已知直線和點，點到直線的有向距離用如下方法規(guī)定：若，，若，．（1）已知直線，直線，求原點到直線的有向距離；（2）已知點和點，是否存在通過點的直線，使得？如果存在，求出所有這樣的直線，如果不存在，說明理由；（3）設(shè)直線，問是否存在實數(shù)，使得對任意的參數(shù)都有：點到的有向距離滿足？如果滿足，求出所有滿足條件的實數(shù)；如果不存在，請說明理由．【答案】（1），（2）或（3）存在，【解析】【分析】(1)直接利用點到直線的有向距離公式進(jìn)行計算即可.(2)分斜率存在和斜率不存在兩種情況，分別利用點到直線的有向距離公式進(jìn)行化簡，即