3.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)一、復(fù)習(xí)回顧

思考?類比用方程研究橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的過程與方法,你認(rèn)為應(yīng)研究拋物線y2=2px(p>0)的哪些幾何性質(zhì)?如何研究這些性質(zhì)?二、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)因?yàn)閜>0，由方程y2=2px可知，對(duì)于拋物線上的點(diǎn)M(x,y)，x≥0，y∈R．當(dāng)x>0時(shí)，拋物線在y軸的右側(cè)，開口方向與x軸正向相同；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.1.范圍以-y代y，方程y2=2px不變，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱.我們把拋物線的對(duì)稱軸叫拋物線的軸.2.對(duì)稱性3、頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)稱為拋物線的頂點(diǎn).在方程y2=2px(p>0)中，當(dāng)x=0時(shí)，y=0，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn).

4、離心率由拋物線的定義，可知e=1.

連接拋物線上任意一點(diǎn)M(x0,y0)與焦點(diǎn)F的線段|MF|叫做拋物線的焦半徑.

下面請(qǐng)大家類比得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。

過焦點(diǎn)而垂直于對(duì)稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑.

利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖.|AB|=2p2p越大，拋物線張口越大.5、通徑ABxyOFy2=2px2p圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍頂點(diǎn)對(duì)稱軸ey2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸1探究新知

四種拋物線的幾何性質(zhì)的對(duì)比1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒有對(duì)稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;5.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開口的影響.

解惑提高四種拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)

解：由已知可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px（p>0）因此所求方程為：y2=4x

解惑提高當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上,開口方向不定時(shí),設(shè)為y2=2mx(m≠0),當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上,開口方向不定時(shí),設(shè)為x2=2my(m≠0),可避免討論.

三、例題講解：求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）關(guān)于x軸對(duì)稱，并且經(jīng)過點(diǎn)M(5,-4)；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱，準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)E(5,-5)；

（3）準(zhǔn)線在y軸右側(cè)，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4；（4）焦點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸上，經(jīng)過橫坐標(biāo)為16的點(diǎn)P，且FP平行于準(zhǔn)線.

即時(shí)鞏固

例4斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．分析:由拋物線的方程可以得到它的焦點(diǎn)坐標(biāo)，又直線l的斜率為1，所以可以求出直線l的方程；與拋物線的方程聯(lián)立，可以求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；利用兩點(diǎn)間的距離公式可以求出|AB|.這種方法思路直接,具有一般性.請(qǐng)你用此方法求|AB|.解:由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得,焦點(diǎn)F坐標(biāo)為

(1,0),所以直線AB的方程為y-0=x-1，即y=x-1．①將方程①代入拋物線方程y2=4x，得x2-6x+1=0．

例4斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．解:直線AB的方程為y-0=x-1，即y=x-1．①將方程①代入拋物線方程y2=4x，得x2-6x+1=0．

例4斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．另外一種方法——數(shù)形結(jié)合的方法.

例4斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．

例4斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．弦長(zhǎng)公式

焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，則稱弦AB為拋物線的焦點(diǎn)弦.設(shè)過拋物線y2=2px(p＞0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1,y1)

，B(x2,y2)，則焦點(diǎn)弦|AB|＝

(x1＋x2)

＋p(x1,y1)(x2,y2)解惑提高過點(diǎn)M(2,0)作斜率為1的直線l，交拋物線y2=4x于兩點(diǎn)A、B，求焦點(diǎn)，求|AB|．

即時(shí)鞏固四、總結(jié)提升拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：范圍，對(duì)稱性，頂點(diǎn)，離心率；2.利用數(shù)形結(jié)合思想研究了幾何性質(zhì)；3.用坐標(biāo)法解決問題，幾何問題“翻譯”為代數(shù)問題——代數(shù)運(yùn)算與推理——代數(shù)結(jié)論“翻譯”為幾何結(jié)論．方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=