一、考試重點

晶體結構、晶體結合、晶格振動、能帶論的基本概念和基本理論和知識

二、復習內(nèi)容

第一章晶體結構

?基本概念

1、晶體分類及其特點：

單晶粒子在整個固體中周期性排列

非晶粒子在幾個原子范圍排列有序（短程有序）

多晶粒子在微米尺度內(nèi)有序排列形成晶粒，晶粒隨機堆積

準晶體粒子有序排列介于晶體和非晶體之間

2、晶體的共性：

解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性質(zhì)

各向異性晶體的性質(zhì)與方向有關

旋轉對稱性

平移對稱性

3、晶體平移對稱性描述：

基元構成實際晶體的一個最小重復結構單元

格點用幾何點代表基元，該幾何點稱為格點

晶格、

平移矢量基矢確定后，一個點陣可以用一個矢量表示，稱為晶格平移矢量

瓦=%,=+，避2+，3痣=0;±1.±2.±3;-?-）

例、

-

苴七三個不共面矢量2為點陣空間坐標矢量，稱為基矢。

元胞以一個格點為頂點，以某一方向上相鄰格點的距離為該方向的周期，以三個不

同方向的周期為邊長，構成的最小體積平行六面體。原胞是晶體結構的最小體積重

復單元，可以平行、無交疊、無空隙地堆積構成整個晶體。每個原胞含1個格點，

原胞選擇不是唯一的

晶胞以一格點為原點，以晶體三個不共面對稱軸（晶軸）為坐標軸，坐標軸

上原點到相鄰格點距離為邊長，構成的平行六面體稱為晶胞。

晶胞邊長同、、向稱為晶格常數(shù);

晶格常數(shù)B

WS元胞以一格點為中心，作該點與最鄰近格點連線的中垂面，中垂面圍成的多面體

稱為WS原胞。WS原胞含一個格點

復式格子不同原子構成的若干相同結構的簡單晶格相互套構形成的晶格

簡單格子

點陣格點的集合稱為點陣

布拉菲格子全同原子構成的晶體結構稱為布拉菲晶格子。

4、常見晶體結構：簡單立方、體心立方、面心立方、

金剛石

兩個面心立方晶格沿體對角線相互移動1/4對角線長套構成

閃鋅礦

體對角線上離子面心立方與頂角、面心離子面心立方沿體對

角線相互移動1/4對角線長套構而成。

鉛鋅礦

六方硫離子晶格和六方鋅離子晶格沿六方軸C移動3c/8長度套構形成。

氯化鈍

Cs+和Cl-各自構成簡立方晶格，沿體對角線相互移動1/2對

角線長套構而成。

氯化鈉

N#和C1-各自構成面心立方格子沿立方邊長方向相互移動半

個邊長套構形成。

鈣鈦礦結構

A離子在立方頂角，B離子在立方體心（氧八面體中心），Oi、

On、Oni分別在立方面心，A、B、。八?？?、。皿各自組成簡單

立方格子套構而成。

5、密排面將原子看成同種等大剛球，在同一平面上，一個球最多與六個球相切，形成密排

面

密堆積密排面按最緊密方式疊起來形成的三維結構稱為密堆積。

六腳密堆積密排面按AB\AB\AB…堆積

中心反演i

1

（x15x2JJJ）T（一玉,一工2,一天）

、玉,3）B--100］「xj

________X；=0-10x2

.-------------------*毛X3J00-1Xj

（X；,芯芯、-100-

D=0-10

00-1

鏡面反映CT

（玉心口3）

3*

_______/:

/上

:（XXM

n次旋轉對稱軸Cn

將晶體圍繞某一固定軸旋轉工后,晶體重合，則對應的固定軸

n

稱為〃次旋轉對稱軸,其操作矩陣是正交矩陣。

司」10(）

乂=0cos6-sin8七

§Q

芯0sin0cos

14種布拉菲晶胞

14種布拉菲晶胞

名稱布拉菲晶胞類型對稱性最高的點群晶胞基矢特征

簡單立方（P）

立方晶系a-b-c

面心立方（F）O

（高級對稱）ha二4=7=90

體心立方（I）

四方晶系簡單四方（P）a-b^c

P-簡單Df

（中級對稱）體心四方（Da=Q=y=9。

I-體心簡單正交（P）

a*b±c

正交晶系底心正交（C）

F-面心

（低級對稱）體心正交（I）外a=/?=y=90

面心正交（F）

R-菱形

單斜晶系簡單單斜（P）a*b豐c

C-底心

（低級對稱）底心單斜（C）C?ha=4=90,”90

三斜品系豐

簡單三斜（P）￡ab#c

（低級對稱）a“w90?w90

三方晶系a=b=c

三方（R）,d

（中級抽）a=4=7工90

六方晶系%

六方（P）a=b^c

（中級對稱）a=8=90,y=120

32種宏觀對稱性

晶體32個點群

名稱標記符號的意義熊夫利符號

回轉群Q晶體只含有一個旋轉對稱軸G，GCC

晶體包含一個〃重旋轉軸和n個與之

雙面群

2垂直的二重軸

G群GG加上中心反演（對稱心）G

G群加上鏡面反映對稱面Q

口上與〃重旋轉軸垂直的水平對

，群CJ02冷03方，。4不。6力

酬h稱省

c群c?加上〃個含〃重旋轉軸垂直對

nv稱荷

。前群Z）加上與〃重旋轉軸垂直的水平2方，A/P2/P2力

對稱面

。㈢群Dn加上通過"重軸及兩根二重軸的

%角平分線的對稱面D】d,D3d

Sn群

凡晶體只包含象轉軸SQG

Td群Td含正四面體24個對稱操作Td

O群O°h中24個轉動操作加中心反演。，。卜

T群TTd中12個轉動操作T

。群T加上中心反演A

7個晶系

晶系：滿足32種宏觀對稱類型的晶胞,其基矢a,b,c的組合只有7種,每一種

組合稱為一個晶系.

6、描述晶體性質(zhì)的參數(shù)：

配位數(shù)晶體中一個原子周圍最鄰近原子個數(shù)稱為配位數(shù)。

晶體最大配位數(shù)為12,晶體可能配位數(shù)12,8,6,4,3,2。

晶列過任意兩格點的直線稱為晶列

晶向晶列方向

晶向指數(shù)

?晶向指數(shù)（晶列指數(shù)）

設元胞基矢為為q,格點。為原點,

沿著某一晶體方向，格點力的平移矢量,

耳=萬］+4萬？+/；53

W-0,±1,±2,…）

將化成互質(zhì)整數(shù)，

口⑷3］就是晶向指數(shù)

晶面全部格點用一族平行平面包含，該平行平面族稱為晶面族，族中每個平面稱為

晶面

晶面指數(shù)）晶面在元胞基矢截距的倒數(shù)的互質(zhì)整數(shù)組稱為晶面指數(shù)

密勒指數(shù)（hkD晶面在晶胞基矢上截距的倒數(shù)的互質(zhì)整數(shù)組稱為密勒指數(shù)

面間距

密勒指數(shù)（h,k,l）晶面系晶面間距，

面密度

體密度

晶面上的格點密度。與面間距d之間滿足

式中,P為格點體密度.

致密度

_晶胞中原子最大體積之和

‘晶胞體積

解理面對原子晶體，密勒指數(shù)簡單的晶面族，面間距較大，晶面格點密度大，晶面

間結合力較小，容易解理。對離子晶體，晶面格點密度大且晶面是電中性的晶面容

易解理

7、倒格子：

定義倒格子是晶格點陣在波矢空間的傅立葉變換

倒格子基矢:倒格子基矢4,方2，與?

7xxa

oa2a3,a3a,,_

fi=af(a2XaJ為正格子元胞體積?

倒格矢

+〃石，+(”「%，砥=0,土1,土2,土3,???)

Gnh=h1S.1xznn

布里淵區(qū)以任意倒格點為原點，作所有倒格矢的垂直平分面將倒格子空間分成的一

系列區(qū)域，稱為布里淵區(qū)

?理論公式

1、布拉菲點陣分布函數(shù)？?？

2、倒格矢

3、倒格子基矢與正格子關系式

:倒格子基矢與正格子的關系為,

Qi'bj=2TT3U=j0j?jD=1,2,3

4、晶面指數(shù)(57-60)、密勒指數(shù)(61)、晶面間距(65-66)、晶面原子密度的計算????？

?圖形和關系曲線

1、簡單立方(配位數(shù)、元胞、元胞基矢、晶胞、晶胞基矢、不同晶面上格點分布、倒格

子基矢、第一布里淵區(qū))

?筒單立方晶格

晶胞基矢，原胞基矢，

a=ata-=ai

b=aj一=>

c=ak53=ak

alblca:la:1a3

晶格常數(shù)，同二|不|=同二。

晶胞與原胞同=|5|=向=a體積，

晶胞含1個格點，體積,Q=*(a;xa3)=a'

2、

(1)設簡單立方格子的基矢為a產(chǎn)ai、a2=aja3=ak,則對應的

倒格子基矢為b產(chǎn)(2Va)i、b2=(2n/a)j.b3=(27t/a)ko

(2)由瓦、b2、b3作出倒格子空間。倒格子元胞仍為簡單立

方，元胞大小為(2n/a)3。

(3)簡約布里淵區(qū)是原點與六個最近鄰倒格點連線的中垂面圍

成的立方體，其體積為(2Wa凡且包含了一個格點。

3、圖1-12(a)簡單立方圖1-44簡單立方格子的簡約布里淵區(qū)

2、體心立方(配位數(shù)、元胞、元胞基矢、晶胞、晶胞基矢、不同面上格點分布、倒格子基

矢、第一布里淵區(qū))

?體心立方晶格

晶胞基矢，

a=ai,b=aj,c=ak

a±b±c

晶格常數(shù)，

同=B卜同=。

晶胞含2個格點，體積，

晶胞與原胞

Q=

原胞基矢，

4=?(-亍+了+.)

a2=^(J-j

萬3=yG+7-*)

團=同|=同|=卓

原胞體積，

。=五1.(方2乂］3)=9

對廣體心立方結構，其原胞的基矢可取為

ai=互(—，+j+A)，02=—J+k),g=+j-k)，

其倒格子基矢為

bi=-“(j+A),62=(I+*,g=—CL(?+j).

4、面心立方(配位數(shù)、元胞、元胞基矢、晶胞、晶胞基矢、不同面上格點分布、倒格子

基矢、第一布里淵區(qū))

?面心立方晶格

晶胞基矢，

a=ai,b=aj,c=ak

a±blc

晶格常數(shù)，

同=b=|cI=a

晶胞含4個格點，體積，

Q=Q3

原胞基矢，萬1=y(J+k)

%=十f)

氏=/+])

團=同=鬲|=

原胞體積,

Q=a,(萬2、通)=—

6、

倒格子基矢、元胞體積,

Rxq=_G_J+斤）

4、金剛石結構（最小結構單元、配位數(shù)、元胞、晶胞、晶胞基矢、不同面格點分布、倒格

子基矢、第一布里淵區(qū)）

?金剛石結構

晶胞與元胞

體對角線原子面心立方晶格與頂角、面心原子面心立方晶格

沿體對角線相互移動1/4對角線長度套構形成面心立方格子

（復式）。

基元由面心（或頂角）原子和1/4對角線長度處原子組成。

晶胞基矢，

a=ai,b=aj,c=ak

a±b±c

晶格常數(shù)，

|<2|=|z>=歸]=a

晶胞包含外格點，晶胞體積，

Q=

金剛石晶格由兩個面心立方格子套構而成，第一布里淵區(qū)

由兩個面心立方倒格子的第一布里淵區(qū)套構而成。

第二章晶體結合

?基本概念

1、兩粒子間排斥力及其性質(zhì)

兩粒子間吸引力及其性質(zhì)

兩粒子間總相互作用力及其特點

,一、、r〃⑺>0

二，〃億）二°

吸引.篦而短勢力〃少八.

/、5、m、n>0

n>m

r—兩粒子間距

4-兩粒子平衡間距

吸引勢能，異性電荷之間的庫倫吸引勢（長程勢能）

排斥勢能：1、兩同性電荷庫倫排斥勢（長程勢能）

2、泡利不相容短程勢（短程勢能）

UG）=：￡〃（A/）

晶體總相互作用能人.'

晶體結合能絕對零度下，忽略粒子零點振動能，晶體粒子最小總相互作用勢能等于晶體結

合能3K）

4、離子鍵及特點

定義，晶體中正、負離子庫侖引力形成的結合力稱為離子鍵。

依靠離子鍵結合形成的晶體稱為離子晶體。

離子鍵特點，1、沒有方向性和飽和性

5、2、離子鍵越強，離子晶體越穩(wěn)定

馬德隆常數(shù)

2=y--------...............—

均，叼，與?4+〃；+nt）

（勺,叼，與不同時二0八''））

6、共價鍵的形成及其特點兩個原子各出一個電子，在兩個原子核之間形成較大電子云密

度被兩個原子共用、自旋相反配對的電子結構

飽和性

一個電子與另一個電子配對后不再與其它電子配對

8-N定貝IJ

共價鍵數(shù)等于原子軌道未填滿價電子數(shù)

方向性

共價鍵方向在電子波函數(shù)最大方向上，共價鍵強弱決定于兩

7、個電子波函數(shù)的交迭程度

極性共價鍵形成及其特點共用電子對偏向負電性大的原子的共價鍵

6、金屬鍵形成及其特點金屬原子結合成金屬晶體時，價電子脫離原子成為晶格共有電子，

原子成為正離子實，共有化電子與離子實庫侖引力構成金屬鍵

7、范德瓦耳斯鍵形成及其特點

靜電力一極性分子偶極矩之間的靜電力

范德瓦爾斯鍵會導力一極性分子偶極矩與感應偶極矩靜電力

色散力一非極性分子瞬時偶極矩間靜電力

原子負電中原子負電性=0.18（電離能+親和能）

原子電離能基態(tài)原子失去一個電子成為正離子所需能量

原子親和能基態(tài)原子俘獲一個電子成為負離子時釋放的能量

8、原子負電性與晶體結構關系

1、負電性小和負電性大兩種原子結合傾向形成離子晶體

2、原子負電性差別減小，原子結合由離子性向共價性變化

3、負電性較大的同種原子結合成晶體，傾向形成共價晶體

4、負電性較小的同種原子結合成晶體，傾向形成金屬晶體

5、氫與負電性大的原子形成共價鍵后，負電荷中心與氫核偏

9、離，氫核與另一個原子結合形成氫鍵晶體

10、SP\SP2、SP軌道雜化的形成及其性質(zhì)原子S、P軌道波函數(shù)雜化形成的波函數(shù)給出的

電子幾率分布稱為雜化軌道。

?理論公式

1、兩粒子間相互作用能的一般形式

2、兩粒子間相互作用力的一般形式

3、晶體體積彈性模量

定義晶體體積彈性模量父=卷=

4、原子負電性計算式

?圖形和關系曲線

1、兩粒子相互作用勢能

2、兩粒子相互作用力

3、SP?雜化軌道示意圖

第三章晶格振動

?基本概念

1、一維單原子晶格振動及其特點

2、一維雙原子晶格振動及其特點

3、簡諧近似原子繞格點彈性振動(諧振)，振動位移與彈性力成正比

4、最近鄰近似

只考慮最近鄰原子相互作用勢能，并且凡1=凡.】=￡,得到，

5、周期性邊界條件

N個元胞一維雙原子晶格周期性邊界條件，

Un~UR+N，冏=U/N

6、格波

原子集體振動形成波長2=二的簡諧波，稱為一個格波

q

(Latticewave)或晶格振動的一個簡正模。

8、格波波矢、波矢空間、

波矢密度

p(g)=±=A^(?)=-^-=—/(q)=_L=

"⑺La2乃Sq(2乃)“Qvq(24

第一布里淵區(qū)波矢個數(shù)

Un~UJI+N，Un~U

i(na

〃“=Ae^\un=Be"總

4=1

2萬？T

Naq=hxInq=---------hh=O.±l.±2-??

Na

波矢在第一布里淵區(qū)取值，

n7tN,1N

——<q<——>-------------<h<——

9、aa22

8、色散關系圓頻率-波長關系

d3

力=----

?dq

群速度“

相速度原子振動狀態(tài)用格波位相描述，波速等于振動位相傳播速度，稱為相速度

CD

U——:

「q

10、光學支格波

光學支格波色散關系（光學模），

A+21+￡；+2￡應cos(〃q)］/

工=----------------十—

11、mm

聲學支格波

聲學支格波色散關系（聲學模），

_1_［慶+/+2PMcos(aq)］為

m

長縱光學波、長縱聲學波基元中兩個原子相反振動，形成長光學波

10、振動模式數(shù)每個波矢對應一個聲學波圓頻率和一個光學波圓頻率。N個元胞一維雙原子

晶格共有2N個獨立振動模式（自由度）。

11、振動模式數(shù)與晶體結構的關系

11、聲子晶格振動能量的“量子”方生⑶）一聲子（格波能量子）

h

聲子準動尿聲子準動量方工=方（刈仄+ih+h3b3）

聲子統(tǒng)計分布一定溫度下，晶體中能量為的平均聲子數(shù)由玻色-愛因斯坦統(tǒng)計給出,

平均聲子數(shù)

1_1

n=x1-tiojki1

%e-ie—1

12、振動模式密度g（3）二菰

12、正則變換

獨立振動模式的正交性、

完備性周期性邊界條件下，所有的晶格振動模式構成正交、完備集

態(tài)空間

?理論公式

RK-na。7=1,2,3「??產(chǎn)）

1、一維格波〃。夕-第〃個原子的振動位相

劭加、,"

=w(0)exp[z(/^x6f+mqcot)]

二維格波

%。⑺=勺。⑺建m

三維格波解

2、一維、二維、三維晶格周期性邊界'+"

3、三維晶格振動總能量表達式及其意義

4、晶格振動模式密度定義

5、一維、二維、三維晶格振動模式密度計算

三維晶格振動模式密度

g（o）=-f|----------dS

（2萬尸?|▽產(chǎn)（。）|

二維晶格振動模式密度，

e房!艮始巴

一維晶格振動模式密度，

/、L1

S32;r\dfdq\

?圖形和關系曲線

CD

2、一維雙原子晶格色散關系曲線

aa

第四章晶體能帶

?基本概念

1、單電子近似（包括：絕熱近似假設相對于電子運動速度，離子實近似固定在格點上不動。

平均場近似假設每個價電子所處的周期場相同，與其它價電子、離子實的庫侖相互作用

只與該價電子位置有關

周期性勢場近似若單電子勢具有晶格平移周期性，晶體價電子的定態(tài)薛定譚方程求解轉

化為晶格周期場中單電子薛定修方程求解）

2、電子共有化運動、晶體電子、能帶電子波包代表的電子稱為能帶電子

3、布洛赫定理

晶體中共有化運動電子的本征波函數(shù)是調(diào)幅平面波（布洛赫波）。

（布洛赫波函數(shù)）

人（尸）=4（不+艮）

布洛赫波的物理意義

由布洛赫波函數(shù)，得到晶體共有化運動電子的幾率分布，

4、周期性邊界條件

5、電子波矢矢量定是平移算符本征值2（用）的量子數(shù)，稱為電子波矢

、波矢空間、波矢空間密度、電子能態(tài)（狀態(tài)）密度

6、能帶共有化電子能量本征值，不同波矢對應的能量值（能級）的集合，稱為能帶

禁帶（能隙）、滿帶、空帶、導帶能量最低的空帶、價帶能量最高的滿帶、近滿帶、半滿帶、

能帶底、能帶頂、能帶寬度

7、準經(jīng)典近似、波包

用能帶波矢k附近A4范圍內(nèi)的電子本征態(tài)疊加構成波包，

18E

v=---i

8、電子平均速度能帶電子波包群速度定義為能帶電子的平均速度hSk

電子加速度

9、電子有效質(zhì)量及其物理意義

2

1_1SEn(k}

在能帶頂，加周期勢場對電子作負功，電子傳遞給

晶格的能量大于外場力對電子的作功。

在能帶底，加*>0,周期場對電子作正功，電子從晶格得

到能量.

電子有效質(zhì)量概括了周期場對電子的作用，使外場下能帶電子的運動，可用服

從牛頓運動定律、具有有效質(zhì)量的“質(zhì)電子”來描述。

.h2

m=—-----

2luo

能帶底電子有效質(zhì)量次

82E(k)

能帶頂電子有效質(zhì)量O'

禁帶FEc-------

禁帶4_____與邑簟」

線二二.

10、導體--------、絕緣體-------------?一—、半導體

的能帶圖

11、固體導電性特點及其能帶論解釋

11、空穴及物理意義電場作用下，缺1個電子的能帶中其余2N-1個電子對電流的貢獻等效

為1個帶正電子電量粒子的貢獻，這個粒子稱為空穴

??

、空穴電荷量、空穴有效質(zhì)量“尸二一”"

?理論公式

1、一維晶格、二維晶格、三維晶格的狀態(tài)(能態(tài))密度

ds

gg=南”1▽出（左）

3式＞）=瞅6產(chǎn)

〃式亍）=,任+旦）

2、布洛赫波函數(shù)

3、電子、空穴平均速度

4、電子、空穴有效質(zhì)量

5、晶體電子在外場作用下的牛頓第二定律

方2

-^-V2（r）+r（r）W（尸）="（產(chǎn)）

6、單電子近似下的薛定謂方程1-

?圖形和關系曲線

1、電子能帶的四種不同表示方法

周期性布里淵區(qū)表示法

3/24_萬07t243不

2、aaaaaa

擴展布里淵區(qū)表示法

三、試卷結構

共七大題

1、填空題（20空，共20分）

2、畫圖及計算（10分）

3、概念解釋題（共5個概念，10分）

4、畫圖及計算（15分）

5、論述題（10分）

6、畫圖及論述（15分）

7、運用公式計算〔20分）

滿分：100分

四、成績構成

期末考試成績80%,平時成績20%

特點：1、考試題目體現(xiàn)不同章節(jié)內(nèi)容的連續(xù)

2、對所學內(nèi)容的準確掌握

補充：第一章PPT68改錯

第一章PPT75說明

目錄

一、本章難易及掌握要求1

二、基本內(nèi)容.....................................1

1、三種近似...................................1

2、周期場中的布洛赫定理.......................2

1）定理的兩種描述........................2

2）證明過程：............................2

3）波矢k的取值及其物理意義.............3

3、近自由電子近似...........................3

A、非簡并情況下.........................4

B、簡并情況下...........................5

C、能帶的性質(zhì)............................6

4、緊束縛近似.................................6

5、震勢.......................................9

6、三種方法的比較.............................10

7、布里淵區(qū)與能帶.............................11

8、能態(tài)密度及費米面...........................11

三、常見習題...................................14

簡答題部分...................................14

計算題部分.....................................15

一、本章難易及掌握要求

要求重點掌握：

1）理解能帶理論的基本假設和出發(fā)點；

2）布洛赫定理的描述及證明；

3）一維近自由電子近似的模型、求解及波函數(shù)討論，明白

三維近自由電子近似的思想；

4）緊束縛近似模型及幾個典型的結構的計算；

5）明白簡約布里淵區(qū)的概念和能帶的意義及應用；

6）會計算能態(tài)密度及明白費米面的概念。

本章難點：

1）對能帶理論的思想理解，以及由它衍生出來的的模型的

應用。比如將能帶理論應用于區(qū)分絕緣體，導體，半導體;

2）對三種模型的證明推導。

了解內(nèi)容：

1）能帶的成因及對稱性；

2）費米面的構造；

3）勢方法；

4）旺尼爾函數(shù)概念；

5）波函數(shù)的對稱性。

二、基本內(nèi)容

1、三種近似

在模型中它用到已經(jīng)下假設：

1）絕熱近似：由于電子質(zhì)量遠小于離子質(zhì)量，電子的運動速度

就比離子要大得多。故相對于電子，可認為離子不動，或者說電子的

運動可隨時調(diào)整來適合離子的運動。多體問題化為了多電子問題。

2）平均場近似：在上述多電子系統(tǒng)中，可把多電子中的每一個

電子，看作是在離子場及其它電子產(chǎn)生的平均場中運動，這種考慮叫

平均場近似。多電子問題化為單電子問題。

3）周期場近似：假定所有離子產(chǎn)生的勢場和其它電子的平均勢

場是周期勢場，其周期為晶格所具有的周期。單電子在周期性場中。

2、周期場中的布洛赫定理

1）定理的兩種描述

當晶體勢場具有晶格周期性時，電子波動方程的解具有以下性

質(zhì)：

形式一：HH&WW亦稱布洛赫定理，反映了相鄰原包之間

的波函數(shù)相位差

形式二：必亦稱布洛赫函數(shù)，反映了周期場的波函數(shù)可

用受?、苏{(diào)制的平面波表示,其中，〃）=出+凡），凡取布拉

菲格子的所有格矢成立。

2）證明過程：

a.定義平移算符T,T（一）=7T⑷中伍2）7?回）

b.證明了與。的對易性。TaH=HTa

c.代入周期邊界條件，求出丁在丁與方共同本征態(tài)下的本征值

，（尸）="（尸+MG）

BPif/⑺=中5+N2G2>A4=P,4=*%,4=*小

W）=W5+N3a3）

d.將幾代入7的本征方程中，注意了定義，可得布洛赫定理。

柿+RJ=邛殍芍歹⑺=*（"叫+嗎電+M）夕（》>〃⑺=*%"）!

3）波矢k的取值及其物理意義

八人后+上立+4a……一”</]”，k是第一布里淵區(qū)的

23J

/V,N2N.22

波失，稱簡約波矢。其是平移算符本征值量子數(shù)，而

7（孔明⑺=以尸+孔）=J鼠歹⑺反映了原胞之間電子波函數(shù)位相的變

化。同時也可以得出如果一個勢場是周期場，那么可以把其波函數(shù)設

為布洛赫函數(shù)。

3、近自由電子近似

1）思想：假設將周期場的周期起伏看作自由電子穩(wěn)定勢場的微擾

2）條件要求：原子的動能大于勢能以使電子可以自由運動，勢函

數(shù)的的起伏很小，以滿足微擾論適用，外層電子以滿足電子可以自由

運動。

3）模型建立過程：

首先，在零級近似下，考慮到周期性邊界條件得到了波矢的允許

取值，推出了能量的準連續(xù)性；

其次，由于考慮到二級微擾，而推出能量在布區(qū)邊界處分裂，且

發(fā)生了能級間的“排斥作用”，于是形成能帶和帶隙。

A、非簡并情況下

1)由假設1>,2>可得系統(tǒng)的哈密頓量和薛定丹方程:

h1d2

H=H0+H',+V,

H。=2

2陽dx

微擾項：

^=V(x)-V=AV,滿足的方程式：H-EW

2)利用微擾論方法有設：后人=琛+以)+以為+…,

其中：

或二2￡+乙=<k\H'\k>=0,E2)=Y一一一(K9K)

“2mk人-E；-E；,

設：憶(x)=婕(幻+般(x)+….

其中：

鶴即示"吸V聾舒:(KWK)

4)結論：

能量本征值：耳:空+D+Z'T^/-------

2m"—[A:2-a+-2^-)2]

2ma

波函數(shù)：…f——--------?

J1I1々工k2_(〃+々獷]

Ima

5)波函數(shù)的意義：

第一項是波矢為k的前進的平面波，第二項是平面波受到周期

性勢場作用產(chǎn)生的青攵射波

，，(,X

再令uk(x)=1+2L-------------e~,貝！J有〃式x)=(X)

"—R2-a+-2^-)2])L

2ma

具有布洛赫函數(shù)形式，其中用到，”a+〃心)=uk(X)

B、簡并情況下

1)同-碟|>>MI此時波矢k離一個較遠，k狀態(tài)的能量和狀態(tài)

尸。?以「

瓦二〈

2

4M.￡oIKI

《差別較大把3*按(七；「￡了泰勒級數(shù)展開得〔入心一印

由于能級間“排斥作用”，量子力學中微擾作用下，兩個相互

影響的能級總是原來較高的能量提高了，原來較低的能量降低了

2)|埼-磋|<<⑷時，波矢k非常接近-皆，k狀態(tài)的能量和k，

能量差別很小按將3*式⑻一與了泰勒級數(shù)展開得

<1

E±=g聞+&.±2|叫+與常■}

2川叫代入相應的球,以得

F+MI+M稿+1)

E土—_2T

”'一同-女(山)2

Z

n-―2m^—a)

可得如下結論兩個相互影響的狀態(tài)k和k'微擾后，能量變?yōu)镋+

和E-,原來能量高的狀態(tài)能量提高，原來能量低的狀態(tài)能量降低。

周期性E“(k)=E.(k+G)［周期為

倒格矢，由晶格平移對稱性決定］

反演對稱性E“(k)=E〃(一k)

［E“(一是個偶函數(shù)］

宏觀對稱性E“(k)=E〃(ak)

［。為晶體的一個點群對稱操作］

C、能帶的性質(zhì)

簡約波矢的取值被限制在簡約布里淵區(qū)，要標志一個狀態(tài)需要

表明：

1）它屬于哪一個能帶（能帶標號）

2）它的簡約波矢I是什么？

3）能帶底部，能量向上彎曲；能帶頂部，能量向下彎曲

2）禁帶出現(xiàn)在波矢空間倒格矢的中點處

3）禁帶的寬度帆帆…狙I

4）各能帶之間是禁帶，在完整的晶體中，禁帶內(nèi)沒有允許的能

級

5）計入自旋，每個能帶中包含2N個量子態(tài)

4、緊束縛近似

1）緊束縛近似的假設：

電子在原子附近，主要受該原子勢場作用，其它原子勢場視為

微擾作用。故此時不能用自由電子波函數(shù)，而用所有原子的同一電子

波函數(shù)的線性組合來表示。不考慮不同原子態(tài)間的作用。它一般要求

Atomiccore

原子之間的距離較大。?????

=加,！+7W石？+加，）

2）模型實現(xiàn)??七篇?

對于簡單格子電子在格矢?????

-?-?——<??

Rm=呵%十利必+?。3處原子附近運動“33

"0）滿足的薛定謗方程：

力22

[--V2+（/（r）W）=E^）

Z/7Z

U（『）是晶體的周期性勢場—所有原子的勢場之和。對方程進行

變換有［-4旬+丫任一凡）物⑺+［U（V-V任一凡）吸⑺=Ew⑺

2m

U（r）-V（r-&）即是微擾作用。

設晶體中電子的波函數(shù)"⑺=（此法的本質(zhì)），代

m

入上得：

Z%⑹+u⑺一V行一凡,）幽行-RJ=Eg勺依"-R）

tnmm

考慮到當原子間距比原子半徑大時，不同格點的2行-%）重疊很有，

］/行-%泗行-凡）方=3nm用（p；（r-/）左乘上面方程5*,得到

J媒（>-R）lU（r）-V（r-凡,）物（r-R）dr=（E-%）%

mnm

J<p；.一（凡一%）］uG）-v（<）M（^=-J（凡一%）

則得-2>3（用-凡）=（E，）〃”，考慮到周期性的勢場，應有

ni

am=C*凡，（N是任意常數(shù)矢量），則有E-q=-）"歷，

S

R=凡-氐.

利用歸一化條件則得：晶體中電子的波函數(shù)憶6）=.§*尺”--&）

考慮用簡約波失表示有力⑺=點*?/3心夕"—心）］,由此可得

對于確定"E（Q=￡j-W7（R）/3R,而且實現(xiàn)了N個晶體中的電子

S

波函數(shù)與束縛態(tài)的波函數(shù)的幺正變換換：

0島氐、

/&...C-/一居）、

-2?即

1e~???0（尸一凡）

*=芹*

?.*

*??

6兩后,6匹國..ikNRN

C7?口一風）,

3）模型簡化:

考慮-M)=f^；G-R)eG)-vG)sG)}據(jù)的化簡：

當。;G-凡)和%?)有重疊時，積分不為0。

a最完全的重疊用=凡-凡,=0,得人=-佃(就36)-1/(打死

b其次考慮近鄰格點的格矢艮，得E(h=￡「J「2>(尺)屋應。。6*

/?r=Nearest

能帶底部電子的有效質(zhì)量加=—J,能帶頂部電子的有效質(zhì)量

2

2Jta

4)能級與能帶的對應

A計算簡單立方晶格中由原子s態(tài)形成的能帶s態(tài)的波函數(shù)是

球?qū)ΨQ的，在各個方向重疊積分相同。找出緊鄰坐標代入6*有

E(k)=￡i-Jo-2J{(coskxa+coskva+cosk.a),其中在能帶「：k=(0,0,0)

處在E=(0,0,0)處用級數(shù)展開有Enin=a-4+64，在能帶頂部

R：U-)按k=(-,-)附近按泰勒級數(shù)展開得

aaaaaa

Emax=￡-J+6，BandEnergyinSolid

ioEnergyofAtom

帶寬取決于Jl，大小取fr

1Jo...

決于近鄰原子波函數(shù)之間的+\

相互重疊，重疊越多，形成能XCH004025￡

AW￡>xvxy即SoM

帶越寬，同樣可以看出，由于k的取值f/■可以有N

個，故一個能級在微擾下分裂成為一個能帶。

1-XCWXM_Cl2R

B對于一般情況有如下結論：

一個原子能級ei對應一個能帶，不同的原子能級對應不同的能帶。

當原子形成固體后，形成了一系列能帶能量較低的能級對應的能帶較

窄，能量較高的能級對應的能帶較寬。簡單情況下，原子能級和能帶

之間有簡單的對應關系，如ns