1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用問(wèn)題:

數(shù)學(xué)家龐加萊每天都從一家面包店買(mǎi)一塊1000g的面包，并記錄下買(mǎi)回的面包的實(shí)際質(zhì)量。一年后，這位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的均值為950g。于是龐加萊推斷這家面包店的面包分量不足。假設(shè)“面包分量足”，則一年購(gòu)買(mǎi)面包的質(zhì)量數(shù)據(jù)的平均值應(yīng)該不少于1000g；“這個(gè)平均值不大于950g”是一個(gè)與假設(shè)“面包分量足”矛盾的小概率事件；這個(gè)小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果。1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用定量變量的取值一定是實(shí)數(shù)，它們的取值大小有特定的含義，不同取值之間的運(yùn)算也有特定的含義.如身高、體重、考試成績(jī)、溫度等等.變量定量變量分類(lèi)變量?jī)蓚€(gè)定量變量的相關(guān)關(guān)系分析：回歸分析（畫(huà)散點(diǎn)圖、相關(guān)指數(shù)R2、殘差分析）（定性變量）1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用對(duì)于性別變量，其取值為男和女兩種，這種變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類(lèi)別，像這樣的變量稱(chēng)為分類(lèi)變量.在日常生活中，主要考慮分類(lèi)變量之間是否有關(guān)系：如是否吸煙、宗教信仰、是否患肺癌、國(guó)籍等等.例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對(duì)于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等.分類(lèi)變量也稱(chēng)為屬性變量或定性變量，它們的取值一定是離散的，而且不同的取值僅表示個(gè)體所屬的類(lèi)別，如性別變量，只取男、女兩個(gè)值1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用兩個(gè)分類(lèi)變量的相關(guān)關(guān)系的分析：①通過(guò)圖形直觀判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否相關(guān)；②獨(dú)立性檢驗(yàn).1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965由列聯(lián)表可以粗略估計(jì)出，在不吸煙者中，有0.54%患有肺癌；在吸煙者中，有2.28%患有肺癌。因此，直觀上可以得到結(jié)論：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異.與表格相比，三維柱形圖和二維條形圖能更直觀地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀況.為調(diào)查吸煙是否對(duì)患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）：吸煙與患肺癌列聯(lián)表（列出兩個(gè)分類(lèi)變量的頻數(shù)表）：1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)98749199651、列聯(lián)表2、三維柱形圖3、二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙080007000600050004000300020001000從三維柱形圖能清晰看出各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大小.從二維條形圖能看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例.1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用不吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例4、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達(dá)了兩種情況下患肺癌的比例.1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用上面我們通過(guò)分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來(lái)考察這個(gè)問(wèn)題.現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”，為此先假設(shè)：H0：吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d把數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表：1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d吸煙與患肺癌的列聯(lián)表：如果“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，則在吸煙者中不患肺癌的比例應(yīng)該與不吸煙者中相應(yīng)的比例應(yīng)差不多，即|ad-bc|越小，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；|ad-bc|越大，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng).1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量

若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，則K2應(yīng)很小.由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得K2的觀測(cè)值為：（1）其中n=a+b+c+d為樣本容量.1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用在H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率：也就是說(shuō)，在H0成立的情況下，對(duì)隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀測(cè)，觀測(cè)值超過(guò)6.635的頻率約為0.01，是一個(gè)小概率事件.現(xiàn)在K2的觀測(cè)值為56.632，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于6.635，所以有理由斷定H0不成立，即認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”

但這種判斷會(huì)犯錯(cuò)誤，犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過(guò)0.01，即我們有99％的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用利用隨機(jī)變量K2來(lái)確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的方法稱(chēng)為兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).獨(dú)立性檢驗(yàn)：如果，就判斷H0不成立；否則就判斷H0成立.1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用反證法原理與假設(shè)檢驗(yàn)原理反證法原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果推出一個(gè)矛盾，就證明了這個(gè)假設(shè)不成立。假設(shè)檢驗(yàn)原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果一個(gè)與該假設(shè)矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個(gè)假設(shè)不成立。1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想：類(lèi)似于數(shù)學(xué)上的反證法，對(duì)“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度的判斷：（1）假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個(gè)分類(lèi)變量沒(méi)有關(guān)系”成立.（2）在假設(shè)條件下，計(jì)算構(gòu)造的隨機(jī)變量K2，如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2很大，則在一定程度上說(shuō)明假設(shè)不合理.（3）根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義，可以通過(guò)（2）式評(píng)價(jià)假設(shè)不合理的程度，由實(shí)際計(jì)算出的k>6.635，說(shuō)明假設(shè)不合理的程度約為99%，即“兩個(gè)分類(lèi)有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度約為99%.1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用y1y2總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱(chēng)為2x2列聯(lián)表）為：1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系，能較精確地給出這種判斷的可靠程度.具體作法是：（1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題需要的可信程度確定臨界值k0；（2）由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k；（3）如果k>6.635，就以1-P(K2≥6.635)×100%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就說(shuō)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù).1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.445k0.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.50（1）如果k>10.828，就有99.9%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（2）如果k>7.879，就有99.5%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（3）如果k>6.635，就有99%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（4）如果k>5.024，就有97.5%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（5）如果k>3.841，就有95%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（6）如果k>2.706，就有90%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（7）如果k<=2.706，就認(rèn)為沒(méi)有充分的證據(jù)顯示

“X與Y有關(guān)系”.臨界值1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用例1在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂。分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？禿頭不禿頭1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表1-13：患心臟病不患心臟病總計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048總計(jì)6657721437

根據(jù)聯(lián)表1-13中的數(shù)據(jù)，得到所以有99%的把握認(rèn)為“禿頂患心臟病有關(guān)”。因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)來(lái)自住院的病人，因此所得到的結(jié)論適合住院的病人群體．1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用例2為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，在某城市的某校高中生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生，得到如下聯(lián)表：喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程總計(jì)男3785122女35143178總計(jì)72228300

由表中數(shù)據(jù)計(jì)算K2的觀測(cè)值k≈4.513。在多大程度上可以認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系？為什么？1.2.1獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用而我們所得到的K2的觀測(cè)值k≈4.513超過(guò)3.841，這就意味著“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之