福建省“超級全能生”2025屆高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線上一點的縱坐標(biāo)為4，則點到拋物線焦點的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，當(dāng)最小時，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．3．函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B． C． D．4．設(shè)點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數(shù)t的值為（）A． B． C． D．5．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A．45 B．50 C．55 D．607．函數(shù)在上為增函數(shù)，則的值可以是()A．0 B． C． D．8．已知拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，直線與拋物線交于，兩點，若，則為()A． B．40 C．16 D．9．執(zhí)行程序框圖，則輸出的數(shù)值為（）A． B． C． D．10．已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經(jīng)過點，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．11．某部隊在一次軍演中要先后執(zhí)行六項不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E，任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有（）A．36種 B．44種 C．48種 D．54種12．已知若（1-ai）(3+2i)為純虛數(shù)，則a的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在三棱錐中，，，兩兩垂直且，點為的外接球上任意一點，則的最大值為______.14．設(shè)實數(shù)滿足約束條件,則的最大值為______.15．如圖，己知半圓的直徑，點是弦（包含端點，）上的動點，點在弧上．若是等邊三角形，且滿足，則的最小值為___________.16．設(shè)函數(shù)，，其中．若存在唯一的整數(shù)使得，則實數(shù)的取值范圍是_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）證明：函數(shù)的極小值點為1；（2）若函數(shù)在有兩個零點，證明：.18．（12分）已知數(shù)列滿足對任意都有，其前項和為，且是與的等比中項，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項和為，求大于的最小的正整數(shù)的值．19．（12分）已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，且是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.20．（12分）若函數(shù)為奇函數(shù)，且時有極小值.（1）求實數(shù)的值與實數(shù)的取值范圍；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，底面為正方形，、分別為、的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．22．（10分）已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等式；（2）若函數(shù)的圖象恒在直線的上方，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因為點A的縱坐標(biāo)為4，所以點A到拋物線準(zhǔn)線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點的性質(zhì)拋物線上的點到焦點的距離，考查學(xué)生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到，可以簡化運算.2、A【解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù)，列出不等式組，求得，所以當(dāng)最小時，，之后將函數(shù)零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點的個數(shù)問題，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】由于為上的減函數(shù)，則有，可得，所以當(dāng)最小時，，函數(shù)恰有兩個零點等價于方程有兩個實根，等價于函數(shù)與的圖像有兩個交點．畫出函數(shù)的簡圖如下，而函數(shù)恒過定點，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為．故選：A.【點睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識點有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題目.3、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時的符號，即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，排除選項A，B；當(dāng)時，，，排除選項D，故選：C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性，屬于中檔題.4、C【解析】

設(shè)，求，作為的函數(shù)，其最小值是6，利用導(dǎo)數(shù)知識求的最小值．【詳解】設(shè)，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時，，時，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)求最值．解題時對和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵．5、D【解析】

求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，該點位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的位置的判斷，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率＝小矩形的高×組距計算成績低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量求出班級人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴樣本容量（即該班的學(xué)生人數(shù)）是60（人）.故選：D.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了頻率的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】

依次將選項中的代入，結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當(dāng)時，在上不單調(diào)，故A不正確；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故B不正確；當(dāng)時，在上不單調(diào)，故C不正確；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D【點睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性，涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是一道容易題.8、D【解析】

如圖所示，過分別作于，于，利用和，聯(lián)立方程組計算得到答案.【詳解】如圖所示：過分別作于，于.，則，根據(jù)得到：，即，根據(jù)得到：，即，解得，，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中弦長問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.9、C【解析】

由題知：該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值，計算程序框圖的運行結(jié)果即可得到答案.【詳解】，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，不滿足條件，輸出.故選：C【點睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于簡單題.10、B【解析】

先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面，然后利用面面平行的性質(zhì)定理，得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示：確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【點睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì)，面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.11、B【解析】

分三種情況，任務(wù)A排在第一位時，E排在第二位；任務(wù)A排在第二位時，E排在第三位；任務(wù)A排在第三位時，E排在第四位，結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰，分別求出三種情況的排列方法，即可得到答案．【詳解】六項不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F，如果任務(wù)A排在第一位時，E排在第二位，剩下四個位置，先排好D、F，再在D、F之間的3個空位中插入B、C，此時共有排列方法：；如果任務(wù)A排在第二位時，E排在第三位，則B，C可能分別在A、E的兩側(cè)，排列方法有，可能都在A、E的右側(cè)，排列方法有；如果任務(wù)A排在第三位時，E排在第四位，則B，C分別在A、E的兩側(cè)；所以不同的執(zhí)行方案共有種．【點睛】本題考查了排列組合問題，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．12、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則化簡可得，根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為，該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以.故選：A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的分類，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì)，求出外接球的半徑，結(jié)合向量的運算，將問題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點到外心距離最大的問題，即可求得結(jié)果.【詳解】因為兩兩垂直且，故三棱錐的外接球就是對應(yīng)棱長為2的正方體的外接球.且外接球的球心為正方體的體對角線的中點，如下圖所示：容易知外接球半徑為.設(shè)線段的中點為，故可得，故當(dāng)取得最大值時，取得最大值.而當(dāng)在同一個大圓上，且，點與線段在球心的異側(cè)時，取得最大值，如圖所示：此時，故答案為：.【點睛】本題考查球體的幾何性質(zhì)，幾何體的外接球問題，涉及向量的線性運算以及數(shù)量積運算，屬綜合性困難題.14、【解析】

試題分析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖，當(dāng)直線過點時，最大，且考點：線性規(guī)劃.15、1【解析】

建系，設(shè)，表示出點坐標(biāo)，則，根據(jù)的范圍得出答案．【詳解】解：以為原點建立平面坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，設(shè)，則，，，，，，，顯然當(dāng)取得最大值4時，取得最小值1．故答案為：1．【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，坐標(biāo)運算，屬于中檔題．16、【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出圖像,再根據(jù)存在唯一的整數(shù)使得數(shù)形結(jié)合列出臨界條件滿足的關(guān)系式求解即可.【詳解】解：函數(shù),且畫出的圖象如下：因為,且存在唯一的整數(shù)使得,故與在時無交點,,得；又,過定點又由圖像可知,若存在唯一的整數(shù)使得時,所以,存在唯一的整數(shù)使得所以.根據(jù)圖像可知,當(dāng)時,恒成立.綜上所述,存在唯一的整數(shù)使得,此時故答案為：【點睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)范圍的問題,需要根據(jù)題意分別分析定點右邊的整數(shù)點中為滿足條件的唯一整數(shù),再數(shù)形結(jié)合列出時的不等式求的范圍.屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)利用導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的增減.(2)函數(shù)在有兩個零點，即方程在區(qū)間有兩解，令通過二次求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性證明參數(shù)范圍.【詳解】解：（1）證明：因為，當(dāng)時，，，所以在區(qū)間遞減；當(dāng)時，，所以，所以在區(qū)間遞增；且，所以函數(shù)的極小值點為1（2）函數(shù)在有兩個零點，即方程在區(qū)間有兩解，令，則令，則，所以在單調(diào)遞增，又，故存在唯一的，使得，即，所以在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，且，又因為，所以，方程關(guān)于的方程在有兩個零點，由的圖象可知，，即.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,確定函數(shù)的極值,利用二次求導(dǎo),零點存在性定理確定參數(shù)范圍,屬于難題.18、（1）（2）4【解析】

（1）利用判斷是等差數(shù)列，利用求出，利用等比中項建立方程，求出公差可得.（2）利用的通項公式,求出，用錯位相減法求出，最后建立不等式求出最小的正整數(shù).【詳解】解：任意都有，數(shù)列是等差數(shù)列，，又是與的等比中項，，設(shè)數(shù)列的公差為，且，則，解得，，；由題意可知，①，②，①﹣②得：，，，由得，，，，滿足條件的最小的正整數(shù)的值為．【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前項和公式及錯位相減法求和.(1)解決等差數(shù)列通項的思路(1)在等差數(shù)列中，是最基本的兩個量，一般可設(shè)出和，利用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式列方程(組)求解即可.(2)錯位相減法求和的方法：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解;在寫“”與“”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達式19、（1），；（2）【解析】試題分析：（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式先求得公差和公比，即得到結(jié)論;（2）利用分組求和法，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項和公式即可求得數(shù)列前n項和．試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得d===1．∴an=a1+（n﹣1）d=1n設(shè)等比數(shù)列{bn﹣an}的公比為q，則q1===8，∴q=2，∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1，∴bn=1n+2n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=1n+2n﹣1，∵數(shù)列{1n}的前n項和為n（n+1），數(shù)列{2n﹣1}的前n項和為1×=2n﹣1，∴數(shù)列{bn}的前n項和為；考點：1.等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；2.等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；1.數(shù)列求和．20、（1），；（2）【解析】

（1）由奇函數(shù)可知在定義域上恒成立，由此建立方程，即可求出實數(shù)的值；對函數(shù)進行求導(dǎo)，，通過導(dǎo)數(shù)求出，若，則恒成立不符合題意，當(dāng)，可證明，此時時有極小值.（2）可知，進而得到，令，通過導(dǎo)數(shù)可知在上為單調(diào)減函數(shù)，由可得，從而可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由函數(shù)為奇函數(shù)，得在定義域上恒成立，所以，化簡可得，所以.則，令，則.故當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上遞減，在上遞增，若，則恒成立，單調(diào)遞增，無極值點；所以，解得，取，則又函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不間斷，故由函數(shù)零點存在性定理知在區(qū)間上，存在為函數(shù)的零點，為極小值，所以，的取值范圍是.（2）由滿足，代入，消去可得