2024-2025學(xué)年山西省高二上學(xué)期11月期中聯(lián)合數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一?二冊(cè)占20%，選擇性必修第一冊(cè)占80%.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)補(bǔ)集和交集的概念與運(yùn)算直接得出結(jié)果.由題意得，所以.故選：A2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念求解.因?yàn)?，所以，則.故選：D.3.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.1 B.2 C. D.0【正確答案】B【分析】由函數(shù)的奇偶性可得，代入函數(shù)解析式直接得出結(jié)果.由偶函數(shù)性質(zhì)得，.故選：B4.從和兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)能被3整除的概率是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】用列舉法寫出樣本空間，再由概率公式計(jì)算．組成兩位數(shù)的樣本空間，樣本點(diǎn)總數(shù)為8.能被3整除的數(shù)為24，42，有2個(gè).故所求概率為.故選：D．5.圖中展示的是一座拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面，水面寬，水面下降后，水面寬度為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】建立直角坐標(biāo)系，直線交拋物線于兩點(diǎn)，拋物線方程為，代入拋物線，解得答案.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn).設(shè)拋物線的方程為，由點(diǎn)可得，解得，所以.當(dāng)時(shí)，，所以水面寬度為.故選：C.6.已知橢圓，過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)、，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率.若線段軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)、，由題意可得，，則，兩式相減可得，所以，，解得，因此，直線的斜率為.故選：A.7.若動(dòng)圓過定點(diǎn)，且和定圓：外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（）A.（） B.（）C.（） D.（）【正確答案】D【分析】根據(jù)動(dòng)圓與定圓外切得出，再由雙曲線定義判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡，寫出方程即可.定圓的圓心為，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.設(shè)，由兩圓外切可得，所以,所以的軌跡為雙曲線的右支.設(shè)的軌跡方程為，則，所以軌跡方程為.故選：D8.已知，，若直線上存在點(diǎn)P，使得，則t的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)，得出的軌跡方程，再結(jié)合條件為直線上的點(diǎn)，得到直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)在以為圓心，4為半徑的圓上.點(diǎn)在直線上，所以直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得故選:B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與在第一象限的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，下列結(jié)論正確的是（）A.直線過點(diǎn) B.直線的傾斜角為C. D.是等邊三角形【正確答案】ABD【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)，代入驗(yàn)證可判斷A；由直線的斜率求出傾斜角可判斷B；由與直線的傾斜角的關(guān)系可判斷C；由拋物線定義可知，進(jìn)而判斷的形狀，從而判斷D.拋物線的焦點(diǎn)為，而，所以直線過點(diǎn)，故A正確；設(shè)直線的傾斜角，因?yàn)橹本€的斜率為，，所以，即直線的傾斜角為，故B正確；因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，由拋物線定義可知，，又，所以是等邊三角形，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.在上單調(diào)遞增【正確答案】ABD【分析】根據(jù)三角恒等變換的化簡(jiǎn)計(jì)算可得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.詳解】.A：，所以的最小正周期為，故A正確；B：令，得，當(dāng)時(shí)，，所以為函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故B正確；C：令，得，當(dāng)時(shí)，，所以為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；D：令，得，當(dāng)時(shí)，，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，而為的真子集，故D正確.故選：ABD11.若平面，平面，平面，則稱點(diǎn)F為點(diǎn)E在平面內(nèi)的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，，記平面為，平面ABCD為，，（）A.若，則B.存在點(diǎn)H，使得平面C.線段長(zhǎng)度的最小值是D.存在點(diǎn)H，使得【正確答案】ABC【分析】先建系，對(duì)于選項(xiàng)A，先證Q，B，N，P四點(diǎn)共面，再計(jì)算的值；對(duì)于選項(xiàng)B，先找出，，可得是平面的一個(gè)法向量，結(jié)合平面，則，依此求出H的位置；對(duì)于選項(xiàng)C，表示出，求解其最小值即可；對(duì)于D，依據(jù)，則，從而可判定H的存在性.對(duì)于A：因?yàn)闉橹彼睦庵?，，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接PQ，則，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四點(diǎn)共面，若，則，解得，A正確；對(duì)于B：過點(diǎn)H作，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作AB的垂線，垂足即，過點(diǎn)A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，則，，，，故，，，，易得是平面的一個(gè)法向量，若平面，則，即，解得，符合題意，所以存在點(diǎn)H，使得平面，B正確，對(duì)于C：，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，C正確.對(duì)于D：若，則，得，無解，所以不存在點(diǎn)H，使得，D錯(cuò)誤.故選：ABC關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意可知在平面上，然后建立坐標(biāo)系，根據(jù)投影表示所需要點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)計(jì)算即可.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知單位向量滿足，則與的夾角為__________.【正確答案】##【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求得，結(jié)合數(shù)量積的定義計(jì)算即可求解.由，可得，解得，則，又，所以與夾角為.故13.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是的中點(diǎn)，則__________.【正確答案】6【分析】，為等邊三角形，利用向量數(shù)量積的定義求即可.棱長(zhǎng)為的正方體中，連接，則是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，..故選：14.已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)與在第一象限的交點(diǎn)為，且，記的離心率分別為，則__________.【正確答案】2【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得，根據(jù)勾股定理化簡(jiǎn)可得，結(jié)合離心率定義即可得結(jié)果.由題意可知，，所以.因?yàn)?，所以，即，所以，?.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知在中，，，，記的外接圓為圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）方法一，求兩條線段垂直平分線的交點(diǎn)確定圓心，圓心到圓上一點(diǎn)的距離確定半徑，從而得到圓的方程；方法二，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，待定系數(shù)法求圓的方程.（2）先求圓心與點(diǎn)連線的斜率，利用垂直關(guān)系，確定切線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求解切線方程.【小問1詳解】（方法一）直線的方程為，、的中點(diǎn)為，所以線段的中垂線方程為，直線的方程為，、的中點(diǎn)為，線段的中垂線方程為.直線與直線的交點(diǎn)為，即圓的圓心為.點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，即圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（方法二）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得故圓標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】圓的圓心為，，直線的斜率為，所以切線斜率為，所求切線方程為，整理得.16.如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形，分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：平面.（2）求二面角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可證明線面平行；（1）由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二面角的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則即令，則.證明.因?yàn)椋?，平面ACD1，所以平面.【小問2詳解】易知為平面的一個(gè)法向量，且..易得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.17.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)且與軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，是與的一個(gè)公共點(diǎn)，，.（1）求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且與相切的直線與交于點(diǎn)，求.【正確答案】（1）的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）【分析】（1）由拋物線的定義代入計(jì)算，即可求得的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，即可得到的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】記，則拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.因?yàn)?，所以，解得，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，記，因?yàn)?，所以，解?因?yàn)?，所以，?由解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則.設(shè)直線.聯(lián)立得.由，解得，則.設(shè).聯(lián)立得，則，故.18.如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面.（1）證明.（2）點(diǎn)在線段上，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由線面垂直的判定定理可證平面，再由其性質(zhì)定理即可證明；（2）根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及線面角的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榈冗吶切?，所?因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所?【小問2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則即令，則，所以.設(shè)直線與平面所成的角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左?右頂點(diǎn)分別為，圓過點(diǎn)（1）求的方程；（2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線與雙曲線的左?右兩支的交點(diǎn)分別為，，連接并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)，記直線與直線的交點(diǎn)為，證明：點(diǎn)在曲線上.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由圓過點(diǎn)得，由已知得是等邊三角形，進(jìn)而得漸近線的斜率，