專題02復(fù)數(shù)

核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的概念及幾何意義

考點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的模和共拆復(fù)數(shù)

考點(diǎn)三、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

重點(diǎn)難點(diǎn)

1、復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用

|經(jīng)典基礎(chǔ)題|

題型

I01|復(fù)數(shù)的概念及幾何意義

1.（22-23高一下?天津?期中）若復(fù)數(shù)z滿足z=4-3i,貝”的虛部是（）

A.3B.-3C.3iD.-3i

【答案】B

【分析】根據(jù)虛部的定義直接得到答案.

【詳解】復(fù)數(shù)z滿足z=4-3i,貝i]z的虛部是_3.

故選：B

2.（22-23高一下?天津?期中）已知復(fù)數(shù)（3-4i）z=-3+i,則1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算，表示出共軟復(fù)數(shù)，從而得答案.

……-3+i（-3+i）（3+4i）-13-9i139.

［詳解］因?yàn)閦-3_不一（3—4i）（3+4i廠一~~25~iT*）

-139_

所以z=-二+）1.故I在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

故選：B

3.（22-23高一下?天津?期中）已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)沿在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

2-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)言，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.

2

…【詳小解】因中小為。2+3i=骨（2+卷3i）rj：4F+1^2i-9=一5丁1丁2.,

所以，復(fù)數(shù)巖在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為［-工,獸］，位于第二象限.

2-31I1313>

故選：B.

4.（22-23高一下?天津?期中）已知復(fù)數(shù)z=生，則（）

1

A.z的虛部為1B.\z\=2

C.z?為純虛數(shù)D.7在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)后再判斷即可.

【詳解】z=\2=-i（l+i）=l-i,的虛部為一1,忖=也，z?=_2i為純虛數(shù)，1=l+i在復(fù)平

面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.

故選：C.

5.（22-23高一下?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足z+（3+4i）=l,則z的虛部是

【答案】-4

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算求復(fù)數(shù)，即可確定其虛部.

【詳解】由題設(shè)z=l-（3+4i）=-2-4i,故虛部為一4.

故答案為：-4

6.（19-20高一下?天津和平?期中）已知復(fù)數(shù)z=l-2i,則復(fù)數(shù)上的模為；復(fù)數(shù)1的虛部

Z2

為.

…V52

【答案】--

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出復(fù)數(shù)■的虛部，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式

Z

可求出復(fù)數(shù)L的模.

Z

故答案為：g;|.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)虛部和模的計(jì)算，一般要將復(fù)數(shù)表示為一般形式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

!題型02|復(fù)數(shù)的模和共輾復(fù)數(shù)

7.(22-23高一下?天津?期中)已知復(fù)數(shù)z滿足(17)z=2i(其中i為虛數(shù)單位)，貝I」z|=(

A.V2B.2C.1D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得復(fù)數(shù)z=-1+，，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可得結(jié)果.

【詳解】由aw得？=尋岸魯r節(jié)J+L

所以Iz|=|—1+，|=V1+1=也?

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.(22-23高一下?天津?期中)已知(lT)z=3-i,其中i為虛數(shù)單位，則目=()

A.V5B.5C.2D.V2

【答案】A

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法求得復(fù)數(shù)z=2+i,再求其模.

【詳解】由1(1)(1+。22+i,故目=右.

故選：A

9.（22-23高一下?天津?期中）復(fù)數(shù)E的共朝復(fù)數(shù)是（）

2-1

A.-2-iB.-2+i

C.2-iD.2+i

【答案】c

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再求出其共輾復(fù)數(shù).

55（2+i）

【詳解】因?yàn)槎　?2+i,

所以復(fù)數(shù)占的共輾復(fù)數(shù)是2-i.

2-1

故選：C

10.（22-23高一下?天津西青?期中）已知復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2,T）,則（）

A.z=-l+2iB.忖=5

C.z=-2-iD.z-2是純虛數(shù)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，求出復(fù)數(shù)z,再根據(jù)純虛數(shù)和共輾復(fù)數(shù)概念，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2,-1）,

A選項(xiàng)，由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，z=2-i,A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，|Z|=722+（-1）2=V5,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，z=2+i,C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，z-2=2-i-2=-i,貝＞Jz-2是純虛數(shù)，D正確.

故選：D.

11.（22-23高一下?天津西青?階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2廠1）,則（）

A.z的虛部為-iB.目=5C.F=-2-iD.z-2是純虛數(shù)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得z=2-i,根據(jù)虛部的概念、模的求法、共軌復(fù)數(shù)的概念、純虛數(shù)的概念依次判

斷選項(xiàng)，即可求解.

【詳解】A：因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2,-1）,

則z=2-i,所以復(fù)數(shù)z的虛部為-1,故A錯(cuò)誤;

B：|z|=+（—1）2=,故B錯(cuò)誤；

C：z=2+i，故C錯(cuò)誤；

D：z-2=2-i-2=-i,為純虛數(shù)，故D正確.

故選：D.

12.（22-23高一下?天津?期中）復(fù)數(shù)j的共輾復(fù)數(shù)是（）

1-2

A.2+iB.-2+iC.-2-iD.2-i

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)根據(jù)共瓶復(fù)數(shù)的概念可得答案.

1-2

【詳解】邑=式與衛(wèi)=一2-i,

1-25

故j的共輾復(fù)數(shù)為-2+i,

1-2

故選：B

13.（22-23高一下?天津?期中）若復(fù)數(shù)2=彳土二（加€尺）是純虛數(shù)，則|〃z+i|=___________.

1—1

【答案】舊

【分析】由復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)后由復(fù)數(shù)的概念求得〃?，再由模的定義計(jì)算出模.

m+2i_(m+2i)(l+i)_m+zwi+2i+2i2_(m-2)+(m+2)im-2m+2.

【詳解】由已知z=+^—i為r純

1-i2222

虛數(shù)，

m-2八5m+2八-

貝U-----=0且-----W0,m=2,

22

帆+i|=Vm2+12=A/22+12=V5.

故答案為：石.

14-華。高一下?天津?yàn)I海新?期末）若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)-E，則告——.

【答案】5

【分析】把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算得答案.

,、小到、即1-7/（l-7z）（l-z）-6-8/

【詳解】解：z=k-）=『=一4,

則|Z|=J(-3)2+(-4)2=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.

15.（22-23高一下?天津?期中）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1+2，”=3-4i（i為虛數(shù)單位），則目的值為

【答案】75.

【詳解】分析：由條件（1+2，”=3-4，得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，即可求得復(fù)數(shù)模長(zhǎng).

/、3—4/(3-4z)(l-2z)

詳解：因?yàn)?1+2M3…所以"幣--2，，

所以忖=追

點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

16.（22-23高一下?天津西青?期中）已知復(fù)數(shù)z滿足z=l3,則目=

【答案】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式再求模即可.

4-2i(4-2i)-(l+i)4+4i-2i-2i2’.

【詳解】---------------------------="1

2

所以目

故答案為：Vio

H-3ill-3i

17-（22-23高一下?天津河北?期中）已知i是虛數(shù)單位,化簡(jiǎn)。的結(jié)果為.的值

l+2i

為.

【答案】1-5，/-51+1V26

【分析】空1：利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算即可；空2：根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義即可得到答案.

ll-3i(ll-3i)(l-2i)_5-25i

【詳解】

l+2i(l+2i)(l-2i)

貝!I=|l-5i|="+(一.=向.

故答案為：l-5i；V26.

18.（17-18高二下?河北張家口?階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)2=5+8i,貝!ig-44=.

【答案】13.

【詳解】分析：由共鈍復(fù)數(shù)的定義，可求得彳=5-即；根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算和模的定義即可求值.

詳解：根據(jù)共輒復(fù)數(shù)定義7=5,代入得

|5-8z-4z|=|5-12z|

=13

點(diǎn)睛：本題考查了共輾復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)模的求法，主要是計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.

4+2i

19.（2023?天津河北?一模）i是虛數(shù)單位，則的值為_(kāi)______.

1-i

【答案】M

【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)除法、復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解作答.

4+2i_(4+2i)(l+i)_2+6i

【詳解】=1+3i,

1-i(l-i)(l+i)2

所以I士二」=|1+3i|=.

1-1

故答案為：Vio

禺型03復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

（i為虛數(shù)單位），z的共粗復(fù)數(shù)為彳，則土

20.（22-23高一下?天津?期中）設(shè)復(fù)數(shù)z=T-i等于

Z

()

A.-1-2/B.—2+iC.-l+2zD.1+2/

【答案】C

2—z3—i—2+4z.

【詳解】因?yàn)?----=------=--------=-l+2z,

z—1—z2

故選C.

21.（22-23高一下?天津?期中）若復(fù)數(shù)z滿足2z+亍=3-2i,其中i為虛數(shù)單位，則z二

A.l+2iB.l-2iC.-l+2iD.-l-2i

【答案】B

【詳解】試題分析：設(shè)z=〃+6i,則2z+N=3a+Z?i=3—2i,故4=1力=-2,則z=l—2i,選B.

【考點(diǎn)】注意共輾復(fù)數(shù)的概念

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題目.從歷年高考題目看，復(fù)數(shù)題

目往往不難，有時(shí)對(duì)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與概念、復(fù)數(shù)的幾何意義等進(jìn)行綜合考查，也是考生必定得分的題

目之一.

22.(22-23高一下?天津?期中)已知復(fù)數(shù)z滿足(i-l)z=2,給出下列四個(gè)命題其中正確的是()

A.|z|=2B.z的虛部為-1C.z=l+iD.z2=—2i

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,即可逐項(xiàng)判斷.

【詳解】???(i-l)z=2,.q三二2(「T)-1f故z的虛部為-1,

1-1(1-1)-(-1-1)

則|z|=J(-1)2+(—1)2=￡w2,z=—1+i，—(―1—i)=2i,所以B正確，A,C,D不正確.

故選：B.

_3

23.(22-23高一下?天津?期中)設(shè)復(fù)數(shù)z的共舸復(fù)數(shù)為1,若2z+亍=]+2i,則z二()

A.—1+22B.l+2zC.l-2zD.-+2z

2

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等求解.

【詳解】^z=a+bi(a,beR),

則亍=a-bi,

-3

所以22+z=2q+2bi+q-6i=3a+6i=yb2i,

故土2,解得。=7,6=2

b入=2。2

故z」+2i,

2

故選：D

24.(2018?天津?高考真題)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)￡=.

【答案】4-i

【詳解】分析：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

詳解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得：]丁=?

l+2z(l+2z)(l-2z)5

點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

25.（22-23高一下?天津河西?期中）已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)I的結(jié)果為

【答案】++手

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算直接化簡(jiǎn)可得.

2+3i(2+3i)(l+i)-l+5i15.

---------=-----------------------------------=-------1----1

1-i(l-i)(l+i)22

故答案為：-；+|i

26.（20-21高一下?天津南開(kāi)?期中）i是虛數(shù)單位，則土也=

1+Z

17

［答案］

22

【分析】直接對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)即可

3-4z(3-4z)(l-0_3-3z-4z+4z^_-l-7z__1

【詳解】解:

1+/(i+o(i-o-2~~一匕

17

故答案為：-萬(wàn)一7

27.（22-23高一下?天津南開(kāi)?期中）若i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)巖■=

2—1

【答案】1+Z/Z+1

【分析】利用復(fù)數(shù)乘法和除法法則即可求解.

l+3il+3i(l+3i)x(2-i)_2-i+6i-3i12_5+5i_

【詳解】1+7(2+i)x(2-i)"5'一~

故答案為：1+i.

28.（22-23高一下?天津?期中）（2+2i）（l-2i）=.

【答案】6-2i

【分析】利用復(fù)數(shù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】(2+2i)(l-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i

故答案為：6-2i

29.（22-23高一下?天津?期中）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)二=______.

1+1

【答案】11-43i

22

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求解.

2-i(2-i)(「i)l-3i13.

【詳解】復(fù)數(shù)一=--------=---------1

(l+i)(l-i)222

13

故答案沏

優(yōu)選攫升題

復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用

30.(22-23高一下?天津?期中)已知復(fù)數(shù)z=??一5機(jī)+6+(加2(i為虛數(shù)單位).

Cl)若z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)冽的值；

(2)若z>0,求實(shí)數(shù)加的值.

【詳解】解：(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)2=加2-5加+6+(加2-加-2)i是純虛數(shù)，

m-5m+6=0m=2或3

所以…一2為，解得

m，2且冽w-1

所以加=3；

(2)因?yàn)閦>0,

m2-5m+6>0

所以解得加=-L

m2-m-2=0

31.(22-23高一下?天津河北?期中)已知復(fù)數(shù)z=("/T+收一%一2)i，mGR.

⑴若z是實(shí)數(shù)，求冽的值；

(2)若z是純虛數(shù)，求相的值；

⑶若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求用的取值范圍.

【詳解】(1)解：?.?z=(/—l)+(W?一/一2)i,且z是實(shí)數(shù)，

m2-m-2=0，

解得加=-1或加=2；

(2)解：???z是純虛數(shù)，

J/-1=0

[m2-加-2w0，

解得m=1；

（3）解：z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，

fm2-l>0

[m2-m-2<0

解得1<加<2.

32.（20-21高一下,天津?qū)幒?階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=（加2_3〃?+2）+（加2_4加+3），6R.

⑴若z是實(shí)數(shù)，求加的值.

（2）若z是純虛數(shù)，求機(jī)的值.

⑶若z對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限，求優(yōu)的范圍；

【詳解】（1）因?yàn)閦為實(shí)數(shù)，

所以加2-4加+3=0,解得=1或掰=3.

/—3/77+2—0

（2）因?yàn)?是純虛數(shù)，所以有2/0八，解得冽=2.

\m-4加+3

m2-3m+2>0

（3）因?yàn)閦對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限，所以有

m2-4m+3<0'

解得2<加<3