主題四平面幾何專(zhuān)題16相似三角形目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一黃金分割?考向二平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例?考向三相似三角形的判定與性質(zhì)?考向四相似三角形的應(yīng)用?考向五位似變換?考向六相似形綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.了解比例的基本性質(zhì)、線(xiàn)段的比、成比例線(xiàn)段；通過(guò)建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割；2.掌握基本事實(shí)：兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例；3.了解相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理；4.通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似；了解相似多邊形和相似比；5.會(huì)利用圖形的相似解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．該板塊內(nèi)容主要考查相似的性質(zhì)和判定，2024年各地中考仍以考查基礎(chǔ)為主，在選擇題中單獨(dú)考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，相似應(yīng)用的考查，主要體現(xiàn)在綜合題中，作為綜合題的一部分，在解決求線(xiàn)段長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)和勾股定理、三角函數(shù)一起運(yùn)用，此時(shí)解答題的難度變大，綜合性就較強(qiáng)了，分值在15分左右，為避免丟分，應(yīng)扎實(shí)掌握，靈活應(yīng)用。?考向一黃金分割1．（2023?綿陽(yáng)）黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛(ài)好者和藝術(shù)家的喜愛(ài)，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點(diǎn)E，以E為圓心，線(xiàn)段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱(chēng)其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a2．（2023?泰安）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于FG的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線(xiàn)BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線(xiàn)MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED＝BC；④當(dāng)AC＝2時(shí)，AD＝﹣1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023?黃石）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，當(dāng)m＝1時(shí)，該方程的正根稱(chēng)為黃金分割數(shù)．寬與長(zhǎng)的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計(jì)；我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．（1）求黃金分割數(shù)；（2）已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；（3）已知兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)p，q滿(mǎn)足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．?考向二平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例解題技巧/易錯(cuò)易混1．比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．2．對(duì)于四條線(xiàn)段a、b、c、d，如果其中兩條線(xiàn)段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線(xiàn)段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我們就說(shuō)這四條線(xiàn)段是成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段．3．判定四條線(xiàn)段是否成比例，只要把四條線(xiàn)段按大小順序排列好，判斷前兩條線(xiàn)段之比與后兩條線(xiàn)段之比是否相等即可，求線(xiàn)段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線(xiàn)段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無(wú)關(guān)系．4．（2022?麗水）如圖，五線(xiàn)譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線(xiàn)組成的，同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線(xiàn)上．若線(xiàn)段AB＝3，則線(xiàn)段BC的長(zhǎng)是（）A． B．1 C． D．25．（2022?襄陽(yáng)）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線(xiàn)AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長(zhǎng)為．6．（2023?岳陽(yáng)）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為切點(diǎn)的切線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，則的長(zhǎng)是（結(jié)果保留π）；（2）若＝，則＝．?考向三相似三角形的判定與性質(zhì)解題技巧/易錯(cuò)易混1．相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；②相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段（對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．2．相似三角形的判定：①平行線(xiàn)法：平行于三角形的一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；④兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．3.相似三角形的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段（邊、高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)）成比例；4.相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方．5．如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．7．（2023?重慶）若兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1：4，則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：168．（2023?紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）．過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E；過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F、N是線(xiàn)段BF上的點(diǎn)，BN＝2NF：M是線(xiàn)段DE上的點(diǎn)，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（）A．△AFE的面積 B．△BDF的面積 C．△BCN的面積 D．△DCE的面積9．（2023?蘇州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，AC＝，BC＝2，點(diǎn)F在A(yíng)B上，連接CF并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的長(zhǎng)．?考向四相似三角形的應(yīng)用10．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線(xiàn)上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m11．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，用一個(gè)卡鉗（AD＝BC，＝＝）測(cè)量某個(gè)零件的內(nèi)孔直徑AB，量得CD長(zhǎng)度為6cm，則AB等于cm．12．（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國(guó)佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的原理，來(lái)測(cè)量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀(guān)察A點(diǎn)，A、F、D在一直線(xiàn)上；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀(guān)察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也在一直線(xiàn)上，且B、E、D、G、C在同一直線(xiàn)上，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．?考向五位似變換解題技巧/易錯(cuò)易混位似圖形與坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k．13．（2023?朝陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，2），B（4，1），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）14．（2023?綏化）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△AB′C′的相似比為1：2，點(diǎn)A是位似中心，已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)C（a，b），∠C＝90°．則點(diǎn)C′的坐標(biāo)為.（結(jié)果用含a，b的式子表示）15．（2023?盤(pán)錦）如圖，△ABO的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點(diǎn)O為位似中心，將△ABO縮小為原來(lái)的，得到△A′B′O，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為?考向六相似形綜合題16．（2023?菏澤）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點(diǎn)G．求證：△ADE∽△DCF．【問(wèn)題解決】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)H，使CH＝DE，連接DH．求證：∠ADF＝∠H．【類(lèi)比遷移】（3）如圖3，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的長(zhǎng)．17．（2023?湖州）【特例感知】（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連結(jié)PD，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥PD，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M．求證：△DAP≌△DCM．【變式求異】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥AB，交AC于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連結(jié)PQ，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥PQ，交射線(xiàn)BC于點(diǎn)M．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB，求的值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)P在邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)Q在邊AC上（不與點(diǎn)A，C重合），連結(jié)PQ，以Q為頂點(diǎn)作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的邊QM交射線(xiàn)BC于點(diǎn)M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常數(shù)），求的值（用含m，n的代數(shù)式表示）．1．（2023?濟(jì)南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點(diǎn)C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)CP交AB于點(diǎn)E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．2．（2022?紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線(xiàn)剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線(xiàn)剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，則剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)不可能是（）A． B． C．10 D．3．（2022?連云港）△ABC的三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，另有一個(gè)與它相似的三角形DEF，其最長(zhǎng)邊為12，則△DEF的周長(zhǎng)是（）A．54 B．36 C．27 D．214．（2023?東營(yíng)）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長(zhǎng)為（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.25．（2023?東營(yíng)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，連接DF，分別交AE，AC于點(diǎn)G，M．P是線(xiàn)段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM．有下列四個(gè)結(jié)論：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值為3；③CF2＝GE?AE；④S△ADM＝6．其中正確的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③6．（2023?浙江）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）7．（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為△AOB的OA邊上一點(diǎn)，AC：OC＝1：2，過(guò)C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D，C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A．4 B．5 C．6 D．78．（2023?達(dá)州）如圖，樂(lè)器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂(lè)器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C，D之間的距離為cm．（結(jié)果保留根號(hào)）9．（2023?北京）如圖，直線(xiàn)AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為．10．（2023?懷化）在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．把△A0B按如圖所示的方式放置，并將△AOB進(jìn)行變換：第一次變換將△AOB繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為△AOB邊長(zhǎng)的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為△A1OB1邊長(zhǎng)的2倍，得到△A2OB2，…．依次類(lèi)推，得到△A2023OB2023，則△A2023OB2023的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為．11．（2023?遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2），若四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點(diǎn)O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，則第一象限內(nèi)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為 ．12．（2023?黑龍江）如圖①，△ABC和△ADE是等邊三角形，連接DC，點(diǎn)F，G，H分別是DE，DC和BC的中點(diǎn)，連接FG，F(xiàn)H．易證：FH＝FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如圖②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如圖③；其他條件不變，判斷FH和FG之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．13．（2023?婁底）鮮艷的中華人民共和國(guó)國(guó)旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國(guó)旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星，為了增強(qiáng)學(xué)生的國(guó)家榮譽(yù)感、民族自豪感等，數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生對(duì)五角星進(jìn)行了較深入的研究，延長(zhǎng)正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)五角星，如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F，∠EAF的平分線(xiàn)交EF于點(diǎn)M．（1）求證：AE2＝EF?EM；（2）若AF＝1，求AE的長(zhǎng)；（3）求的值．14．（2023?江西）課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直．反過(guò)來(lái)，對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理；對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形．定理證明（1）為了證明該定理，小明同學(xué)畫(huà)出了圖形（如圖1），并寫(xiě)出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過(guò)程．已知：在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)BD⊥AC，垂足為O．求證：?ABCD是菱形．知識(shí)應(yīng)用（2）如圖2，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．①求證：?ABCD是菱形；②延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，連接OE交CD于點(diǎn)F，若∠E＝∠ACD，求的值．15．（2023?內(nèi)蒙古）已知正方形ABCD，E是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)．（1）如圖1，連接BE，DE．求證：△ABE≌△ADE；（2）如圖2，F(xiàn)是DE延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，DF交AB于點(diǎn)G，BF⊥BE．判斷△FBG的形狀并說(shuō)明理由；（3）在第（2）題的條件下，BE＝BF＝2．求的值．16．（2023?常州）如圖1，小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫(huà)出矩形ABCD和矩形EFGH，點(diǎn)E、F在邊AB上（EF＜AB），且點(diǎn)C、D、G、H在直線(xiàn)AB的同側(cè)；第二步，設(shè)＝m，＝n，矩形EFGH能在邊AB上左右滑動(dòng)；第三步，畫(huà)出邊EF的中點(diǎn)O，射線(xiàn)OH與射線(xiàn)AD相交于點(diǎn)P（點(diǎn)P、D不重合），射線(xiàn)OG與射線(xiàn)BC相交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q、C不重合），觀(guān)測(cè)DP、CQ的長(zhǎng)度．（1）如圖2，小麗取AB＝4，EF＝3，m＝1，n＝3，滑動(dòng)矩形EFGH，當(dāng)點(diǎn)E、A重合時(shí)，CQ＝；（2）小麗滑動(dòng)矩形EFGH，使得O恰為邊AB的中點(diǎn)．她發(fā)現(xiàn)對(duì)于任意的m≠n，DP＝CQ總成立．請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）經(jīng)過(guò)數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定m、n的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動(dòng)矩形EFGH，DP＝CQ總成立．小麗的猜想是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．

主題四平面幾何專(zhuān)題16相似三角形線(xiàn)段的比1.定義：兩條線(xiàn)段的比是兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度之比．2.判定四條線(xiàn)段是否成比例：只要把四條線(xiàn)段按大小順序排列好，判斷前兩條線(xiàn)段之比與后兩條線(xiàn)段之比是否相等即可，求線(xiàn)段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線(xiàn)段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無(wú)關(guān)系．比例中項(xiàng)如果=，即b2=ac，我們就把b叫做a，c的比例中項(xiàng)．比例的性質(zhì)性質(zhì)1:=?ad=bc（a，b，c，d≠0）．性質(zhì)2:如果=，那么．性質(zhì)3:如果==…=（b+d+…+n≠0），則=（不唯一）．平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理1.三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。2.推論：（1）平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)），所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。逆定理：如果一條直線(xiàn)截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，那么這條直線(xiàn)平行于三角形的第三邊。（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線(xiàn)截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。黃金分割把線(xiàn)段AB分成兩條線(xiàn)段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線(xiàn)段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB相似三角形的判定及性質(zhì)1．定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．2．性質(zhì)：（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；（2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段（邊、高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)）成比例；（3）相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方．3．判定：（1）有兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似；（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：（1）條件中若有平行線(xiàn)，可采用相似三角形的判定（1）；（2）條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角[用判定（1）]或再找?jiàn)A邊成比例[用判定（2）]；（3）條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等；（4）條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例．相似多邊形1．定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做它們的相似比．2．性質(zhì)：（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例；（2）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等；（3）相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．A字型及其變形1.如圖1，公共角所對(duì)的邊平行(DE∥BC)，則△ADE∽△ABC；2.如圖2，公共角的對(duì)邊不平行，且有另一組角相等(∠AED＝∠ABC或∠ADE＝∠ACB)，則△AED∽△ABC.8字型及其變1.如圖1，對(duì)頂角的對(duì)邊平行(AB∥CD)，則△ABO∽△DCO；形2.如圖2，對(duì)頂角的對(duì)邊不平行，且有另一對(duì)角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，則△ABO∽△CDO.共邊共角型已知：，結(jié)論：一線(xiàn)三等角型旋轉(zhuǎn)型垂直型如圖，在Rt三角形ABC中，∠C=90°，CD為斜邊AB上的高結(jié)論：∽△BCD定義如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線(xiàn)上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比．性質(zhì)1.在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k；2.位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．找位似中心的方法將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來(lái)，若它們的直線(xiàn)或延長(zhǎng)線(xiàn)相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心．畫(huà)位似圖形的步驟1.確定位似中心；2.確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3.確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；4.作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；5.按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)．相似三角形的應(yīng)用1.利用影長(zhǎng)測(cè)量物體的高度．①測(cè)量原理：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決．②測(cè)量方法：在同一時(shí)刻測(cè)量出參照物和被測(cè)量物體的影長(zhǎng)來(lái)，再計(jì)算出被測(cè)量物的長(zhǎng)度．2.利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）．①測(cè)量原理：測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線(xiàn)上．必須保證在一條直線(xiàn)上，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測(cè)量方法：通過(guò)測(cè)量便于測(cè)量的線(xiàn)段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．3.借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度．利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長(zhǎng)）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．

主題四平面幾何專(zhuān)題16相似三角形目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一黃金分割?考向二平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例?考向三相似三角形的判定與性質(zhì)?考向四相似三角形的應(yīng)用?考向五位似變換?考向六相似形綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.了解比例的基本性質(zhì)、線(xiàn)段的比、成比例線(xiàn)段；通過(guò)建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割；2.掌握基本事實(shí)：兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例；3.了解相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理；4.通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似；了解相似多邊形和相似比；5.會(huì)利用圖形的相似解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．該板塊內(nèi)容主要考查相似的性質(zhì)和判定，2024年各地中考仍以考查基礎(chǔ)為主，在選擇題中單獨(dú)考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，相似應(yīng)用的考查，主要體現(xiàn)在綜合題中，作為綜合題的一部分，在解決求線(xiàn)段長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)和勾股定理、三角函數(shù)一起運(yùn)用，此時(shí)解答題的難度變大，綜合性就較強(qiáng)了，分值在15分左右，為避免丟分，應(yīng)扎實(shí)掌握，靈活應(yīng)用。?考向一黃金分割1．（2023?綿陽(yáng)）黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛(ài)好者和藝術(shù)家的喜愛(ài)，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點(diǎn)E，以E為圓心，線(xiàn)段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱(chēng)其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a【思路點(diǎn)撥】設(shè)AB＝x，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝BC＝x，然后根據(jù)黃金矩形的定義可得＝，從而可得，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：設(shè)AB＝x，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝x，∵矩形ABFG是黃金矩形，∴＝，∴＝，解得：x＝（2+2）a，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝（2+2）a是原方程的根，∴AB＝（2+2）a，故選：D．【真題點(diǎn)撥】本題考查了黃金分割，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023?泰安）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于FG的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線(xiàn)BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線(xiàn)MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED＝BC；④當(dāng)AC＝2時(shí)，AD＝﹣1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角平分線(xiàn)的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，可得到△BCD也是含有36°角的等腰三角形，進(jìn)而得出AD＝BD＝BC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的判定，進(jìn)一步得出AE＝AD＝BD＝BC，對(duì)①作出判斷；在根據(jù)平行線(xiàn)的判定方法可得出DE∥BC，對(duì)①作出判斷；由AE≠BE，可得DE不是△ABC的中位線(xiàn)，對(duì)③作出判斷，最后再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，得出△BCD∽△ABC，進(jìn)而求出BC，即AD即可對(duì)④作出判斷．【規(guī)范解答】解：由題意可知，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，MN是線(xiàn)段BD的中垂線(xiàn)，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，∵BD是∠ABC的平分線(xiàn)，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴AD＝BD，在△BCD中，∠C＝72°，∠CBD＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，∵M(jìn)N是BD的中垂線(xiàn)，∴EB＝ED，∴∠BDE＝∠ABD＝36°＝∠CBD，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC，因此①正確，∴AE＝AD＝BD＝BC，因此②正確；由于DE不是△ABC的中位線(xiàn)，因此③不正確；∵∠CBD＝∠BAC＝36°，∠BCD＝∠ACB＝72°，∴△BCD∽△ABC，∴＝，即BC2＝AC?CD，設(shè)BC＝x，則CD＝2﹣x，∴x2＝2×（2﹣x），解得x＝﹣1﹣（舍去）或x＝﹣1，即BC＝﹣1＝AD，因此④正確，綜上所述，正確的結(jié)論有①②④，共有3個(gè)，故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查角平分線(xiàn)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握角平分線(xiàn)的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和是180°以及相似三角形的判定和性質(zhì)是正確解答的前提．3．（2023?黃石）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，當(dāng)m＝1時(shí)，該方程的正根稱(chēng)為黃金分割數(shù)．寬與長(zhǎng)的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計(jì)；我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．（1）求黃金分割數(shù)；（2）已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；（3）已知兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)p，q滿(mǎn)足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．【思路點(diǎn)撥】（1）依據(jù)題意，將m＝1代入然后解一元二次方程x2+x﹣1＝0即可得解；（2）依據(jù)題意，將b2﹣2mb＝4變形為（﹣）2+m?（﹣）﹣1＝0，從而可以看作a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的兩個(gè)根，進(jìn)而可以得解；（3）依據(jù)題意，將已知兩式相加減后得到，兩個(gè)關(guān)系式，從而求得pq，進(jìn)而可以得解．【規(guī)范解答】解：（1）由題意，將m＝1代入x2+mx﹣1＝0得，x2+x﹣1＝0，∴x1，2＝＝．∵黃金分割數(shù)大于0，∴黃金分割數(shù)為．（2）∵b2﹣2mb＝4，∴b2﹣2mb﹣4＝0．∴（﹣）2+m?（﹣）﹣1＝0．又b≠﹣2a，∴a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的兩個(gè)根．∴a?（﹣）＝﹣1．∴ab＝2．（3）由題意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②，∴①+②得，（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q，（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．又①﹣②得，（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q），∵p，q為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，∴p﹣q≠0，∴（p+q）+n＝﹣1．∴p+q＝﹣n﹣1．又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．∴（﹣n﹣1）2﹣2pq+n（﹣n﹣1）﹣2＝﹣n﹣1．∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1．∴pq＝n．∴pq﹣n＝0．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．?考向二平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例解題技巧/易錯(cuò)易混1．比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．2．對(duì)于四條線(xiàn)段a、b、c、d，如果其中兩條線(xiàn)段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線(xiàn)段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我們就說(shuō)這四條線(xiàn)段是成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段．3．判定四條線(xiàn)段是否成比例，只要把四條線(xiàn)段按大小順序排列好，判斷前兩條線(xiàn)段之比與后兩條線(xiàn)段之比是否相等即可，求線(xiàn)段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線(xiàn)段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無(wú)關(guān)系．4．（2022?麗水）如圖，五線(xiàn)譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線(xiàn)組成的，同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線(xiàn)上．若線(xiàn)段AB＝3，則線(xiàn)段BC的長(zhǎng)是（）A． B．1 C． D．2【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)A作平行橫線(xiàn)的垂線(xiàn)，交點(diǎn)B所在的平行橫線(xiàn)于D，交點(diǎn)C所在的平行橫線(xiàn)于E，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：過(guò)點(diǎn)A作平行橫線(xiàn)的垂線(xiàn)，交點(diǎn)B所在的平行橫線(xiàn)于D，交點(diǎn)C所在的平行橫線(xiàn)于E，則＝，即＝2，解得：BC＝，故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2022?襄陽(yáng)）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線(xiàn)AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長(zhǎng)為5．【思路點(diǎn)撥】如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DT∥AE交BC于點(diǎn)T．證明AB＝3AD，設(shè)AD＝CD＝a，證明ET＝CT，設(shè)ET＝CT＝b，則BE＝3b，求出a+b，可得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DT∥AE交BC于點(diǎn)T．∵AE平分∠BAC，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，設(shè)AD＝DC＝a，則AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，設(shè)ET＝CT＝b，則BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案為：5．【真題點(diǎn)撥】本題考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．6．（2023?岳陽(yáng)）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為切點(diǎn)的切線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，則的長(zhǎng)是π（結(jié)果保留π）；（2）若＝，則＝．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理可得∠BOC＝60°，利用弧長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)；（2）連接OC，根據(jù)垂徑定理得到OC⊥BD，再由切線(xiàn)得到EC∥BD，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例得出，再根據(jù)勾股求出EC＝2x，代入比例式即可解決問(wèn)題．【規(guī)范解答】解：（1）如圖，連接OC，∵∠A＝30°，AB＝6，∴∠BOC＝60°，OB＝3，∴的長(zhǎng)＝＝π；故答案為：π；（2）如圖，連接OC，∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴＝，∴OC⊥BD，又∵EC是⊙O的切線(xiàn)，∴OC⊥EC，∴EC∥BD，∵＝，∴，設(shè)EB＝x，則AB＝3x，BO＝OC＝x，EO＝x，AE＝4x，∴EC＝＝＝2x，∴＝＝．故答案為：．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、圓周角定理、切線(xiàn)的判定與性質(zhì)，勾股定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握?qǐng)A周角定理、切線(xiàn)的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．?考向三相似三角形的判定與性質(zhì)解題技巧/易錯(cuò)易混1．相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；②相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段（對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．2．相似三角形的判定：①平行線(xiàn)法：平行于三角形的一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；④兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．3.相似三角形的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段（邊、高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)）成比例；4.相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方．5．如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．7．（2023?重慶）若兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1：4，則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【思路點(diǎn)撥】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，求解即可．【規(guī)范解答】解：∵兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1：4，∴這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比為1：4，故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023?紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）．過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E；過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F、N是線(xiàn)段BF上的點(diǎn)，BN＝2NF：M是線(xiàn)段DE上的點(diǎn)，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（）A．△AFE的面積 B．△BDF的面積 C．△BCN的面積 D．△DCE的面積【思路點(diǎn)撥】如圖所示，連接ND，證明△FBD∽△EDC，得出＝，由已知得出，則，又∠NFD＝∠MEC，則△NFD∽△MEC，進(jìn)而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，結(jié)合題意得出，即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖所示，連接ND，∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．∴＝，∵DM＝2ME，BN＝2NF，∴，ME＝DE，∴∴，又∵∠NFD＝∠MEC，∴△NFD∽△MEC．∴∠ECM＝∠FDN．∵∠FDB＝∠ECD，∴∠MCD＝∠NDB．∴MC∥ND．∴S△MNC＝S△MDC．∵DM＝2ME，∴．故選：D．【真題點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．9．（2023?蘇州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，AC＝，BC＝2，點(diǎn)F在A(yíng)B上，連接CF并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圓周角定理得∠BDE＝∠BAC，進(jìn)而可以證明結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，證明△DBE∽△ABC，得＝，代入值即可解決問(wèn)題．【規(guī)范解答】（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∵所對(duì)的圓周角為∠BDE和∠BAC，∴∠BDE＝∠BAC，∴△DBE∽△ABC；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，∴AB＝＝5，∵CG⊥AB，∴AG＝ACcosA＝×＝1，∵AF＝2，∴FG＝AG＝1，∴AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，∵△DBE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴ED＝．【真題點(diǎn)撥】本題考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解決本題的關(guān)鍵是得到△DBE∽△ABC．?考向四相似三角形的應(yīng)用10．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線(xiàn)上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【思路點(diǎn)撥】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△ABC∽△EDC，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．【規(guī)范解答】解：如圖：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴DE＝8（m），故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．11．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，用一個(gè)卡鉗（AD＝BC，＝＝）測(cè)量某個(gè)零件的內(nèi)孔直徑AB，量得CD長(zhǎng)度為6cm，則AB等于18cm．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得AB的長(zhǎng)．【規(guī)范解答】解：∵＝＝，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝6cm，∴AB＝6×3＝18（cm），故答案為：18．【真題點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的應(yīng)用，求出AB的值是解答本題的關(guān)鍵．12．（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國(guó)佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的原理，來(lái)測(cè)量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀(guān)察A點(diǎn)，A、F、D在一直線(xiàn)上；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀(guān)察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也在一直線(xiàn)上，且B、E、D、G、C在同一直線(xiàn)上，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．【思路點(diǎn)撥】設(shè)BD＝xm，則BC＝（x+48）m，通過(guò)證明△ABD∽△EFD，得到，即，同理得到，則可建立方程，解方程即可得到答案．【規(guī)范解答】解：設(shè)BD＝xm，則BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴AB∥EF，∴△ABD∽△FED，∴，即，同理可證△ABC∽△HGC，∴，即，∴，解得x＝48，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝48是原方程的解，∴＝，∴AB＝36m，∴該古建筑AB的高度為36m．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程是解題的關(guān)鍵．?考向五位似變換解題技巧/易錯(cuò)易混位似圖形與坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k．13．（2023?朝陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，2），B（4，1），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【規(guī)范解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），故選：D．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．14．（2023?綏化）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△AB′C′的相似比為1：2，點(diǎn)A是位似中心，已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)C（a，b），∠C＝90°．則點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（6﹣2a，﹣2b）.（結(jié)果用含a，b的式子表示）【思路點(diǎn)撥】過(guò)C作CM⊥AB于M，過(guò)C′⊥AB′于N，則∠ANC′＝∠AMC＝90°，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：過(guò)C作CM⊥AB于M，過(guò)C′⊥AB′于N，則∠ANC′＝∠AMC＝90°，∵△ABC與△AB′C′的相似比為1：2，∴，∵∠NAC′＝∠CAM，∴△ACM∽△AC′N(xiāo)，∴，∵點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)C（a，b），∴OA＝2，OM＝a，CM＝b，∴AM＝a﹣2，∴，∴AN＝2a﹣4，C′N(xiāo)＝2b，∴ON＝AN﹣OA＝2a﹣6，∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（6﹣2a，﹣2b），故答案為：（6﹣2a，﹣2b）．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是位似變換和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵．15．（2023?盤(pán)錦）如圖，△ABO的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點(diǎn)O為位似中心，將△ABO縮小為原來(lái)的，得到△A′B′O，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（，2）或（﹣，﹣2）．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【規(guī)范解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，把△ABC縮小為原來(lái)的，可以得到△A'B'O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，6），∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（，2）或（﹣，﹣2）．故答案為：（，2）或（﹣，﹣2）．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．?考向六相似形綜合題16．（2023?菏澤）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點(diǎn)G．求證：△ADE∽△DCF．【問(wèn)題解決】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)H，使CH＝DE，連接DH．求證：∠ADF＝∠H．【類(lèi)比遷移】（3）如圖3，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）由矩形的性質(zhì)得∠C＝∠ADE＝90°，再證∠AED＝∠DFC，即可得出結(jié)論；（2）證Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），得DE＝CF，再證△DCF≌△DCH（SAS），得∠DFC＝∠H，然后由平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠ADF＝∠DFC，即可得出結(jié)論；（3）延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使CG＝DE＝8，連接DG，△ADE≌△DCG（SAS），得∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，再證△DFG是等邊三角形，得FG＝DF＝11，即可解決問(wèn)題．【規(guī)范解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF+∠DFC＝90°，∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝CF，∵CH＝DE，∴CF＝CH，∵點(diǎn)H在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°，又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH（SAS），∴∠DFC＝∠H，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H；（3）解：如圖3，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使CG＝DE＝8，連接DG，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG（SAS），∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等邊三角形，∴FG＝DF＝11，∵CF+CG＝FG，∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，即CF的長(zhǎng)為3．【真題點(diǎn)撥】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．17．（2023?湖州）【特例感知】（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連結(jié)PD，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥PD，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M．求證：△DAP≌△DCM．【變式求異】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥AB，交AC于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連結(jié)PQ，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥PQ，交射線(xiàn)BC于點(diǎn)M．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB，求的值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)P在邊AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)Q在邊AC上（不與點(diǎn)A，C重合），連結(jié)PQ，以Q為頂點(diǎn)作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的邊QM交射線(xiàn)BC于點(diǎn)M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常數(shù)），求的值（用含m，n的代數(shù)式表示）．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及角的和差推出∠A＝∠DCM，AD＝DC，∠ADP＝∠CDM，利用ASA即可證明△DAP≌△DCM；（2）作QN⊥BC于點(diǎn)N，則四邊形DBNQ是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)推出∠DQN＝90°，QN＝DB，根據(jù)角的和差推出∠DQP＝∠MQN，結(jié)合∠QDP＝∠QNM＝90°，推出△DQP∽△NQM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出AB＝6，則DB＝2，根據(jù)矩形的性質(zhì)推出DQ∥BC，進(jìn)而推出△ADQ∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)題意推出CQ＝mnAB，AQ＝（m﹣mn）AB，根據(jù)勾股定理求出BC＝AB，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理及鄰補(bǔ)角定義推出∠AQP＝∠NQM，結(jié)合∠A＝∠QNM＝90°，推出△QAP∽△QNM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)題意推出△QCN∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，據(jù)此求解即可．【規(guī)范解答】（1）證明：在正方形ABCD中，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC，∴∠DCM＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠A＝∠DCM，∵DM⊥PD，∴∠ADP+∠PDC＝∠CDM+∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDM，在△DAP和△DCM中，，∴△DAP≌△DCM（ASA）；（2）解：如圖2，作QN⊥BC于點(diǎn)N，∵∠ABC＝90°，DQ⊥AB，QN⊥BC，∴四邊形DBNQ是矩形，∴∠DQN＝90°，QN＝DB，∵QM⊥PQ，∴∠DQP+∠PQN＝∠MQN+∠PQN＝90°，∴∠DQP＝∠MQN，∵∠QDP＝∠QNM＝90°，∴△DQP∽△NQM，∴，∵BC＝8，AC＝10，∠ABC＝90°，∴，∵AD＝2DB，∴DB＝2，∵∠ADQ＝∠ABC＝90°，∴DQ∥BC，∴△ADQ∽△ABC，∴，∴，∴；（3）解：∵AC＝mAB，CQ＝nAC，∴CQ＝mnAB，∴AQ＝AC﹣CQ＝（m﹣mn）AB，∵∠BAC＝90°，∴，如圖3，作QN⊥BC于點(diǎn)N，∵∠BAC+∠ABN+∠BNQ+∠AQN＝360°，∠BAC＝90°，∴∠ABN+∠AQN＝180°，∵∠ABN+∠PBN＝180°，∴∠AQN＝∠PBN，∵∠PQM＝∠PBC，∴∠PQM＝∠AQN，∴∠AQP＝∠NQM，∵∠A＝∠QNM＝90°，∴△QAP∽△QNM，∴，∵∠A＝∠QNC＝90°，∠QCN＝∠BCA，∴△QCN∽△BCA，∴，∴，∴．【真題點(diǎn)撥】此題是相似綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理并作出合理的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．1．（2023?濟(jì)南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點(diǎn)C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)CP交AB于點(diǎn)E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝72°，再根據(jù)題意可得：CP平分∠ACB，從而可得∠BCE＝∠ACE＝36°，然后利用等量代換可得∠A＝∠ACE＝36°，從而可得AE＝CE，再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠B＝∠CEB＝72°，從而可得CB＝CE，進(jìn)而可得AE＝CE＝CB，最后根據(jù)黃金三角形的定義可得＝，從而可得＝，再利用三角形的面積可得＝＝，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，由題意得：CP平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，∴∠A＝∠ACE＝36°，∴AE＝CE，∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，∴∠B＝∠CEB＝72°，∴CB＝CE，∴AE＝CE＝CB，∵△BCE是頂角為36°的等腰三角形，∴△BCE是黃金三角形，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝＝，故A、B、D不符合題意，C符合題意；故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查了黃金分割，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作圖﹣基本作圖，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022?紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線(xiàn)剪掉一個(gè)直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線(xiàn)剪掉一個(gè)直角三角形（剪掉的兩個(gè)直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，則剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)不可能是（）A． B． C．10 D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)和分類(lèi)討論的方法，求出剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)，然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．【規(guī)范解答】解：如圖1所示，由已知可得，△DFE∽△ECB，則，設(shè)DF＝x，CE＝y(tǒng)，則，解得，∴DE＝CD+CE＝6+＝，故選項(xiàng)B不符合題意；EB＝DF+AD＝+2＝，故選項(xiàng)D不符合題意；如圖2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，則，設(shè)FC＝m，F(xiàn)D＝n，則，解得，∴FD＝10，故選項(xiàng)C不符合題意；BF＝FC+BC＝8+7＝15；如圖3所示：此時(shí)兩個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為6和7；故選：A．【真題點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用分類(lèi)討論的方法解答．3．（2022?連云港）△ABC的三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，另有一個(gè)與它相似的三角形DEF，其最長(zhǎng)邊為12，則△DEF的周長(zhǎng)是（）A．54 B．36 C．27 D．21【思路點(diǎn)撥】（1）方法一：設(shè)2對(duì)應(yīng)的邊是x，3對(duì)應(yīng)的邊是y，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列等式，解出即可；方式二：根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比，列出等式計(jì)算．【規(guī)范解答】解：方法一：設(shè)2對(duì)應(yīng)的邊是x，3對(duì)應(yīng)的邊是y，∵△ABC∽△DEF，∴＝＝，∴x＝6，y＝9，∴△DEF的周長(zhǎng)是27；方式二：∵△ABC∽△DEF，∴＝，∴＝，∴C△DEF＝27；故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．4．（2023?東營(yíng)）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長(zhǎng)為（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2【思路點(diǎn)撥】先證∠CAD＝∠BDE，再根據(jù)∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AD的長(zhǎng)．【規(guī)范解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠CAD+∠ADC＝120°，∵∠ADE＝60°．∴∠BDE+∠ADC＝120°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB，∴，∵BD＝4DC，∴設(shè)DC＝x，則BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴，∴AD＝3，故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．5．（2023?東營(yíng)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，連接DF，分別交AE，AC于點(diǎn)G，M．P是線(xiàn)段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM．有下列四個(gè)結(jié)論：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值為3；③CF2＝GE?AE；④S△ADM＝6．其中正確的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③【思路點(diǎn)撥】①先根據(jù)正方形的性質(zhì)證得△ADE和△DCF全等，再利用ASA證得△AGM和△AGD全等，即可得出AE垂直平分DM；②連接BD與AC交于點(diǎn)O，交AG于點(diǎn)H，連接HM，根據(jù)題意當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合時(shí)，PM+PN的值最小，即PM+PN的最小值是DO的長(zhǎng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BD的長(zhǎng)，從而得出，即PM+PN的最小值；③先證△DGE∽△ADE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及CF＝DE，即可判斷；④先求出AM的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，∵BF＝CE，∴BC﹣BF＝DC﹣CE，即CF＝DE，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠DAE+∠ADG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠AGM＝∠AGD，∵AE平分∠CAD，∴∠MAG＝∠DAG，又AG為公共邊，∴△AGM≌△AGD（ASA），∴GM＝GD，又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，故①正確；②如圖，連接BD與AC交于點(diǎn)O，交AG于點(diǎn)H，連接HM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM，∵AE垂直平分DM，∴HM＝HD，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合時(shí)，PM+PN的值最小，此時(shí)PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小值是DO的長(zhǎng)，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴AC＝BD＝，∴，即PM+PN的最小值為，故②錯(cuò)誤；③∵AE垂直平分DM，∴∠DGE＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠DGE＝∠ADE，又∵∠DEG＝∠AED，∴△DGE∽△ADE，∴，即DE2＝GE?AE，由①知CF＝DE，∴CF2＝GE?AE，故③正確；④∵AE垂直平分DM，∴AM＝AD＝4，又，∴，故④錯(cuò)誤；綜上，正確的是：①③，故選：D．【真題點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．（2023?浙江）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【規(guī)范解答】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，△A′B′C′與△ABC的相似比為2：1，∴△ABC與△A′B′C′位似比為1：2，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3×2，2×2），即（6，4），故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是位似變換的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．7．（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為△AOB的OA邊上一點(diǎn)，AC：OC＝1：2，過(guò)C作CD∥OB交AB于點(diǎn)D，C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【思路點(diǎn)撥】根據(jù)CD∥OB得出，根據(jù)AC：OC＝1：2，得出，根據(jù)C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，得出OB＝6，即可得出答案．【規(guī)范解答】解：∵CD∥OB，∴，∵AC：OC＝1：2，∴，∵C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3，∴CD＝3﹣1＝2，∴，解得：OB＝6，∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意得出，是解題的關(guān)鍵．8．（2023?達(dá)州）如圖，樂(lè)器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂(lè)器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C，D之間的距離為（80﹣160）cm．（結(jié)果保留根號(hào)）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)黃金分割的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：∵點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，AB＝80cm，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∵點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，AB＝80cm，∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，∴支撐點(diǎn)C，D之間的距離為（80﹣160）cm，故答案為：（80﹣160）．【真題點(diǎn)撥】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2023?北京）如圖，直線(xiàn)AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意求出AF，再根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，故答案為：．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2023?懷化）在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．把△A0B按如圖所示的方式放置，并將△AOB進(jìn)行變換：第一次變換將△AOB繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為△AOB邊長(zhǎng)的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為△A1OB1邊長(zhǎng)的2倍，得到△A2OB2，…．依次類(lèi)推，得到△A2023OB2023，則△A2023OB2023的邊長(zhǎng)為22023，點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為（22022，﹣22022）．【思路點(diǎn)撥】利用等邊三角形的性質(zhì)，探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問(wèn)題．【規(guī)范解答】解：由題意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OAn＝2n，∴△A2023OB2023的邊長(zhǎng)為22023，∵2023÷6＝337…1，∴A2023與A1都在第四象限，坐標(biāo)為（22022，﹣22022?）．故答案為：22023，（22022，﹣22022）．【真題點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的性質(zhì)，規(guī)律型—點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．11．（2023?遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2），若四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點(diǎn)O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，則第一象限內(nèi)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，6）．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，可得四邊形OA′B′C′與四邊形OABC的位似比是2：1，進(jìn)而得出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得第一象限內(nèi)點(diǎn)B′的坐標(biāo)．【規(guī)范解答】解：∵四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點(diǎn)O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，∴四邊形OA′B′C′與四邊形OABC的位似比是2：1，∵點(diǎn)B（2，3），∴第一象限內(nèi)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，6）．故答案為：（4，6）．【真題點(diǎn)撥】本題考查作圖﹣位似變換，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．12．（2023?黑龍江）如圖①，△ABC和△ADE是等邊三角形，連接DC，點(diǎn)F，G，H分別是DE，DC和BC的中點(diǎn)，連接FG，F(xiàn)H．易證：FH＝FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如圖②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如圖③；其他條件不變，判斷FH和FG之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．【思路點(diǎn)撥】如圖②；連接AH，CE，AF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AH⊥BC，AF⊥DE，，求得∠CAH＝∠EAF＝45°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CE＝FH，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到CE＝2FG，于是得到FH＝FG；如圖③；連接AH，CE，AF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AFD＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF＝，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CE＝2FH，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到CE＝2FG，于是得到FH＝FG．【規(guī)范解答】解：如圖②；FH＝FG，證明：連接AH，CE，AF，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，F(xiàn)，H分別是DE，BC的中點(diǎn)，∴AH⊥BC，AF⊥DE，，∴∠CAH＝∠EAF＝45°，∴∠HAF＝∠EAC，，∴△AHF∽△ACE，∴，∴CE＝FH，∵點(diǎn)F，G分別是DE，DC的中點(diǎn)，∴CE＝2FG，∴FH＝FG；如圖③；FH＝FG，證明：連接AH，CE，AF，∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠AED＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，∵點(diǎn)F，H分別是DE，BC的中點(diǎn)，∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF＝，∴∠HAF＝∠EAC，，∴△AHF∽△ACE，∴＝，∴CE＝2FH，∵點(diǎn)F，G分別是DE，DC的中點(diǎn)，∴CE＝2FG，∴FH＝FG；【真題點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．（2023?婁底）鮮艷的中華人民共和國(guó)國(guó)旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國(guó)旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星，為了增強(qiáng)學(xué)生的國(guó)家榮譽(yù)感、民族自豪感等，數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生對(duì)五角星進(jìn)行了較深入的研究，延長(zhǎng)正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)五角星，如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F，∠EAF的平分線(xiàn)交EF于點(diǎn)M．（1）求證：AE2＝EF?EM；（2）若AF＝1，求AE的長(zhǎng)；（3）求的值．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得∠BAE＝∠AED＝108°，從而利用平角定義可得∠FAE＝∠AEF＝72°，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠F＝36°，然后利用角平分線(xiàn)的定義可得∠FAM＝∠MAE＝36°，從而可得∠F＝∠MAE，進(jìn)而可證△AEM∽△FEA，最后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）設(shè)AE＝x，利用（1）的結(jié)論可得：∠F＝∠FAM＝36°，從而可得FM＝AM，在利用（1）的結(jié)論可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，從而可得FA＝FE＝1，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠AME＝∠AEF＝72°，從而可得AM＝AE，進(jìn)而可得AM＝AE＝FM＝x，再利用線(xiàn)段的和差關(guān)系可得ME＝1﹣x，最后利用（1）的結(jié)論可得：AE2＝EF?EM，從而可得x2＝1?（1﹣x），進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）連接BE，CE，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，從而可得△ABE≌△DCE，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，從而可得∠EBC＝∠ECB＝72°，然后利用（1）的結(jié)論可得：∠FAE＝∠FEA＝72°，從而可證利用ASA可證△FAE≌△EBC，再利用（2）的結(jié)論可得：＝，從而可得＝，進(jìn)而可得＝，最后設(shè)△ABE的面積為（﹣1）k，則△AEF的面積為2k，從而可得△ABE的面積＝△DEC的面積＝（﹣1）k，△AEF的面積＝△BCE的面積＝2k，進(jìn)而可求出五邊形ABCDE的面積＝2k，再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】（1）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE＝∠AED＝108°，∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°，∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°，∵AM平分∠FAE，∴∠FAM＝∠MAE＝∠FAE＝36°，∴∠F＝∠MAE，∵∠AEM＝∠AEF，∴△AEM∽△FEA，∴＝，∴AE2＝EF?EM；（2）解：設(shè)AE＝x，由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°，∴FM＝AM，由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，∴FA＝FE＝1，∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°，∴∠AME＝∠AEF＝72°，∴AM＝AE，∴AM＝AE＝FM＝x，∴ME＝EF﹣FM＝1﹣x，由（1）可得：AE2＝EF?EM，∴x2＝1?（1﹣x），解得：x＝或x＝（舍去），∴AE＝，∴AE的長(zhǎng)為；（3）連接BE，CE，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，∴△ABE≌△DCE（SAS），∵AB＝AE，ED＝DC，∠BAE＝∠CDE＝108°，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝72°，∠ECB＝∠BCD﹣∠DCE＝72°，由（1）可得：∠FAE＝∠FEA＝72°，∴∠FAE＝∠EBC，∠FEA＝∠ECB，∴△FAE≌△EBC（ASA），由（2）得：＝，∴＝，∴＝，∴設(shè)△ABE的面積為（﹣1）k，則△AEF的面積為2k，∴△ABE的面積＝△DEC的面積＝（﹣1）k，△AEF的面積＝△BCE的面積＝2k，∴五邊形ABCDE的面積＝△ABE的面積+△DCE的面積+△BCE的面積＝2