.....一公式法例1數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列,數(shù)列中對(duì)于任何都有分別求出此三個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.二利用與的關(guān)系例2若數(shù)列的前項(xiàng)和為求的通項(xiàng)公式.三累加法 例3數(shù)列中已知,求的通項(xiàng)公式.四累乘法例4數(shù)列中已知,求的通項(xiàng)公式.五構(gòu)造法 例5①數(shù)列中已知,求的通項(xiàng)公式; ②數(shù)列中已知,求的通項(xiàng)公式. ③數(shù)列中已知是數(shù)列的前項(xiàng)和,且,求的通項(xiàng)公式一利用公式例6等比數(shù)列的前項(xiàng)和求的值.二分組求和例7求數(shù)列的前項(xiàng)和.三錯(cuò)位相減例8求和四裂項(xiàng)相消例9求和五倒序相加例10設(shè),求和1.求數(shù)列,的前項(xiàng)和.2已知，求的前n項(xiàng)和.3.求數(shù)列a,2a2,3a3,4a4,…,nan,…(a為常數(shù))的前n項(xiàng)和。4.求證：5.求數(shù)列，，，…，，…的前n項(xiàng)和S6.數(shù)列{an}：，求S2002.7.求數(shù)5，55，555，…，55…5的前n項(xiàng)和Sn8.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，求的值.9.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為求它的前n項(xiàng)的和.10.在數(shù)列中，證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出Sn的表達(dá)式.11.數(shù)列為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80，前2n項(xiàng)和為6560，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54.求其首項(xiàng)a1及公比q.12.已知數(shù)列求.13.設(shè)為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知S7=7,S15=75.記Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求Tn.14.求數(shù)列的前項(xiàng)和15.已知：.求.16.求和.17.，求。18.設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項(xiàng)公式。19.已知數(shù)列：，求的值。20.求和:21.求數(shù)列的前項(xiàng)和：22.求數(shù)列的前項(xiàng)和。24.求的值。25.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，求它的前n項(xiàng)和.26.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式求它的前n項(xiàng)和.27.求和：28.已知數(shù)列30.解答下列問題：（I）設(shè)（1）求的反函數(shù)（2）若（3）若31.設(shè)函數(shù)求和：32.已知數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和，（I）求之間的關(guān)系式，并求的通項(xiàng)公式；（II）求證33.已知數(shù)列{}的各項(xiàng)分別為的前n項(xiàng)和.34．已知數(shù)列{}滿足：的前n項(xiàng)和.35．設(shè)數(shù)列{}中，中5的倍數(shù)的項(xiàng)依次記為， （I）求的值.（II）用k表示，并說明理由. （III）求和：36．?dāng)?shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足 （I）求與的關(guān)系式，并求{}的通項(xiàng)公式；（II）求和37．將等差數(shù)列{}的所有項(xiàng)依次排列，并如下分組：（），（），（），…，其中第1組有1項(xiàng)，第2組有2項(xiàng)，第3組有4項(xiàng)，…，第n組有項(xiàng)，記Tn為第n組中各項(xiàng)的和，已知T3=-48，T4=0， （I）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式； （II）求數(shù)列{Tn}的通項(xiàng)公式；（III）設(shè)數(shù)列{Tn}的前n項(xiàng)和為Sn，求S8的值.39.（1）設(shè)是各項(xiàng)均不為零的（）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列．（i）當(dāng)時(shí)，求的數(shù)值；（ii）求的所有可能值．（2）求證：對(duì)于給定的正整數(shù)()，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)（按原來的順序）都不能組成等比數(shù)列．40.某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息.若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？（?。┐鸢福?.設(shè)則兩式相減得∴.2.解：由由等比數(shù)列求和公式得＝＝＝1－3.解：若a=0,則Sn=0若a=1,則Sn=1+2+3+…+n=若a≠0且a≠1則Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+nan∴aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1∴(1-a)Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1=∴Sn=當(dāng)a=0時(shí)，此式也成立?！郤n=5.解：∵=）Sn===6.解：設(shè)S2002＝由可得……∵（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）∴S2002＝（合并求和）＝＝＝＝57.n解：因?yàn)?5…5=nn所以Sn=5+55+555+…+55…5n===解析：根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，通項(xiàng)可以拆成兩項(xiàng)或三項(xiàng)的常見數(shù)列，然后再分別求和。另外：Sn=可以拆成：Sn=（1+2+3+…+n）+()8.∵為等差數(shù)列，且1+17=5+13，∴.由題設(shè)易知=117.又為與的等差中項(xiàng)，∴.9.(裂項(xiàng))于是有方程組兩邊相加，即得10.【證明】∵∴.化簡(jiǎn)，得Sn-1－Sn=2SnSn-1兩邊同除以.SnSn-1，得∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.∴∴11.∵∴此數(shù)列為遞增等比數(shù)列.故q≠1.依題設(shè)，有②÷①，得④④代入①，得⑤⑤代入③，得⑥④代入⑥，得,再代入③，得a1=2,再代入⑤，得q=3.12.令（裂項(xiàng)）故有=.13.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則(I)∵∴解得代入（I）得（II）∵∴數(shù)列是首項(xiàng)為－2，公差為的等差數(shù)列，∴14.解：Sn=15.當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，綜上知，注意按的奇偶性討論！16.17.解：因?yàn)樗?8.解：(Ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝EQ\f(1,2)．當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－EQ\f(1,2)，于是(a2－EQ\f(1,2))2－a2(a2－EQ\f(1,2))－a2＝0，解得a1＝EQ\f(1,6)．(Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由(Ⅰ)知S1＝a1＝EQ\f(1,2)，S2＝a1＋a2＝EQ\f(1,2)＋EQ\f(1,6)＝EQ\f(2,3)．由①可得S3＝EQ\f(3,4)．由此猜想Sn＝EQ\f(n,n＋1)，n＝1，2，3，…．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．(i)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立．(ii)假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝EQ\f(k,k＋1)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得Sk＋1＝EQ\f(1,2－S\S\do(k))，即Sk＋1＝EQ\f(k＋1,k＋2)，故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝EQ\f(n,n＋1)對(duì)所有正整數(shù)n都成立．于是當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝EQ\f(n,n＋1)－EQ\f(n－1,n)＝EQ\f(1,n(n＋1))，又n＝1時(shí)，a1＝EQ\f(1,2)＝EQ\f(1,1×2)，所以｛an｝的通項(xiàng)公式an＝EQ\f(n,n＋1)，n＝1，2，3，…．19.解：∵（找通項(xiàng)及特征）（設(shè)制分組）（裂項(xiàng)）∴（分組、裂項(xiàng)求和）20.解:原式===21.解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得當(dāng)時(shí)，＝當(dāng)時(shí)，＝22.解：設(shè)∴＝將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得24.解：設(shè)………….①將①式右邊反序得……②（反序）又①+②得（反序相加）∴25. ==26.27.注意：數(shù)列的第n項(xiàng)“n·1”不是數(shù)列的通項(xiàng)公式，記這個(gè)數(shù)列為，∴其通項(xiàng)公式是28.為等比數(shù)列，∴應(yīng)運(yùn)用錯(cuò)位求和方法：29.而運(yùn)用反序求和方法是比較好的想法，①，②，①+②得30.（1）（2）是公差為9的等差數(shù)列，（3）31.①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)=②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)32.（I）①，而②，①—②得的等差數(shù)列，（II）33. （1） （2）當(dāng)①②當(dāng)時(shí)，1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)34．當(dāng)而①①②，①－②得35．（I）（II）（III）36．（I）（II）37．（I）設(shè){}的公差為d，則①，②，解①、②得（II）當(dāng)時(shí)，在前n－1組中共有項(xiàng)數(shù)為∴第n組中的（III）38.解析：因?yàn)?，，?9.（1）①當(dāng)n=4時(shí),中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出d=0。若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，得若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，得綜上，得或。②當(dāng)n=5時(shí),中同樣不可能刪去，否則出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)。若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以不能刪去；當(dāng)n≥6時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列中，由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個(gè)，則必有，這與矛盾。(或者說：當(dāng)n≥6時(shí)，無論刪去哪一項(xiàng)，剩余的項(xiàng)中必有連續(xù)的三項(xiàng))綜上所述，。（2）假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列，其中（）為任意三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，即，化簡(jiǎn)得