2024年湖北部分名校高二期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：鄖陽(yáng)中學(xué)命題教師：王俊燕張輝慶趙燕敏審題學(xué)校：鄂州高中考試時(shí)間：2024年11月12日下午15:0017:00試卷滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A.0 B.2024 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)除法運(yùn)算求得，進(jìn)而可得和.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以.故選：D.2.已知直線：，直線：，若，則（）A.2或 B. C.4或 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線平行列式求得，并代入檢驗(yàn)即可.【詳解】若，則，解得，當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，兩直線重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，兩直線平行，符合題意；綜上所述：.故選：B.3.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，則圓在點(diǎn)P處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)，利用圓的切線性質(zhì)求出切線的斜率即可得切線方程.【詳解】圓的圓心，直線的斜率，因此圓在點(diǎn)P處的切線方程為，即.故選：D4.已知圓：和：，若動(dòng)圓P與這兩圓一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，記該動(dòng)圓圓心的軌跡為M，則M的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的位置關(guān)系及橢圓的定義可判斷點(diǎn)軌跡為橢圓，即可得出軌跡方程.【詳解】圓：圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，由，得圓內(nèi)含于圓內(nèi)，設(shè)動(dòng)圓半徑為,依題意，，，則，因此點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，所以M方程為.故選：B5.某學(xué)校的高一、高二及高三年級(jí)分別有學(xué)生1000人、1200人、800人，用分層抽樣的方法從全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為30人的樣本，抽出的高一、高二及高三年級(jí)學(xué)生的平均身高為165cm、168cm、171cm，估計(jì)該校學(xué)生的平均身高是（）A.166.4cm B.167.2cm C.167.8cm D.170.0cm【答案】C【解析】【分析】求出樣本中高一、高二及高三年級(jí)的學(xué)生數(shù)，再利用分層抽樣的平均數(shù)公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，容量為30人的樣本中，高一年級(jí)的學(xué)生數(shù)為，高二年級(jí)的學(xué)生數(shù)為，高三年級(jí)的學(xué)生數(shù)為，所以該校學(xué)生的平均身高大約為.故選：C6.已知向量，，若，則（）A.3 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的向量表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即得.【詳解】由向量，，得，由，得，所以.故選：A7.已知點(diǎn)，平面，其中，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】由平面，得是平面的法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，，所以點(diǎn)到平面的距離是.故選：C8.如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且直線與y軸的正半軸交于A點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為Q，若，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用橢圓的定義，結(jié)合圓的相切性質(zhì)列式求出，進(jìn)而求出橢圓的離心率.【詳解】令與圓相切的切點(diǎn)分別為，由橢圓定義得，即，由，得，即，由對(duì)稱性得，即，解得，所以該橢圓的離心率為.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法中，正確的有（）A.直線在y軸的截距是2B.直線的傾斜角為C.直線l沿x軸向左平移3個(gè)單位，再沿y軸向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來(lái)的位置，則直線l的斜率為D.點(diǎn)在直線l：上，直線l的方程可化為．【答案】BCD【解析】【分析】利用直線的一般式方程的有關(guān)概念。逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】對(duì)于A，直線在y軸的截距是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線的斜率為，其傾斜角為，B正確；對(duì)于C，設(shè)直線的方程為，則變換后的直線方程為，依題意，，解得，直線的斜率為，C正確；對(duì)于D，由點(diǎn)在直線l：上，得，因此該直線方程為，D正確.故選：BCD10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.若，且，則D.若且，則【答案】AC【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)表示，再結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷得解.【詳解】由，，得，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，得，解得，C正確；對(duì)于D，由且，得，無(wú)解，D錯(cuò)誤.故選：AC11.四葉草也叫幸運(yùn)草，四片葉子分別象征著：成功，幸福，平安，健康，表達(dá)了人們對(duì)美好生活的向往，梵客雅寶公司在設(shè)計(jì)四葉草吊墜時(shí)，利用了曲線Ω：，進(jìn)行繪制，點(diǎn)在曲線Ω上，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線Ω圍成的圖形面積為B.的最小值是C.直線PQ的斜率的最大值為1D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A：根據(jù)曲線與圓的關(guān)系，結(jié)合面積公式，直接求解即可；對(duì)B：將問題轉(zhuǎn)化為求到直線的距離的最小值問題，數(shù)形結(jié)合解決問題；對(duì)C：根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，求解問題；對(duì)D：根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值求解方法，數(shù)形結(jié)合，求解即可.【詳解】對(duì)曲線方程：，當(dāng)時(shí)，可化為，即，故曲線Ω在第一象限是圓心為，半徑為的圓上的一段圓??；根據(jù)對(duì)稱性可知，該曲線關(guān)于軸，軸，以及坐標(biāo)原點(diǎn)均對(duì)稱，故其曲線繪制如下：對(duì)A：記點(diǎn)，顯然均在曲線Ω上，如下所示：因?yàn)椋嗜c(diǎn)共線，則該曲線在第一象限內(nèi)的面積為一個(gè)半圓的面積和△面積之和；故曲線Ω圍成的圖形面積，故A正確；對(duì)B：設(shè)點(diǎn)到直線距離為，則，根據(jù)對(duì)稱性可知，曲線Ω在第三象限內(nèi)的部分是在圓心為，半徑為的圓上；數(shù)形結(jié)合可知，點(diǎn)到直線的距離最小值為，故的最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：根據(jù)題意，作圖如下：數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)為過且與曲線Ω在第四象限內(nèi)的圓弧相切時(shí)，其斜率取得最大值；根據(jù)對(duì)稱性，曲線Ω在第四象限的部分是在圓心為，半徑為的圓弧，其方程為，設(shè)過點(diǎn)，且斜率存在的直線為，故可得，整理得：，，解得（舍去）或k=1，故斜率的最大值為，故C正確；對(duì)D：記曲線Ω在第一和第二象限圓弧的圓心分別為，顯然，如下所示：根據(jù)圓上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)距離的最值求解，數(shù)形結(jié)合可知：當(dāng)點(diǎn)在第一，第四象限時(shí)，可以取到最小值；當(dāng)點(diǎn)在第二，第三象限時(shí)，可取到最大值；為方便，只討論第一，第二象限的情況；當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，的最小值為；當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，的最大值為；故的取值范圍為：，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵，一是能夠合理轉(zhuǎn)化曲線方程，將其和圓建立關(guān)系；二是，借鑒處理圓中問題的方法，進(jìn)而處理本題中遇到的問題，屬綜合困難題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的定義可求.【詳解】根據(jù)橢圓方程可知，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故答案為：13.甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為．假定每局之間相互獨(dú)立且無(wú)平局，第二局由上一局負(fù)者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲執(zhí)黑子先下，則甲、乙各勝一局的概率為________．【答案】【解析】【分析】分第一局甲勝，第二局乙勝和第一局乙勝，第二局甲勝兩種情況，利用互斥事件的概率公式及相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.【詳解】第一局甲勝，第二局乙勝：甲勝第一局的概率為，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為，因此第一局甲勝，第二局乙勝的概率為；第一局乙勝，第二局甲勝：乙勝第一局的概率為，第二局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為，因此第一局乙勝，第二局甲勝的概率為；所以甲、乙各勝一局的概率為.故答案為：.14.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休．”事實(shí)上，很多的代數(shù)問題都可以通過轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問題．已知點(diǎn)在直線：上，點(diǎn)在直線：上，且，結(jié)合上述觀點(diǎn)，的最小值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離和，過點(diǎn)A作，垂足為，證明，由求目標(biāo)函數(shù)最小值.【詳解】由已知表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以，過點(diǎn)A作，垂足為，因?yàn)橹本€的方程為，，則，又直線與直線平行，，則，可得，則四邊形為平行四邊形，所以，可得，且，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為，因?yàn)檫^點(diǎn)與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)兩點(diǎn)距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求線段的距離和問題，進(jìn)一步結(jié)合圖形將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．15.已知的頂點(diǎn)，的平分線AD交BC于點(diǎn)D，且AD所在直線方程為，記，的面積分別為，．（1）求；（2）求頂點(diǎn)A坐標(biāo)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，進(jìn)而可得面積之比；（2）求關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，再求直線的交點(diǎn)即可.【小問1詳解】由題意可知：直線，對(duì)于直線，令，可得，即，可得，所以.【小問2詳解】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，即，可知直線，即，聯(lián)立方程，解得，所以頂點(diǎn)A坐標(biāo)為.16.圖1是邊長(zhǎng)為正方形ABCD，將沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐，且．（1）證明：平面平面ABC；（2）點(diǎn)M是棱PA上的點(diǎn)，且，求平面PBC與平面MBC的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)為，連接，利用勾股定理證明，再結(jié)合，即可由線線垂直證明線面垂直；（2）根據(jù)（1）中所證，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，以及兩個(gè)平面的法向量，利用空間向量求面面夾角.【小問1詳解】由于正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，所以，取AC的中點(diǎn)O，連接PO，BO，由題意，得，再由，可得，即．由題易知，又，面，所以平面ABC，又平面PAC，所以平面平面ABC．【小問2詳解】由（1）可知，，且，故以O(shè)C，OB，OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，．所以，，，由題意知，則．可得．設(shè)平面MBC的法向量為，則，令，則，可得；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得；則，所以平面PBC與平面MBC的夾角的余弦值.17.“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項(xiàng)活動(dòng)，出現(xiàn)在宋朝．南宋時(shí)，首都臨安每逢元宵節(jié)時(shí)制迷，猜謎的人眾多．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動(dòng)中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨(dú)立競(jìng)猜，甲同學(xué)猜對(duì)了15道，乙同學(xué)猜對(duì)了8道，丙同學(xué)猜對(duì)了n道．假設(shè)每道燈謎被猜對(duì)的可能性都相等．（1）任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率；（2）任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對(duì)的概率為，求n的值．【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）由題設(shè)求出甲、乙、丙猜對(duì)或錯(cuò)的概率值，應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率；（2）利用對(duì)立事件的概率求法及獨(dú)立事件乘法公式列方程求.【小問1詳解】設(shè)“任選一道燈謎甲猜對(duì)”，“任選一道燈謎乙猜對(duì)”，“任選一道燈謎丙猜對(duì)”.則，，，可得，，.“甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對(duì)”，且與互斥.每位同學(xué)獨(dú)立競(jìng)猜，故A，互相獨(dú)立，則A與，與，與均相互獨(dú)立.所以，所以甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率為.【小問2詳解】設(shè)“甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對(duì)”，則.所以，解得，所以n的值16.18.已知圓E：，直線l：．（1）討論l與圓E的位置關(guān)系；（2）若l與圓E相交于M，N兩點(diǎn)，圓心E到l的距離為，另有一圓C的圓心在線段MN上，且圓C與圓E相切，切點(diǎn)在劣弧MN上，求圓C的半徑的最大值．【答案】（1）答案見解析.（2）.【解析】【分析】（1）通過圓的方程解出圓心和半徑，比較圓心到直線的距離與半徑的大小，即可得到直線與圓的位置關(guān)系.（2）由點(diǎn)到線的距離得出參數(shù)的值，從而得到圓的方程，通過內(nèi)切圓的關(guān)系得到半徑的范圍，由此得出最大值.【小問1詳解】圓：的圓心，且，即或m>0，圓的半徑，設(shè)圓心到的距離為，則，若，則，解得，則當(dāng)或時(shí)，直線與圓相離；若，則當(dāng)或，直線與圓相切；若，則當(dāng)或，直線與圓相交.【小問2詳解】由（1）知，解得或，則，圓，圓心，半徑，依題意，圓的圓心在圓內(nèi)且兩圓內(nèi)切，記圓的半徑為，由切點(diǎn)在劣弧上，知，，又點(diǎn)在線段上，則，當(dāng)且僅當(dāng)圓心與線段的中點(diǎn)重合時(shí)，最大，且.所以圓的半徑的最大值為.19.如圖，在多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形，，，M為BC的中點(diǎn)，，，．（1）證明：；（2）若平面PCD與平面QAB夾角的余弦值為，求多面體ABCDPQ的體積．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）根