三角形的證明與計(jì)算綜合（重難點(diǎn)培優(yōu)）姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________一．解答題（共20小題）1．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線．求證：AB+AC＞2AD．智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，∵AD是BC邊上的中線∴BD＝CD在△BDE和△CDA中BD=CD∠BDE=∠CDA∴△BDE≌△CDA（依據(jù)一）∴BE＝CA在△ABE中，AB+BE＞AE（依據(jù)二）∴AB+AC＞2AD．任務(wù)一：上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：；依據(jù)2：．歸納總結(jié)：上述方法是通過(guò)延長(zhǎng)中線AD，使DE＝AD，構(gòu)造了一對(duì)全等三角形，將AB，AC，AD轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，進(jìn)而解決問(wèn)題，這種方法叫做“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．任務(wù)二：如圖3，AD是BC邊上的中線，AB＝3，AC＝4，則AD的取值范圍是；任務(wù)三：如圖4，在圖3的基礎(chǔ)上，分別以AB和AC為邊作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．連接EF．試探究EF與AD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．2．如圖，點(diǎn)D，E分別在等邊△ABC的邊AB，BC上，且BD＝CE，CD，AE交于點(diǎn)F．（1）如圖1，求∠AFD的度數(shù)；（2）如圖2，若D，E，M，N分別是△ABC各邊上的三等分點(diǎn)，BM，CD交于Q．若△ABC的面積為S，請(qǐng)用S表示四邊形ANQF的面積；（3）如圖3，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)P，使∠BPD＝30°，設(shè)AF＝a，CF＝b，請(qǐng)用含a，b的式子表示PC長(zhǎng)，并說(shuō)明理由．3．如圖，△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別為線段AD、AB、BC上的一點(diǎn)．△EFG以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，AB＝8．連結(jié)CE．（1）當(dāng)G與點(diǎn)D重合時(shí)，求AE的長(zhǎng)．（2）當(dāng)DE＝2時(shí)，求△AEF的面積．（3）①比較△BGF與△CGE的面積大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．②當(dāng)△BGF的面積為6時(shí)，求BG的長(zhǎng)．4．如圖，在等邊△ABC中，AB＝9cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BA邊向A點(diǎn)以5cm/s速度移動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們移動(dòng)的時(shí)間為t秒鐘．（1）請(qǐng)用t的代數(shù)式表示BP和BQ的長(zhǎng)度：BP＝，BQ＝．（2）若點(diǎn)Q在到達(dá)點(diǎn)A后繼續(xù)沿三角形的邊長(zhǎng)向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P也在繼續(xù)移動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)在點(diǎn)Q從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，t為何值時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成4：5兩部分？（3）若P、Q兩點(diǎn)都按順時(shí)針?lè)较蜓亍鰽BC三邊運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)在它們第一次相遇前，t為何值時(shí)，點(diǎn)P、Q能與△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形？5．在△ABC中，∠ABC為銳角，點(diǎn)M為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CM，以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，以CM為直角邊在CM右側(cè)作等腰直角三角形CMN，連接NB．（1）如圖1，圖2，若△ABC為等腰直角三角形，問(wèn)題初現(xiàn)：①當(dāng)點(diǎn)M為線段AB上不與點(diǎn)A重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證：△ACM≌△BCN；深入探究：②當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，判斷線段BN，AM之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖3，∠ACB≠90°，若當(dāng)點(diǎn)M為線段AB上不與點(diǎn)A重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MP⊥CM交線段BN于點(diǎn)P，且∠CBA＝45°，BC＝42，當(dāng)BP有最大值時(shí)，求BM的長(zhǎng)．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，分別過(guò)點(diǎn)A、B兩點(diǎn)作過(guò)點(diǎn)C的直線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．（1）如圖1，當(dāng)AC＝CB，點(diǎn)A、B在直線m的同側(cè)時(shí)，猜想線段DE，AD和BE三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論：；（2）如圖2，當(dāng)AC＝CB，點(diǎn)A、B在直線m的異側(cè)時(shí)，請(qǐng)問(wèn)（1）中有關(guān)于線段DE、AD和BE三條線段的數(shù)量關(guān)系的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)給出正確的結(jié)論，并說(shuō)明理由．（3）當(dāng)AC＝16cm，CB＝30cm，點(diǎn)A、B在直線m的同側(cè)時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)M以每秒2cm的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)N以每秒3cm的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，分別過(guò)點(diǎn)M和點(diǎn)N作MP⊥m于P，NQ⊥m于Q．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△MPC與△NQC全等？7．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一點(diǎn)，CD＝3，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，連接AP．（1）當(dāng)t＝3秒時(shí)，求AP的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值；（3）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于點(diǎn)E，連接PD，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)PD平分∠APC時(shí)，直接寫出t的值．8．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）AC＝cm；（2）出發(fā)3秒后，求△ABP的面積；（3）當(dāng)t為幾秒時(shí)，BP平分∠ABC；（4）問(wèn)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？9．[初步探索]（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ABC與∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P，若∠P＝40°，則∠A＝度；[靈活運(yùn)用]（2）如圖2，已知等邊三角形ABC，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持∠MON＝60°不變，連接MN．猜想∠BMN與∠BON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；[拓展延伸]（3）如圖3，已知等邊三角形ABC，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)N在CB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M仍在AB邊上運(yùn)動(dòng)，且保持∠MON＝60°不變，連接NM并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出∠BOM、∠CEM、∠BCE這三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系．10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，過(guò)C作直線CE，B關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接AD，BD，CD，CE與BD的交點(diǎn)為E，設(shè)∠BCE＝α（0°＜α＜90°）．（1）若α＝15°，則請(qǐng)直接寫出下列兩個(gè)角的度數(shù)：∠ADC＝，∠ADB＝．（2）隨著α的變化，∠ADB的度數(shù)是否也發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)△ABD成為等腰三角形時(shí)，求α的值．11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，點(diǎn)Q在邊AC上，CQ＝1，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AC運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)Q重合時(shí)，以PQ為邊構(gòu)造Rt△PQM，使∠PMQ＝∠A，∠QPM＝90°，且M與點(diǎn)B在直線AC的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）AB的長(zhǎng)為．（2）點(diǎn)M落在AB邊上時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，設(shè)△PQM與△ABC重合部分圖形的周長(zhǎng)為l，求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式．（4）當(dāng)點(diǎn)M與△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)（點(diǎn)C除外）連線所在的直線平分△ABC面積時(shí)，直接寫出t的值．12．如圖1，等邊△ABC邊長(zhǎng)為8，AD是△ABC的中線，P為線段AD（不包括端點(diǎn)A、D）上一動(dòng)點(diǎn)，以CP為一邊且在CP下方作如圖所示的等邊△CPE，連結(jié)BE．（1）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段BE與AP始終相等嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由；（2）若延長(zhǎng)BE至F，使得CF＝CE＝5，如圖2，①求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)P在線段AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在射線BE上時(shí)，判斷EF的長(zhǎng)是否為定值，若是請(qǐng)直接寫出EF的長(zhǎng)；若不是請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．13．等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)（1）如圖1，求證：CO＝BO；（2）如圖2，點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC延長(zhǎng)線上，MN﹣AM＝CN，求∠MON的度數(shù)；（3）如圖3，AD∥BC，OD∥AC，AD與OD交于點(diǎn)D，Q是OB的中點(diǎn)，連接CQ、DQ，試判斷線段CQ與DQ的關(guān)系，并給出證明．14．如圖1，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．（1）求證：CD＝BE；（2）如圖2，若∠EAD＝60°，點(diǎn)H為AE的中點(diǎn)，求∠BFD的大小；（3）在（2）的條件下，CD垂直平分AE于H，連結(jié)BD，設(shè)AD＝m，CD＝n，BD＝p，猜想m，n，p滿足的關(guān)系式，并證明．15．如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為6cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s．（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CMQ的度數(shù)變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時(shí)△PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP的交點(diǎn)為M，則∠CMQ的度數(shù)變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．16．如圖，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)D從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線CB方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，射線MP⊥射線CB且BM＝10，點(diǎn)Q從M點(diǎn)出發(fā)，沿射線MP方向以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，已知D、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝2時(shí)，△DMQ是等腰三角形，求a的值．（2）求t為何值時(shí)，△DCA為等腰三角形．（3）是否存在a，使得△DMQ與△ABC全等，若存在，請(qǐng)直接寫出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明由．17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，以AB為一邊向上作等邊△ABD，點(diǎn)E在BC的垂直平分線上，且EB⊥AB，連接CE，AE，CD．（1）判斷△CBE的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求證：AE＝DC；（3）若AE，CD相交于點(diǎn)F，求∠AFD的度數(shù)為多少？18．如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊AC的左側(cè)，連接AE．（1）求證：AE＝BD．（2）若DE=10，AD：BD＝1：3，求線段AD（3）試探究線段AD、BD與CD之間的數(shù)量關(guān)系．19．如圖1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，點(diǎn)C和點(diǎn)D在AB的異側(cè)，點(diǎn)E為AD邊上的一點(diǎn)，且AC＝AE，連接CE交直線AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AD交直線CE于點(diǎn)F．（Ⅰ）求證：△AGE≌△AFC；（Ⅱ）若AB＝AC，求證：AD＝AF+BD；（Ⅲ）如圖2，若AB＝AC，點(diǎn)C和點(diǎn)D在AB的同側(cè)，題目其他條件不變，直接寫出線段AD，AF，BD的數(shù)量關(guān)系．20．已知△ABC，∠BAC的平分線上有一點(diǎn)O，且OB＝OC．（1）如圖1，若點(diǎn)O在邊BC上，求證：△ABC是等腰三角形；（2）如圖2，若點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部，求證AB＝AC；（3）若點(diǎn)O在△ABC外部，AB＝AC還一定成立嗎？請(qǐng)直接寫出你的判斷，無(wú)需說(shuō)明理由．三角形的證明與計(jì)算綜合（重難點(diǎn)培優(yōu)）姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________一．解答題（共20小題）1．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線．求證：AB+AC＞2AD．智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，∵AD是BC邊上的中線∴BD＝CD在△BDE和△CDA中BD=CD∠BDE=∠CDA∴△BDE≌△CDA（依據(jù)一）∴BE＝CA在△ABE中，AB+BE＞AE（依據(jù)二）∴AB+AC＞2AD．任務(wù)一：上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：SAS；依據(jù)2：三角形任意兩邊之和大于第三邊．歸納總結(jié)：上述方法是通過(guò)延長(zhǎng)中線AD，使DE＝AD，構(gòu)造了一對(duì)全等三角形，將AB，AC，AD轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，進(jìn)而解決問(wèn)題，這種方法叫做“倍長(zhǎng)中線法”．“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．任務(wù)二：如圖3，AD是BC邊上的中線，AB＝3，AC＝4，則AD的取值范圍是12＜AD＜任務(wù)三：如圖4，在圖3的基礎(chǔ)上，分別以AB和AC為邊作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．連接EF．試探究EF與AD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】任務(wù)一：根據(jù)SAS證明△BDE≌△CDA，得出BE＝CA，由三角形三邊關(guān)系得出答案；任務(wù)二：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接CE，證明△ABD≌△CDE（SAS），得出AB＝EC＝4，由三角形三邊關(guān)系可得出答案；任務(wù)三：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使DM＝AD，連接CM，證明△ABD≌△CDM（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AB＝MC，∠ABD＝∠DCM，證明△EAF≌△MCA（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AM＝EF，則可得出答案．【解析】任務(wù)一：證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，BD=CD∠BDE=∠CDA∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝CA，在△ABE中，AB+BE＞AE（三角形任意兩邊之和大于第三邊），∴AB+AC＞2AD．故答案為：SAS，三角形任意兩邊之和大于第三邊．任務(wù)二：解：如圖1，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接CE，∵AD是中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，AD=ED∠ADB=∠EDC∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝EC＝4，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，∴4﹣3＜2AD＜4+3，∴1＜2AD＜7，∴12故答案為：12＜AD任務(wù)三：EF與AD的數(shù)量關(guān)系為EF＝2AD．理由如下：如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M，使DM＝AD，連接CM，∵AD是中線，∴BD＝CD，在△ABD和△MCD中，AD=MD∠ADB=∠MDC∴△ABD≌△CDM（SAS），∴AB＝MC，∠ABD＝∠DCM，∴AE＝CM，AB∥CM，∴∠BAC+∠ACM＝180°，∵∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ACM，又∵AF＝AC，∴△EAF≌△MCA（SAS），∴AM＝EF，∵AM＝2AD，∴EF＝2AD．2．如圖，點(diǎn)D，E分別在等邊△ABC的邊AB，BC上，且BD＝CE，CD，AE交于點(diǎn)F．（1）如圖1，求∠AFD的度數(shù)；（2）如圖2，若D，E，M，N分別是△ABC各邊上的三等分點(diǎn)，BM，CD交于Q．若△ABC的面積為S，請(qǐng)用S表示四邊形ANQF的面積；（3）如圖3，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)P，使∠BPD＝30°，設(shè)AF＝a，CF＝b，請(qǐng)用含a，b的式子表示PC長(zhǎng)，并說(shuō)明理由．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，且BD＝CE，可證△BDC≌△CEA，由三角形的外角性質(zhì)可求∠AFD的度數(shù)；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得BD＝CE＝AM＝DN，且AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，可證△ABM≌△CAE≌△BCD和△BDQ≌△CEF，由全等三角形的性質(zhì)和三等分點(diǎn)性質(zhì)，可求四邊形ANQF的面積；（3）在AC上截取AM＝CE，由題意可證△BHC≌△CFA，可得BH＝CF＝b，AF＝CH＝a，∠PHB＝60°，即可求PC的長(zhǎng)．【解析】（1）∵△ABC是等邊三角形∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，且BD＝CE，∴△BDC≌△CEA（SAS），∴∠CAE＝∠BCD，∵∠AFD＝∠CAE+∠ACF＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∴∠AFD＝60°；（2）∵D，E，M，N分別是△ABC各邊上的三等分點(diǎn)，∴BD＝CE＝AM＝DN，且AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，∴△ABM≌△CAE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠ABM＝∠BCD，∠AMB＝∠AEC＝∠BDC，且BD＝CE，∴△BDQ≌△CEF（ASA），∴S△BDQ＝S△CEF，∵BD＝DN，∴S△BDQ＝S△DNQ＝S△CEF，∵D，E是AB，BC上三等分點(diǎn)，∴S△BDC＝S△CEA=13S△ABC=∵四邊形ANQF的面積＝S△ABC﹣S△AEC﹣S△DNQ﹣S四邊形DFEB＝S?13S?13（3）PC＝a+2b．理由如下：如圖，在AC上截取AM＝CE，即AM＝CE＝BD，∵AM＝CE＝BD，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝CB．∴△CBD≌△ACE≌△BAM（SAS），∴∠CAE＝∠BCD＝∠ABM，且∠ABC＝∠ACE，∴∠MBC＝∠ACD，且BC＝AC，∠EAC＝∠BCD，∴△BHC≌△CFA（ASA），∴BH＝CF＝b，AF＝CH＝a，∵∠PHB＝∠MBH+∠HCB＝∠ABM+∠MBC＝∠ABC，∴∠PHB＝60°，且∠BPD＝30°，∴∠PBH＝90°，且∠BPH＝30°，∴PH＝2BH＝2b，∴PC＝PH+HC＝a+2b．3．如圖，△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別為線段AD、AB、BC上的一點(diǎn)．△EFG以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，AB＝8．連結(jié)CE．（1）當(dāng)G與點(diǎn)D重合時(shí)，求AE的長(zhǎng)．（2）當(dāng)DE＝2時(shí)，求△AEF的面積．（3）①比較△BGF與△CGE的面積大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．②當(dāng)△BGF的面積為6時(shí)，求BG的長(zhǎng)．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可求BC=2AB＝82，BD＝CD＝AD＝42，∠FAE＝45°，GE＝EF，∠GEF（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于H，由“AAS”可證△EFH≌△GED，可得FH＝DE＝2，由三角形的面積公式可求解；（3）①由面積的和差關(guān)系可求解；②代入可求解．【解析】（1）如圖1，∵△GEF是等腰直角三角形，∴GE＝EF，∠GEF＝90°，∵△ABC的等腰直角三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AB＝8，∴BC=2AB＝82，BD＝CD＝AD＝42，∠FAE∴∠FAE＝∠AFE＝45°，∴AE＝EF＝DE，∴AE＝DE=12AD＝2（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于H，∴∠FHE＝∠FEG＝90°＝∠ADB，∴∠EFH+∠FEH＝90°，∠FEH+∠GED＝90°，∴∠GED＝∠EFH，又∵EF＝GE，∴△EFH≌△GED（AAS），∴FH＝DE＝2，∵AE＝AD﹣DE＝42?∴S△AEF=12×AE×FH（3）S△GEC＝S△BFG，理由如下：設(shè)GD＝a，DE＝b，則AE＝42?b，CG＝42+∴S△GEC=12×GC×DE=12（4由（2）可知△EFH≌△GED，∴FH＝DE＝b，GD＝HE＝a，∵∠BAD＝45°，∠FHA＝45°，∴DE＝FH＝AH＝b，∴HD＝42?b∵AD＝AH+HE+DE，∴42=a+2b∴a＝42?2b∴S△GEC=12（42b+ab）=12[42b+（42?2b）b]＝42∵S△BFG＝S△ABD﹣S△AFH﹣S梯形GDHF＝16?12b2?12（a+b）（42?b）＝42∴S△GEC＝S△BFG，②∵△BGF的面積為6，∴6＝42b﹣b2，∴b＝32（不合題意舍去），b=2∴a＝42?2b＝22∴BG的長(zhǎng)為22．4．如圖，在等邊△ABC中，AB＝9cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BA邊向A點(diǎn)以5cm/s速度移動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們移動(dòng)的時(shí)間為t秒鐘．（1）請(qǐng)用t的代數(shù)式表示BP和BQ的長(zhǎng)度：BP＝9﹣2t，BQ＝5t．（2）若點(diǎn)Q在到達(dá)點(diǎn)A后繼續(xù)沿三角形的邊長(zhǎng)向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P也在繼續(xù)移動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)在點(diǎn)Q從點(diǎn)A到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，t為何值時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成4：5兩部分？（3）若P、Q兩點(diǎn)都按順時(shí)針?lè)较蜓亍鰽BC三邊運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)在它們第一次相遇前，t為何值時(shí)，點(diǎn)P、Q能與△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形？【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可求得BC的長(zhǎng)，用t可表示出BP和BQ的長(zhǎng)；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可知PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成4：5兩部分，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；（3）根據(jù)題意：在它們第一次相遇前，分3種情況討論：t為何值時(shí)，點(diǎn)P、Q能與△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，由條件可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【解析】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝9cm，∵點(diǎn)P的速度為2cm/s，時(shí)間為ts，∴CP＝2t，則PB＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm；∵點(diǎn)Q的速度為5cm/s，時(shí)間為ts，∴BQ＝5t；故答案為：9﹣2t，5t；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在到達(dá)點(diǎn)A后繼續(xù)沿三角形的邊長(zhǎng)向點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)ts時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成4：5兩部分，如圖，第1部分周長(zhǎng)為：AB+AQ′+BP′＝9+5t﹣9+9﹣2t＝9+3t，第2部分周長(zhǎng)為：CP′+CQ′＝2t+18﹣5t＝18﹣3t，①（9+3t）：（18﹣3t）＝4：5，解得t＝1，②（18﹣3t）：（9+3t）＝4：5，解得t＝2，答：t為1s或2s時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分成4：5兩部分；（3）①若△PBQ為等邊三角形，則有BQ＝BP＝PQ，即9﹣2t＝5t，解得t=97（所以當(dāng)t=97s時(shí)，它們第一次相遇前，點(diǎn)P、Q能與△ABC的頂點(diǎn)B構(gòu)成等邊△②若△PCQ為等邊三角形，則有PQ＝PC＝CQ，即18﹣5t＝2t，解得t=187（所以當(dāng)t=187s時(shí)，它們第一次相遇前，點(diǎn)P、Q能與△ABC的頂點(diǎn)C構(gòu)成等邊△③當(dāng)點(diǎn)Q在AB邊上，點(diǎn)P在BC邊上，若△PBQ為等邊三角形，則有BQ＝BP＝PQ，即18﹣5t＝2t﹣18，解得t=367（所以當(dāng)t=367s時(shí)，它們第一次相遇前，點(diǎn)P、Q能與△ABC的頂點(diǎn)B構(gòu)成等邊△綜上所述：當(dāng)t=97s或187s或367s，點(diǎn)P、5．在△ABC中，∠ABC為銳角，點(diǎn)M為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CM，以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，以CM為直角邊在CM右側(cè)作等腰直角三角形CMN，連接NB．（1）如圖1，圖2，若△ABC為等腰直角三角形，問(wèn)題初現(xiàn)：①當(dāng)點(diǎn)M為線段AB上不與點(diǎn)A重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證：△ACM≌△BCN；深入探究：②當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，判斷線段BN，AM之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖3，∠ACB≠90°，若當(dāng)點(diǎn)M為線段AB上不與點(diǎn)A重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MP⊥CM交線段BN于點(diǎn)P，且∠CBA＝45°，BC＝42，當(dāng)BP有最大值時(shí)，求BM的長(zhǎng)．【分析】（1）①先判斷出∠ACM＝∠BCN，進(jìn)而由“SAS”證明△ACM≌△BCN，可得結(jié)論；②由“SAS”證明△ACM≌△BCN，可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥CE于點(diǎn)F，則FN∥AB，通過(guò)證明四邊形FNBE是矩形，可得CE＝BE＝4，∠CEM＝∠ABN＝90°，通過(guò)證明△CEM∽△MBP，可得BPEM=MBCE，即BP=(4?BM)BM【解析】（1）①如圖1，∵△ABC，△CMN為等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠MCN＝90°，AC＝BC，CM＝CN，∠CAB＝∠CBA＝45°∴∠ACM＝∠BCN，在△ACM和△BCN中，AC=BC∠ACM=∠BCN∴△ACM≌△BCN（SAS）；②當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AM與BN位置關(guān)系是AM⊥BN，∵△ABC，△CMN為等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠MCN＝90°，AC＝BC，CM＝CN，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠ACM＝∠BCN，∵AC＝BC，CM＝CN，∴△ACM≌△BCN（SAS），∴∠CAM＝∠CBN＝45°，∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠ABN＝45°+45°＝90°，即AM⊥BN；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥CE于點(diǎn)F，則FN∥AB，∵△MCN是等腰直角三角形，∴CM＝CN，∠MCN＝90°，∴∠ECM+∠FCN＝90°，∵∠ECM+∠CME＝90°，∴∠FCN＝∠CME，∵CM＝CN，∠F＝∠CEM＝90°，∴△CNF≌△CME（AAS），∴FN＝EC，EM＝CF，∵BC＝42，CE⊥AB，∠CBA＝45°，∴CE＝BE＝4，∴FN＝BE＝CE，且FN∥BA，∴四邊形FNBE是平行四邊形，且∠F＝90°，∴四邊形FNBE是矩形，∴∠CEM＝∠ABN＝90°，∴∠PMB+∠MPB＝90°，∵CM⊥MP，∴∠CME+∠PMB＝90°，∴∠CME＝∠MPB，且∠CEM＝∠ABN＝90°，∴△CEM∽△MBP，∴BPEM∴BP=(4?BM)BM4=?14∴當(dāng)BM＝2時(shí)，BP有最大值為1．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，分別過(guò)點(diǎn)A、B兩點(diǎn)作過(guò)點(diǎn)C的直線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．（1）如圖1，當(dāng)AC＝CB，點(diǎn)A、B在直線m的同側(cè)時(shí)，猜想線段DE，AD和BE三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論：DE＝AD+BE；（2）如圖2，當(dāng)AC＝CB，點(diǎn)A、B在直線m的異側(cè)時(shí)，請(qǐng)問(wèn)（1）中有關(guān)于線段DE、AD和BE三條線段的數(shù)量關(guān)系的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)給出正確的結(jié)論，并說(shuō)明理由．（3）當(dāng)AC＝16cm，CB＝30cm，點(diǎn)A、B在直線m的同側(cè)時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)M以每秒2cm的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)N以每秒3cm的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，分別過(guò)點(diǎn)M和點(diǎn)N作MP⊥m于P，NQ⊥m于Q．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△MPC與△NQC全等？【分析】（1）由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠BCE＝90°，證得∠ADC＝∠CEB＝90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD＝CE，DC＝BE，即可得到DE＝DC+CE＝BE+AD．（2）證明△ACD≌△CBE（AAS），得出AD＝CE，CD＝BE，則可得出結(jié)論；（3）根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)Q不同的位置分四種情況畫出圖形，由全等三角形的性質(zhì)則可得出答案．【解析】（1）猜想：DE＝AD+BE．證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥m于D，BE⊥m于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝DC+CE＝BE+AD；故答案為：DE＝AD+BE．（2）結(jié)論：DE＝AD﹣BE；理由：∵AD⊥m，BE⊥m，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCE∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）①當(dāng)0≤t＜8時(shí)，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BC上，如圖，∵M(jìn)C＝NC，∴16﹣2t＝30﹣3t，解得：t＝14，不合題意；②當(dāng)8≤t＜10時(shí)，點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N也在BC上，如圖，∵M(jìn)C＝NC，∴點(diǎn)M與點(diǎn)N重合，∴2t﹣16＝30﹣3t，解得：t＝9.2；③當(dāng)10≤t＜463時(shí)，點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在∵M(jìn)C＝NC，∴2t﹣16＝3t﹣30，解得：t＝14；④當(dāng)463≤t≤23時(shí)，點(diǎn)N停在點(diǎn)A處，點(diǎn)M在∵M(jìn)C＝NC，∴2t﹣16＝16，解得：t＝16；綜上所述：當(dāng)t＝9.2或14或16秒時(shí)，△MPC與△NQC全等．7．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一點(diǎn)，CD＝3，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，連接AP．（1）當(dāng)t＝3秒時(shí)，求AP的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值；（3）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于點(diǎn)E，連接PD，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)PD平分∠APC時(shí)，直接寫出t的值．【分析】（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間先求出PC，再根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成三種等腰三角形，分情況即可求解；（3）分兩種情況：①點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于E，先證△PDE≌△PDC，得出ED＝CD＝3，PE＝PC＝20﹣2t，再由勾股定理求出AE＝4，則AP＝20﹣2t，然后在Rt△APC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于E，同①得△PDE≌△PDC，得出ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣20，再由勾股定理得AE＝4，則AP＝2t﹣16，然后在Rt△APC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）根據(jù)題意，得BP＝2t，∴PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，在Rt△APC中，AC＝8，根據(jù)勾股定理，得AP=AC2答：AP的長(zhǎng)為241．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根據(jù)勾股定理，得AB=AC2∵△ABP為等腰三角形，若PA＝PB，則AP＝2t，在Rt△ACP中，根據(jù)勾股定理得，（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．若BA＝BP，則2t＝85，解得t＝45；若AB＝AP，則BP＝32，2t＝32，解得t＝16；即滿足條件的t的值為45或16或5．（3）①點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于E，如圖1所示：則∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∵PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝20﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE=A∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于E，如圖2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣20，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE=A∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；綜上所述，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t的值為7或13時(shí)，PD平分∠APC．8．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）AC＝8cm；（2）出發(fā)3秒后，求△ABP的面積；（3）當(dāng)t為幾秒時(shí)，BP平分∠ABC；（4）問(wèn)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？【分析】（1）利用勾股定理得出AC＝8cm即可；（2）表示出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；（3）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，由HL證明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD＝BC＝6cm，因此AD＝10﹣6＝4（cm），設(shè)PC＝xcm，則PA＝（8﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；（4）利用分類討論的思想和等腰三角形的特點(diǎn)及三角形的面積求出答案．【解析】（1）如圖1，∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC=AB2故答案為：8；（2）根據(jù)題意可得：PC＝3cm，則AP＝5cm，故△ABP的面積為：12×AP×BC=12（3）如圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，∵BP平分∠CBA，∴PD＝PC．在Rt△BPD與Rt△BPC中，PD=PCBP=BP∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD＝BC＝6cm，∴AD＝10﹣6＝4（cm）．設(shè)PC＝xcm，則PA＝（8﹣x）cm在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴當(dāng)t＝3秒時(shí)，BP平分∠CBA；（4）如圖3，若P在邊AC上時(shí)，BC＝CP＝6cm，此時(shí)用的時(shí)間為6s，△BCP為等腰三角形；若P在AB邊上時(shí)，有3種情況：①如圖4，若使BP＝CB＝6cm，此時(shí)AP＝4cm，P運(yùn)動(dòng)的路程為12cm，所以用的時(shí)間為12s，故t＝12s時(shí)△BCP為等腰三角形；②如圖5，若CP＝BC＝6cm，過(guò)C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為4.8cm，根據(jù)勾股定理求得BP＝7.2cm，所以P運(yùn)動(dòng)的路程為18﹣7.2＝10.8（cm），∴t的時(shí)間為10.8s，△BCP為等腰三角形；③如圖6，若BP＝CP時(shí)，則∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC，∴PA＝PB＝5cm，∴P的路程為13cm，所以時(shí)間為13s時(shí)，△BCP為等腰三角形．∴t＝6s或13s或12s或10.8s時(shí)△BCP為等腰三角形．9．[初步探索]（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ABC與∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P，若∠P＝40°，則∠A＝80度；[靈活運(yùn)用]（2）如圖2，已知等邊三角形ABC，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持∠MON＝60°不變，連接MN．猜想∠BMN與∠BON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；[拓展延伸]（3）如圖3，已知等邊三角形ABC，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)N在CB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M仍在AB邊上運(yùn)動(dòng)，且保持∠MON＝60°不變，連接NM并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出∠BOM、∠CEM、∠BCE這三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）設(shè)∠ABP＝∠PBC＝x，∠ACP＝∠PCD＝y(tǒng)，利用三角形的外角的性質(zhì)，構(gòu)建方程組求解，證明∠A＝2∠P，即可解決問(wèn)題．（2）如圖2，在BC上截取BP＝MA，連接OP，OA．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠MNO＝∠ONP，再利用（1）中結(jié)論，即可解決問(wèn)題．（3）結(jié)論：∠CEM+∠ECB＝2∠BOM．如圖3中，由（2）可知，∠ONM＝∠ONC，設(shè)∠ONM＝∠ONC＝x，∠NOB＝y(tǒng)，構(gòu)建方程組，解決問(wèn)題即可．【解析】（1）如圖1中，∵∠ABC與∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P，∴∠ABP＝∠PBC，∠ACP＝∠PCD，設(shè)∠ABP＝∠PBC＝x，∠ACP＝∠PCD＝y(tǒng)，則有2y=2x+∠A①①﹣②×2，可得，∠A＝2∠P，∵∠P＝40°，∴∠A＝80°，故答案為：80．（2）結(jié)論：∠BMN＝2∠BON．理由：如圖2，在BC上截取BP＝MA，連接OP，OA．∵O是△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，∴∠MAO＝∠PBO＝30°，AO＝OB，在△MCO與△PAO中，MA=PB∠MAO=∠PBO∴△MAO≌△PBO（SAS），∴OM＝OP，∠AOM＝∠BOP，∴∠AOM+∠MOB＝∠BOP+∠MOB，∴∠AOB＝∠MOP＝120°；∵∠MON＝60°，∴∠NOP＝60°，∠MON＝∠NOP；在△MON與△PON中，OM=OP∠MON=∠PON∴△MON≌△PON（SAS），∴∠ONM＝∠ONP，∵∠MBO＝∠OBC，∴滿足（1）中條件，可得∠BMN＝2∠BON．（3）結(jié)論：∠CEM+∠ECB＝2∠BOM．理由：如圖3中，由（2）可知，∠ONM＝∠ONC，設(shè)∠ONM＝∠ONC＝x，∠NOB＝y(tǒng)，則有x+y=30°2x+∠CEM+∠ECB=180°消去x，y可得∠CEM+∠ECB＝2∠BOM．10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，過(guò)C作直線CE，B關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接AD，BD，CD，CE與BD的交點(diǎn)為E，設(shè)∠BCE＝α（0°＜α＜90°）．（1）若α＝15°，則請(qǐng)直接寫出下列兩個(gè)角的度數(shù)：∠ADC＝45°，∠ADB＝30°．（2）隨著α的變化，∠ADB的度數(shù)是否也發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)△ABD成為等腰三角形時(shí)，求α的值．【分析】（1）分別求出∠CDB，∠CDA即可解決問(wèn)題．（2）分別用α表示∠CDB，∠CDA，利用角的和差定義求出∠ADB即可．（4）分四種情形：如圖3﹣1中，當(dāng)DA＝DB時(shí)，如圖3﹣2中，當(dāng)BA＝BD時(shí)，如圖3﹣3中，當(dāng)DA＝DB時(shí)，如圖3﹣4中，當(dāng)DA＝DB時(shí)，分別求出∠DCB，即可解決問(wèn)題．【解析】（1）如圖1中，∵B，D關(guān)于CE對(duì)稱，∴∠BCE＝∠DCE＝15°，∴∠BCD＝30°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠CBD=1∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝CB＝CD，∴∠ACD＝60°+30°＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠ADB＝∠CDB﹣∠ADC＝75°﹣45°＝30°，故答案為：45°，30°．（2）如圖2中，結(jié)論：∠ADB的度數(shù)不變，∠ADB＝30°．理由：∵CA＝CD，∠ACD＝60°+2α，∴∠CDA＝∠CAD=12（180°﹣60°﹣2α）＝60°﹣∵CB＝CD，∠BCD＝2α，∴∠CDB＝∠CBD=12（180°﹣2α）＝90°﹣∴∠ADB＝∠CDB﹣∠CDA＝90°﹣α﹣（60°﹣α）＝30°．（3）如圖3﹣1中，當(dāng)DA＝DB時(shí)，∵CA＝CB，DA＝DB，∴AC，BC關(guān)于CD對(duì)稱，∴∠BCD＝∠ACD＝30°，∴α=12∠如圖3﹣2中，當(dāng)BA＝BD時(shí)，△BCD是等邊三角形，∴∠DCB＝60°，∴α=12∠如圖3﹣3中，當(dāng)DA＝DB時(shí)，∠DCB＝∠DCA＝150°，∴α=12∠如圖3﹣4中，當(dāng)DA＝DB時(shí)，∠DCB＝120°，∴α=12∠綜上所述，滿足條件的α的值為15°或30°或75°或60°．11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，點(diǎn)Q在邊AC上，CQ＝1，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AC運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)Q重合時(shí)，以PQ為邊構(gòu)造Rt△PQM，使∠PMQ＝∠A，∠QPM＝90°，且M與點(diǎn)B在直線AC的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）AB的長(zhǎng)為5．（2）點(diǎn)M落在AB邊上時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，設(shè)△PQM與△ABC重合部分圖形的周長(zhǎng)為l，求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式．（4）當(dāng)點(diǎn)M與△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)（點(diǎn)C除外）連線所在的直線平分△ABC面積時(shí)，直接寫出t的值．【分析】（1）利用勾股定理計(jì)算即可．（2）由△AMQ∽△ACB，可得AMAC=AQAB=MQBC，推出AM4=35=MQ3，推出AM=125（3）分三種情形：如圖2中，當(dāng)0≤t≤4825時(shí)，重疊部分是四邊形PKJQ．如圖3中，當(dāng)4825＜t＜3時(shí)，重疊部分是△PQM．如圖4中，當(dāng)3＜（4）分三種情形：如圖5中，當(dāng)直線AM經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)R時(shí)，如圖6中，當(dāng)直線BM經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)W時(shí)，過(guò)點(diǎn)W作WT⊥AB于T．如圖7中，當(dāng)AM經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)時(shí)，分別利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可．【解析】（1）∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB=3故答案為：5．（2）如圖1中，∵∠APM＝∠QPM＝90°，∴∠A+∠AMP＝90°，∵∠PMQ＝∠A，∴∠AMP+∠PMQ＝90°，∴∠AMQ＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AMQ∽△ACB，∴AMAC∴AM4∴AM=125，MQ∵PM∥BC，∴△APM∽△ACB，∴APAC∴AP4∴AP=48∴t=48（3）如圖2中，當(dāng)0≤t≤4825時(shí)，重疊部分是四邊形由題意PA＝t，PK=34t，AK=∴PQ＝3﹣t．KJ=125∴四邊形PKJQ的周長(zhǎng)＝PK+KJ+QJ+PQ=34t+125?54t如圖3中，當(dāng)4825＜t＜3時(shí)，重疊部分是△PQM，周長(zhǎng)＝3﹣t+43（3﹣t）+5如圖4中，當(dāng)3＜t≤4時(shí)，重疊部分是△PQM，周長(zhǎng)＝t﹣3+43（t﹣3）+53（綜上所述，l=?（4）如圖5中，當(dāng)直線AM經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)R時(shí)，由PM∥CR，可得RCAC=PM解得t=96如圖6中，當(dāng)直線BM經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)W時(shí)，過(guò)點(diǎn)W作WT⊥AB于T．由WT∥MJ，可得WTBT∴65解得，t=60如圖7中，當(dāng)AM經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)時(shí)，由PM∥CR，可得RCAC=PM解得t=96綜上所述，滿足條件的t的值為9641或13417或12．如圖1，等邊△ABC邊長(zhǎng)為8，AD是△ABC的中線，P為線段AD（不包括端點(diǎn)A、D）上一動(dòng)點(diǎn)，以CP為一邊且在CP下方作如圖所示的等邊△CPE，連結(jié)BE．（1）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段BE與AP始終相等嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由；（2）若延長(zhǎng)BE至F，使得CF＝CE＝5，如圖2，①求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)P在線段AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在射線BE上時(shí)，判斷EF的長(zhǎng)是否為定值，若是請(qǐng)直接寫出EF的長(zhǎng)；若不是請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．【分析】（1）證明∠ACP＝∠BCE，再根據(jù)SAS證明△ACP≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到BE＝AP；（2）①過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求得∠CAD＝30°，然后由△ACP≌△BCE可求得∠CBH＝30°，依據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)可求得CH的長(zhǎng)，從而可求得BH的長(zhǎng)，然后在△ECH中依據(jù)勾股定理可求得EH的長(zhǎng)，故此可求得BE的長(zhǎng)，最后根據(jù)AP＝BE求解即可；②根據(jù)題意畫出圖形，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE，證明△ACP≌△BCE，從而得到∠CBH＝30°，由含30°直角三角形的性質(zhì)可求得CH、BH的長(zhǎng)，依據(jù)勾股定理可求得EH的長(zhǎng)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算，即可解決問(wèn)題．【解析】（1）BE＝AP，理由如下：∵△ABC和△CPE均為等邊三角形，∴∠ACB＝∠PCE＝60°，AC＝BC，CP＝CE，∵∠ACP+∠DCP＝∠DCE+∠PCD＝60°，∴∠ACP＝∠BCE，∵在△ACP和△BCE中，AC=BC∠ACP=∠BCE∴△ACP≌△BCE（SAS），∴BE＝AP；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE，垂足為H，∵AB＝AC，AD是BC的中點(diǎn)，∴∠CAD＝∠BAD=12∠由（1）可知，△ACP≌△BCE，∴∠CBE＝∠CAD＝30°，AP＝BE，在Rt△BCH中，∠HBC＝30°，∴HC=12由勾股定理得，BH=BC2∵在Rt△CEH中，EC＝5，CH＝3，∴EH=C∴BE＝HB﹣EH＝43?∴AP＝43?②EF的長(zhǎng)為定值6，理由如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE，垂足為H，∵△ABC和△CEP均為等邊三角形，∴AC＝BC，CE＝PC，∠ACB＝∠ECP．∴∠ACB+∠BCP＝∠ECP+BCP，即∠BCE＝∠ACP，∵在△ACP和△BCE中，AC=BC∠ACP=∠BCE∴△ACP≌△BCE（SAS），∴∠CBH＝∠CAP＝30°，AP＝BE，∵在Rt△BCH中，∠CBH＝30°，∴HC=12由勾股定理得，F(xiàn)H=C∵CF＝CE，CH⊥FE，∴FH＝EH＝3，∴EF＝6．13．等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)（1）如圖1，求證：CO＝BO；（2）如圖2，點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC延長(zhǎng)線上，MN﹣AM＝CN，求∠MON的度數(shù)；（3）如圖3，AD∥BC，OD∥AC，AD與OD交于點(diǎn)D，Q是OB的中點(diǎn)，連接CQ、DQ，試判斷線段CQ與DQ的關(guān)系，并給出證明．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一證明；（2）在線段BC上取點(diǎn)H，使CH＝AM，連接OH，分別證明△AOM≌△COH和△MON≌△HON，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；（3）作DG⊥AO于G，證明△COQ≌△QGD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，垂直的定義證明結(jié)論．【解析】（1）證明：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴CO=12AB＝（2）解：如圖2，在線段BC上取點(diǎn)H，使CH＝AM，連接OH，∵∠ACB＝90°，AO＝BO，∴∠A＝∠B＝45°，∠ACO＝∠BCO＝45°，∴∠A＝∠BCO，在△AOM和△COH中，OA=OC∠A=∠OCH∴△AOM≌△COH（SAS），∴OM＝OH，∠COH＝∠AOM，∵∠AOM+∠MOC＝90°，∴∠COH+∠MOC＝90°，即∠MOH＝90°，∵M(jìn)N﹣AM＝CN，NH﹣CH＝CN，∴NM＝NH，在△MON和△HON中，NM=NHOM=OH∴△MON≌△HON（SSS），∴∠MON＝∠HON，∴∠MON=12∠（3）解：CQ＝DQ，CQ⊥DQ，證明如下：如圖3，作DG⊥AO于G，∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠B＝45°，∵OD∥AC，∴∠AOD＝∠OAC＝45°，∴DA＝DO，∵DG⊥AO，∴DG＝AG＝AO=12∵Q是OB的中點(diǎn)，∴OQ＝BQ=12∴DG＝OQ，GQ＝OC，在△COQ和△QGD中，OQ=GD∠QOC=∠DGQ∴△COQ≌△QGD（SAS），∴QC＝QD，∠GQD＝∠OCQ，∵∠OCQ+∠CQO＝90°，∴∠GQD+∠CQO＝90°，即∠CQD＝90°，∴QC⊥QD，∴QC＝QD，QC⊥QD．14．如圖1，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．（1）求證：CD＝BE；（2）如圖2，若∠EAD＝60°，點(diǎn)H為AE的中點(diǎn)，求∠BFD的大??；（3）在（2）的條件下，CD垂直平分AE于H，連結(jié)BD，設(shè)AD＝m，CD＝n，BD＝p，猜想m，n，p滿足的關(guān)系式，并證明．【分析】（1）根據(jù)∠DAE＝∠BAC得到∠CAD＝∠BAE，利用SAS定理證明△BAE≌△CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的判定定理得到△ADE為等邊三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一得到∠ADH＝∠EDH＝30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（3）根據(jù)勾股定理得到BE2+DE2＝BD2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝CD，等量代換得到答案．【解析】（1）證明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，即∠CAD＝∠BAE，在△BAE和△CAD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△BAE≌△CAD（SAS），∴CD＝BE；（2）解：∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE為等邊三角形，∴∠ADE＝∠AED＝60°，∵點(diǎn)H為AE的中點(diǎn)，∴∠ADH＝∠EDH=12∠∵△BAE≌△CAD，∴∠AEB＝∠ADC＝30°，∴∠BFD＝∠BED+∠EDH＝120°；（3）解：m2+n2＝p2，證明如下：由（2）可知，∠BED＝90°，∴BE2+DE2＝BD2，∵△ADE為等邊三角形，∴DE＝AD，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，∴CD2+AD2＝BD2，即m2+n2＝p2．15．如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為6cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s．（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CMQ的度數(shù)變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時(shí)△PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP的交點(diǎn)為M，則∠CMQ的度數(shù)變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．【分析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，所以AP＝BQ．AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，因而運(yùn)用邊角邊定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性質(zhì)定理及三角形的角間關(guān)系、三角形的外角定理，可求得CQM的度數(shù)．（2）設(shè)時(shí)間為t，則AP＝BQ＝t，PB＝6﹣t．分別就①當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)；②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)利用直角三角形的性質(zhì)定理求得t的值．（3）首先利用邊角邊定理證得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性質(zhì)定理得到∠BPC＝∠MQC．再運(yùn)用三角形角間的關(guān)系求得∠CMQ的度數(shù)．【解析】（1）∠CMQ＝60°不變．∵等邊三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由條件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）設(shè)時(shí)間為t，則AP＝BQ＝t，PB＝6﹣t，①當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，∵∠ABC＝60°，∴PB＝2BQ，得6﹣t＝2t，t＝2；②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，∵∠ABC＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t），t＝4；∴當(dāng)?shù)?秒或第4秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不變．∵在等邊三角形中，BC＝AC，∠ABC＝∠CAP＝60°，∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由條件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS），∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°．16．如圖，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)D從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線CB方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，射線MP⊥射線CB且BM＝10，點(diǎn)Q從M點(diǎn)出發(fā)，沿射線MP方向以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，已知D、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝2時(shí)，△DMQ是等腰三角形，求a的值．（2）求t為何值時(shí)，△DCA為等腰三角形．（3）是否存在a，使得△DMQ與△ABC全等，若存在，請(qǐng)直接寫出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明由．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的概念列式計(jì)算即可；（2）分AC＝AD、AC＝CD、AD＝CD三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可；（3）分△DMQ≌△ABC和△DMQ≌△CBA兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計(jì)算，得到答案．【解析】（1）當(dāng)t＝2時(shí)，DB＝6，∵BM＝10，∴DM＝4，∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°，∴DM＝MQ，即4＝2a，解得，a＝2；（2）①當(dāng)AC＝AD時(shí)，△DCA為等腰三角形，∵AB⊥CD，∴BD＝BC＝6，∴t＝2；②由勾股定理得，AC=A當(dāng)AC＝CD＝10時(shí)，△DCA為等腰三角形，∵BC＝6，∴BD＝4，∴t=4③當(dāng)AD＝CD＝6+3t時(shí)，△DCA為等腰三角形，∵∠ABD＝90°，∴AB2+BD2＝AD2，即82+（3t）2＝（6+3t）2，解得，t=7綜上所述：t＝2或43或79時(shí)，△（3）當(dāng)△DMQ與△ABC全等，①△DMQ≌△ABC，∴MQ＝BC＝6，DM＝AB＝8，∵BM＝10，∴BD＝2或BD＝18，∴t=23或∴a＝9或a＝1；②△DMQ≌△CBA，∴DM＝BC＝6，MQ＝AB＝8，∴BD＝4或16，∴t=43或∴a＝6或32綜上所述：當(dāng)△DMQ與△ABC全等時(shí)，a＝9或1或6或3217．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，以AB為一邊向上作等邊△ABD，點(diǎn)E在BC的垂直平分線上，且EB⊥AB，連接CE，AE，CD．（1）判斷△CBE的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求證：AE＝DC；（3）若AE，CD相交于點(diǎn)F，求∠AFD的度數(shù)為多少？【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得EC＝EB，再算出∠CBE＝60°，可判定△CBE是等邊三角形；（2）根據(jù)SAS可證明△ABE≌△DBC，即可得出結(jié)論；（3）由（2）中全等可得∠EAB＝∠CDB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠AFD的度數(shù)．【解析】（1）△CBE是等邊三角形．理由如下：∵點(diǎn)E在BC垂直平分線上，∴EC＝EB，∵EB⊥AB，∴∠ABE＝90°，∵∠ABC＝30°，∴∠CBE＝60°，∴△CBE是等邊三角形．（2）∵△ABD是等邊三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠DBC＝90°，∵EB⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠AB