2019年中考數(shù)學真題分類訓練一一專題十四：圖形的相似

一、選擇題

1.（2019邵陽）如圖，以點0為位似中心，把△胸放大為原圖形的2倍得到△/gC,以下說法中

錯誤的是

A.△四6sB'C

B.點G點0、點△三點在同一直線上

C.AO'.AA1=1：2

D.AB//A'B'

【答案】C

2.（2019溫州）如圖，在矩形的?中，￡為腦中點，以幽為邊作正方形應K7,邊即交切于點，，在

邊被上取點"使止破作掰V〃鹿交切于點￡,交定于點M歐幾里得在《幾何原本》中利用該圖解

釋了（附方）（a-b）=a2-Z>2,現(xiàn)以點尸為圓心，所為半徑作圓瓠交線段掰于點只連結(jié)EP,記4EPH忸

面積為S,圖中陰影部分的面積為S.若點小L,G在同一直線上，則的值為

DP

B.

A,口

c.D.

【答案】c

3.（2019淄博）如圖，在中,AC=2fBC=4,。為比邊上的一點，且N。加N8.若△胸的面積為

a則△板的面積為

A.2a

C.3a

【答案】C

4.（2019杭州）如圖，在△胸中，點"月分別在相和4c上，DE//BC,必為寬邊上一點（不與點反

。重合），連接■交加于點乂則

5.（2019玉林）如圖，AB//EF//DC.ADi/BC.EF與AC交于點G,則是相似三角形共有

A.3對B.5對C.6對D.8對

【答案】C

6.（2019常德）如圖，在等腰三角形△胸中，AB=ACt圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形面積

為L△板的面積為42,則四邊形破下的面積是

A.20B.22C.24D.26

【答案】D

7.（2019涼山）如圖，在△被7中，〃在4C邊上，AD\DO\：2,0是物的中點，連接40并延長交BC

于瓦則屬：￡俏

A.1：2B.1：3C.1：4D.2：3

【答案】B

8.（2019赤峰）如圖，D、￡分別是△被7邊AB,4c上的點，NADJ3=NACB,若止2,心6,4僅4,則

府的長是

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

9.（2019重慶）如圖，XCDO,若吩6,DO=3f綏2,則血的長是

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

10.（2019連云港）在如圖所示的象棋盤（各個小正方形的邊長均相等）中，根據(jù)“馬走日”的規(guī)則,

“馬”應落在下列哪個位置處，能使“馬”、“車”、“炮”所在位置的格點構(gòu)成的三角形與“帥”、

“相”、“兵”所在位置的格點構(gòu)成的三角形相似

A.①處B.②處

【答案】B

11.（2019安徽）如圖，在Rt△胸中，妙90°,力俏6,止12,點。在邊國上，點￡在線段段上,

阮L4c于點凡舐1所交四于點G.若E2EG,則如的長為

A.3.6B.4C.4.8D.5

【答案】B

12.（2019蘭州）已知八ABCs△A'B'C,小8,A'B'=6,則

A.2B.C.3D.

【答案】B

13.（2019常州）若△第7?△/B'C,相似比為1：2,則△被7與C的周長的比為

A.2：1B.1：2C,4：1D,1：4

【答案】B

二、填空題

14.（2019吉林）在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3嗎同時同地測得一棟樓的影長為

90m,則這棟樓的高度為m.

【答案】54

15.（2019臺州）如圖，直線U/lJ/luAtB,。分別為直線7i,k,乙上的動點，連接AB,BC、AC,

線段交直線于點D.設(shè)直線Z力之間的距離為％直線A之間的距離為小若N麴0=90°,

?4,且，則加〃的最大值為_

一

C,3

【答案】

16.（2019南京）如圖，在△胸中，歐的垂直平分線就交居于點〃，5平分N46B.若止2,吩3,

則/C的長__________.

BC

【答案】‘

17.(2019)煙臺)如圖，在直角坐標系中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△板的頂點坐標分

別為A(-2,-1),B(-2,-3),0(0,0),區(qū)”的頂點坐標分別為4(1,-1),仄(1,-5),(X

(5,1),△血與區(qū)”是以點尸為位似中心的位似圖形，則尸點的坐標為

【答案】(-5,-1)

18.(2019)本溪)在平面直角坐標系中，點A96的坐標分別是4(4,2),8(5,0),以點0為位似中

心，相似比為，把△的0縮小，得到△48“則點力的對應點4的坐標為

【答案】(2,1)或(-2,-1)

19.(2019宜賓)如圖，已知直角△胸中，⑦是斜邊相上的高，力俏4,BC=3,則止

【答案】

，則］

20.(2019河池)如圖，以點0為位似中心，將△胸放大后得到△a力，OA=2tAC=3

D

【答案】

21.(2019淮安)如圖，h"k,直線a、b與△、h、心分別相交于點/、B、。和點D、E、F.若

AB=3t詆2,BC=6,則E2.

【答案】4

三、解答題

22.(2019福建)已知△胸和點4,如圖.

(1)以點H為一個頂點作使△被7,且△46'C的面積等于△■面積的4倍;

(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)設(shè)〃、E、戶分別是△3三邊四、BC、4c的中點，“、片、尸分別是你所作的三邊4'夕、

FC、的中點，求證：△加2

C

解：(1)作線段/右=2ZGA'*=2AB、BC=2BC,得△HS'C即可所求.

圖1

,：A,e=2AC.A'B'=2AB.FC=2BC,

，△儂SA4'B'C,?.

(2)如圖,

圖2

VAE、尸分別是△胸三邊的、BC、4c的中點,

:.RDEF^AABC

同理：XEEFs盤EC,

由(1)可知：AABCsAA'B'C,

，△戚

23.12019紹興)如圖，矩形用力中，AB=atBC=b,點M〃分別在邊被CD上,點E,尸分別在邊舐

助上，MN,廝交于點只記k=MN：EF.

(1)若a：6的值為1,當掰匕歷時，求A的值.

(2)若a：b的值為,求A的最大值和最小值.

(3)若在的值為3,當點〃是矩形的頂點，N必%=60°,MP=EQ3PE時,求a：b的值.

解：(1)如圖1中,

圖1

作FHLBC于H,MQLCD于Q,設(shè)用'交的于點Q

:四邊形松力是正方形，:.FltAB,MQ=BC,

,:AB=CB,:.FH=MQ,

■:EF1MN,:.NEOl^M,

?；N比滬90°,：./MNS/CEC18N,/電濟N?=180°,

:?/FE44MNQ,???/頗=N版忙90°,

：?AFHE0AMQN(峻2,

:?MP±EF,:?kMN：跖=1.

(2)：azb=l：2,：.b=如、

由題意：2aW胸"aWEF

，當府的長取最大時，“1取最短，此時女的值最大，最大值為二,

當做的長取最短時，跖的值取最大，此時"的值最小，最小值為j|.

(3)連接剛ME.

VA=3,M^E聲3PE,：.3,

：3如MME,

2,ME//NF,

設(shè)法2。，則加40，MP=6m,臚=12。,

①如圖2中，當點〃與點，重合時，點力恰好與點5重合.過點尸作碘助于點，.

?:/g爐/FP居60°,

:,PH=2m,F/f=2[g,好10%

②如圖3中，當點〃與點C重合，過點月作成LAW于點〃則叫27,HE叫

:?H("P出Pg3m,JtanN胸

'：ME/fFC,：.AMEB=AFCB=ACFDt

?.?"/〃，:.△MEB^ACFD,

綜上所述，a：b的值為

24.(2019涼山)如圖，/ABA/BCD-9。。,DB平公4ADC,過點5作勿〃勿交助于瓶連接緲交龐

于N.

(1)求證：B氏AD，CD}

(2)若)=6,止8,求仞V的長.

解：(1)證明：?:DB平價ZADC,

：?ZADB=4CDB,且NABD=NBCD=90°,

：.4AB34BCD,

:?B!f=AD、CD.

(2),:BM//CD,:?/MBg/BDC,

：.4AD故4MBD,且N3=90。，

:,映MD,/楊斯/曲，

:?BM=MD=AM=4,

,:B/=AD?CD,且06,AD=8t???面=48,

；?降既3=12,

，初二加+降28,

:,臨L

FBMHCD、:△MNB^XCND、

,且MO,

「

???階.

25.（2019舟山）小波在復習時，遇到一個課本上的問題，溫故后進行了操作、推理與拓展.

（1）溫故：如圖1,在△被;中，AD1BC于點D,正方形/W的邊翻在賬上，頂點只〃分別在典

47上，若死=&小方，求正方形;W的邊長（用a,力表示）,

（2）操作：如何畫出這個正方形尸SW呢？

如圖2,小波畫出了圖1的AABC,然后按數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》中的方法進行操作：先在小上任

取一點P,畫正方形PQ駁N、使點Q、"在BC邊上,點〃在△胸內(nèi)，然后連結(jié)BN,并延長交AC

于點M畫聞吐房?于點MNP1NM交AB于懸P,PQ1BC干次Q,得到四邊形義瞅

（3）推理：證明圖2中的四邊形;W是正方形.

（4）拓展：小波把圖2中的線段胸稱為“波利亞線”，在該線上截取除幽連結(jié)￡0,9（如圖3）,

當N麴生90。時，求“波利亞線”冊的長（用a,力表示）,

請幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問題.

A

BQD3/C6Q0MMCBQA/L

圖1圖2圖3

解：（1）證明：如圖L也正方形PQMN再PN〃BC,：.4APN^4ABC,

,即|一,

解得刖

A

圖1

(3)證明：由畫法得，/救忙N7W=N?妍90°,

.四邊形圖階為矩形，

?NM〔BC,NMLBC,

.W〃闋

?四邊形/W吩正方形.

(4)如圖2,過點〃作佩JL始于點兄

圖3

VNB=NM,：.4NE1Q4NME,

：,ER=R1^^

又,：ZEQ/4EM牛4EM心■4EMN=90°,

"EQ^NEMN.

又/期/4昨90°,帳QM,

.?.△Afi^AiBW(AAS),

:?E午RM,

:.E牛W,

???/惻=90°,???/颯乙糜=90°,

.*.4BE牛4EMB,

又,：￡EB*4QBE,

???△磔s△陽心

設(shè)階x,則后2乂止4%

:.QM-BM-Bg力冊NE,

???阱明松=5%

njI

：.BN=Mf=L

U___I

26.（2019巴中）△府在邊長為1的正方形網(wǎng)格中如圖所示.

①以點。為位似中心，作出△被7的位似圖形△45G使其位似比為1：2.且△45C位于點。的異側(cè),

并表示出4的坐標.

②作出△胞繞點，順時針旋轉(zhuǎn)90。后的圖形△也昆￡

③在②的條件下求出點5經(jīng)過的路徑長.

解：①如圖，△45。為所作，點4的坐標為(3,-3).

②如圖，△楨。為所作.

27.(2019衢州)如圖，在Rt^4C中，N俏90°,4俏6,N班俏60°,他平分NBAC交BC于點D,過

點。作龍〃交相于點七點"是線段初上的動點，連結(jié)身并延長分別交陽AC于兼RG.

(1)求切的長.

二|的值.

若點"是線段血的中點，求

(3)請問當掰的長滿足什么條件時，在線段比'上恰好只有一點只使得N*60°?

解：(1)二?助平分N物GZBAC=60°,

/.ZDACZBAC=3O°,

在Rt△胸中，DC=AC,tan30°=i

(2)由題意易知：BC=G,BD=4

'：DE/!AC,"ED欄/DAC、/DF^4AGM,

?:臟DM,：ZFgXAGMQ除9,：.DF=AGt

電DE"AC,得△加衣△顯4,

(3)???/陽信60°,過G只G作外接圓，圓心為0,

???△斯是頂角為120°的等腰三角形.

①當。0與班(相切時，如圖1,過點0作如檢于，，并延長成與小'交于點尺連結(jié)仇?,

設(shè)。。的半徑/r.則Wk

解得4,傷2,

易知RDFMsRAGM,可得

②當00經(jīng)過點￡時，如圖2,過點。作血相，垂足為

設(shè)。。的半徑則距匚I-r.

圖2

在山△?數(shù)中，1?+(3j)2="，解得

易知2DFMsRAGM,可得

③當00經(jīng)過點〃時，如圖3中，此時點"與點G重合，且恰好在點/處，可得寐

圖3

???綜上所述，當,滿足條件的點P只有一個.

28.(2019荊門)如圖，為了測量一棟樓的高度0E,小明同學先在操場上A處放一面鏡子，向后退到B

處，恰好在鏡子中看到樓的頂部及再將鏡子放到。處，然后后退到〃處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂

部E10,AtB,C,〃在同一條直線上），測得AO2m,g2.1m,如果小明眼睛距地面高度BF、DG為

1.6m,試確定樓的高度0E.

E

卜、、市/■

DCBA0

解：如圖，設(shè)￡關(guān)于。的對稱點為"，由光的反射定律知，延長必用相交于點M連接金并延長交織

于點H,

答：樓的高度組為32米.

29.（2019安徽）如圖，Rt△被中，44詼90°,AC=BCt?為△腦內(nèi)部一點，且/板=/明信135°.

(1)求證：APABsAPBC、

(2)求證：PA=2PCx

（3）若點尸到三角形的邊幽BC,。的距離分別為益，h,h,求證小2=也?人.

c

證明：（1）VZACB=90°,AB=BCt

JN胸=45°=ZPBA+ZPBCf

又N4^=135°,；?NPA*NPBA=45°,

NP眸/PAB,

又?：NAP斤NBPC=135°,

：.PA=2PC.

(3)如圖，過點尸作血比；PEIAC交BC、AC于息D,E,

:,P六hi,吩旗P扭h,

■:NCP濟NAPB=135°+135°=270°,

ZAPC=9Q°,

???/幼斗乙4華=90°,

又tNAC年NACMPCA9Q°,

:.4EAI=/PCD,

ARtAA^RtAO^,

30.（2019長沙）根據(jù)相似多邊形的定義，我們把四個角分別相等，四條邊成比例的兩個凸四邊形叫做

相似四邊形.相似四邊形對應邊的比叫做相似比.

（1）某同學在探究相似四邊形的判定時，得到如下三個命題，請判斷它