河北省石家莊市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．若直線經(jīng)過兩點，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．設(shè)，向量，，且，，則（）A． B． C． D．3．已知直線（為常數(shù)）與圓交于點，當(dāng)變化時，若的最小值為2，則

A． B． C． D．4．雙曲線的兩個焦點分別是和，焦距為8，M是雙曲線上的一點，且，則的值為（

）A．1 B．4 C．1或9 D．95．已知拋物線，過其焦點F的直線與該拋物線交于A、B兩點，A在第一象限，且，則直線AB的斜率為（

）A．1 B．C． D．無法確定6．如圖所示，點是拋物線的焦點，點分別在拋物線及圓的實線部分上運動，且AB總是平行于軸，則的周長的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線與圓：相切，與雙曲線在第四象限交于一點，且有軸，則離心率為（

）A．3 B． C． D．28．設(shè)拋物線，直線與拋物線交于、兩點且，則的中點到軸的最短距離為（

）A． B．1 C． D．2二、多選題（本大題共3小題）9．下列利用直線的方向向量、平面的法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，則B．平面外的直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．兩個不同的平面的法向量分別是，則D．直線l的方向向量，平面的法向量是，則10．已知直線：和直線：，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．直線過定點，直線過定點D．當(dāng)，平行時，兩直線的距離為11．已知橢圓的左,右兩焦點分別是，其中，直線與橢圓交于兩點，則下列說法中正確的有（

）A．的周長為B．若的中點為，則C．若，則橢圓的離心率的取值范圍是D．若時，則的面積是三、填空題（本大題共3小題）12．已知橢圓的左、右焦點分別為點、，若橢圓上頂點為點，且為等邊三角形，則是．13．正方體的棱長為，是正方體外接球的直徑，為正方體表面上的動點，則的取值范圍是.14．已知拋物線的焦點為F，直線l過點F且傾斜角為，若拋物線C上存在點M與點關(guān)于直線l對稱，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知點和點關(guān)于直線：對稱．（1）若直線過點，且使得點到直線的距離最大，求直線的方程；（2）若直線過點且與直線交于點，的面積為2，求直線的方程．16．已知圓關(guān)于直線對稱，且在圓上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與圓C交于點A，B，求面積的最大值，并求此時直線l的方程.17．已知雙曲線的離心率，，分別為其兩條漸近線上的點，若滿足的點在雙曲線上，且的面積為8，其中為坐標(biāo)原點．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點的動直線與雙曲線相交于，兩點，在軸上是否存在定點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，．(1)證明：平面．(2)若，求點到平面的距離．(3)求直線與平面所成角的正弦值的最大值．19．已知橢圓，C的上頂點為B，左、右頂點分別為、，左焦點為，離心率為．過作垂直于軸的直線與交于，兩點，且．(1)求的方程；(2)若，是上任意兩點，①若點，點N位于軸下方，直線交軸于點G，設(shè)和的面積分別為，若，求線段的長度；②若直線與坐標(biāo)軸不垂直，H為線段的中點，直線OH與C交于P，Q兩點，已知P，Q，M，N四點共圓，求的最大值．

答案1．【正確答案】B由斜率公式得出，進(jìn)而得出直線的傾斜角.【詳解】因為傾斜角，所以故選：B2．【正確答案】A【詳解】解：因為，，，所以，則，所以.又因為，且，所以，則，所以，所以，所以.故選：A.3．【正確答案】C【詳解】由題可得圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長為，則當(dāng)時，取得最小值為，解得.故選：C.4．【正確答案】D【詳解】因為，所以,所以,解得a=2,根據(jù)雙曲線定義可得, 所以,解得或,當(dāng)時,不合題意,故舍去,當(dāng)時,,滿足題意,綜上,,故選：D.5．【正確答案】C【詳解】結(jié)合題意：可知拋物線的準(zhǔn)線為：，如圖所示：過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為,過點作的垂線，垂足為點,設(shè)，直線的傾斜角為，因為,所以，由拋物線的定義：，結(jié)合圖形易知：,所以，在直角三角形中，，所以直線AB的斜率.故選：C.6．【正確答案】D【詳解】過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的周長為，由可得，故，故的周長的取值范圍為，故選：D.7．【正確答案】C【詳解】圓：的圓心為，半徑，對于雙曲線，令，解得，則，設(shè)直線與圓相切于點，則，又，，，所以，所以，則，所以，即，解得或（舍去）.故選：C8．【正確答案】A【詳解】由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，，需滿足，設(shè)，，則，則由弦長公式得，兩邊平方得，，因為，代入得，，令，，則，而根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)知在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，，即的中點到軸的最短距離為，故選：A9．【正確答案】BC【詳解】對于選項A,由已知，則不存在，使，即與不平行，故A選項錯誤；對于B選項,由已知，則，即，則，故B選項正確；對于C選項,由，則，即，則，故C選項正確；對于D選項,由，則，即，則，故D選項錯誤.故選：BC10．【正確答案】AD【詳解】對于A，當(dāng)時，那么直線為，直線為，此時兩直線的斜率分別為和，所以有，所以，故A選項正確；對于B，當(dāng)時，那么直線為，直線為，此時兩直線重合，故B選項錯誤；對于C，由直線：，整理可得：，故直線過定點，直線：，整理可得：，故直線過定點，故C選項錯誤；對于D，當(dāng)，平行時，兩直線的斜率相等，即，解得：或，當(dāng)時，兩直線重合，舍去；當(dāng)時，直線為，為，此時兩直線的距離，故D選項正確.故選：AD.11．【正確答案】ACD【詳解】由可知，，顯然直線過點，如下圖所示：

由橢圓定義可知的周長為，所以A正確；設(shè)，中點，將直線和橢圓方程聯(lián)立，消去整理可得，由韋達(dá)定理可得，所以，代入直線方程解得，即，所以，可得，所以B錯誤；根據(jù)B選項，由可得，可得，即點在以為圓心，半徑為的圓上，又點在橢圓上，即可得圓與橢圓有交點，根據(jù)對稱性可知，即，所以可得離心率，即C正確；若時，由選項B可知聯(lián)立直線和橢圓方程可得，所以可得，所以，易知的面積，即可得的面積是，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】3【詳解】由已知得，則，又為等邊三角形，則，即所以，解得.故答案為.13．【正確答案】【分析】利用向量數(shù)量積的運算律可知，，進(jìn)而求出即可得解.【詳解】由題意等于正方體的體對角線長，設(shè)點為的中點，所以，則，當(dāng)點與某個側(cè)面的中心重合時，最小，且，當(dāng)點與正方體的頂點重合時，最大，且，由于點是在正方體表面連續(xù)運動，所以的取值范圍是，的取值范圍是.故答案為.14．【正確答案】1【詳解】，∴，設(shè)點，則中點在直線上，則，即①，又∵，即∴②，聯(lián)立①②可得，又∵對稱點在上，∴，即，∴（舍去）或故115．【正確答案】（1）；（2）或.【分析】根據(jù)對稱先求出B點坐標(biāo)（1）過點B到點A距離最大的直線與直線AB垂直，從而求出直線方程；（2）畫出圖象，可求出點C到直線AB的距離，又點C在直線上，可設(shè)出C點的坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式求出C，又直線過點A，利用兩點A，C即可求出直線的方程.【詳解】解：設(shè)點，則，解得：，所以點關(guān)于直線：對稱的點的坐標(biāo)為，（1）若直線過點，且使得點到直線的距離最大，則直線與過點的直線垂直，所以，則直線為：，即；（2）由條件可知：，的面積為2，則的高為，又點C在直線上，直線與直線垂直，所以點到直線AB的距離為，直線方程為，設(shè)，則有，即或又，解得：或，則直線為：或.

16．【正確答案】(1)；(2)，或.【詳解】（1）解：由圓關(guān)于直線對稱，即圓心在直線，滿足，即圓，又因為在圓上，所以，解得，所以圓的方程為.（2）解：由，可得，聯(lián)立方程組，解得，即直線過定點，又由由（1）圓心為，可得，因為，所以當(dāng)時，面積最大，此時為等腰直角三角形，面積最大值為，其中為圓的半徑，此時點C到直線l的距離，，所以可以取到，所以，解得或，故所求直線l的方程為或.17．【正確答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率得關(guān)系，從而可得關(guān)系，即可得雙曲線漸近線方程，不妨設(shè)，，確定點為的中點代入雙曲線方程可得與的關(guān)系，再由的面積即可求得的值，從而可得雙曲線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程與交點坐標(biāo)，代入雙曲線方程后可得交點坐標(biāo)關(guān)系，設(shè)，滿足為常數(shù)即可求得的值，并且檢驗直線的斜率不存在時是否滿足該定值即可.【詳解】（1）由離心率，得，所以，則雙曲線的漸近線方程為，因為，分別為其兩條漸近線上的點，所以，不妨設(shè)，，由于，則點為的中點，所以，又因為點在雙曲線上，所以，整理得：因為的面積為8，所以，則，故雙曲線的方程為；（2）由（1）可得，所以為當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為：，，則，所以，則恒成立，所以，假設(shè)在軸上是否存在定點，設(shè)，則要使得為常數(shù)，則，解得,定點，；又當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，代入雙曲線可得，不妨取，若，則，符合上述結(jié)論；綜上，在軸上存在定點，使為常數(shù)，且.【思路導(dǎo)引】解決本題的關(guān)鍵是利用交點坐標(biāo)關(guān)系，假設(shè)在軸上是否存在定點，設(shè)，驗證所求定值時，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算與直線方程坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可得，要使得其為定值，則與直線斜率無關(guān)，那么在此分式結(jié)構(gòu)中就需滿足分子分母對應(yīng)系數(shù)成比例，從而可得含的方程，通過解方程確定的存在，使得能確定定點坐標(biāo)的同時還可得到定值，并且要驗證直線斜率不存在的情況.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）因為平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以．因為，且，平面，所以平面．（2）在中，，．以為原點，，的方向分別為軸，軸的正方向，過點作垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，得，，．設(shè)為平面的一個法向量，則取，得，所以點到平面的距離．（3）取為的中點，連接，過點作，垂足為，連接．易知平面，平面BCD，所以，則．設(shè)，則，，因為，平面平面，平面平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，所以直線與平面所成角的正弦值的最