2.2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．知道振幅、周期和頻率的概念，知道全振動(dòng)的含義。2．了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意義。3．了解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式中各量的物理意義，能依據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式描繪振動(dòng)圖像或根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像寫出表達(dá)式。重點(diǎn)：描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量及其物理意義。難點(diǎn)：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式與相位、相位差的理解。知識(shí)點(diǎn)一、描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量1．位移：由平衡位置指向振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所在位置的有向線段。

（1）是矢量，其最大值等于振幅；（2）初位置始終是平衡位置；（3）位移隨時(shí)間的變化圖線就是振動(dòng)圖象。2．振幅（1）定義：振動(dòng)物體離開(kāi)平衡位置的最大距離，用A表示，單位：m。（2）意義：表示振動(dòng)的強(qiáng)弱，是標(biāo)量。振幅的兩倍（2A）表示振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)范圍。（3）振幅和位移的區(qū)別①振幅等于最大位移的數(shù)值。②對(duì)于一個(gè)給定的振動(dòng)，振子的位移是時(shí)刻變化的，但振幅是不變的。③位移是矢量，振幅是標(biāo)量。（4）路程與振幅的關(guān)系①振動(dòng)物體在一個(gè)周期內(nèi)的路程為四個(gè)振幅。②振動(dòng)物體在半個(gè)周期內(nèi)的路程為兩個(gè)振幅。③振動(dòng)物體在eq\f(1,4)個(gè)周期內(nèi)的路程不一定等于一個(gè)振幅。3．全振動(dòng)（1）振子以相同的速度相繼通過(guò)同一位置所經(jīng)歷的過(guò)程，即一個(gè)完整的振動(dòng)過(guò)程。（2）無(wú)論從哪里作為起點(diǎn)，彈簧振子完成一次全振動(dòng)的時(shí)間總是相等的，都是一個(gè)周期。（3）五個(gè)特征。①振動(dòng)：一個(gè)完整的振動(dòng)過(guò)程。②物理量：位移（x）、加速度（a）、速度（v）三者第一次同時(shí)與初始狀態(tài)相同。③時(shí)間：歷時(shí)一個(gè)周期。④路程：振幅的4倍。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)，振子通過(guò)的路程一定等于4個(gè)振幅，半個(gè)周期內(nèi)振子通過(guò)的路程等于2個(gè)振幅；從平衡位置或從最大位移處開(kāi)始計(jì)時(shí)，eq\f(1,4)個(gè)周期內(nèi)振子通過(guò)的路程等于一個(gè)振幅，從其它位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，eq\f(1,4)個(gè)周期內(nèi)振子通過(guò)的路程可能大于或小于一個(gè)振幅。⑤相位：增加2π。4．周期和頻率（1）周期：完成一次全振動(dòng)所用的時(shí)間，用T表示，單位：s。（2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式。（3）頻率：1s內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)，用f表示，單位：Hz。（4）意義：表示物體振動(dòng)快慢的物理量，周期越小，頻率越大，表示物體振動(dòng)越快。（5）兩者關(guān)系：①二者互為倒數(shù)，；②當(dāng)T和f由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定時(shí)（非受迫振動(dòng)），則叫固有頻率與固有周期，是定值，固有周期和固有頻率與物體所處的狀態(tài)無(wú)關(guān)。③簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期和頻率由振動(dòng)系統(tǒng)本身的因素決定，與振幅無(wú)關(guān)。【題1】如圖所示，將彈簧振子從平衡位置下拉一段距離Δx，靜止釋放后振子在A、B間振動(dòng)，且AB＝20cm，振子由A首次到B的時(shí)間為0.1s，求：（1）振子振動(dòng)的振幅、周期和頻率；（2）振子由A首次到O的時(shí)間；（3）振子在5s內(nèi)通過(guò)的路程及偏離平衡位置的位移大小。【答案】（1）10cm0.2s5Hz（2）0.05s（3）1000cm10cm【解析】（1）由題圖可知，振子振動(dòng)的振幅為10cm，t＝0.1s＝eq\f(T,2)，所以T＝0.2s。由f＝eq\f(1,T)得f＝5Hz。（2）根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，振子由A首次到O的時(shí)間與振子由O首次到B的時(shí)間相等，均為0.05s。（3）設(shè)彈簧振子的振幅為A，A＝10cm.振子在1個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的路程為4A，故在t＝5s＝25T內(nèi)通過(guò)的路程s＝40×25cm＝1000cm.5s內(nèi)振子振動(dòng)了25個(gè)周期，故5s末振子仍處在A點(diǎn)，所以振子偏離平衡位置的位移大小為10cm?！绢}2】一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移x與時(shí)間t的關(guān)系圖像如圖所示，由圖可知A．質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的頻率是4Hz，振幅是2cmB．質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)1s通過(guò)的路程總是2cmC．0～3s內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的路程為6cmD．t＝3s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的振幅為零【答案】C【解析】由題圖可以直接看出振幅為2cm，周期為4s，所以頻率為0.25Hz，故A錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)在1s即eq\f(1,4)個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的路程不一定等于一個(gè)振幅，故B錯(cuò)誤；t＝0時(shí)質(zhì)點(diǎn)在正向最大位移處，0～3s為eq\f(3,4)T，則質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的路程為3A＝6cm，故C正確；振幅等于質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的最大距離，與質(zhì)點(diǎn)的位移有本質(zhì)的區(qū)別，t＝3s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移為零，但振幅仍為2cm，故D錯(cuò)誤?！绢}3】如圖所示，彈簧振子在A、B之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O為平衡位置，測(cè)得A、B間距為8cm，小球完成30次全振動(dòng)所用時(shí)間為60s，則A．振動(dòng)周期是2s，振幅是8cmB．振動(dòng)頻率是2HzC．小球完成一次全振動(dòng)通過(guò)的路程是8cmD．小球過(guò)O點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，3s內(nèi)通過(guò)的路程為24cm【答案】D【解析】由題意可知T＝eq\f(60,30)s＝2s，A＝eq\f(8,2)cm＝4cm，A錯(cuò)誤；頻率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,2)Hz＝0.5Hz，B錯(cuò)誤；小球完成一次全振動(dòng)通過(guò)的路程為振幅的4倍，即4×4cm＝16cm，C錯(cuò)誤；小球在3s內(nèi)通過(guò)的路程為s＝eq\f(t,T)×4A＝eq\f(3,2)×4×4cm＝24cm，D正確。5．相位（1）概念：相位ωt＋φ描述做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在各個(gè)不同時(shí)刻所處的不同狀態(tài)，是描述不同振動(dòng)的振動(dòng)步調(diào)的物理量。它是一個(gè)隨時(shí)間變化的量，相當(dāng)于一個(gè)角度，相位每增加2π，意味著物體完成了一次全振動(dòng)。（2）表示：相位的大小為ωt＋φ，其中φ是t＝0時(shí)的相位，叫初相位，或初相。（3）相位差頻率相同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)有固定的初相之差，即Δφ＝（ωt+φ1）－（ωt+φ2）＝φ1－φ2（φ1>φ2）。若Δφ＝0，表明兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)步調(diào)相同，即同相；若Δφ＝π，表明兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)步調(diào)相反，即反相?！绢}4】如圖所示，A、B為兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像，下列說(shuō)法正確的是A．A、B之間的相位差是eq\f(π,4)B．A、B之間的相位差是πC．B比A超前eq\f(T,4)D．A比B超前eq\f(T,4)【答案】D【解析】由題圖可知A比B超前eq\f(T,4)，相位差為Δφ＝eq\f(π,2)，選項(xiàng)D正確。知識(shí)點(diǎn)二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式1．一般表達(dá)式：x＝Asin（ωt＋φ0）＝Asin（），式中：A是振幅，T是周期，φ0是初相位。圓頻率：式中的ω稱做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圓頻率，它表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體振動(dòng)的快慢。與周期T及頻率f的關(guān)系：ω＝eq\f(2π,T)＝2πf。2．表達(dá)式的含義：振動(dòng)方程是位移x隨時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系式（位移方程）。“（ωt+φ0”這個(gè)量就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位，它是隨時(shí)間t不斷變化的物理量，代表做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻處在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中的哪個(gè)狀態(tài)，所以代表簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相位。因?yàn)閨sin（ωt＋φ0）|≤1，所以|x|≤A。3．同相：頻率相同、初相相同（即相差為0）的兩個(gè)振子振動(dòng)步調(diào)完全相同。反相：頻率相同、相差為π的兩個(gè)振子振動(dòng)步調(diào)完全相反。4．從運(yùn)動(dòng)方程中得到的物理量：振幅、周期和圓頻率、初相位，因此可應(yīng)用運(yùn)動(dòng)方程和ω＝eq\f(2π,T)＝2πf對(duì)兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)比較周期、振幅和計(jì)算相位差?！咎貏e提醒】關(guān)于相位差Δφ＝φ2－φ1的說(shuō)明：（1）取值范圍：－π≤Δφ≤π。（2）Δφ＝0，表明兩振動(dòng)步調(diào)完全相同，稱為同相。Δφ＝π，表明兩振動(dòng)步調(diào)完全相反，稱為反相。（3）Δφ>0，表示振動(dòng)2比振動(dòng)1超前。Δφ<0，表示振動(dòng)2比振動(dòng)1滯后?！绢}5】某質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為x＝Asineq\f(π,4)t，則質(zhì)點(diǎn)A．第1s末與第3s末的位移大小相等，方向相反B．第1s末與第3s末的速度相同C．第3s末與第5s末的位移方向相同D．第3s末與第5s末的速度方向相同【答案】D【解析】根據(jù)x＝Asineq\f(π,4)t可求得該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為T＝8s，則該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像如圖所示．圖像中圖線切線的斜率為正表示速度為正，反之為負(fù)，由圖可以看出第1s末和第3s末的位移相同，但斜率一正一負(fù)，故速度方向相反，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；第3s末和第5s末的位移方向相反，但兩點(diǎn)的斜率均為負(fù)，故速度方向相同，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。【題6】某質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式為x＝3sin（eq\f(2π,3)t＋eq\f(π,2)）cm，則A．質(zhì)點(diǎn)的振幅為3mB．質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為eq\f(2,3)sC．t＝0.75s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)距平衡位置最遠(yuǎn)處D．質(zhì)點(diǎn)前2s內(nèi)的位移為－4.5cm【答案】D【解析】從關(guān)系式可知A＝3cm，ω＝eq\f(2π,3)rad/s，故周期為T＝eq\f(2π,ω)＝3s，A、B錯(cuò)誤；t＝0.75s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移為x＝3sin（eq\f(2π,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(π,2)）cm＝0，質(zhì)點(diǎn)在平衡位置處，C錯(cuò)誤；在t＝0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移x＝3cm,2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移x′＝3sin（eq\f(2π,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(π,2)）cm＝－1.5cm，故前2s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移為－4.5cm，D正確?！绢}7】一彈簧振子A的位移x隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為x＝0.1·sin2.5πt，位移x的單位為m，時(shí)間t的單位為s。則A．彈簧振子的振幅為0.2mB．彈簧振子的周期為1.25sC．在t＝0.2s時(shí)，振子的運(yùn)動(dòng)速度最大D．若另一彈簧振子B的位移x隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為x＝0.2sin（2.5πt＋eq\f(π,4)）m，則A滯后Beq\f(π,4)【答案】D【解析】由振動(dòng)方程可知振幅為0.1m，圓頻率ω＝2.5πrad/s，故周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2.5π)s＝0.8s，故A、B錯(cuò)誤；在t＝0.2s時(shí)，x＝0.1m，即振子的位移最大，速度最小，為零，故C錯(cuò)誤；兩振動(dòng)的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋eq\f(π,4)－2.5πt＝eq\f(π,4)，即B超前Aeq\f(π,4)，或者說(shuō)A滯后Beq\f(π,4)，故D正確。知識(shí)點(diǎn)三、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性與對(duì)稱性簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是周期性運(yùn)動(dòng)，其物理量隨時(shí)間周期性變化。如圖，物體在A、B兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，O點(diǎn)為平衡位置，OC＝OD。1．時(shí)間的對(duì)稱（1）物體來(lái)回通過(guò)相同兩點(diǎn)間的時(shí)間相等，即tDB＝tBD。（2）物體經(jīng)過(guò)關(guān)于平衡位置對(duì)稱、等長(zhǎng)的兩線段所用時(shí)間相同，即圖中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。2．速度的對(duì)稱（1）物體連續(xù)兩次經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)（如C點(diǎn)）的速度等大反向。（2）物體經(jīng)過(guò)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)（如C點(diǎn)與D點(diǎn)）時(shí)，速度等大，方向相同或相反。3．位移的對(duì)稱（1）物體經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)（如D點(diǎn)）時(shí)，位移相同——等大同向。（2）物體經(jīng)過(guò)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)（如C點(diǎn)與D點(diǎn)）時(shí)，位移等大反向。【題8】一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它從最大位移處經(jīng)0.3s第一次到達(dá)某點(diǎn)M處，再經(jīng)0.2s第二次到達(dá)M點(diǎn)，則其振動(dòng)頻率為A．0.4HzB．0.8HzC．2.5HzD．1.25Hz【答案】D【解析】由題意知，從M位置沿著原路返回到起始最大位移處的時(shí)間也為0.3s，故完成一個(gè)全振動(dòng)的時(shí)間為：T＝0.3s＋0.2s＋0.3s＝0.8s，故頻率為f＝eq\f(1,T)＝1.25Hz，D正確?！绢}9】一個(gè)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，先后以同樣的速度通過(guò)相距10cm的A、B兩點(diǎn)，歷時(shí)0.5s，如圖。過(guò)B點(diǎn)后再經(jīng)過(guò)t＝0.5s，質(zhì)點(diǎn)以大小相等、方向相反的速度再次通過(guò)B點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期是A．0.5sB．1.0sC．2.0sD．4.0s【答案】C【解析】根據(jù)題意，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知：AB的中點(diǎn)（設(shè)為O）為平衡位置，A、B兩點(diǎn)對(duì)稱分布于O點(diǎn)兩側(cè)，如圖所示。質(zhì)點(diǎn)從平衡位置O向右運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為tOB＝eq\f(1,2)×0.5s＝0.25s。質(zhì)點(diǎn)從B向右到達(dá)右方最遠(yuǎn)位置（設(shè)為D）的時(shí)間tBD＝eq\f(1,2)×0.5s＝0.25s，所以，質(zhì)點(diǎn)從O到D的時(shí)間：tOD＝eq\f(1,4)T＝0.25s＋0.25s＝0.5s，所以T＝2.0s，C正確。【題10】如圖，一質(zhì)點(diǎn)沿水平直線做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，先后以相同速度通過(guò)a、b兩點(diǎn)，經(jīng)歷時(shí)間tab＝1s，過(guò)b點(diǎn)后再經(jīng)t′＝1s質(zhì)點(diǎn)第一次反向通過(guò)b點(diǎn)。O點(diǎn)為平衡位置，若在這兩秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)通過(guò)的路程是8cm，求該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期和振幅。【答案】4s4cm【解析】簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是以平衡位置為中心的對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，因?yàn)橥ㄟ^(guò)a、b兩點(diǎn)時(shí)的速度相同，根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，可知質(zhì)點(diǎn)從b點(diǎn)返回a點(diǎn)所用的時(shí)間必與從a點(diǎn)到b點(diǎn)所用的時(shí)間相同，即tba＝tab＝1s，質(zhì)點(diǎn)從a點(diǎn)經(jīng)最左端位置d再返回a點(diǎn)所用的時(shí)間tada必與質(zhì)點(diǎn)從b點(diǎn)經(jīng)最右端位置c再返回b點(diǎn)所用的時(shí)間tbcb相等，即tada＝tbcb＝t′＝1s。綜上所述，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4s。由題圖和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，質(zhì)點(diǎn)在一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的路程為s＝2ab＋2bc＋2ad＝2（ab＋2bc）＝2×8cm＝16cm。所以質(zhì)點(diǎn)的振幅為A＝eq\f