eq\a\vs4\al\co1(補償練4不等式)(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．若a＞b＞0，則 ()．A．a(chǎn)2c＞b2c(c∈R) B．eq\f(b,a)＞1C．lg(a－b)＞0 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b解析取a＝2，b＝1，c＝0驗證可得D正確．答案D2．關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a等于 ()．A.eq\f(5,2) B．eq\f(7,2)C.eq\f(15,4) D．eq\f(15,2)解析由題意知x1，x2為方程x2－2ax－8a2＝0的兩個根，∴x1＋x2＝2a，x1·x2＝－8a2，∴|x2－x1|＝eq\r(x2＋x12－4x1x2)＝eq\r(4a2＋32a2)＝15.又a＞0，解得a＝eq\f(5,2).答案A3．“x＞y＞0”是“eq\f(x,y)＞1”的 ()．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析eq\f(x,y)＞1?(x－y)y＞0，由x＞y＞0，得(x－y)＞0，y＞0，所以x＞y＞0?eq\f(x,y)＞1，具有充分性．由eq\f(x,y)＞1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞y，,y＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜y，,y＜0，))所以eq\f(x,y)＞1?/x＞y＞0，不具有必要性，故選A.答案A4．若實數(shù)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2≥0，,x－y－1≤0，,x－2y＋2≥0，))則x＋y的最大值為 ()．A．4 B．5C．6 D．7解析畫出可行域(如圖)，目標(biāo)函數(shù)向上平移至點A時，取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0,x－2y＋2＝0))得A(4,3)，∴(x＋y)max＝4＋3＝7.答案D5．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝(eq\f(1,2))lnx，c＝elnx，則a，b，c的大小關(guān)系是()．A．c＞b＞a B．b＞c＞aC．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c解析∵x∈(e－1,1)，∴－1＜lnx＜0,1＜(eq\f(1,2))lnx＜2，eq\f(1,e)＜elnx＜1，∴b＞c＞a.答案B6．若正數(shù)x，y滿足x2＋3xy－1＝0，則x＋y的最小值是 ()．A.eq\f(\r(2),3) B．eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2\r(3),3)解析對于x2＋3xy－1＝0可得y＝eq\f(1,3)(eq\f(1,x)－x)，∴x＋y＝eq\f(2x,3)＋eq\f(1,3x)≥2eq\r(\f(2,9))＝eq\f(2\r(2),3)(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2x,3)＝eq\f(1,3x)，即x＝eq\f(\r(2),2)時等號成立)．答案B7．設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y－1≥0，,x－2y＋2≥0，))若z＝x＋3y＋m的最小值為4，則m＝ ()．A．1 B．2C．3 D．4解析畫出可行域，如圖所示，設(shè)z′＝x＋3y，變形為y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(1,3)z′，當(dāng)z′取到最小值時，直線的縱截距最小，此時直線過C點．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y－1＝0，))可知C(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，代入目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y＋m，得4＝eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,2)＋m，得m＝2.答案B8．已知直線ax＋by＋c－1＝0(bc＞0)經(jīng)過圓x2＋y2－2y－5＝0的圓心，則eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)的最小值是 ()．A．9 B．8C．4 D．2解析依題意得，題中的圓心坐標(biāo)是(0,1)，于是有b＋c＝1，eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)＝(eq\f(4,b)＋eq\f(1,c))(b＋c)＝5＋eq\f(4c,b)＋eq\f(b,c)≥5＋2eq\r(\f(4c,b)×\f(b,c))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝1bc＞0，,\f(4c,b)＝\f(b,c)，))即b＝2c＝eq\f(2,3)時取等號，因此eq\f(4,b)＋eq\f(1,c)的最小值是9.答案A9．若存在x使不等式eq\f(x－m,ex)＞eq\r(x)成立，則實數(shù)m的取值范圍為 ()．A．(－∞，－eq\f(1,e)) B．(－eq\f(1,e)，e)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)解析依題意得，關(guān)于x的不等式eq\f(x－m,ex)＞eq\r(x)，即－m＞exeq\r(x)－x有解．記f(x)＝exeq\r(x)－x(x≥0)，則f′(x)＝exeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(x))))－1≥ex×2eq\r(\r(x)×\f(1,2\r(x)))－1＝eq\r(2)ex－1＞eq\r(2)－1＞0(x＞0)，因此函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，f(x)的最小值是f(0)＝0，于是有－m＞0，m＜0，實數(shù)m的取值范圍是(－∞，0)．答案C10．已知O是坐標(biāo)原點，點A(－1,1)，若點M(x，y)為平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2≥0，,x－2y＋4≥0，,3x－y－3≤0))上的一個動點，則|AM|的最小值是 ()．A.eq\f(3\r(5),5) B．eq\r(2)C.eq\r(5) D．eq\r(13)解析依題意，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形可知，|AM|的最小值等于點A(－1,1)到直線2x＋y－2＝0的距離，即等于eq\f(|2×－1＋1－2|,\r(22＋12))＝eq\f(3\r(5),5).答案A11．已知不等式eq\f(x＋2,x＋1)＜0的解集為{x|a＜x＜b}，點A(a，b)在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，則eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)的最小值為 ()．A．4eq\r(2) B．8C．9 D．12解析易知不等式eq\f(x＋2,x＋1)＜0的解集為(－2，－1)，所以a＝－2，b＝－1,2m＋n＝1，eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝(2m＋n)(eq\f(2,m)＋eq\f(1,n))＝5＋eq\f(2m,n)＋eq\f(2n,m)≥5＋4＝9(當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝eq\f(1,3)時取等號)，所以eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)的最小值為9.答案C12．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，x＞0，,－x2＋4x，x≤0，))若|f(x)|≥ax－1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ()．A．(－∞，－6] B．[－6,0]C．(－∞，－1] D．[－1,0]解析在同始終角坐標(biāo)系下作出y＝|f(x)|和y＝ax－1的圖象如圖所示，由圖象可知當(dāng)y＝ax－1與y＝x2－4x相切時符合題意，由x2－4x＝ax－1有且只有一負(fù)根，則Δ＝0且eq\f(a＋4,2)<0，得a＝－6，繞點(0，－1)逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到水平位置時都符合題意，所以a∈[－6,0]．答案B二、填空題13．不等式eq\f(x＋5,x－12)≥2的解集是__________．解析∵(x－1)2≥0且x≠1，∴eq\f(x＋5,x－12)≥2?x＋5≥2(x－1)2且x≠1?2x2－5x－3≤0且x≠1，解得－eq\f(1,2)≤x＜1或1＜x≤3.答案[－eq\f(1,2)，1)∪(1,3]14．若實數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________．解析x2＋y2＋xy＝1?(x＋y)2－xy＝1?(x＋y)2－1＝xy≤(eq\f(x＋y,2))2，解得eq\f(－2\r(3),3)≤x＋y≤eq\f(2\r(3),3).答案eq\f(2\r(3),3)15．已知實數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2≥0，,x－2y＋4≥0，,3x－y－3≤0，))且目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y的最大值為11，則實數(shù)k＝________.解析畫圖后易知，目標(biāo)函數(shù)在點(2,3)處取到最大值11，所以2k＋3＝11，即k＝4.答案416．已知O是坐標(biāo)原點，點M的坐標(biāo)為(2,1)，若點N(x，y)為平面區(qū)域eq\