專題27四點共圓四點共圓的性質(zhì)：1）共圓的四個點所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等（如下圖1，∠BAC=∠BDC）；2）圓內(nèi)接四邊形的對角互補（如下圖2，∠1=∠2）；3)圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角（如下圖3，∠1=∠3）。四點共圓的判定方法：1）若四個點到一個定點的距離相等，則這四個點共圓。如圖，若AO=BO=CO=DO，則點A、B、C、D四點共圓。理由：到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上（圓的定義）。2）共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點共圓(可在考試中直接使用)。如圖，已知△ABC和△BCD為直角三角形，∠BAC=∠BDC=90°，點0為斜邊中點則點A、B、C、D四點共圓。理由：連接AO、OD∴AO=BO=CO=DO∴點A、B、C、D四點共圓3）同側(cè)共邊三角形且公共邊所對角相等的四個頂點共圓。已知：在BC同側(cè)兩個三角形△ABC和△BDC,且∠BAC＝∠BDC

求證：A、B、C、D四點共圓

證明(反證法)：過A，B，D作圓O，交BC所在直線于C’，連結(jié)DC’，使∠BAC＝∠BDC’∵∠BAC＝∠BDC∴∠BDC＝∠BDC’①又∵∠BDC與∠BDC’有相同的頂點且點C與點C’不重合∴∠BDC≠∠BDC’②則①與②矛盾∴點C與點C’重合，則點C也在圓O上，即點A、B、C、D四點共圓4)對角互補四邊形的四個頂點共圓。已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°求證：A，B，C，D四點共圓證明（反證法）：過A，B，D作圓O，假設(shè)C不在圓O上，點C在圓外或圓內(nèi)，若點C在圓外，設(shè)BC交圓O于C’，連結(jié)DC’，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A+∠DC’B=180°，∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內(nèi)?！郈在圓O上，也即A，B，C，D四點共圓。5)在⊙O中，弦AB、CD相交于點P,若AP?DP=BP?CP，則A、B、C、D四點共圓。證明：在△APB和△CPD中AP?DP=BP?CP∠3=∠4∴△APB∽△CPD∴∠1=∠2則A、B、C、D四點共圓6)若AB、CD兩條線段延長后交于點P,且AP?BP=CP?DP，則A、B、C、D四點共圓。證明：在△APC和△DPB中AP?BP=CP?DP∠P=∠P∴△APC∽△DPB∴∠1=∠3而∠2+∠3=180°∴∠1+∠2=180°則A、B、C、D四點共圓【培優(yōu)過關(guān)練】1．（湖南省長沙市湘郡未來中學(xué)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷）如圖，已知

△ABC

中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∠CPB=∠A，過點

C

作

CP

的垂線，與

BP

的延長線交于點

Q

，則A．4 B．5 C．

1542．（浙江省嘉興市2021年中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，點D在AC上，且AD=2，點E是AB上的動點，連結(jié)DE，點F，G分別是BC，DE的中點，連接AG，F(xiàn)G，當(dāng)AG=FG時，線段DE長為（

A．13 B．522 C．3．（2021年江蘇省無錫市濱湖區(qū)、經(jīng)開區(qū)七校聯(lián)考中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，將△ABC繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到△ADE，直線BD、CE相交于點O，連接AO．則下列結(jié)論中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面積的最大值為8，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2021年廣東省深圳市龍崗區(qū)九年級下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（二模））如圖，正方形ABCD中，AC、BD相交于點O，P是BC邊上的一點，且PC=2PB，連接AP、OP、DP，線段AP、DP分別交對角線BD、AC于點E、F．過點E作EQ⊥AP．交CB的延長線于Q．下列結(jié)論中：①；②AE=EQ；③sin∠PAC=13A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（江蘇省宿遷市沭陽縣沭陽紅巖學(xué)校2020-2021學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，點P為平面內(nèi)一點，且∠A．175 B．154 C．46．（山東省煙臺市芝罘區(qū)（五四制）2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點A、B坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），點C是x軸正半軸上一點，連接BC．過點A垂直于AB的直線與過點C垂直于BC的直線交于點D，連接BD，則sin∠BDC的值是__________．7．（2020年湖北省武漢中考數(shù)學(xué)二模試題）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)25°得到△AEF，EF交BC于點N，連接AN，若∠C=57°，則8．（廣東省珠海市香洲區(qū)紫荊中學(xué)2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的邊AE在線段AC上，AE＝AD＝2，將△ADE繞直角頂點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度α，連接CD、BE，直線CD，BE交于點F，連接AF，過BC中點G作GM⊥CD，GN⊥AF．（1）求證：BE＝CD；（2）求證：旋轉(zhuǎn)過程中總有∠BFA＝∠MGN；（僅對0°＜α＜90°時加以證明）（3）在AB上取一點Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．9．（湖北省武漢市漢陽區(qū)2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，直接寫出∠E的度數(shù)是；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E在BD的延長線上，連CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．10．（2021年福建省福州外國語學(xué)校中考適應(yīng)性練習(xí)三模數(shù)學(xué)試題）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，．將Rt△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<60°得到Rt△DEB，直線（1）如圖1，當(dāng)時，連接BP．①求△BDP②求tan∠（2）如圖2，連接AD，若F為AD中點，求證；C，E，F(xiàn)三點共線．11．（2021年江蘇省鹽城市鹽都區(qū)、大豐區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，點O為斜邊AB的中點，連接CD交AB于點E．設(shè)AB＝1．（1）求證：A、B、C、D四個點在以點O為圓心的同一個圓上；（2）分別求△ABC和△ABD的面積；（3）過點D作DF∥BC交AB于點F，求OE︰OF的比值．12．（2021年福建省九年級下學(xué)期百校聯(lián)考（診斷卷二）數(shù)學(xué)試題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC⊥BD，垂足為E，CF⊥AB于點F，直線CF與直線（1）若點G在⊙O內(nèi)，如圖1，求證：G和D關(guān)于直線AC（2）連接AG，若AG=BC，且AG與⊙O相切，如圖2，求∠13．（2021年新動力數(shù)學(xué)元月調(diào)考模擬試題（二））問題背景：在學(xué)習(xí)課本例題“矩形ABCD的四個頂點A，B，C，D在同一個圓上”后，小明進行了如下研究：（1）如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°．AC、BD是對角線，取BD的中點O，連接OA，OC，得點A，B，C，D在⊙O上，進而可得∠BAC=∠BDC，請幫小明按照思路補全圖形，并寫出證明過程；遷移應(yīng)用：（2）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=2∠CAD，證明：AB=2CE；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC=6，若點D滿足AD=AC14．（浙江省寧波市鄞州區(qū)東錢湖中學(xué)2019年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）我們知道：有一內(nèi)角為直角的三角形叫做直角三角形．類似地我們定義：有一內(nèi)角為45°的三角形叫做半直角三角形．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，A（4，0），B（－4，0），D是y軸上的一個動點，∠ADC=90°(A、D、C按順時針方向排列)，BC與經(jīng)過A、B、D三點的⊙M交于點E，DE平分∠ADC，連結(jié)AE，BD．顯然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形．（1）求證：ΔABC是半直角三角形；（2）求證：∠DEC=∠DEA；（3）若點D的坐標(biāo)為（0，8），求AE的長；（4）BC交y軸于點N，問CNOD的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由15．（第九章圓（二））如圖所示，正方形ABCD中，BD為對角線，點E為BD上一點，過E作EF⊥AE，交DC于F，求證：16．（2023年陜西省渭南市臨渭區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試卷）【結(jié)論理解】“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形的四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究．(1)【問題探究】如圖1，在矩形ABCD中，點E為CD上一點，將△BCE沿翻折，點C的對應(yīng)點F恰好落在邊AD上，做經(jīng)過F、E、C三點的圓，請根據(jù)以上結(jié)論判斷點B點______（填“在”或“不在”）該圓上；(2)如圖2，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，，AB=BC=52，CD=6，求四邊形ABCD(3)【問題解決】如圖3，四邊形ABCD是某公園的一塊空地，現(xiàn)計劃在空地中修建AC與BD兩條小路，（小路寬度不計），將這塊空地分成四部分，記兩條小路的交點為P，其中△ADP與△BCP空地中種植草坪，△ABP與△CDP空地中分別種植郁金香和牡丹花．已知AB=CD，BD=150m，AC=100m，∠BAC+∠BDC=180°，且點C到BD的距離是40m，求種植牡丹花的地塊17．（2023年河南省周口市鄲城實驗中學(xué)等兩校九年級中考數(shù)學(xué)一模試題）請閱讀以下材料，完成相應(yīng)任務(wù)．我們知道，過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓，那么過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？李雷經(jīng)過實踐探究發(fā)現(xiàn)了如下結(jié)論：如果線段同側(cè)兩點（與線段在同一平面內(nèi)）分別與線段兩端點的連線所組成的夾角相等，那么這兩點和線段兩端點四點共圓．下面是李雷證明上述命題的過程（不完整）．已知：如圖1，點C，D是線段AB同側(cè)兩點，且∠ACB=求證：點A，B，C，D四點共圓．證明：作ΔABC的外接圓⊙O，假設(shè)點D在⊙O外或在如圖2，若點D在⊙O外．設(shè)AD與⊙O交于點E，連接則（依據(jù)一），又（依據(jù)二），．∴∠ACB>∠ADB．這與已知條件“∠ACB=∠如圖3，若點D在⊙O內(nèi)，（請同學(xué)們補充完整省略的部分證明過程）綜上所述，作△ABC的外接圓⊙O，點D在⊙O上，即點A，B，C(1)填空：將材料中依據(jù)一、依據(jù)二補充完整；依據(jù)一：；依據(jù)二：．(2)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(3)填空：如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABD=∠ACD，對角線AC，BD交于點E，E為AC中點，若BD=6，BE=4，則18．（浙江省寧波市鄞州區(qū)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）綜合與實踐“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓．該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究．提出問題：如圖1，在線段AC同側(cè)有兩點B，D，連接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C探究展示：求證：點A，B，C，D四點在同一個圓上如圖2，作經(jīng)過點A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一點E（不與A，C重合），連接AE，CE，則∠(1)請完善探究展示(2)如圖3，在四邊形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°(3)拓展探究：如圖4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點D在BC上（不與BC的中點重合），連接AD．作點C關(guān)于AD的對稱點E，連接EB并延長交AD的延長線于F，連接AE，DE①求證：A，D，B，E四點共圓；②若AB=22，的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由19．（吉林省長春市長春外國語（實驗）學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）[問題情境]如圖①，在四邊形ABCD中，，求證：四點共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連接AC，取AC的中點O，連接OB、OD，請你幫助小吉補全余下的證明過程；[問題解決]如圖②，在正方形ABCD中，AB=2，點E是邊CD的中點，點F是邊BC上的一個動點，連接AE,AF，作EP⊥AF于點（1）如圖②，當(dāng)點P恰好落在正方形ABCD對角線BD上時，線段AP的長度為

；（2）如圖③，過點Р分別作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，連接MN，則20．（江蘇省南京市鼓樓區(qū)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）以下是“四點共圓”的幾個結(jié)論，你能證明并運用它們嗎？I．若兩個直角三角形有公共斜邊，則這兩個三角形的4個頂點共圓（圖①、②）；Ⅱ．若四邊形的一組對角互補，則這個四邊形的4個頂點共圓（圖③）；Ⅲ．若線段同側(cè)兩點與線段兩端點連線的夾角相等，則這兩點和線段兩端點共圓（圖④）．(1)在圖①、②中，取AC的中點O，根據(jù)得OA=OB=OC=OD，即A，B，C，D共圓；(2)在圖③中，畫⊙O經(jīng)過點A，B，D（圖⑤）．假設(shè)點C落在⊙O外，BC交⊙O于點E，連接DE，可得=180°，所以∠BED=，得出矛盾；同理點C也不會落在⊙O內(nèi)，即A，B，C，(3)利用四點共