專題17創(chuàng)新數(shù)列

一.命題類型

2特殊數(shù)列

4.數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的應(yīng)用

知識(shí)要點(diǎn)及方法

1.遞推數(shù)列的概念

如果數(shù)列的第1項(xiàng)(或前/項(xiàng))，且任一項(xiàng)4與它的前一項(xiàng)(或前假設(shè)干項(xiàng))間的關(guān)系

可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的；由遞推公式確

定的數(shù)列叫做遞推數(shù)列.

2.數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)

一般有二種途杼：一是歸納、猜測(cè),二是轉(zhuǎn)化化歸為等差、等比數(shù)列：二是逐項(xiàng)迭

代.

遞推數(shù)列求通項(xiàng)的特征歸納：

(1)累加法：an+1—an=f(n).

(2)累乘法：—=f(n).

an

(3)化歸法：(常見)an+】=Aa+B(AWO,AWl)=an+i+入=A(an+入)；an+2=pafl+t+

qan=a?+2+人心+尸(p+入)*3+1+入aj；an+i=panH-pn+l^^TT=^;-l-l.

(4)歸納法：計(jì)算a2,a3,a」呈現(xiàn)關(guān)于項(xiàng)數(shù)2,3,4的規(guī)律特征.

(5)迭代法：an+】=pa?或a0+I=a:或an+】=pan+f(n)等.

3.求數(shù)列前〃項(xiàng)和的根本方法

(1)公式求和法

(2)裂項(xiàng)相消求和法

數(shù)列(為｝滿足通項(xiàng)能分裂為兩項(xiàng)之差，且分裂后相鄰的項(xiàng)正負(fù)抵消從而求得其和.

(3)倒序相加法

如果一個(gè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)中首末兩端等“距離〃的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，

那么求這個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)的和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列前〃項(xiàng)的和公式就是用此法推

導(dǎo)的.

(4)錯(cuò)位相減法

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這

個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.

(5)分組轉(zhuǎn)化求和法

一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由假設(shè)干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，那么求

和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減.

(6)并項(xiàng)求和法

一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，那么稱為并項(xiàng)求和.形如a=(一類

222222

型,可采用兩項(xiàng)合并求解.例如，Sn=100-99+98-97+-+2-1=(100+99)+(98

+97)+…+(2+1)=5050.

1.數(shù)列綜合問題中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想

(1)用函數(shù)的觀點(diǎn)與思想認(rèn)識(shí)數(shù)列，將數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式視為定義在正整數(shù)集

或其有限子集｛1,2,〃｝上的函數(shù).

(2)用方程的思想處理數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列根本量的方程.

(3)用轉(zhuǎn)化化歸的思想探究數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列來研究.

(4)數(shù)列綜合問題常常應(yīng)用分類討論思想、特殊與一般思想、類匕聯(lián)想思想、歸納猜測(cè)

思想等.

2.解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟

(1)審題一一仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意.

(2)建模一一將條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列

的特征、要求是什么.

(3)求解一一求出該問題的數(shù)學(xué)解.

(4)復(fù)原一一將所求結(jié)果復(fù)原到原實(shí)際問題中.

3.數(shù)學(xué)應(yīng)用題常見模型

(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加(或

減少)的量就是公差.

(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，

這個(gè)固定的數(shù)就是公比.

(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化

時(shí)，應(yīng)考慮是必與的遞推關(guān)系，還是S與之間的遞推關(guān)系.

二.命題類型分析及防陷阱措施

例1.設(shè)函數(shù)/(x)是定義在(0,斗8)上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)于任意正數(shù)蒼y有

/(孫)="x)+/(y)，=假設(shè)一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛q｝滿足

/⑸)=/(q)+/(a.+l)-l(〃￡N)其中S”是數(shù)列｛4｝的前八項(xiàng)和，那么數(shù)列｛〃〃｝

中第18項(xiàng)48二()

A.——B.9C.18D.36

36

【答案】C

【解析】???對(duì)任意的正數(shù)xy均有,(利)=/(尤)+/(乃且又?.?4>0且

/⑸)=/⑷+/g+1)-1=/(/)+/(/+1)+/(]);/(%)=/[(。：+。力：，又??,/(%)

是定義在(0?網(wǎng)上的單調(diào)增函數(shù)，..^=1(^2+^)①，當(dāng)月=1時(shí)，6=；(才+巧)，

二才一e二01.?6>0:q=1,當(dāng)“22時(shí)，..S41=」(分『+②，①-②可得

2

2%=2S*-253=G+4-。3-4"i>-'*(4+)(4-4-1-1)=。，

丫aM>0...a/l-att_1=l(n>2]｛%｝為等差數(shù)列/=l?d=1,二4=",=18,故選C.

【方法規(guī)律總結(jié)】此題主要考查抽象函數(shù)的解析式以及數(shù)列通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和之間的關(guān)系以及

公式4=*-，1(〃之2)的應(yīng)用，屬于難題.S〃求4的一般步驟：11)當(dāng)〃=1時(shí)，由

4=號(hào)求q的值；(2)當(dāng)〃22時(shí)，由4=S〃-S“_「求得知的表達(dá)式；(3)檢驗(yàn)生的值

是否滿足(2)中的表達(dá)式，假設(shè)不滿足那么分段表示可；(4)寫出與的完整表達(dá)式

練習(xí)1.設(shè)函數(shù)/(X)是定義在(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)于任意正數(shù)x,y有

/(Xy)=/(X)+/(y),假設(shè)一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝滿足

/(S”)=/(4)+/(a,+l)—l(〃wN*),其中S”是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，那么數(shù)列｛/｝

中第18項(xiàng)《8=0

A.—B.9C.18D.36

36

【答案】C

【解析】???f(Sn)=f(an)+f(an+l)-l=f[lan(a0+l)]:函數(shù)f(x)是定義域在(0,+oo)

2

上的單調(diào)函數(shù)，數(shù)列(aj各項(xiàng)為正數(shù)???Sn=1&(an+l)①當(dāng)n=l時(shí)，可得必=1；當(dāng)nN2時(shí)，

2

S-1=—Sn-l(an-l+1)(^),

n2

Q)-②可得a尸一an(an+l)一一an-l(an-l+1)(3n+an-l)(須一@<1「1)=0Van>0?*,?3n—3n-l—1=0

22

即an-an-i=l，數(shù)列｛a』為等差數(shù)列，ai=l,d=l；；?&=1+(nT)Xl=n即須』所以。同=18

應(yīng)選Co

練習(xí)2.尸(x)=f(xI11是R上的奇函數(shù)，

\2)

4=/(0)+/(￡)+/[：|+…+/(、1)+/⑴(〃￡N)那么數(shù)列｛(｝的通項(xiàng)公式

為0.

2

A.an=nB.an-2nC.an=/:+1D.an-n-2w+3

【答案】C

【解析】???尸（力=/卜+；）-1是奇函數(shù),???嗚HT=°，令x4

令Ff-lj=/(o)-l.???〃0)+〃1)=2,???q=〃())+〃l)=2,

+

+1=2,：.an=2+2x—=z?+l（n€^）,

\n）\n）n

應(yīng)選C

練習(xí)3.設(shè)等差數(shù)列｛（｝的前〃項(xiàng)和為S“，（4-1）3+2016（4-1）=1,

（。劉3一1）3+2016（々2013-1）=一1，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是0

A.$20[6=-2016,。2013>B.$2016=2016,42013>°4

C$20]6=—2016,々2013<“4D.5|=2016,

206<a4

【答案】1）

所以—亞如也316（…）=202b

22

因?yàn)?1）=T,F（〃4-1）=1，F(xiàn)（X）在斤上單調(diào)遞增，

所以。4一1>%013一1，即4>〃2013，

應(yīng)選：D.

練習(xí)4.數(shù)列4，3，…M”是正整數(shù)1，2,…，〃的任一排列，且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：

①4=1；②當(dāng)〃之2時(shí)，|4-4+[歸2（i=l,2,…7一1）.

記這樣的數(shù)列個(gè)數(shù)為/（〃）.

（I）寫出/（2）,f（3）,/（4）的值：

（II）證明/（2018）不能被4整除.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：⑴依題意，易得：/（2）=1,/（3）=2,/（4）=4；（2）把滿足條件

①@的數(shù)列稱為〃〃個(gè)數(shù)的首項(xiàng)最小數(shù)列，由于q=l,故/=2或3.分成三類情況，利用

條件逐一進(jìn)行驗(yàn)證即可.

試題解析：

（I）解：/（2）=1,〃3）=2J（4）=4.

（II）證明：把滿足條件①②的數(shù)列稱為〃項(xiàng)的首項(xiàng)最小數(shù)列.

對(duì)于〃個(gè)數(shù)的首項(xiàng)最小數(shù)列，由于％=1,故4=2或3.

(1)假設(shè)％=2,那么生一…,凡一1構(gòu)成〃一1項(xiàng)的首項(xiàng)最小數(shù)列，其個(gè)數(shù)為

f(〃T；

⑵假設(shè)。2=3,4=2,那么必有4=4，故2-3,。$-3,…,?！?3構(gòu)成〃—3項(xiàng)的首項(xiàng)

最小數(shù)列，其個(gè)數(shù)為/(〃—3)；

(3)假設(shè)。2=3,那么%=4或6=5.設(shè)是這數(shù)列中第一個(gè)出現(xiàn)的偶數(shù)，那么前女項(xiàng)

應(yīng)該是1,3,???,2攵一1,。川是21或21一2,即4與。川是相鄰整數(shù).

由條件②，這數(shù)列在%M后的各項(xiàng)要么都小于它，要么都大于它，因?yàn)?在之后，故

后的各項(xiàng)都小于它.

這種情況的數(shù)列只有一個(gè)，即先排遞增的奇數(shù)，后排遞減的偶數(shù).

綜上，有遞推關(guān)系：/(〃)=/(〃-1)+/(〃-3)+1,n>5.

由此遞推關(guān)系和(I)可得，“2)J(3),???J(2018)各數(shù)被4除的余數(shù)依次為：

1,1,2,0,2,1,2,1,3,2,0,0,3,0,1,1,2,0,…

它們構(gòu)成14為周期的數(shù)列，X2018=14x144+2,

所以“2018)被4除的余數(shù)與/(2)被4除的余數(shù)相同，都是1,

故『(2018)不能被4整除.

2特殊數(shù)列

例2.數(shù)歹U%=9］(竽［-|粵)］那么0刈,一定是

A.奇數(shù)B.偶數(shù)C.小數(shù)D.無理數(shù)

【答案】A

【解析】因?yàn)?=乎|上乎'-m5J所以

4=1,%=1,。3=2,4=3,%=5,…，那么數(shù)列｛4｝從第3項(xiàng)開始,每一項(xiàng)均為其前兩項(xiàng)的

和，因?yàn)榍皟身?xiàng)均為1,是奇數(shù),所以從第三項(xiàng)開始,第3〃項(xiàng)均為偶數(shù)，第3/7+1項(xiàng)均為奇數(shù),第

3〃*2項(xiàng)均為奇數(shù),所以〃2017一定是奇數(shù)?

【方法規(guī)律總結(jié)】:由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)或變化規(guī)律的常用方法及具體策略

（1）常用方法：觀察（觀察規(guī)律）、比較（比較已知數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化（轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列）、聯(lián)想（聯(lián)想常見的

數(shù)列）等方法.

（2）具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各

項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；⑤化異為同.對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或

尋找分子、分母之間的關(guān)系；⑥對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用（-1?，左￡乂處理.

練習(xí)1數(shù)列滿足牛，吟，?！?募（〃￡"），那么％o=（）

B.e40C.e3D.e3

【答案】C

【解析】??號(hào)號(hào)

93〃2

.Intz,1吟1吟

369

3川,

Ina,=----------(n>

應(yīng)選C.

練習(xí)2..設(shè)S”為數(shù)列｛（｝的前,!項(xiàng)和，為〃-41=3-2〃-（222）,且3%=23.記7；為

數(shù)列,一!—1的前〃項(xiàng)和，假設(shè)W〃eN*,7；＜/n,那么加的最小值為0

U+S"

1-1八2入

A.—B.—C.—D.1

323

【答案】A

【解析】由2a?-&一1=3?2"S22),得,

>n1

Fh2an-a?-i=32(n22),且3ai=2a：

可得2a2-ai=6,即2al=6,得ai=3.

，數(shù)列｛2-1｝是以上為首項(xiàng)，以一為公比的等比數(shù)列，

X24

那么祟-2=或"（心，+）='--+

(11A2)2(1—21

/.S=1+-4-.….+—r4-(2+22+23+―+2n)=-+-----------=2*2n-21'

n"I22W_,)[?1-2

2

1___________11

a“+S”-2|-〃22"+2?"一

??,對(duì)Vn￡N*,Km,

???m的最小值為

3

故答案為A。

【方法總結(jié)】：這個(gè)題目考查的是數(shù)列求通項(xiàng)的常用方法：配湊法，構(gòu)造新數(shù)列。也考查了

等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，數(shù)列和的最值。關(guān)于數(shù)列之和的最值，可以直接觀察，比方這個(gè)

題目，一般情況下需要研究和的表達(dá)式的單調(diào)性：構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性，做差和0比研究單

調(diào)性，直接研究表達(dá)式的單調(diào)性。

例3.數(shù)列｛勺｝嗎=1，4用=丁普，那么叫=。

A.-----B.—C.-----或1D.一

2442

【答案】B

【解析】由條件可知〃向=烏匚，兩邊去倒數(shù)得一L='+」-nJ-!-1是等差數(shù)列，故

%+2all+l2（an]

n+\22

—=l+(zi—I)—=,故得%=

/')2F4

故答案選B.

【方法總結(jié)】已知數(shù)列4+1=%,要求通項(xiàng)，可以兩邊取倒數(shù)，得到[工是等差數(shù)列，已知％=1

4+2

可以求出工=1,再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，—=l+(w-l)i=^,再取倒數(shù)可

%422

2

以求出4二丁乙，代入n=7,求得結(jié)果即可.

練習(xí)1.數(shù)列｛?！ǎx為4>0,??+1=^?+—匕￡N”

(1)假設(shè)q=-----(〃>0),求------H-------1---1------的值;

1+2cl2+q2+2+q。

(2)當(dāng)〃>0時(shí)，定義數(shù)列出｝,4=4伙212),6,田=一1+"西，是否存在正整

數(shù)使得內(nèi)+4=。+：/+后五一1.如果存在，求出一組億力，如果不存

在，說明理由.

【答案】(1)2；(2)答案見解析

【解析】試題分析：

(1)由題意可得一!一二」——裂項(xiàng)求和有」一+」一+…+」一的值是2；

%+2%an+]2+42+見2+4。

(2)結(jié)合所給的遞推關(guān)系討論可得存在一組?,/)=(4-11,"9)滿足題意.

試題解析：

八、._((+2)?！?_2

⑴Cl.,=---------,---=------r--

2%(4+2)4

所以---=-----------

*44+2

1+2a

所以------1--------------F…-I-------------=------------

2+42+生2+%0a,%

12)由2M=-1+歷西

得么+i+i=JTT荔，兩邊平方

1)

所以4=2+1+］此I

當(dāng)4=%時(shí)，由?=b?+；比知/=%+gb；

又4=%7+gd.|，數(shù)列｛4｝遞增，所以％=4T

類似地，力3=ak-2，…2=ak-t+\

p12

又々+5。=《2

所以。1+產(chǎn)生*=%+42

存在正整數(shù)仃(心j),R-i+l=12/一，+1=10

存在一組(，,/)=僅一11/一9)

練習(xí)2.在數(shù)1和2之間插入n個(gè)正數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)

的乘積記為An,令4=log2An,/teN*.

(1)數(shù)列｛3｝的通項(xiàng)公式為%=；

(2)Tn=tan?2?tanq+tantz4-taniz6d---Ftan?2w-tan?2/J+2=__________.

n+2tan(n+2)-tanl

【答案】生士;一——1-----

2tanl

【解析】⑴設(shè)在數(shù)1和2之間插入〃個(gè)正數(shù)，使得這乂+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增等比數(shù)列｛%｝

那么偽=1,2+2=2=1X/+L即/川=2,q為此等比數(shù)列的公比

故數(shù)列｛丹｝的通項(xiàng)公式為q=當(dāng)

⑵由⑴可得%=lOg24=等，又

tan+2)-tan2+

=—---』------n,neN

tanl

tan(/:4-2)-tan2

故答案為一——2-------n

tan1

練習(xí)3.兩個(gè)等差數(shù)列｛4｝和也｝的前〃項(xiàng)和分別為A“和紇，且今=［箸

￡1=

itA

%為整數(shù)的正整數(shù)〃的取值集合為.

a

【答案】9；{2,3,5,11}

【解析】試題分析：

由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得％=&二=—,可得〃的取值。

試題解析：

即〃+1=3或〃+1=4或〃+1=6或〃+1=12,從而〃=2,3,5,11,即集合為{235,11}

故去為整數(shù)的正整數(shù)〃的取值集合為{2,3,5,11}

4.數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的應(yīng)用

例4某化工廠從今年一月起，假設(shè)不改善生產(chǎn)環(huán)境，按生產(chǎn)現(xiàn)狀，每月收入為70萬元，同

時(shí)將受到環(huán)保部門的處分，第一個(gè)月罰3萬元，以后每月增加2萬元.如果從今年一月起投

資500萬元添加回收凈化設(shè)備(改造設(shè)備時(shí)間不計(jì))，一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可

以大大降低原料本錢.據(jù)測(cè)算，添加回收凈化設(shè)備并投產(chǎn)后的前5個(gè)月中的累計(jì)生產(chǎn)凈收入

g(〃)是生產(chǎn)時(shí)間〃個(gè)月的二次函數(shù)g(k)=〃2+如(女是常數(shù))，且前3個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈

收入可達(dá)309萬，從第6個(gè)月開始，每個(gè)月的生產(chǎn)凈收入都與第5個(gè)月相同.同時(shí)，該廠不

但不受處分，而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎(jiǎng)勵(lì)100萬元.

(1)求前8個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈收入g(8)的值；

12)問經(jīng)過多少個(gè)月，投資開始見效，即投資改造后的純收入多于不改造時(shí)的純收入.

【答案】⑴g⑻=g(5)+3xlO9=852；⑵經(jīng)過9個(gè)月投資開始見效。

【解析】試題分析：(1)根據(jù)g13)得到k,再計(jì)算g(5)和g(5)-g(4),而g(8)

=g(5)+3[g(5)-g(4)],從而得到結(jié)果；

(2)求出投資前后前n個(gè)月的總收入，列不等式解出n的范圍即可.

試題解析

(1)據(jù)題意g(3)=32+34=309,解得1=100,

第5個(gè)月的凈收入為g(5)_g(4)=109萬元，

所以，g(8)=g(5)+3xlO9=852萬元

n2+1OOn,(n<5)

⑵15)+(〃-5)[g(5)-g(4)].(〃>5)

n2+100n,(n<5)

即g(〃)={

109〃一20,(n>5)

要想投資開始見效，必須且只需

/\3n+n(n-\)x2

^(7i)-500+100>70n--2

即g(〃)+〃2-68/7-400>0.

當(dāng)〃=1,2,3,4,5時(shí)，〃2+100〃+/_68〃-400>0,

即〃(〃+16)>200不成立；

當(dāng)〃>5時(shí)，109〃-20+/-68〃-400>0,即〃(〃+41)>420,

驗(yàn)算得，〃之9時(shí)，n(n+41)>420

所以，經(jīng)過9個(gè)月投資開始見效。

練習(xí)1.用分期付款的方式購(gòu)置某家用電器■件，價(jià)格為1150元，購(gòu)置當(dāng)天先付150元，

以后每月這一天還款一次，每次還款數(shù)額相同，20個(gè)月還清，月利率為1%,按復(fù)利計(jì)算.假

設(shè)交付150元后的第一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，全部欠款付清后，請(qǐng)問買這件家電

實(shí)際付款多少元？每月還款多少元？(最后結(jié)果保存4個(gè)有效數(shù)字)

參考數(shù)據(jù):(1+1%)"=1.208,(1+1%)30=1.220,(1+1%)2|=1.232.

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析:購(gòu)置當(dāng)天先付款后，所欠款數(shù)可求，用20個(gè)月還清，月利率為1%,按

復(fù)利計(jì)息，分期付款的總款數(shù)，是等比數(shù)列的前20項(xiàng)和，求出可得買這件家電實(shí)際付款數(shù),

以及每個(gè)月應(yīng)還款數(shù).

試題解析：

由題易得x(l+l%)I"+*(1+1%)1fl+…+x(l+l%)+x=1000(1+1%)⑶,

(1+1AJ

即x?a=1000X(1+1%)20,

1000XJX■

所以x=C1+1W*-1g55.45,即每月還款55.45元.

所以買這件家電實(shí)際付款55.45X20+150=1259（元），每月還款55.45元.

練習(xí)2.吳敬？九章算法比類大全？中描述：遠(yuǎn)望魏巍塔七層，紅燈向下成倍增，共燈三百八

十一，請(qǐng)問塔頂幾盞燈？()

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】設(shè)塔頂為盞燈，那么，Q1）=381,解得q=3.應(yīng)選C.

練習(xí)3.某數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)徽的主體圖案是由一連串直角三角形演化而成的（如圖），其中

O^=W=A2Ay=..=,記。4，。&，。4,…，。4的長(zhǎng)度構(gòu)成的數(shù)列為

N",〃V8）,那么｛〃〃｝的通項(xiàng)公式8）

【答案】4=冊(cè)

練習(xí)4.“中國(guó)剩余定理"又稱“孫子定理1852年，英國(guó)來華傳教士偉烈亞力將?孫子

算經(jīng)?中“物不知數(shù)〃問題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801

年由高斯得到的關(guān)于問余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理中國(guó)

剩余定理"講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1到2021這2021個(gè)數(shù)

中，能被3除余1且被5整除余】的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛《,｝,那么

此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.

【答案】135

【解析】試題分析：將題目轉(zhuǎn)化為q-1即是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)，也即是15的倍數(shù)即

?！耙?=154（&=0,1,2…），當(dāng)2=134,152=2010,當(dāng)2=135時(shí)，15A>2016,

故％=0,1,2…,134,數(shù)列共有135項(xiàng).

例5.對(duì)于給定的正整數(shù)屋如果各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛為｝滿足：對(duì)在意正整數(shù)〃5>k）,

…%。向-4+1。m=。產(chǎn)總成立,那么稱｛4｝是“0（攵）數(shù)列".

（1）假設(shè)｛4｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，判斷｛4｝是否為“Q（2）數(shù)列〃，并說明

理由；

（2）假設(shè)｛4｝既是“Q（2）數(shù)列"，又是“Q（3）數(shù)列"，求證：｛4｝是等比數(shù)列.

【答案】（1）見解析；（2）見解析。

【解析】試題分析：（1）假設(shè)瓜）是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：

=，尸?,尸?4,-6尸=（巧尸/=即可:證明?

⑵｛凡｝既是“0（2）數(shù)列”，又是“。（3）數(shù)列”，可得

川4+遂川=。；?可得=4_1/1對(duì)于任意n€N*（n\4）都成立.即

可證明.

試題解析：（1）｛4｝是“。（2）數(shù)列〃，理由如下：

因?yàn)椋?｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為q.

當(dāng)〃>2時(shí)，有J*%。*=々a""嗎尸??〃闖向=（4。"）4=

所以｛《,｝是“0（2）數(shù)列〃.

（2）因?yàn)椋鹮｝既是“。（2）數(shù)列〃，又是“Q（3）數(shù)列〃，

4

所以V〃>2，an_2an_｝an^an+2=a,,,①

6

V〃>3,an_3an_2an_xan+xan+1an^=a,,.②

由①得，V〃>1,a“_AA+2%.3=a〃+：，③

XM>3，4.34.2勺4川=。"?④

44

③X④?②得，V〃>3,.2="T/.

因?yàn)閿?shù)列｛4｝各項(xiàng)均為正數(shù)，所以D〃>3,

所以數(shù)列｛a.｝從第3項(xiàng)起成等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為/.

①中，令〃=4得，a,%%%=。：，所以出=3.

q

4

①中，令〃=3得，ai^a4a5=a3,所以6='.

q

所以數(shù)列｛為｝是公比為/的等比數(shù)列.

練習(xí)1記〃項(xiàng)正項(xiàng)數(shù)列為4,%，……其前n項(xiàng)積為7；,定義電色?第……Tn)為"相

對(duì)疊乘積"，如果有2021項(xiàng)的正項(xiàng)數(shù)列q,%,……4oi3的“相對(duì)疊乘積"為2021,那么有

2021項(xiàng)的數(shù)列10,q,電,......電0小的“相對(duì)疊乘積"為()

A.2021B.2021C.3042D.4027

【答案】D

【方法規(guī)律總結(jié)】：此題屬閱讀型試題，考查利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法那么解決問題的能力及學(xué)生

的閱讀理解能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意準(zhǔn)確理解“疊乘積”的概念，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法

2O2l

那么可得lg[10(10Ti)(10T2)(10T3)-(10L)]=lglO+lg(TrL-L)即得解.

練習(xí)2.數(shù)列A=｛q,%,…v%<…va〃,〃N2)具有性質(zhì)P：對(duì)任意i,

j(l<Z<j<n),與9■兩數(shù)至少有一個(gè)屬于A.

ai

(I)分別判斷數(shù)集｛1,3,4｝與｛1,2,3,6｝是否具有性質(zhì)有,并說明理由.

(II)求證:4=1.

(III)求證：”彳+…％

〃丁+靖+…+靖

【答案】(1)具有性質(zhì)P(2)見解析(3)見解析

【解析】試題分析：11)直接根據(jù)定義進(jìn)行判斷：由于3x4與g均不屬于數(shù)集｛1,3,4｝,所

以｛1,3,4｝不具有性質(zhì)尸，而肯定時(shí)需全面檢驗(yàn)：由于1x2,1x3,1x6,2x3,

；,|，1，9,都屬于數(shù)集｛1,2,3,6｝,所以｛1,2,3,6｝具有性質(zhì)P.⑵取極端位置的

數(shù)：“與工中至少有一個(gè)屬于4,而44任A,所以1=MEA,即證4=1.13)從

數(shù)列單調(diào)性上尋找條件：&wA(Z=l,2,…〃)，所以%=1,2=出，…，二%…

《凡％-4

&=4，代入即得結(jié)論

%

試題解析：(I)由于3x4與專均不屬于數(shù)集｛1,3,4｝,所以該數(shù)集不具有性質(zhì)產(chǎn)，

由于1x2,1x3,1x6,2x3,都屬

231236

所以該數(shù)集具有性質(zhì)P.

(II)因?yàn)锳={q,g,%…為}具有性質(zhì)尸，

所以4C"與—中至少有一個(gè)屬于A，

由于1Wq<%<…%，所以?！?>。〃，故〃任A,

從而1=&WA,所以q=l.

(III)因?yàn)?=4<。2<…<〃〃，所以故以凡品A(&=2,3.

由4具有性質(zhì)尸可知組￡A(Z=1,2,…〃)，

又因?yàn)殪礊?

%%出4

所以-=1，—―=a),,,??—=?

-

anan_xa.ax

q+〃2+…+%+/，

〃+用+…可

練習(xí)3.用國(guó)表示不超過x的最大整數(shù),例如[3]=3,[1,2]=1,[-1,3]=-2.數(shù)列{%}

滿足4=1,%+1=。：+々“，那么4+%+...+?016=.

4+1。2+1。2016+1

【答案】2015

例6.一同學(xué)在電腦中打出如下假設(shè)干個(gè)

圈：0?0。?000?000。?。0000?…

假設(shè)將此假設(shè)干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈，那么在前120個(gè)圈中的?的個(gè)

數(shù)是()

A.12B.13C.14D.15

【答案】D

【解析】試題分析：由圖像可得，二0%=2q=3,%=4…

二圖像所示的圈可以用首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列表示，

cn(n-T)d

S=na.i--------------120

二前120個(gè)圈中的?的個(gè)數(shù)即為2,

,-.Sa=^5=120

2,解得萬=16,

二前120個(gè)圈中的?有1=15個(gè)，

應(yīng)選D.

練習(xí)1..等差數(shù)列｛a｝中，4=7,&=16將此等差數(shù)列的各項(xiàng)排成如下三角形數(shù)陣：

那么此數(shù)陣中第20行從左到右的第10個(gè)數(shù)是________.

【答案】598

q+2d=7a.=1

【解析】等差數(shù)列｛&｝中，%=7,4=16,.?.｛.

q+5d=16a=3

而第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)，依此類推第19行有19個(gè)數(shù)那么第19行的最后一個(gè)

數(shù)是數(shù)列的第1+2+…+19=190項(xiàng)，那么此數(shù)陣中第20行從左到右的第10個(gè)數(shù)是該數(shù)列的第

200項(xiàng)，，400=1+199X3=598故答案為：598

點(diǎn)睛：此題主要考杳了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)等差數(shù)列中的兩項(xiàng)求出數(shù)

列的通項(xiàng)，然后弄清數(shù)陣中第20行從左到右的第10個(gè)數(shù)是該數(shù)列的第幾項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)公式

即求解.

練習(xí)2.觀察如下規(guī)律:

111111111111111111111111

,L,該組數(shù)據(jù)的前

3,3,3,5,5,5,5,5,7,7,7,7,7,7,7,9,9,9,9*9,9,9,9,9

2025項(xiàng)和為

【答案】45

【解析】項(xiàng)數(shù)N=l+3+5+…+2nT=/=2025,n=45,相同數(shù)湊成一組和為1,共45個(gè)1,所以

(111、1111

5=1+一+—+—+???+(—+—)=45,填45.

U33)88998899

練習(xí)3.如下圖的數(shù)陣中，用A(鬼〃)表示第機(jī)行的第〃個(gè)數(shù)，那么以此規(guī)律4(8,2)為

【答案】—

122

112

例7.數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為2,前〃項(xiàng)的和為S”，且--------=-------〃￡N*).

%―4S”-1

(1)求的的值;

(2)設(shè)勿二」一,求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

《用一%

(3)是否存在正整數(shù)〃，使得％巨為整數(shù)，假設(shè)存在求出〃，假設(shè)不存在說明理由.

141

【答案】(1)凡=一；(2)h=n一一；(3),1=1

■34n

【解析】試題分析：⑴令n=l可得生=廿；⑵由'———=—^―,得

’3anj4s“-1

44+i4s“一1

所以4s“-1=2《￡川，所以4s-―1=2凡+4+2,兩式相減整理可得

%+「％為+2一%+1

—--------出一=1,即％-2=1,故得數(shù)列也｝是等差數(shù)列；⑶結(jié)合(2)可

〃aa

”+2-4+1n+l-n

2/_八F”，4n+ll?12

求得4=一(4〃.1),那么口生=------=1+-----,然后根據(jù)4〃-123,且4〃一1為

7

〃3、an4/?-14/7-1

12的約數(shù)可求得〃=1。

試題解析：

14

(1)易得。2二石

(2)由'———=得%Lf=，—

4%4S.—1aflan+]4s,一1

所以4S”-1=24為+i①.

71+1

所以4s“+「］=2凡+同”+2②,

為+2一q+1

由②■①，得2。用="〃+得〃’2——如包

因?yàn)?+1工°，所以2=—^

所以1+—%-------%—=2,即一%--------%—=1,

%+2-4+14+1一％為+2-《用/+1一%

即然H—〃=1，所以數(shù)列｛a｝是公差為1的等差數(shù)列.

因?yàn)锳=￡%=；，所以數(shù)列｛么｝的通項(xiàng)公式為〃=〃—J.

(3)由(2)知，——=n--,所以4a=」7+1=如2,

4

4,7_1加一1

4

所以“川=-^-，所以數(shù)列[一人]是常數(shù)列.

4(/z+l)-l4/?-1[4n-1J

由“二,所以《二2(4〃—1).

那么=制t11=1+—1^-,

an4〃-14〃一1

注意到4〃一123,且4〃-1為12的約數(shù)，所以4〃-1=3,4,6,12,由〃wN*知

n=\.

例8.數(shù)列｛《,｝、抄〃｝,其中，%=；,數(shù)列｛4｝滿足

(〃+1)4,(〃22,〃￡N"),數(shù)列也｝滿足白=2也+]=22.

(1)求數(shù)列｛〃“｝、｛々｝的通項(xiàng)公式：

(2)是否存在自然數(shù)加，使得對(duì)于任意“EN”,〃之2,有1+,+,+…絲心恒成

ab2bn4

立？假設(shè)存在，求出機(jī)的最小值;

(3)假設(shè)數(shù)列｛c.｝滿足c“=｛〃屋，求數(shù)列匕｝的前〃頂和7；.

一偽偶數(shù)

-+4.+3+32"--),〃為奇數(shù)

【答案】⑴勿=2"；⑵存在，皿=16；⑶(=｛/^

匚也+々2"-1),〃為偶數(shù)

43、7

【解析】試題分析：

(1)根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列0｝的通項(xiàng)公式.E=2,b*2A可知瓜｝是首項(xiàng)為2,公比為2的

等比數(shù)列，由此能求出｛bj的通項(xiàng)公式.(2)b.=2二假設(shè)存在自然數(shù)m,滿足條件，先求出

1+5+3+…+2=1+:+3+-+[=2-2<2,將問題轉(zhuǎn)化成與之2可求得相的取值范圍；

4442222*2*4

(3)分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出然后寫成分段函數(shù)的形式。

試題解析：

(1)由(〃+,即=

又q=L所以〃“=%?%!_?吐…"生6

aaa

2n-\n-2n-3。24

n—\n-2n-3211_1

n+inn-\432〃(〃+l)

當(dāng)〃=1時(shí)，上式成立，

因?yàn)?=2力向=2b",所以｛4｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

故％=2”?

(2)由⑴知2=2”,那么

.111,111cl

1+——+——+…+——=1+—+—+...+—=2-----.

2

向b2bn22V2〃

假設(shè)存在自然數(shù)加，使得對(duì)于任意〃￡N：〃N2,有1+,+-!-+…+-!-<竺心恒成立，

“b2bn4

即2—」-〈叱色恒成立，由忙022,解得加216.

2"44

"2—8.,

所以存在自然數(shù)團(tuán)，使得對(duì)于任意〃wN*,〃22,有1+2+!+…+5<-----怛成r立,

b1仇bfl4

此時(shí)，〃2的最小值為16.

（3）當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),

41-4*2

〃〃

2+---+---1-+11-〃2+4〃+3+gQ.Tf;

2--------2----------1-44

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

41-42

2+〃n

—.—?-----------"+2"+g(2"-1).

221-44

n2+4wI3

---------------十/（2小_1）,〃為奇數(shù)

4

因此（=｛

字+熱-）'〃為偶數(shù)

例9.設(shè)數(shù)列｛見｝的前〃項(xiàng)和為S“，S〃7=pSn+q"、g為常數(shù)，〃wM）,又q=2,

%=1，%=q_3P.

⑴求,、g的值;

⑵求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式;

使3

⑶是否存在正整數(shù)加、n,<-成---立---？假設(shè)存在，求出所有符合條件的有

S/「m2W+1

序?qū)崝?shù)對(duì)（用,〃）；假設(shè)不存在，說明理由.

1

【答案】(1)p=—?q=2；(2)a=

2n2n~2'

（3）存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對(duì)：（1,1）、（2,1）、（2,2）、（3,2）、（3,3）、（3,4）.

試題解析:

1

3=2p+qP%

（1）由題意，知13+q-3P=3p+q,解之得lq=2

1

⑵由⑴知,Sn.l=2Sn+2,①

1

當(dāng)n22時(shí)，S?=2Sn-i+2,②

1

①■②得，a^.F2an(n22),

又加二項(xiàng)“所以數(shù)列｛aj是首項(xiàng)為2,公比為E的等比數(shù)歹人

]

所以2n-2.

2(1去)

「2n

4(1

2n乙2m

〈上4(1」)小石2-(4-W)-4<^L

由Sn+1，2m+l,得2n+1,即2n(4F)-22m+l,

1—?-----------2>,

2n(4F)-22血+1即2以4/)-22m+l,

因?yàn)?"+l>0,所以2"(4-m)>2,

所以mV4,且2V2"14-m)<2nH+4,①

因?yàn)閙￡N*,所以m=l或2或3。

當(dāng)m=l時(shí)，由①得，2V2nX3V8,所以n=l：

當(dāng)m=2時(shí)，由①得，2V2nX2V12,所以n=l或2；

當(dāng)m=3時(shí)，由①得，2<2”<20,所以n=2或3或4,

綜上可知，存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對(duì)(m,n)為：(1,1),(2,1),(2,2),[3,2),

(3,3),(3,4).

練習(xí)1.記等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”.

(1)求證：數(shù)列｛，，是等差數(shù)列；

(2)假設(shè)4=1,對(duì)任意〃均有J%,底,￡二是公差為1的等差數(shù)列，

求使、吟口為整數(shù)的正整數(shù)k的取值集合；

/八、r,a/yh+"+…+h,+h

(3)記a=a/(〃>0),求證：」~Z-----i工」一n