PAGE19-課時(shí)3圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律與應(yīng)用一、描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量1.線速度:物體通過(guò)的位移與所用的時(shí)間的比值,描述物體做圓周運(yùn)動(dòng)的快慢的物理量。表達(dá)式v==。方向沿圓弧軌道的切線方向。2.角速度:物體通過(guò)的弧度角與所用的時(shí)間的比值。描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢的物理量。表達(dá)式:ω==。3.周期和頻率:運(yùn)動(dòng)一周所需的時(shí)間叫周期(T);單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)叫頻率(f),描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢。T=,T=。4.轉(zhuǎn)速:單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度,描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢。n==。5.向心加速度:做圓周運(yùn)動(dòng)的物體指向圓心方向的加速度。描述線速度方向變更的快慢。an=rω2==ωv=r。6.向心力:做圓周運(yùn)動(dòng)的物體受到的指向圓心方向的合力,作用效果產(chǎn)生向心加速度。公式:Fn=man。說(shuō)明:(1)質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),線速度大小和向心加速度大小不變,但方向時(shí)刻在變更,所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)其實(shí)是一個(gè)變加速運(yùn)動(dòng)。(2)質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),角速度ω、周期T、頻率f、轉(zhuǎn)速n恒定不變。(3)向心加速度和向心力不變更速度大小,只變更速度方向。二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)和非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的比較項(xiàng)目勻速圓周運(yùn)動(dòng)非勻速圓周運(yùn)動(dòng)定義線速度大小不變的圓周運(yùn)動(dòng)線速度大小變更的圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)F向,a向,v均大小不變,方向變更,ω不變F向,a向,v大小、方向均發(fā)生變更,ω發(fā)生變更向心力F向=F合由F合沿半徑方向的分力供應(yīng)、離心運(yùn)動(dòng)1.定義:做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,在合力突然消逝或者不足以供應(yīng)圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力的狀況下,就做漸漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)。2.緣由:做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,由于本身的慣性,總有沿著圓周切線方向飛出去的傾向。3.供需關(guān)系與運(yùn)動(dòng)如圖所示,F為實(shí)際供應(yīng)的向心力,則(1)當(dāng)F=mω2r時(shí),物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng);(2)當(dāng)F=0時(shí),物體沿切線方向飛出;(3)當(dāng)F<mω2r時(shí),物體漸漸遠(yuǎn)離圓心;(4)當(dāng)F>mω2r時(shí),物體漸漸靠近圓心?？键c(diǎn)一描述圓周運(yùn)動(dòng)中的各物理量之間的關(guān)系1.對(duì)公式v=ωr的理解當(dāng)r肯定時(shí),v與ω成正比;當(dāng)ω肯定時(shí),v與r成正比;當(dāng)v肯定時(shí),ω與r成反比。2.對(duì)a==ω2r=ωv的理解在v肯定時(shí),a與r成反比;在ω肯定時(shí),a與r成正比。說(shuō)明:(1)在探討v,ω,r之間的關(guān)系時(shí),應(yīng)運(yùn)用限制變量法。(2)常見(jiàn)的傳動(dòng)方式傳動(dòng)裝置圖示特點(diǎn)齒輪傳動(dòng)兩齒輪邊緣的兩點(diǎn)A,B線速度大小相等vA=vB,角速度=,轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反皮帶輪傳動(dòng)兩輪邊緣的兩點(diǎn)A,B線速度大小相等vA=vB,角速度=,轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同鏈條傳動(dòng)兩輪邊緣的兩點(diǎn)A,B線速度大小相等vA=vB,角速度=,轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同同軸轉(zhuǎn)動(dòng)扇葉上的兩點(diǎn)A,B角速度大小相等ωA=ωB,線速度=,轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同[典例1]某變速箱中有甲、乙、丙三個(gè)齒輪,如圖所示,其半徑分別為r1,r2,r3,若甲輪的角速度為ω,則丙輪的角速度為()A. B. C. D.解析:各輪邊緣各點(diǎn)的線速度大小相等,則有ωr1=ω3r3,所以ω3=,故選項(xiàng)A正確。答案:A變式1:(多選)火車以60m/s的速率轉(zhuǎn)過(guò)一段彎道,某乘客發(fā)覺(jué)放在桌面上的指南針在10s內(nèi)勻速轉(zhuǎn)過(guò)了約10°。在此10s時(shí)間內(nèi),火車(AD)A.運(yùn)動(dòng)路程為600mB.加速度為零C.角速度約為1rad/sD.轉(zhuǎn)彎半徑約為3.4km解析:圓周運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)s=vt=60×10m=600m,選項(xiàng)A正確;火車轉(zhuǎn)彎是圓周運(yùn)動(dòng),圓周運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng),所以合力不為零,加速度不為零,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;由題意得圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω==rad/s=rad/s,又v=ωr,所以r=×180m=3439m,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤,D正確?？键c(diǎn)二圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析1.對(duì)向心力的三點(diǎn)提示(1)向心力是按效果命名的,不是物體實(shí)際受到的力,受力分析時(shí),不能在受力示意圖上畫(huà)出向心力。(2)向心力可以是某種性質(zhì)的力單獨(dú)供應(yīng),也可以是幾個(gè)不同性質(zhì)的力共同供應(yīng)。(3)向心力只產(chǎn)生向心加速度,與物體的實(shí)際加速度不肯定相同。2.解決圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的主要步驟(1)確定探討對(duì)象。(2)確定運(yùn)動(dòng)的軌道平面,確定軌道圓心位置。(3)受力分析,找出指向圓心方向的合力(不要把向心力作為某一性質(zhì)力進(jìn)行分析)。(4)運(yùn)動(dòng)狀況分析(分析線速度、角速度等相關(guān)物理量)。(5)列方程求解(依據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律列方程)。[典例2]如圖所示,一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓錐筒的軸線垂直于水平面,圓錐筒固定不動(dòng),有兩個(gè)質(zhì)量相同的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則下列說(shuō)法正確的是()A.球A的線速度必定大于球B的線速度B.球A的角速度必定大于球B的角速度C.球A的運(yùn)動(dòng)周期必定小于球B的運(yùn)動(dòng)周期D.球A對(duì)筒壁的壓力必定大于球B對(duì)筒壁的壓力解析:由于A,B質(zhì)量相同,在相同的傾斜面上,則向心力相等,進(jìn)一步可知兩球所受的彈力相等,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤;依據(jù)F向=ma可知,A,B兩小球事實(shí)上是具有相同的向心加速度,依據(jù)a==Rω2=可知,加速度相同時(shí),半徑越大,線速度越大,角速度越小,周期越大,即由RA>RB,可知vA>vB,ωA<ωB,TA>TB,則選項(xiàng)A正確,B,C錯(cuò)誤。答案:A比較兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)的各物理量之間關(guān)系時(shí),事實(shí)上就是找出兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)之間存在的隱含的相同因素,然后用限制變量法即可推斷各物理量的關(guān)系。變式2:公園里的“飛天秋千”嬉戲起先前,座椅由鋼絲繩豎直懸吊在半空。秋千勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),繩與豎直方向成某一角度θ,其簡(jiǎn)化模型如圖所示。若保持運(yùn)動(dòng)角速度不變,要使夾角θ變大,可將(A)A.鋼絲繩變長(zhǎng)B.鋼絲繩變短C.座椅質(zhì)量增大D.座椅質(zhì)量減小解析:由題意知,座椅做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由合外力供應(yīng),即mgtanθ=mω2(lsinθ+r),θ與質(zhì)量無(wú)關(guān),所以選項(xiàng)C,D錯(cuò)誤;當(dāng)角速度不變時(shí),要使θ增大,可增大l,即鋼絲繩變長(zhǎng),所以選項(xiàng)A正確,B錯(cuò)誤。考點(diǎn)三水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)1.運(yùn)動(dòng)實(shí)例:圓錐擺、火車轉(zhuǎn)彎、汽車轉(zhuǎn)彎、飛機(jī)在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)等。2.問(wèn)題特點(diǎn):軌跡平面在水平面內(nèi),向心力水平,豎直方向的合力為零。3.常見(jiàn)水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)模型[典例3]如圖所示為一種叫做“魔盤(pán)”的消遣設(shè)施,當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)很慢時(shí),人會(huì)隨著“魔盤(pán)”一起轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)“魔盤(pán)”轉(zhuǎn)動(dòng)到肯定速度時(shí),人會(huì)“貼”在“魔盤(pán)”豎直壁上,而不會(huì)滑下。若“魔盤(pán)”半徑為r,人與“魔盤(pán)”豎直壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,在人“貼”在“魔盤(pán)”豎直壁上,隨“魔盤(pán)”一起轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,則下列說(shuō)法正確的是()A.人隨“魔盤(pán)”轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中受重力、彈力、摩擦力和向心力作用B.假如轉(zhuǎn)速變大,人與器壁之間的摩擦力變大C.假如轉(zhuǎn)速變大,人與器壁之間的彈力不變D.“魔盤(pán)”的轉(zhuǎn)速肯定不小于解析:人隨“魔盤(pán)”轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中受重力、彈力、摩擦力,故A錯(cuò)誤;人在豎直方向受到重力和摩擦力,二力平衡,則知轉(zhuǎn)速變大時(shí),人與器壁之間的摩擦力不變,故B錯(cuò)誤;假如轉(zhuǎn)速變大,由F=mr(2πn)2,知人與器壁之間的彈力變大,故C錯(cuò)誤;人貼在魔盤(pán)上時(shí),有mg≤fmax,FN=mr(2πn)2,又fmax=μFN,解得轉(zhuǎn)速n≥,故“魔盤(pán)”的轉(zhuǎn)速肯定大于,故D正確。答案:D變式3:(多選)如圖所示為賽車場(chǎng)的一個(gè)水平“U”形彎道,轉(zhuǎn)彎處為圓心在O點(diǎn)的半圓,內(nèi)外半徑分別為r和2r。一輛質(zhì)量為m的賽車通過(guò)AB線經(jīng)彎道到達(dá)A′B′線,有如圖所示的①②③三條路途,其中路途③是以O(shè)′為圓心的半圓,OO′=r。賽車沿圓弧路途行駛時(shí),路面對(duì)輪胎的最大徑向靜摩擦力為Fmax。選擇路途,賽車以不打滑的最大速率通過(guò)彎道(所選路途內(nèi)賽車速率不變,發(fā)動(dòng)機(jī)功率足夠大),則(ACD)A.選擇路途①,賽車經(jīng)過(guò)的路程最短B.選擇路途②,賽車的速率最小C.選擇路途③,賽車所用時(shí)間最短D.①②③三條路途的圓弧上,賽車的向心加速度大小相等解析:由圖及幾何關(guān)系知:路途①的路程為s1=2r+πr,路途②的路程為s2=2r+2πr,路途③的路程為s3=2πr,A正確;賽車以不打滑的最大速率通過(guò)彎道有Fmax=μmg=m,速度v=,即半徑越大,速度越大,選擇線路①賽車的速率最小,B錯(cuò)誤,D正確;依據(jù)t=,代入數(shù)據(jù)解得選擇路途③,賽車所用時(shí)間最短,C正確?？键c(diǎn)四豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)處的受力特點(diǎn)及分類1.運(yùn)動(dòng)類型:物體在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)有勻速圓周運(yùn)動(dòng)和變速圓周運(yùn)動(dòng)兩種。只有重力做功的豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)肯定是變速圓周運(yùn)動(dòng),遵守機(jī)械能守恒定律。2.問(wèn)題特點(diǎn):一般狀況下,豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)受力問(wèn)題只涉及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)兩種情形,但豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,涉及學(xué)問(wèn)面比較廣,既有臨界問(wèn)題,又有能量守恒的問(wèn)題。3.常見(jiàn)模型最高點(diǎn)模型彈力向上Fn=mg-FN過(guò)最高點(diǎn)的條件v≤彈力向下Fn=mg+FN過(guò)最高點(diǎn)的條件v≥彈力可能向上,可能向下,也可能沒(méi)有Fn=mg+FN=m①當(dāng)v>時(shí)物體受到的彈力必定是向下的;當(dāng)v<時(shí)物體受到的彈力必定是向上的;當(dāng)v=時(shí)物體受到的彈力恰好為零②當(dāng)彈力大小FN<mg時(shí),向心力有兩解:mg±FN;當(dāng)彈力大小FN>mg時(shí),向心力只有一解:FN+mg;當(dāng)彈力FN=mg時(shí),向心力等于零彈力肯定向上,Fn=FN-mg[典例4]如圖所示,質(zhì)量為m的小球置于正方體的光滑盒子中,盒子的邊長(zhǎng)略大于球的直徑。某同學(xué)拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng),已知重力加速度為g,空氣阻力不計(jì),要使在最高點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間恰好無(wú)作用力,則下列說(shuō)法正確的是()A.在最高點(diǎn)小球的速度水平,小球既不超重也不失重B.小球經(jīng)過(guò)與圓心等高的位置時(shí),處于超重狀態(tài)C.盒子在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)小球彈力大小等于2mg,方向向下D.該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期肯定等于2π解析:在最高點(diǎn)小球的加速度為g,處于完全失重狀態(tài),選項(xiàng)A錯(cuò)誤;小球經(jīng)過(guò)與圓心等高的位置時(shí),豎直加速度為零,既不超重也不失重,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;在最高點(diǎn)有mg=m,解得該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度v=,該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)==2π,選項(xiàng)D正確;在最低點(diǎn)時(shí),盒子與小球之間的作用力和小球重力的合力供應(yīng)小球運(yùn)動(dòng)的向心力,由F-mg=m,解得F=2mg,對(duì)小球的彈力方向向上,選項(xiàng)C錯(cuò)誤。答案:D變式4:一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球,以另一端O為圓心,使小球在豎直面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng),如圖所示,則下列說(shuō)法正確的是(A)A.小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí),桿所受到的彈力可以等于零B.小球過(guò)最高點(diǎn)的最小速度是C.小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí),桿對(duì)球的作用力肯定隨速度增大而增大D.小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí),桿對(duì)球的作用力肯定隨速度增大而減小解析:輕桿可對(duì)小球產(chǎn)生向上的支持力,小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的速度可以為零,當(dāng)小球過(guò)最高點(diǎn)的速度v=時(shí),桿所受的彈力等于零,A正確,B錯(cuò)誤;若v<,則桿在最高點(diǎn)對(duì)小球的彈力豎直向上,mg-F=m,隨v增大,F減小,若v>,則桿在最高點(diǎn)對(duì)小球的彈力豎直向下,mg+F=m,隨v增大,F增大,選項(xiàng)C,D均錯(cuò)誤?？键c(diǎn)五生活中的圓周運(yùn)動(dòng)1.鐵路彎道的特點(diǎn)當(dāng)外軌比內(nèi)軌高時(shí),鐵軌對(duì)火車的支持力不再是豎直向上,而是和重力的合力供應(yīng)向心力,可以減輕軌和輪緣的擠壓。最佳狀況是向心力恰好由支持力和重力的合力供應(yīng),鐵軌的內(nèi)、外軌均不受到側(cè)向擠壓的力。(1)受力分析:如圖甲所示,火車受到的支持力和重力的合力水平指向圓心,成為使火車拐彎的向心力。(2)動(dòng)力學(xué)方程:依據(jù)牛頓其次定律得mgtanθ=m,其中r是轉(zhuǎn)彎處軌道的半徑,v0是使內(nèi)、外軌均不受力的最佳速度。(3)結(jié)論:解上述方程可知=rgtanθ可見(jiàn),最佳狀況是由v0,r,θ共同確定的。當(dāng)火車實(shí)際速度為v時(shí),可有三種可能:當(dāng)v=v0時(shí),內(nèi)、外軌均不受側(cè)向擠壓的力;當(dāng)v>v0時(shí),外軌受到側(cè)向擠壓的力(這時(shí)向心力增大,外軌供應(yīng)一部分力);當(dāng)v<v0時(shí),內(nèi)軌受到側(cè)向擠壓的力(這時(shí)向心力減小,內(nèi)軌供應(yīng)一部分力)。2.拱形橋的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)(1)假如汽車在拱形橋上,如圖乙以某一速度v通過(guò)拱形橋的最高點(diǎn)時(shí)滿意mg-F1=m。結(jié)論:①汽車對(duì)橋面的壓力小于汽車的重力mg。②汽車行駛的速度越大,汽車對(duì)橋面的壓力越小。③當(dāng)速度不斷增大的時(shí)候,壓力會(huì)不斷減小,當(dāng)達(dá)到某一速度時(shí),汽車對(duì)橋面完全沒(méi)有壓力,汽車“飄離”橋面。(2)假如是凹形橋,如圖丙所示,以某一速度v通過(guò)凹形橋的最低點(diǎn)時(shí)滿意F2-mg=m。[典例5]一輛汽車在丘陵地上以不變的速率行駛,地形如圖所示。由于輪胎已舊,途中爆了胎。你認(rèn)為在圖中A,B,C,D四處中,爆胎的可能性最大的一處是()A.A處 B.B處 C.C處 D.D處解析:在A處,地面對(duì)輪胎的彈力大小等于汽車的重力;在B處,汽車做圓周運(yùn)動(dòng),加速度方向豎直向上,依據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律知,汽車處于超重狀態(tài),地面對(duì)汽車的彈力大于其重力;在C處,汽車做圓周運(yùn)動(dòng),加速度方向豎直向下,依據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律知,汽車處于失重狀態(tài),地面對(duì)汽車的彈力小于其重力;在D處,地面對(duì)汽車的彈力大小等于重力垂直于斜面的分力,也小于重力。則在B處汽車受到地面的彈力最大,最簡(jiǎn)潔爆胎,故選項(xiàng)B正確。答案:B變式5:鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是依據(jù)地形確定的。彎道處要求外軌比內(nèi)軌高,其內(nèi)、外軌高度差h的設(shè)計(jì)不僅與r有關(guān),還與火車在彎道上的行駛速度v有關(guān)。下列說(shuō)法正確的是(A)A.速率v肯定時(shí),r越小,要求h越大B.速率v肯定時(shí),r越大,要求h越大C.半徑r肯定時(shí),v越小,要求h越大D.半徑r肯定時(shí),v越大,要求h越小解析:火車轉(zhuǎn)彎時(shí),圓周平面在水平面內(nèi),火車以設(shè)計(jì)速率行駛時(shí),向心力剛好由重力G與軌道支持力FN的合力來(lái)供應(yīng),如圖所示,則有mgtanθ=,且tanθ≈sinθ=,其中L為軌間距,是定值,有mg=,通過(guò)分析可知A正確。考點(diǎn)六離心現(xiàn)象的受力特點(diǎn)1.離心運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)是物體漸漸遠(yuǎn)離圓心的物理現(xiàn)象,它的本質(zhì)是物體慣性的表現(xiàn),總是有沿著圓周切線飛出去的趨勢(shì),之所以沒(méi)有飛出去是因?yàn)槭艿较蛐牧ψ饔?一旦作為向心力的合外力消逝,物體就會(huì)沿切線方向飛出去。2.物體做離心運(yùn)動(dòng)不是因?yàn)槲矬w受到離心力的作用,而是由于外力不能供應(yīng)足夠的向心力,所謂的“離心力”實(shí)際并不存在。[典例6]如圖所示,光滑水平面上,小球m在拉力F作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。若小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí),拉力F發(fā)生變更,關(guān)于小球運(yùn)動(dòng)狀況的說(shuō)法正確的是()A.若拉力突然消逝,小球?qū)⒀剀壽EPa做離心運(yùn)動(dòng)B.若拉力突然變小,小球?qū)⒀剀壽EPa做離心運(yùn)動(dòng)C.若拉力突然變大,小球?qū)⒀剀壽EPb做離心運(yùn)動(dòng)D.若拉力突然變小,小球?qū)⒀剀壽EPc運(yùn)動(dòng)解析:當(dāng)拉力不足以供應(yīng)所須要的向心力時(shí),將做離心運(yùn)動(dòng),若拉力突然消逝,則小球?qū)⒀卦瓉?lái)的運(yùn)動(dòng)方向運(yùn)動(dòng),即Pa方向,A正確;若拉力突然變小,則做半徑增大的曲線運(yùn)動(dòng),即可能沿Pb方向,拉力突然變大,則做向心運(yùn)動(dòng),可能沿Pc方向,B,C,D均錯(cuò)誤。答案:A變式6:世界一級(jí)方程式錦標(biāo)賽新加坡大獎(jiǎng)賽賽道單圈長(zhǎng)5.067千米,共有23個(gè)彎道,如圖所示,賽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時(shí),經(jīng)常在彎道處沖出跑道,對(duì)其緣由的分析以下說(shuō)法正確的是(C)A.賽車行駛到彎道時(shí),運(yùn)動(dòng)員未能剛好轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤(pán)B.賽車行駛到彎道時(shí),運(yùn)動(dòng)員沒(méi)有剛好加速C.賽車行駛到彎道時(shí),運(yùn)動(dòng)員沒(méi)有剛好減速D.賽車行駛到彎道旁邊提前轉(zhuǎn)彎解析:賽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時(shí),須要的向心力是由賽車與地面間的摩擦力供應(yīng)的。由F=m知,當(dāng)v較大時(shí),賽車須要的向心力也較大,當(dāng)摩擦力不足以供應(yīng)其所需的向心力時(shí),賽車將沖出跑道。因此在r不變時(shí)可減小行駛速度;賽車行駛到彎道旁邊提前轉(zhuǎn)彎可增大轉(zhuǎn)彎半徑,則所需向心力減小?？键c(diǎn)七圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)的結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)的組合題,用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,關(guān)鍵是找到兩者的速度關(guān)系。若先做圓周運(yùn)動(dòng)后做平拋運(yùn)動(dòng),則圓周運(yùn)動(dòng)的末速度等于平拋運(yùn)動(dòng)的水平初速度;若物體平拋后進(jìn)入圓軌道,圓周運(yùn)動(dòng)的初速度等于平拋運(yùn)動(dòng)的末速度在圓周切線方向的分速度。[典例7]“水上樂(lè)園”中有一巨大的水平轉(zhuǎn)盤(pán),人在其上隨盤(pán)一起轉(zhuǎn)動(dòng),給游客帶來(lái)無(wú)窮樂(lè)趣。如圖所示,轉(zhuǎn)盤(pán)的半徑為R,離水平面的高度為H,可視為質(zhì)點(diǎn)的游客的質(zhì)量為m,現(xiàn)轉(zhuǎn)盤(pán)以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng),游客在轉(zhuǎn)盤(pán)邊緣保持相對(duì)靜止,不計(jì)空氣阻力。(1)求轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的周期;(2)求游客受到摩擦力的大小和方向;(3)若轉(zhuǎn)盤(pán)突然停止轉(zhuǎn)動(dòng),求游客落水點(diǎn)到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的水平距離。解析:(1)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的周期T=。(2)游客受到摩擦力的大小Ff=mω2R游客受到摩擦力的方向沿半徑方向指向圓心O。(3)游客轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的線速度,即平拋運(yùn)動(dòng)的初速度v=ωR游客落水的時(shí)間t=游客做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移x=ωR游客落水點(diǎn)到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離s==R。答案:(1)(2)mω2R沿半徑方向指向圓心O(3)R變式7:如圖所示,質(zhì)量為m=0.2kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))從水平桌面端點(diǎn)A以初速度v0水平拋出,桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP,其形態(tài)為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧,MN為其豎直直徑。P點(diǎn)到桌面的豎直距離也為R。小球飛離桌面后恰由P點(diǎn)無(wú)碰撞地落入圓軌道,g=10m/s2,求:(1)小球在A點(diǎn)的初速度v0及AP間水平距離x;(2)小球到達(dá)圓軌道最低點(diǎn)N時(shí)對(duì)N點(diǎn)的壓力;(3)推斷小球能否到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)M。解析:(1)小球由A點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng),在P點(diǎn)恰好沿圓軌道的切線進(jìn)入軌道,則小球在P點(diǎn)的豎直分速度為vy=v0tan45°=v0由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得vy=gt,R=t,x=v0t解得v0=4m/s,x=1.6m。(2)小球在P點(diǎn)的速度為v==4m/s小球從P點(diǎn)到N點(diǎn),由動(dòng)能定理得mgR(1-cos45°)=m-mv2小球在N點(diǎn),由牛頓其次定律得FN-mg=m解得小球所受支持力FN=11.17N由牛頓第三定律得,小球?qū)點(diǎn)的壓力為FN′=11.17N,方向豎直向下。(3)假設(shè)小球能夠到達(dá)M點(diǎn),對(duì)小球由P點(diǎn)到M點(diǎn)由動(dòng)能定理得mgR(1+cos45°)=mv2-mv′2解得v′=m/s小球能夠完成圓周運(yùn)動(dòng),在M點(diǎn)應(yīng)有mg≤即vM≥=m/s由v′<vM知,小球不能到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)M。答案:(1)4m/s1.6m(2)11.17N方向豎直向下(3)見(jiàn)解析1.(圓周運(yùn)動(dòng)中各物理量的關(guān)系)(多選)如圖所示,摩天輪懸掛的座艙在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。座艙的質(zhì)量為m,運(yùn)動(dòng)半徑為R,角速度大小為ω,重力加速度為g,則座艙(BD)A.運(yùn)動(dòng)周期為B.線速度的大小為ωRC.受摩天輪作用力的大小始終為mgD.所受合力的大小始終為mω2R解析:由于座艙做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由公式ω=,解得T=,故A錯(cuò)誤;由圓周運(yùn)動(dòng)的線速度與角速度的關(guān)系可知,v=ωR,故B正確;由于座艙做勻速圓周運(yùn)動(dòng),所以座艙受到摩天輪的作用力是變力,不行能始終為mg,故C錯(cuò)誤;由勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合力供應(yīng)向心力可得F=mω2R,故D正確。2.(圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析)奧運(yùn)會(huì)單杠競(jìng)賽中有一個(gè)“單臂大回環(huán)”的動(dòng)作,難度系數(shù)特別大。假設(shè)運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量為m,單臂抓單杠身體下垂時(shí),手掌到人體重心的距離為l。如圖所示,在運(yùn)動(dòng)員單臂回轉(zhuǎn)從頂點(diǎn)倒立轉(zhuǎn)至最低點(diǎn)過(guò)程中,可將人體視為質(zhì)量集中于重心的質(zhì)點(diǎn),且不考慮手掌與單杠間的摩擦力,重力加速度為g,若運(yùn)動(dòng)員在最低點(diǎn)的速度為2,則運(yùn)動(dòng)員的手臂拉力為自身重力的(D)A.2倍 B.3倍C.4倍 D.5倍解析:對(duì)運(yùn)動(dòng)員在最低點(diǎn)受力分析,由牛頓其次定律可得,F-mg=m,解得F=5mg,D項(xiàng)正確。3.(水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng))質(zhì)量為m的飛機(jī)以恒定速率v在空中水平回旋,如圖所示,其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,重力加速度為g,則此時(shí)空氣對(duì)飛機(jī)的作用力大小為(C)A.m B.mgC.m D.m解析:飛機(jī)在空中水平回旋時(shí)在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),受到重力和空氣的作用力兩個(gè)力的作用,其合力供應(yīng)向心力F向=m。飛機(jī)受力狀況如圖所示,依據(jù)勾股定理得F==m。4.(豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng))如圖所示,長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿,一端固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球,另一端固定在水平轉(zhuǎn)軸O上,現(xiàn)讓桿繞轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng),角速度為ω,某時(shí)刻桿對(duì)球的作用力恰好與桿垂直,則此時(shí)桿與水平面的夾角θ滿意(A)A.sinθ= B.tanθ=C.sinθ= D.tanθ=解析:由題意知,因小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng),合外力供應(yīng)向心力,故小球受合外力的方向沿桿指向O點(diǎn),對(duì)小球受力分析如圖所示,受重力與桿的作用力,所以有sinθ=,A正確。5.(圓周運(yùn)動(dòng)的最值問(wèn)題)蛙式電動(dòng)打夯機(jī)是一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、操作便利的夯實(shí)機(jī)械,在建筑施工中被廣泛采納。本機(jī)主要是由夯頭架、傳動(dòng)裝置、前軸裝置、拖盤(pán)、操縱手柄、電器設(shè)備和潤(rùn)滑系統(tǒng)等組成。如圖1為電動(dòng)打夯機(jī)的實(shí)物圖,圖2是其工作原理的示意圖,在電動(dòng)機(jī)的軸上裝一個(gè)偏心飛輪,飛輪的質(zhì)量為m,其重心離軸心的距離為r,裝置其余部分的質(zhì)量為M,當(dāng)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),打夯機(jī)的底座在地面上跳動(dòng)將地面筑緊。則為了使機(jī)座跳離地面(A)A.電動(dòng)機(jī)的最小角速度應(yīng)是B.電動(dòng)機(jī)的最小角速度應(yīng)是C.電動(dòng)機(jī)的最大角速度應(yīng)是D.電動(dòng)機(jī)的最大角速度應(yīng)是解析:當(dāng)偏心飛輪轉(zhuǎn)至圖中最高點(diǎn),且偏心飛輪對(duì)機(jī)座向上拉力F1=Mg時(shí),機(jī)座對(duì)地面的壓力為零,機(jī)座將跳離地面。則對(duì)于偏心飛輪在最高點(diǎn)時(shí),機(jī)座對(duì)偏心飛輪的向下拉力大小為F1′=F1,依據(jù)牛頓其次定律有F1′+mg=mr,電動(dòng)機(jī)的最小角速度應(yīng)是ω0=。6.(圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的結(jié)合)如圖所示,四分之一圓弧軌道的圓心O1和半圓軌道的圓心O2,與斜面體ABC的豎直面AB在同一豎直面上,兩圓弧軌道連接處的距離忽視不計(jì),斜面體ABC的底面BC是水平面,一個(gè)視為質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)量m=0.2kg的小球從P點(diǎn)靜止釋放,先后沿兩個(gè)圓弧軌道運(yùn)動(dòng),最終落在斜面體上(不會(huì)彈起),不計(jì)一切摩擦,已知AB=9m,BC=12m,O2A=1.1m,四分之一圓弧的半徑和半圓的半徑都是R=0.6m,g取10m/s2。求:(1)小球在半圓最低點(diǎn)Q對(duì)軌道的壓力;(2)小球落在斜面上的位置到A點(diǎn)的距離。解析:(1)由機(jī)械能守恒mg·3R=m分析小球在Q點(diǎn)受力有FN-mg=再由牛頓第三定律知FN′=FN聯(lián)立解得FN′=14N,方向豎直向下。(2)小球離開(kāi)Q后做平拋運(yùn)動(dòng),如圖水平方向上有x=vQ·t豎直方向上有y=gt2又由幾何關(guān)系得QA=O2A-R=0.5mx=L·cosθy=QA+L·sinθtanθ==聯(lián)立解得L=7.5m。答案:(1)14N方向豎直向下(2)7.5m1.(2024·浙江4月選考,4)A,B兩艘快艇在湖面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖),在相同時(shí)間內(nèi),它們通過(guò)的路程之比是4∶3,運(yùn)動(dòng)方向變更的角度之比是3∶2,則它們(A)A.線速度大小之比為4∶3B.角速度大小之比為3∶4C.圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為2∶1D.向心加速度大小之比為1∶2解析:圓周運(yùn)動(dòng)中線速度定義為單位時(shí)間內(nèi)的圓弧長(zhǎng),即v=,則線速度之比為4∶3,A正確;角速度