§5.4平面向量的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：知識梳理問題類型所用知識公式表示線平行、點共線等問題向量共線定理a∥b?

?

，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直問題數(shù)量積的運算性質(zhì)a⊥b?

?

，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b為非零向量a＝λbx1y2－x2y1＝0a·b＝0x1x2＋y1y2＝0夾角問題數(shù)量積的定義cos

θ＝

(θ為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量長度問題數(shù)量積的定義|a|＝

＝

，其中a＝(x，y)，a為非零向量(2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟：平面幾何問題

向量問題

解決向量問題

解決幾何問題.2.向量與相關(guān)知識的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))，解析幾何結(jié)合，常通過向量的線性運算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問題.知識拓展2.若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，則向量(A，B)與直線l垂直，向量(－B，A)與直線l平行.幾何畫板展示思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若

，則A，B，C三點共線.(

)(2)若a·b＞0，則a和b的夾角為銳角；若a·b＜0，則a和b的夾角為鈍角.(

)(3)在△ABC中，若<0，則△ABC為鈍角三角形.(

)√××√考點自測1.已知向量a＝(cos

θ，sinθ)，b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值為____.答案解析4設(shè)a與b夾角為α，∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4|a||b|cos

α＝8－8cosα，∵α∈[0，π]，∴cos

α∈[－1，1]，∴8－8cosα∈[0，16]，即|2a－b|2∈[0，16]，∴|2a－b|∈[0，4].∴|2a－b|的最大值為4.1∶2答案解析設(shè)D為AC的中點，如圖所示，連結(jié)OD，從而容易得△AOB與△AOC的面積之比為1∶2.3.(2016·泰州模擬)平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點A(1，2)與動點P(x，y)滿足

＝4，則點P的軌跡方程是______________(填“內(nèi)心”、“外心”、“重心”或“垂心”).x＋2y－4＝0答案解析即x＋2y＝4.答案解析幾何畫板展示1答案解析取AB的中點D，連結(jié)CD、CP(圖略).題型分類深度剖析題型一向量在平面幾何中的應(yīng)用例1

(1)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點.若

＝1，則AB＝____.答案解析在平行四邊形ABCD中，重心答案解析所以點P的軌跡必過△ABC的重心.引申探究內(nèi)心答案解析所以點P的軌跡必過△ABC的內(nèi)心.向量與平面幾何綜合問題的解法(1)坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.(2)基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進行求解.思維升華答案解析等邊5答案解析以D為原點，分別以DA，DC所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝a，DP＝y(tǒng).則D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，由點P是腰DC上的動點，知0≤y≤a.2x＋y－3＝0答案解析∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11.由k<0可知k＝－2，則過點(2，－1)且斜率為－2的直線方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.答案解析∴OM是圓的切線，設(shè)OM的方程為y＝kx，向量在解析幾何中的“兩個”作用(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.(2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法.思維升華答案解析∵圓心O是直徑AB的中點，題型三向量的其他應(yīng)用命題點1向量在不等式中的應(yīng)用答案解析令z＝2x＋y，依題意，不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)，觀察圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點C(1，1)時，zmax＝2×1＋1＝3，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點F(a，a)時，zmin＝2a＋a＝3a，命題點2向量在解三角形中的應(yīng)用答案解析∴△ABC最小角為角A，利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數(shù)、不等式結(jié)合起來，解題時通過定義或坐標(biāo)運算進行轉(zhuǎn)化，使問題的條件結(jié)論明晰化.思維升華解析答案方法一以直線n為x軸，過A且垂直于n的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(0，3)，B(x1，2)，C(x2，0)，

三審圖形抓特點審題路線圖系列審題路線圖答案解析返回由E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，作點C的對稱點M，作MF⊥x軸，垂足為F，如圖.返回課時作業(yè)12345678910111213141.(教材改編)已知平面向量a，b，滿足|a|＝

，|b|＝2，a·b＝－3，則|a＋2b|＝_____.答案解析2.(教材改編)已知|a|＝1，|b|＝

，且a⊥(a－b)，則向量a與向量b的夾角為_____.答案解析∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝0，又∵〈a，b〉∈[0，π]，12345678910111213143.(2016·南京模擬)已知向量a＝(cos

α，－2)，b＝(sinα，1)且a∥b，則sin2α＝_____.答案解析由a∥b得cos

α＋2sinα＝0，∴cos

α＝－2sinα，又sin2α＋cos2α＝1，1234567891011121314答案解析12345678910111213145.已知點A(－2，0)，B(3，0)，動點P(x，y)滿足

＝x2，則點P的軌跡是________.拋物線答案解析∴y2＝x＋6，即點P的軌跡是拋物線.1234567891011121314答案解析則銳角θ＝_____.1234567891011121314方法一由向量的幾何意義可知，于是對角線相等的平行四邊形為矩形，故OA⊥OB.所以cos

θ－sinθ＝0，即sinθ＝cos

θ，12345678910111213141234567891011121314－8答案解析設(shè)∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，由余弦定理得：a2＝16＋a2－8acosθ，∴acos

θ＝2，12345678910111213148.(2016·南京模擬)已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為.以a，b為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對角線中較短的一條的長度為______.答案解析∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b∴|a＋b|>|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，12345678910111213142答案解析1234567891011121314答案解析1234567891011121314方法一建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(4，0)，D(0，4)，C(1，4).又點P在直線BC上，即3n＋4m＝4，123456789101112131412345678910111213141234567891011121314解答(1)若a⊥b，求tanα的值；因為a⊥b，1234567891011121314(2)若a∥b，求α的值.解答1234567891011121314123456789101112131412.已知向量a＝(cos

α，sinα)，b＝(cos

β，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝

，求證：a⊥b；證明由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因為a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.解答(2)設(shè)c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值.因為a＋b＝(cos

α＋cos

β，sinα＋sinβ)＝(0，1)，由此得，cos

α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.1234567891011121314(1)求內(nèi)角A的大??；解答1234567891011121314解答1234567891011121314由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bccosA，14.設(shè)向量a＝(cos

ωx－sinωx，－1)，b＝(2sinωx，－1)，其中ω>0