第五板塊I解析幾何

層級(一)目標學法教學定位

逐解?四IT考法

梯度進階提能基礎性考法！自主評價咱我補短二輪復習前的自查熱身

基礎考法(一)直線的方程

[評價?診斷]

1.已知直線2x-)，+l=0與直線x+/即+2=0垂直，則血=()

1

B.

A.—22

C.2D-2

解析：選C當〃?=0時，x+my+2=0=x=—2,由2x—y+l=0知y=2x+l,斜率

為2,所以直線2x—)+1=0與x=-2不垂直，不符合題意；當機WO時，x+my4-2=

12

mmf

因為直線2x-『+l=0與在線x+〃9+2=0垂直，所以一、X2=-1,解得帆=2.

2.設直線，的方程為x-ysin〃+2=0,則直線，的頃斜角夕的范圍是()

A.[0,n]B.[j,同

弟,T]D.信,縱俘y]

解析：選C直線/的方程為與—ysin。+2=0,

當sinO=O時,直線方程為x=-2.傾斜角a=微.

12

x

當sin夕W0時，直線方程化為>=^—11<7z+藍m二i萬<z

斜率k=~7,

sin0

因為sinGW[-1,0)U(0,1],

所以々€(-8,-1]U[1,+8),

即tana￡(—8,—l]u[l,+8),又因為〃￡[(),江)，所以〃￡后，^)U^?,]

綜上可得，?e[j,.

3.(2022?常德一模)己知直線八：?x-4j-3=0,Z2：工一■+1=0,則“。=2”是“八〃

h”的()

A,充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：選A若八〃h則有一“2+4=0,

解得”=±2,當°=2時，介：2x—4j—3=(),

h：x-2y+l=0,l\//ht當。=-2時，

/i：2x+4y+3=0,/2:x+2_y+l=0,h//l2t

所以若/1〃自a=±2,所以“a=2”是“八〃/2”的充分不必要條件.

4.(2022?山東濟南二桃)已知拋物線方程為爐=4x,直線/：x+y+g=0,拋物線上一

動點P到直線I的距離的最小值為.

fx+y+6=0,

解析：設與直線/平行且與拋物線相切的直線方程為工+丁+〃2=0,由，得

［y2=4x

j2+4j4-4/n=0,則/=16—16/n=0,得加=1,

所以切線方程為x+y+l=0,

所以拋物線上一動點p到直線/的距離的最小值為/=匕，"=2手.

一也

答2g案：2子

［掃盲?補短］

習時，〃￡［°，+8),當時，斜率不存

傾斜角”與斜率攵的關系：當0,A

知識

盲點在，當九)時，女￡(一8,(

(D設宜線的方程時要注意其適用條件，如設點斜式時，要注意斜率不存在的情況；設

思維截距式時要注意截距為零的情況.

難點(2)已知直線的平行、垂直關系求參數(shù)值時，可以直接利用其系數(shù)的等價關系式求值，

也要注意驗證與X,>，軸垂直的特殊情況

基礎考法(二)圓的方程

［評價?診斷］

1.設甲：實數(shù)"V3；乙：方程始+/―x+3j+a=0是圓，則甲是乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選B若方程.d+y—x+3)，+a=o表示圓，

U'J(-l)2+32-4fl=10-4a>0,

解得

55

Va<3^/a<T,Y#V3,

???甲是乙的必要不充分條件.

故選B.

2.已知圓。的圓心是坐標原點0,且被直線2x-j+5=0截得的弦長為4,則圓。的

方程為()

A.x2+j2=4B.x2+y2=S

C./+戶=5D.x2+j2=9

解析：選D由題意，設圓0的標準方程為/+產(chǎn)=戶，

則圓心0(0,0)到直線2x-j+5=0的距離為

又由圓O被直線2x-y+5=0截得的弦長為4,

可得2y產(chǎn)霹=4,化簡得戶一(4)2=4,

解得r=9,即圓的方程為X2+"=9.

3.已知圓C的圓心坐標是(0,/〃)，若直線2x—y+3=0與圓。相切于點4(2,7),則圓C

的標準方程為.

解析：如圖所示，，

q2x-y+3=0

由圓心Q0,〃[)與切點A的連線與切線垂直，(舉/

得苓二￡=一：，解得陽=8.所以圓心為(0,8),y

.____________775

半徑為r=.(2_0)2+(7—8)2=<5.

所以圓C的標準方程為d+°,—8)2=，

答案：好+3—8)2=5

4.(2022?全國乙整)過四點(0,0),(4,0),(—1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為

解析：若圓過(0,0),(4,0),(—1,1)三點，設過這三點的圓的一般方程為好+產(chǎn)+m+后),

[F=0,D=-4,

+"=0,分別將三點的坐標代入，可得“6+40+產(chǎn)=0,

解得?￡=一6,易得

12-O+E+尸=0,.尸=0,

—4F>0,所以過這三點的圓的方程為x24-y2—4x—6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13.

若圓過(0,0),(4,0),(4,2)三點，

設過這三點的圓的一般方程為/+產(chǎn)+。丫+協(xié)+尸=0,分別將三點的坐標代入,

r=0,fD=-4,

可得T6+4O+尸=0,解得，￡=一2,易將"2+￡2—4尸＞0,所以過這三點的

.20+40+2￡+F=0,1F=0,

圓的方程為爐+產(chǎn)一4工一2/=0,即(工一2)2+。-1)2=5.

若圓過(0,0),(—1,1),(4,2)三點，設過這三點的圓的一般方程為x2+$2+&x+Ey+/=0,

|F=0,

分別將三點的坐標代入，可得，2—。+￡+產(chǎn)=0,

［20+4。+2￡+戶=0,

易得^+科一”,。，所以過這三點的圓的方程為x24-j2-1.v-yy

=0,即(廣令+卜券專

若圓過(4,0),(—1,1),(4,2)三點，設過這三點的圓的一般方程為x24-j24-Dx+Ej+F=0,

分別將三點的坐標代入，

16+4&+尸=0,

2-O+E+產(chǎn)=0,解得5易得。+￡2—44＞。，所以過這三點

20+4。+2￡+尸=0,.16

1F=F

的圓的方程為產(chǎn)+產(chǎn)一與%—2y一學=0,即§2+。-1)2='^.

答案：(x—2)2+(y—3)2=13或(X—2產(chǎn)+&-1)2=5或(x—S+Q—5二竽或1—

(o-D2=-g)

［掃盲?補短］

求圓的方程主要方法有兩種

(1)幾何法求圓的方程，根據(jù)圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫

方法疑點出方程.

(2)待定系數(shù)法求圓的方程時，若已知條件與圓心(即力)和半徑r有關，則設圓

的標準方程，否則選擇圓的一般方程

思維難點求圓的方程時要注意應用圓的幾何性質，即應用數(shù)形結合的思想方法

基礎考法(三)直線與圓、圓與圓的位置關系

［評價?診斷］

1.過拋物線V=4x焦點尸的直線與圓產(chǎn)+),2-I2x+27=O相切于點P,則|尸產(chǎn)|=()

A.3B.2小

C.4D.3A/2

解析：選C由題可得F(l,0),圓x2+j2-12x+27=o,即(x-6)2+y2=9,圓心為

(6,0),半徑為3,所以|PF|="(6—1)2—32=4.

2.過點作圓d+y2-2x-6j+2=0的切線/,貝心的方程為()

A.x+j—4=0B.x+y—4=0或x=3

C.x—j—2=0D,x+y—2=0或x=3

解析：選C根據(jù)題意，設圓一+產(chǎn)一2x—6y+2=0的圓心為C,

圓2x—6y+2=0,即任一Ip+G—3>=8,其圓心為

又由點M的坐標為(3,1),有(3—1)2+(1—3)2=8,即點〃在圓上，

則Ar.vK=1^7=—1,則切線的斜率k=l,

JJL

則切線的方程為j—l=x—3,

即x-y—2=0,故選C.

3.(2022?泅博一模)(多選諾圓G：/+爐=1與圓(工一〃)2+0—勿2=1的公共弦AS

的長為1,則下列結論正確的有()

A.a2+b2=l

B.直線AS的方程為2or+2by—3=0

C.A3中點的軌跡方程為好+),2=(

D.圓G與圓C2公共部分的面積為空一半

解析：選BC兩圓方程相減可得直線A〃的方程為〃+加一2or—2勿=0,即2ax+2Ay

一“2一力2=0,因為圓?的圓心為Ci(0,0),半徑為1,且公共弦A5的長為1,則G(0,0)到直

線2or+2勿一蘇一護=。的距離為*,所以一=W，解得。2+力2=3,所以直戰(zhàn)A8

274(出+的/

的方程為2QX+23=0,故A錯誤，B正確；由圓的性質可知直線GCA垂直平分線段A優(yōu)

所以G(0,0)到直線2"+2"一°2—62=0的距離即為48中點與點Ci的距離，設AB中點坐

標為(x,j),因此年/-0)2+&-0)2=乎,即必+尸》故C正確；

因為48=GA=G5=1,所以N3GA=?,即圓G中劣弧A5所對的圓心角為三，所以

n

扇形的面積為;XTTX12=%三角形GAE的面積為:X1X1X#=里,所以圓G與圓。2

Z7To224

公共部分的面積為2X島一坐用一堂故D錯誤.

［掃盲?補短］

（1）與圓的弦長有關的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,及

方法半弦長;，構成直角三角形的三邊，利用其關系來處理.

疑點（2）判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的

關系，一般不采用代數(shù)法

思想涉及圓的切線和弦長問題，一般都要連接圓心和切點，或圓心和弦的中點，利用數(shù)形

高點結合的思想方法求解

基礎考法（四）圓錐曲線的方程與簡單性質

［評價?診斷］

1.關于橢圓C：1+*=1（。＞力＞0）,有下面四個命題：甲：長軸長為4；乙：短軸長

為2；丙：離心率為:；T：右準線的方程為X=4；如果只有一個假命題，則該命題是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

解析：選B依題意，甲：4=2;乙：6=1;丙：?=；；?。?=4;』?甲、

a/ccci

丙、丁真命題，故乙為假命題.故選B.

2.雙曲線E與橢圓C：3+￡=1焦點相同且離心率是橢圓。離心率的小倍，則雙曲線

E的標準方程為（）

A.x2—\=1

X

D.-r—j7=l

解析：選C雙曲線E與橢圓C:?+?=1焦點相同，則焦點坐標為（一2,0）,（2,0）,橢

亞__

2_??

圓的離心率為布=訴?雙曲線的離心率為小設雙曲線實半軸長為明虛半軸

長為b,焦距為2c,則c=2,：=也=。=啦，工b=?

?，?所求雙曲線方程為：y—^-=1.

3.（2022?北京高考）已知雙曲線丁2+暮=1的漸近線方程為尸串，貝h"=.

解析：法一：依題意得///?）,雙曲線的方程可表示為爐一七=1,此時雙曲線的漸近

線的斜率為芍三

解得m=-3.

?V

法二：依題意得〃Y0,令V=0,

-yj-m…一

答案：一3

4.已知拋物線V=2pxW>0）,若過點（1,2）的直線/與拋物線恒有公共點，則p的值可

以是______.（寫出一個符合題意的答案即可）

解析：若點（1,2）在拋物線y2=2px（p>0）的內部或在拋物線上，則過點（1,2）的直線/與拋

物線恒有公共點，所以當工=1時，），=歷22,解得p22,

故答案為2（答案不唯一，不小于2的實數(shù)均正確）.

答案：2（答案不唯一，不小于2的實數(shù)均正確）

［掃盲?補短］

已知雙曲線的漸近線方程產(chǎn)治，可設雙曲線方程為今一臺M為常數(shù)），此

知識

盲點時雙曲線的離心率。=41+。2=41+公

（1）橢圜與雙曲線中參數(shù)的關系式弄混，橢圓中的關系式為出=加+〃，雙曲線

方法

中的關系式為〃=42+力2；

疑點

（2）圓錐曲線方程確定時還要注意焦點位置

［課時驗收評價］基礎性考法滿分練

1.已知直線or+2y+6=0與直線X+（G—1?+02—1=?；ハ嗥叫?則實數(shù)。的值為（）

A.-2B.2或一1

C.2D.-1

解析：選D直線ar+2y+6=0斜率必存在，

已知兩直線平行，則一尹一言，即/一〃一2=0,

解得a=2或a=—\,

當a=2時，兩直線重合，：.a=-L

v2x2

2.（2022?四川冰山二?。┮阎p曲線耳一不=L則下列說法正確的是（）

A.離心率為2B.漸近線方程為/x±y=O

C.焦距為26D.焦點到漸近線的距離為小

解析：選A因為雙曲線］一^n,所以”=也，b=*,c=yla2+b2=2^2,

所以離心率。：漸近線方程為尸與

==,=2;,即V5x±3y=0;

焦距為2c=46；焦點坐標為（0,±2，1）,焦點到漸近線的距離為*;普=#.

3.（2022?江蘇連云港模■擬）直線6=0與圓x2+j2=4相切，則〃？的值為（）

B.1

D.一，5

解析：選C因為直線wx—j+m+V5=0與圓x24-j2=4相切,

依+小|

所以由圓心到直線的距離等于半徑得：d=r,即=2,解得:

\而+[3.

4.已知從點（一5,3）發(fā)出的一束光線，經(jīng)X軸反射后，反射光線恰好平分圓：（x-l）2+（y

-1）2=5的圓周，則反射光線所在的直線方程為（）

A.2x-3j+l=0B.2x-3j-l=0

C.3x-2y+l=0D.3工一27—1=0

解析：選A設點A的坐標為（一5,3）,圓（工-1）2+。-1）2=5的圓心坐標為8（1,1）,

設C（X,O）是X軸上一點，因為反射光線恰好平分圓（X—1）2+。-1）2=5的圓周，

所以反射光線經(jīng)過點

由反射的性質可知：

3—0,1~01

匕c+kBc=0^_5_x+YZ^=0=>x=-e，

所以反射光線所在的直線方程為：了=能+?=2工-3/+1=0,

故選A.

5.（2022?廣東沏州二戰(zhàn)）唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽

火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在

觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？

在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為8（3,4）,若將軍從點4（一2,0）處出發(fā)，河岸線所在

直線方程為y=x,則“將軍飲馬”的最短總路程為（）

A.5B.3^5C.45D.5小

解析：選B因為點做一2,0）關于直線y=x的對稱點為A'（0,-2）,所以汝,身即為

“將軍飲馬”的最短總路程，則“將軍飲馬”的最短總路程為|4‘川=屈導=3鄧.

6.（2022?河北府山二橫）F為拋物線C：V=4x的焦點，點MQ〃,4）在C上，直線M尸交

C的準線于點N,則甲N|=（）

D.12

解析：選B點在拋物線C:y2=4x>E,則42=4/〃，解得加=4,則M（4,4）,

又拋物線C："=4丫的焦點準線工=-1,

則直線MF的方程為4x—3y—4=0,

則A(-1,

則?尸網(wǎng)=4(一]_1)2+(-卜。＞=?

7.在圓M：12+產(chǎn)-2丫-3=。中，過點￡(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和8”,則

四邊形A8CO的面積為()

A.2\[2B.4\12

C.672D.8啦

解析：選B圓M:x24-j2—2x—3=0,即M:(x-1戶+)，=4,圓心為Af(l,0),半徑r

=2,

又|;WF|=^l2+(-l)2=V2,

所以過點￡(0,1)的最長弦|AC|=2r=4,

最短弦一例=2阿眉一|MEF=26,

且最短弦與最長弦互相垂直，

所以S0邊射AW〃=5|AC|X|8。|=4噌，

故選B.

8.(2022?北京西城一模)已知點A為圓C：(x-mp+G，一機一1y=2上一點，點以3,0),

當機變化時，線段48長度的最小值為()

A.1B.2

C.A/2D.2^2

解析：選C由圓C:/1產(chǎn)=2,可得圓心C(/?,6+1),半徑為r=，5,

則|8C|=d(小-3)2+(/+1)2=42加一4.+10=42伽一療+8,

當〃?=1時，13cl取得最小值，最小值為13clm訪=2\傷，

所以級段AB長度的最小值2/一「=也.

9.(多選)已知直線/：Ax—y+2A=0和圓O：x24-j2=9,貝11()

A.直線/恒過定點(2,0)

B.存在左使得直線/與直線/o：x-2y+2=0垂直

C.直線/與圓。相交

D.若攵=-1,直線/被圓。截得的弦長為2s

解析：選BCD直線/:kx-y+2k=0f即y=A(x+2),則直線恒過定點(一2,0),故A

錯誤；

當A=—2時，直線/:Ax—y+2A=。與直線/():x—2y+2=0垂直，故B正確；

???定點(-2,0)在圓O:3+)，2=9內部，

???直線/與圓O相交，故C正確；

當&=-1時，直線/化為一工一）-2=0,即x+y+2=0,

圓心O到直線的距離d巧卜區(qū)

直線/被圓。截得的弦長為2，/=2巾，故D正確，

故選B、C>D.

10.（多選）點尸在圓G：爐+產(chǎn)=1上，點。在圓G：3―3）2+。+4）2=16上，則（）

A.|PQ|的最小值為0

B.兩圓公切線有兩條

兩個圓心所在的直線斜率為一;

C.

D.兩個圓相交弦所在直線的方程為3x-4j-5=0

解析：選AC由圓的方程知：圓G的圓心G（0,0）,半徑門=1;圓C2的圓心。2（3,-

半徑r2=4；

A|CiC2|=1(0—3)2+(0+4)2=5=r,4-r2,

:.兩圓外切：

對于A,若P,。重合，為兩圓的切點，則|PQmin=（）,A正確;

對于B,兩圓外切，則公切線有3條，B錯誤；

-4-04

對于C,AGC、=^ZT=一C正確;

對于D,,??兩圓外切，.??兩個圓不存在相交弦，D錯誤.

2

11.（多選）設橢圓5+1=1的右焦點為F,直線產(chǎn)皿0V/〃V6）與橢圓交于4,3兩點,

則（）

A.|4尸|+陽F|為定值

B.△/!〃尸的周長的取值范圍是[6,12]

c.當加=當時，尸為直角三角形

D.當加=1時，4AB廣的面積為加

解析：選ACD設橢圓的左焦點為尸,，則|4尸'|=|"|

所以|4尸|+|3「|=|4川+|4戶'|=6為定值，A正確；

尸的周長為|4團+|AF|+|B尸L因為|4F|+|8F|為定值6,

且汝用的取值范圍是（0,6）,所以△AB尸的周長的取值范圍是（6,12）,B錯誤；

將了=坐與橢圓方程聯(lián)立解得A（一乎，用，E殍，嗡，又因為尸（逃，0）,

所以方?蘇=Q^+啕—唆)+償)2=0,

所以尸為直角三角形，C正確；

將_y=l與橢圓方程聯(lián)立，解得4(一,,1),B即,1),所以SASF=；X2#X1=#,

D正確.

12.(多選)在平面直角坐標系X。)，中，點M(4,4)在拋物線V=2px(p>0)上，拋物線的焦

點為F,延長MF與拋物線相交于點N,則下列結論正確的是()

A.拋物線的準線方程為x=-l

B.|MN|=?

C.△QWN的面積為9

D.|MF|+|NP|=|MF||AT|

解析：選AD??,點M(4,4)在拋物線V=2px(p>0)上，.\42=8p=>p=2,

Ay2=4x,焦點為/(1,0),準線為x=-l,A正確，因為M(4,4),

44

4-0-^

故呢尸石J3y

j2=4x,

廠%_])=>y(x—l)2=4x,解得x=[或x=4,???心，-1J,

聯(lián)立1

???|MF|=4+^=5,|NF|=；+§=*.??|MN|=5+?=m，B錯誤,

251I

正確，△的面積為卜一網(wǎng))=

|Mr|+|NF|=|MN|=j=*T|MFHNF],DOWN7/|0F3”5/><1X5

=5.故C錯誤，故選A、D.

13.(2022?天洋一模)直線/：x-y—〃7=0被圓C：/+產(chǎn)一心+6)，一3=0截得的弦長為

472,則加的值為.

解析：/+/一4x+6y—3=0=(x—2)2+(y+3)2=16,

圓心C(2,—3),半徑r=4,圓心C到直線/的距離d=邑士去辿=叵盡”

則2,2一\=4噌,即16一"二一>=8,

解得/n=9或1.

答案：1或9

14.(2022W寧鞍山一中模擬)與橢圓正+為=1有公共焦點，且離心率e=1的雙曲線方

程為.

解析：由左吟=1可得焦點坐標為（0,-5）,（0,5）,

由題意設雙曲線方程為￡一/=1（〃>0,力>0）,則

c=5,

C=5,1,22

所以〃2=。2一“2=25—16=9,所以雙曲線方程為臺一x言

c=5得,

a=V”=4,ioy

答案：^-f=i

15.漸近線方程為且過點P（小，2小）的雙曲線方程為.

v-hf—312

解析：若雙曲線的焦點在X軸上，設雙曲線方程為3一1=1,%=小且方一首=1,無

解；若雙曲線的焦點在y軸上，設雙曲線方程為5—番=1,則戶小且點一i=1,得〃=3,

從=1,則雙曲線方程為手一工2=1.

答案：（一%2=1

16.（2022?北京海淀二模）已知圓C：/+產(chǎn)+2*=0,則圓C的半徑為；若直線

y=Ax被圓C截得的弦長為1,貝！H=.

解析：將爐+產(chǎn)+2%=0化為標準式得（x+l）2+j，2=l,故半徑為1；圓心（-1,0）到直線），

1^―川

=kx的距離為丙，由弦長為1可得2「IM「1,解得〃=±v5.

答案：1R5

層級（二）：目標學法放學定位

逐解?四IT考法

梯度進階提能綜合性考法?深化學習?精細研究二輪復習的重心所在

微專題（一）圓的綜合問題

命題點（一）公共弦問題

［例1］過圓M：（x—1產(chǎn)+爐=4內一點A（2,l）作一弦交圓于〃，C兩點，過點〃，C分

別作圓的切線尸叢PC,兩切線交于點P,則點尸的軌跡方程為（）

A.>—5=0B.x+y+5=0

C.x+y—5=0D.x—j—5=0

［關鍵點撥］

設尸點坐標為（刈，加），寫出以MP為直徑的圓的方程，作差求得公共弦所在直線

切入點

的方程，將點4（2,1）代入方程，由此得出結論

障礙點確認點A在兩圓的公共弦上

［解析］設尸點坐標為（xo,jo）,

根據(jù)圓的直徑式方程知，以MP為直徑的圓的方程為（X—l）（x—x（））+y（j—則）=0，

兩圓方程作差可得公共弦BC的方程為（x（）—l）x+??—xo—3=0,

而4（2,1）在直線8C上，??.xo+y（）-5=O,故點尸的軌跡方程為x+j—5=0,故選C.

［答案］C

［例2］（2022?山東臨沂二模）若圓G：x2+j2=l與圓G：（X一。）2+。一加2=［的公共弦

AB的長為1,則直線標*+2力2），+3=0恒過定點M的坐標為.

［關鍵點撥］

先求出公共弦所在直線方程，由公共弦A3的長為1結合圓中弦長公式求得〃2+

切入點

b?=3,將直線轉化為〃2。-2/）+6/+3=0,解方程組即可求得定點坐標

障礙點求公共弦AB所在的直線方程

關鍵點尋求。和力的關系式

［解析］由G：爐+，=1和。2：（x-a）2+（y-b）2=\可得公共弦所在直線方程為~+產(chǎn)

—［（X—a）24-（y—b）2］=0,

即2ax+2by-42—82=。，由公共弦的長為1可得直線2ax+2勿一蘇一62=。與圓g：

/+戶=1相交弦長即為1,

又圓心到直線的距離吊建=早，

故（耳％,

即一+4=3,

故直線。2工+26），+3=0,可化為“2*+（6—2/？）），+3=0,整理得〃23—2y）+6y+3=0,

Jx—2j=0,故定點M的坐標為（一1，-1）.

由6j+3=0,解得，1

[y=~r

［答案］（-1,一;）

U方法技巧

（1）若兩國相交，則兩圓公共強所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去產(chǎn)項得到.

⑵求兩圓公共弦長，在其中一圓中，由弦心距d,半弦長〈，半徑「構成直角三角形，利

用勾股定理求解.

（3）兩圓公共弦的垂直平分線過圓的圓心.

［囹■對訓練

1.己知圓Ci：一/x—3=0平分圓Cl(x—1產(chǎn)+6-2產(chǎn)=4的周長,則m=(

A.2B.4C.6D.8

解析：選C由圓Ci：工2+）口—〃a—3=0平分圓G：（x—l）2+（y—2）2=4的周長可知,

圓G經(jīng)過圓。2的一條直徑的兩個端點，所以圓。2的圓心在圓G與圓。2的公共弦上，兩圓

方程相減整理得圓G與圓C'2的公共弦所在直線的方程為（2—Mx+4y—4=0,又圓心C'2（l,2）,

所以2—利+8—4=0,所以m=6,故選C.

2.已知圓Oi：，+）,2—2x—3=0與圓。2：/+了2—4x+2y+3=0相交于點A,B,則四

邊形AO/O2的面積是（）

A.1B.2C.3D.4

解析：選B根據(jù)條件易知01（1,0）,。2（2,—1）,所以|。1。2|=&,圓Onx2-}-y2—2x

-3=0的半徑為2,

圓彷：爐十產(chǎn)一〃-3=0與圓。2：x2+y2-4x+2），+3=0相交于點A,B,

|1一0一3|

A3的方程為：2x—2j—6=0.即x—y—3=0,圓心。|到A3的距離為：=小,

于是|4網(wǎng)=2啦，因為

所以四邊形AO由S的面積為：||A^||OIO2|=|X2^2X72=2.

命題點（二）隱圓問題

在題設中沒有明確給出圓的相關信息，而是隱含在題目中，要通過分析、轉化、發(fā)現(xiàn)圓

（或圓的方程），從而最終利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱圓問題”.

［例1］已知點4（一5,—5）在動直線/〃x+〃y—〃L3〃=0上的射影為點3,若點。（5,

一1）,那么歸C|的最大值為（）

A.16B.14C.12D.10

［解析］動直線的方程可變形為/〃（工-1）+〃。-3）=0,所以，該直

線過定點0（13）?

又因為點?1（—5,—5）在動直線mx+盯一〃1—3〃=0上的射影為點火

B,所以，NA%=90。，T

設線段AQ的中點為點M,貝UM（—2,-1）,

由直角三角形的基本性質可得13Ml=3履0|=1\/（-5—1）2+（—5—3>=5,

所以點B在以線段AQ為直徑的圓上，即點B在圓漢+2）2+。+1產(chǎn)=25上，

又因為點C（5,-1）,故|CM|=Y（5+2）2+02=7,因此，陽C|max=|CM|+5=7+5=12.

［答案］C

［例2］若平面內兩定點A,B之間的距離為2,動點尸滿足|尸"|=也心|,則tan/AHP

的最大值為（）

C.^2D.5

［關鍵點撥］

由題意，建立坐標系后，設點4(-1,0),8(1,0),根據(jù)題意，求出動點P

切入點

的軌跡方程，再數(shù)形結合即可求解

隱藏點根據(jù)動點P滿足|尸8|=也心|確定動點P的軌跡

遷移點數(shù)形結合，利用直線和圓的住置關系確定使tanNA〃產(chǎn)最大的點P

［解析］以經(jīng)過A,6的直線為x軸，線段A〃的垂直平分線為y

軸，建立直角坐標系，

?4(-1,0),3(1,0),設P(x,j),V|PB|=V2|M|,

.^/(x-l)2+yr-

??、(x+iy+y2，

兩邊平方整理可得：#+6丫+爐+1=0=(工+3)2+),2=8,

即動點P的軌跡是以(一3,0)為圓心，以2位為半徑的圓,

當點P在如圖所示的位置時，tanNA3尸的值最大，

,“口2」2］

tan々BP-|p用一尸工一1.

［答案］B

口方法技巧

發(fā)現(xiàn)確定隱圓的主要方法

(1)利用圓的定義或E)的幾何性質確定像圓.

(2)在平面上給定相異兩點A,僅設點尸在同一平面上且滿足當幺>0且；

時，點尸的跳跡是個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓.

(3)兩定點A,B,動點P滿足京?何=人確定除圓.

［篇對訓練

1.在平面直角坐標系xQy中，已知圓C：爐+產(chǎn)-6^+5=0,點A,3在圓上，且|A5|

=2小，則|為T+蘇|的取值范圍是.

解析：設A(xi,ji),8(X2,力),43中點M(x',y').

W="q*2,=>1?2,...oX+o1=3+.,yi+y2)=2O此

2222

??,圓C:x4-j-6x+5=o,：.(x-3)+y=4t圓心C(3,0),半徑|CA|=2.

,?,點A,5在HOC上,|A3|=2巾,-CMF=&《I)，即|CM|=1.

點M在以C為圓心，半徑r=l的圓上.

???IOM210cl—r=3—I=2,IOMIW|0C|+r=3+1=4.

，24|蘇區(qū)4,，4W|N+而區(qū)8?

答案：［4,8］

2.已知圓0：x2+j2=l,圓M：3一2°)2+3—。+1)2=1,若圓M上存在點P,過點尸

作圓。的兩條切線，切點為A,B,使得N4P8=60。，則a的取值范圍是.

解析：圓。的半徑為1,圓M上存在點憶過點P作圓。的兩條切線.，

切點分別為4,B,使得N4P8=60。，則N4PO=30。，

在RIZ\R1O中，|PO|=2,所以點尸在圓x2+/=4上，

由于點尸也在圓M上，故兩圓有公共點.又圓M的半徑等于1,圓心坐標M(2a,a-

.,?2—1W|OM|W2+1,.”-1444a2+(a—1)2M2+10-~~0U,

答案:"雪,。］平,乎

命題點(三)與圓有關的最值、范圍問題

與圓相關的最值問題上，主要考查與圓相關的參數(shù)范圍問題、與圓相關的長度或面積的

最值問題.除了以選擇題、填空題的形式考查外，有與圓錐曲線相結合的考查趨勢.

［例1］(2022?新高考II卷)設點A(—2,3),b(0,a),若直線A5關于)，=。對稱的直線與

圓(X+3)2+°，+2)2=1有公共點，則a的取值范圍是.

［解析］由題意知點A(—2,3)關于直線y=a的對稱點為A'(—2,2。-3),所以kvB=

3—a3—a

F-,所以直線4'3的方程為)，=一廠x+%即(3—。氏一2/+2。=0.由題意知直線4'B與

圓(x+3)2+(y+2)2=l有公共點，易知圓心為(-3,-2),半徑為1,所以

|-3(3-a)+(-2)X(—2)4~2a|13

近1,整理得6層一Ua+3W0,解得:《興所以實數(shù)。的取

?(3-a)2+(-2>

值范圍是I］.

［例2］已知直線，：*一)，+1=0,若P為，上的動點，過點P作。C：

(x-5)2+y=9的切線PA,PB,切點為A,B,當|PCH43最小時，直線

AB的方程為.

［關鍵點撥］

由已知結合四邊彩面積公式及三角形面積公式可得;|PCHA8|=3訴不三，說明

切入點

要使IPCHA8I最小，則需|PC|最小，此時PC與直線/垂直，寫出尸。所在直線方

程解方程求解即可

障礙點求|PCH4B|的最值不會轉化為求|PC|的最值

反思點距離問題一般要應用數(shù)形結合的思想方法

[解析]OC：(X—5戶+)2=9的圓心C(5,0),半徑r=3,

???四邊形PACB的面積S=^\PC\-\AB\=2S^AC=\PA\-\AC\=3\PA\=yJ\PCf-9t

???要使IPCHABI最小，則需|PC|最小，

當PC與直線/垂直時，|尸。最小，此時直線PC的方程為$=一丫+5,

聯(lián)立心二二1I解得P(2,3),則以PC為直徑的圓的方程為(*-9+{?'一5=也

則兩圓方程相減可得直線AB的方程為x-y-2=0.

【答案]x-j-2=0

U方法技巧

(1)距離最小，最大等常常涉及圓上一點到直線的距離最值問題、切線長最值問題、圓上

動點與其他曲線兩動點間的距離最值問題、過定點的圓的弦長最值問題等，這些問題常常利

用平面幾何知識或圓的參數(shù)方程或設81上點的坐標，直接求出最值或轉化為函數(shù)的最值問題

求解.

(2)與圓的面積有關的最值問題，一般轉化為尋求圓的半徑相關的函數(shù)關系或者幾何圖形

的關系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有時可以通過轉化思想，

利用數(shù)形結合思想求解.

曲對訓練

1.已知圓C:X2-4X+J2-21=0,過點P的直線/被圓C所截，且截得最長弦的長度

與最短弦的長度比值為5：4,若0為坐標原點，則|OP|最大值為()

A.3B.4C.5D.6

解析：選C由題意，圓C:(x-2)2+y2=25,所以圓C是以(2,0)為圓心，半徑為5的

圓，

因為過點尸的直線,被圓C所截，且裁得最長弦的長度與最短弦的長度比值為5：4,

所以點尸在圓C內，且最長弦的長度為直徑長10,則最短弦的長度為8,

所以由弦長公式有小。=寸52—42=3,所以點尸的軌跡為以C(2,0)為圓心，半