線性規(guī)劃一一作圖與求解

一、基礎(chǔ)知識

（1）線性約束條件：關(guān)于變量乂y的一次不等式（或方程）組

（2）可行解：滿足線性約束條件的解（x,y）

（3）可行域：所有可行解組成的集合

（4）目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于的函數(shù)解析式

（5）最優(yōu)解：是目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

2、如何在直角坐標(biāo)系中作出可行域：

（1）先作出圍成可行域的直線，利用“兩點唯一確定一條直線”可選取直線上

的兩個特殊點（比如坐標(biāo)軸上的點），以便快速做出直線

（2）如何判斷滿足不等式的區(qū)域位于直線的哪一側(cè)：一條曲線（或直線）將平

面分成若干區(qū)域，則在同一區(qū)域的點，所滿足不等式的不等號方向相同，所以可

用特殊值法，利用特殊點判斷其是否符合不等式，如果符合，則該特殊點所在區(qū)

域均符合該不等式，具體來說有以下三種情況：

①豎直線x=〃或水平線y=可通過點的橫（縱）坐標(biāo)直接進(jìn)行判斷

②一般直線初工0）：可代入（0,0）點進(jìn)行判斷，若符合不等式，則原

點所在區(qū)域即為不等式表示區(qū)域，否則則為另一半?yún)^(qū)域。例如：不等式

x-2y+3<0,代入（0,0）符合不等式，則x-2），+3V0所表示區(qū)域為直線

x-2），+3=0的右下方

③過原點的直線丁=入化=0）：無法代入（0,0）,可代入坐標(biāo)軸上的特殊點予以

解決，或者利用象限進(jìn)行判斷。例如：y<x：直線y=x穿過一、三象限，二、

四象限分居直線兩側(cè)。考慮第四象限的點x>0,yv0,所以必有yWx,所以第

四象限所在區(qū)域含在表示的區(qū)域之中。

（3）在作可行域時要注意邊界是否能夠取到：對于約束條件Rx,y）>0（或

F（x,y）<0）邊界不能取值時，在圖像中邊界用虛線表示；對于約束條件

F（x,y）>0（或尸（x,y）4O）邊界能取值時，在圖像中邊界用實線表示

3、利用數(shù)形結(jié)合尋求最優(yōu)解的一般步驟

（1）根據(jù)約束條件，在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域所代表的區(qū)域

（2）確定目標(biāo)函數(shù)z在式子中的幾何意義，常見的幾何意義有：（設(shè)為常數(shù)）

①線性表達(dá)式一一與縱截距相關(guān)：例如Z=G+切，則有丁=一@%+三，從而z的

bb

取值與動直線的縱截距相關(guān)，要注意人的符號，若b>0,貝”的最大值與縱截距

最大值相關(guān)；若bvO,則z的最大值與縱截距最小值相關(guān)。

②分式一一與斜率相關(guān)（分式）：例如z=T：可理解為z是可行域中的點

x-a

（x,y）與定點（a⑼連線的斜率。

③含平方和一一與距離相關(guān)：例如2=（/-°）2+（丁-32：可理解為z是可行域

中的點（x,y）與定點（a,b）距離的平方。

（3）根據(jù)z的意義尋找最優(yōu)解，以及z的范圍（或最值）

4、線性目標(biāo)函數(shù)影響最優(yōu)解選取的要素：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線斜率與約束條件直線

斜率符號相同時，目標(biāo)函數(shù)直線斜率與約束條件直線斜率的大小會影響最優(yōu)解的

選取。

x>0

v>0

例如：若變量工,），滿足約束條件，一:…，貝心-3x+4y的最大值等于—

3x+2y<12

x+2y<S

3

作出可行域如圖所示，直線3x+2y=12的斜率｛=-；,直線x+2y=8的斜率

I目標(biāo)函數(shù)的斜率％=-；4，所以％|<悶<%],所以在平移直線時，目

標(biāo)函數(shù)直線的傾斜程度要介于兩直線之間，從而可得

到在4（2,3）取得最優(yōu)解。但在作圖中如果沒有考慮

斜率間的聯(lián)系，平移的直線比x+2y=8還要平，則

會發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解在8（0,4）處取得，以及若平移的直線

比3x+2y=12還要陡，則會發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解在C（4,0）處取得，都會造成錯誤。所以

在處理目標(biāo)函數(shù)與約束條件的關(guān)系時，要觀察斜率的大小，并確定直線間“陡峭”

程度的不同。

（1）在斜率符號相同的情況下：網(wǎng)越大，則直線越“陡”

（2）在作圖和平移直線的過程中，圖像不必過于精確，但斜率符號相同的直線

之間，陡峭程度要與斜率絕對值大小關(guān)系一致，這樣才能保證最優(yōu)解選取的準(zhǔn)確

（3）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率與約束條件中的某條直線斜率相同時，有可能達(dá)到最值

的最優(yōu)解有無數(shù)多個（位于可行域的邊界上）

（4）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率含參時，涉及到最優(yōu)解選取的分類討論，討論通常以約

束條件中同符號的斜率作為分界點。

典型例題

x+2y>0

例1：若變量％），滿足約束條件r-y40,則z=2x-y的最小值等于（）

x-2y+2>0

A.--B.-2C.

2

思路：按照約束條件作出可行域，可得圖形為

一個封閉的三角形區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)化為：

y=2x-z,則z的最小值即為動直線縱截距的

最大值。目標(biāo)函數(shù)的斜率大于約束條件的斜率，

所以動直線斜向上且更陡。通過平移可發(fā)現(xiàn)在

A點處，縱截距最大。且A1+2y=°解得

x-2y+2=0

A所以z=2x-y的最小值Zmin=2?(-

<2y22

答案：A

x+y-2>0

例2：設(shè)變量x,y滿足約束條件卜-y-2V0,則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最小值為

”1

（）

A.2B.3C.4

思路：作出目標(biāo)函數(shù)的可行域，得到一個開放的區(qū)域，

目標(biāo)函數(shù)y+三，通過平移可得最優(yōu)解為

22

4：2所以Zmm=3

y=1

答案：B

p<l

例3：若變量羽y滿足xNy,則z=爐+）戶的最大值為（）

[x+y+2>0

思路：所求s=告可視為點（x,y）與定點（-1,-1）連線的斜率。從而在可行域中

尋找斜率的取值范圍即可，可得在（1,0）處的斜率最小，即3n=谷界=；,

結(jié)合圖像可得s=2里的范圍為

在（0,1）處的斜率最大，為々a_-2

-o-(-i)x+1

2

答案：D

x+y20

例5：若實數(shù)滿足條件?x-y+lNO,則|x-3y|的最大

0<x<l

值為（）

A.6B.5C.4D.3

思路：設(shè)z=x-3y,則可先計算出z的范圍，即可求出忖的

最大值：y=|x-1z,則最優(yōu)解為4（1,-1）,8（1,2）,所以z7-5,4],則區(qū)皿=5

答案：B

例6：設(shè)O為坐標(biāo)原點，點用的坐標(biāo)為（2,1）,若點N?y）滿足不等式組

x-4y+3<0

^2x+y-12<0,則使兩?兩取得最大值的點N的個數(shù)有（）

x>l

A.1B.2C.3D.無數(shù)個

思路：設(shè)z=麗??麗=2x+y,作出可行域，通過平移可發(fā)現(xiàn)達(dá)到最大值時，目

標(biāo)函數(shù)與直線2x+y-12=0重合，所以有無數(shù)多個點|\/

均能使OM-ON取得最大值

答案：D

x+y>0

例7：（2015,福建）變量滿足約束條件<x-2y+2NO,若z=2x-y的最大

ntx-y<0

值為2,則實數(shù)m等于（）

A.-2B.-1C.1D.2

思路：本題約束條件含參，考慮先處理常系數(shù)不等

式，作出圖像，直線y=的為繞原點旋轉(zhuǎn)的直線，

從圖像可觀察出可行域為一個封閉三角形，目標(biāo)函

數(shù)y=2x-z,若z最大則動直線的縱截距最小，可

觀察到A為最優(yōu)解。A:[X~2y+2=（）^

y=mx

z=2--------2"、=2，解得：tn=1

2m-12m-1

答案：C

x<\

例8：在約束條件7-尹小之0下，若目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y的最大值不超過4,

x+y-i>0

則實數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（一6,6）B.[O,V3]C.[-73,0]D.[一6,6]

思路；先做出常系數(shù)直線，動直線x->=0時注

意到病N0,斜率為常數(shù)1,且發(fā)現(xiàn)圍成的區(qū)域恒為一

個三角形。目標(biāo)函數(shù)y=2x+z,通過圖像可得最優(yōu)解

、34[x+y-l=o1+蘇）由

為>nA-----,-----，所以

2

x-y+m=0I22）

Znrn=_2」；+則■|m2_gw4解得：相

答案：D

x-y>0

例9：若變量滿足約束條件?x+)，W2,若z=or+y的最大值為4,則。=(

y>0

A.3B.2C.-2D.-3

思路：如圖作出可行域，目標(biāo)函數(shù)為y=-or+z,由于〃決定直線的方向，且約

束條件中的直線斜率有正有負(fù)。所以先考慮。的符號：、

當(dāng)一〃>()=avO時，此時與y=x的斜率進(jìn)行比較：、_____________

若-aNlnaK-1,貝”的最大值為0,不符題意；/I

若0<—avl=Tvav0,則最優(yōu)解為代入解得-----11_1,—

。=3與初始范圍矛盾，故舍去；當(dāng)-"0=>々>0時，|?

直線與x+y=2斜率進(jìn)行比較：

若—av—l=a>l,則最優(yōu)解為8(2,0),代入解得a=2,符合題意

若。=1,