第2課時(shí)函數(shù)的最大值、最小值必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)1.函數(shù)的最值(1)定義前提函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,且x0∈D,對(duì)任意x∈D條件都有___________都有___________結(jié)論最大值為f(x0),x0為最大值點(diǎn)最小值為f(x0),x0為最小值點(diǎn)最大值和最小值統(tǒng)稱為最值,最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)統(tǒng)稱為最值點(diǎn)f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)(2)求函數(shù)最值的方法:①配方法:主要適用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù),要特別注意自變量的取值范圍;②換元法:用換元法時(shí)一定要注意新變?cè)娜≈捣秶?③數(shù)形結(jié)合法:對(duì)于圖像較容易畫出的函數(shù)的最值問題,可借助圖像直觀求出;④利用函數(shù)的單調(diào)性:要注意函數(shù)的單調(diào)性對(duì)函數(shù)最值的影響,特別是閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

【思考】最值點(diǎn)是點(diǎn)嗎?提示:不是,是實(shí)數(shù)值,是函數(shù)值取得最值時(shí)的自變量x的值.2.直線的斜率(1)直線斜率的定義平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),①當(dāng)x1≠x2時(shí),稱為直線的斜率,記作;②當(dāng)_____時(shí),稱直線的斜率不存在.(2)直線的斜率與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系①函數(shù)遞增的充要條件是其圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率都______.②函數(shù)遞減的充要條件是其圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率都______.x1=x2大于0小于03.函數(shù)的平均變化率(1)平均變化率的定義:若I是函數(shù)y=f(x)的定義域的子集,對(duì)任意x1,x2∈I,且x1≠x2,記y1=f(x1),y2=f(x2),稱

為函數(shù)在區(qū)間[x1,x2](x1<x2時(shí))或[x2,x1](x1>x2時(shí))上的平均變化率.(2)函數(shù)的平均變化率與函數(shù)的單調(diào)性y=f(x)在I上是增函數(shù)?________在I上恒成立y=f(x)在I上是減函數(shù)?

______在I上恒成立

【思考】函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率大于0時(shí),函數(shù)圖像從左向右的變化趨勢(shì)是什么?提示:函數(shù)圖像從左向右逐漸上升.【基礎(chǔ)小測(cè)】

1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)任何函數(shù)都有最大值、最小值. (

)(2)一個(gè)函數(shù)的最大值是唯一的,最值點(diǎn)也是唯一的. (

)(3)直線不一定有斜率,過函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)的直線也不一定有斜率. (

)提示:(1)×.如函數(shù)y=既沒有最大值,也沒有最小值.(2)×.函數(shù)的最大值是唯一的,但最值點(diǎn)不唯一,可以有多個(gè)最值點(diǎn).(3)×.過函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)的直線一定有斜率,因?yàn)楦鶕?jù)函數(shù)的定義,一定有x1≠x2.2.過函數(shù)圖像上兩點(diǎn)A(-1,3),B(2,3)的斜率=________.

【解析】=0.答案:03.(教材二次開發(fā):例題改編)函數(shù)f(x)=的最大值為________.

【解析】當(dāng)x≥1時(shí),函數(shù)f(x)=為減函數(shù),所以f(x)在x=1處取得最大值,為f(1)=1;當(dāng)x<1時(shí),易知函數(shù)f(x)=-x2+2在x=0處取得最大值,為f(0)=2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.答案:2關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一利用函數(shù)的圖像求最值(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,5]上的圖像如圖所示,則此函數(shù)的最小值點(diǎn),最大值分別為 (

)A.-3,5 B.-3,f(5)C.-2,5 D.-2,f(5)2.已知函數(shù)f(x)=則f(x)的最小值、最大值點(diǎn)分別為___,____.

3.已知函數(shù)f(x)=(1)如圖所示,在給定的直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出f(x)的圖像.(2)由圖像指出函數(shù)f(x)的最值點(diǎn),求出最值.

【解析】1.選D.由函數(shù)f(x)的圖像可知最小值點(diǎn)為-2,最大值為f(5).2.作出函數(shù)f(x)的圖像(如圖).由圖像可知,當(dāng)x=±1時(shí),f(x)取最大值,最小值為0,故f(x)的最小值為0,最大值點(diǎn)為±1.答案:0

±13.(1)由題意,當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),f(x)=-x2+3,為二次函數(shù)的一部分;當(dāng)x∈(2,5]時(shí),f(x)=x-3,為一次函數(shù)的一部分;所以,函數(shù)f(x)的圖像如圖所示:(2)由圖像可知,最大值點(diǎn)為0,最大值為3;最小值點(diǎn)為2,最小值為-1.

【解題策略】圖像法求最值、最值點(diǎn)的步驟【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=求函數(shù)f(x)的最大值、最小值.【解析】作出f(x)的圖像如圖:由圖像可知,當(dāng)x=2時(shí),f(x)取最大值為2;當(dāng)x=時(shí),f(x)取最小值為

所以f(x)的最大值為2,最小值為

【拓展延伸】求二次函數(shù)最值的常見類型及解法求二次函數(shù)的最大(小)值有兩種類型:一是函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R,這時(shí)只要根據(jù)拋物線的開口方向,應(yīng)用配方法即可求出最大(小)值;二是函數(shù)定義域?yàn)槟骋粎^(qū)間,這時(shí)二次函數(shù)的最大(小)值由它的單調(diào)性確定,而它的單調(diào)性又由拋物線的開口方向和對(duì)稱軸的位置(在區(qū)間上,在區(qū)間左側(cè),還是在區(qū)間右側(cè))來決定,當(dāng)開口方向或?qū)ΨQ軸位置不確定時(shí),還需要進(jìn)行分類討論.求二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在區(qū)間[m,n]上的最值一般分為以下幾種情況:(1)若對(duì)稱軸x=-在區(qū)間[m,n]內(nèi),則最小值為

,最大值為f(m),f(n)中較大者(或區(qū)間端點(diǎn)m,n中與直線x=-距離較遠(yuǎn)的一個(gè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為最大值).(2)若對(duì)稱軸x=-<m,則f(x)在區(qū)間[m,n]上是增函數(shù),最大值為f(n),最小值為f(m).(3)若對(duì)稱軸x=->n,則f(x)在區(qū)間[m,n]上是減函數(shù),最大值為f(m),最小值為f(n).【拓展訓(xùn)練】1.定軸定區(qū)間上的最值問題【例1】已知函數(shù)f(x)=3x2-12x+5,當(dāng)自變量x在下列范圍內(nèi)取值時(shí),求函數(shù)的最大值和最小值.(1)R.(2)[0,3].(3)[-1,1].【思路導(dǎo)引】求函數(shù)的最大值、最小值問題,應(yīng)先考慮其定義域,由于是二次函數(shù),所以可以采用配方法和圖像法求解.【解析】f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7.(1)當(dāng)x∈R時(shí),f(x)=3(x-2)2-7≥-7,當(dāng)x=2時(shí),等號(hào)成立.故函數(shù)f(x)的最小值為-7,無最大值.(2)函數(shù)f(x)=3(x-2)2-7的圖像如圖所示,由圖可知,在[0,3]上,函數(shù)f(x)在x=0時(shí)取得最大值,最大值為5;在x=2時(shí)取得最小值,最小值為-7.(3)由圖可知,函數(shù)f(x)在[-1,1]上是減函數(shù),在x=-1時(shí)取得最大值,最大值為20;在x=1時(shí)取得最小值,最小值為-4.【解題策略】

(1)函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),當(dāng)x=-時(shí),函數(shù)取得最小值.(2)函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),當(dāng)x=-時(shí),函數(shù)取得最大值.2.動(dòng)軸定區(qū)間上的最值問題【例2】已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函數(shù)f(x)的最小值.【思路導(dǎo)引】二次函數(shù)開口方向確定,對(duì)稱軸不確定,需根據(jù)對(duì)稱軸的不同情況分類討論.可畫出二次函數(shù)相關(guān)部分的簡(jiǎn)圖,數(shù)形結(jié)合解決問題.【解析】f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的圖像開口向上,且對(duì)稱軸為直線x=a.當(dāng)a≥1時(shí),函數(shù)圖像如圖(1)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上是減函數(shù),最小值為f(1)=3-2a;當(dāng)-1<a<1時(shí),函數(shù)圖像如圖(2)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上是先減后增,最小值為f(a)=2-a2;當(dāng)a≤-1時(shí),函數(shù)圖像如圖(3)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù),最小值為f(-1)=3+2a.3.定軸動(dòng)區(qū)間上的最值問題【例3】已知函數(shù)f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R的最小值為g(t),試寫出g(t)的函數(shù)表達(dá)式.【思路導(dǎo)引】二次函數(shù)的解析式是確定的,但定義域是變化的,需依據(jù)t的大小情況畫出對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)圖(二次函數(shù)的一段),從而求解.【解析】f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,對(duì)稱軸為x=1.當(dāng)t+1<1,即t<0時(shí),函數(shù)圖像如圖(1)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上為減函數(shù),所以最小值為g(t)=f(t+1)=t2+1;當(dāng)t≤1≤t+1,即0≤t≤1時(shí),函數(shù)圖像如圖(2)所示,最小值為g(t)=f(1)=1;當(dāng)t>1時(shí),函數(shù)圖像如圖(3)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上為增函數(shù),所以最小值為g(t)=f(t)=t2-2t+2.綜上可得g(t)=【解題策略】本題中給出的區(qū)間是變化的,從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看,讓區(qū)間從左向右沿x軸正方向移動(dòng),分析移動(dòng)到不同位置時(shí)對(duì)最值有什么影響.借助圖形,可使問題的解決顯得直觀、清晰.類型二函數(shù)的平均變化率與單調(diào)性、最值(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)【典例】已知函數(shù)f(x)=.(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的單調(diào)性,并用平均變化率證明其結(jié)論.(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,9]上的最大值與最小值.四步內(nèi)容理解題意條件:①函數(shù)f(x)=,②[0,+∞),③[2,9]結(jié)論:判斷函數(shù)的單調(diào)性并求函數(shù)的最值思路探求(1)任取x1,x2∈[0,+∞)?>0?函數(shù)單調(diào)遞增(2)由第(1)問可知f(x)在[2,9]上是增函數(shù)?f(2)是最小值,f(9)是最大值四步內(nèi)容書寫表達(dá)【解析】(1)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).證明如下:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,f(x2)-f(x1)=所以

因?yàn)閤1,x2∈[0,+∞),所以(x1+1)(x2+1)>0,所以>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).(2)由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,9]上是增函數(shù),故函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,9]上的最大值為f(9)=,最小值為f(2)=.注意書寫的規(guī)范性:(1)計(jì)算Δf(x)=f(x2)-f(x1)時(shí),注意通分與因式分解的應(yīng)用(2)求最值時(shí)應(yīng)首先確定函數(shù)的單調(diào)性題后反思求函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最值時(shí),易錯(cuò)誤地認(rèn)為f(a)與f(b)就是相應(yīng)的最值,只有函數(shù)在[a,b]上單調(diào)時(shí),函數(shù)在區(qū)間的端點(diǎn)值才是最值.【解題策略】利用函數(shù)的平均變化率證明單調(diào)性的步驟

(1)任取x1,x2∈D,且x1≠x2.(2)計(jì)算f(x2)-f(x1),.(3)根據(jù)x1,x2的范圍判斷的符號(hào),確定函數(shù)的單調(diào)性.

【跟蹤訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=,x∈[3,7].(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用平均變化率加以證明.(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]內(nèi)單調(diào)遞減,證明如下:在[3,7]上任意取兩個(gè)數(shù)x1和x2,且x1≠x2,因?yàn)閒(x1)=,f(x2)=,所以f(x2)-f(x1)=所以

因?yàn)閤1,x2∈[3,7],所以x1-2>0,x2-2>0,所以<0,函數(shù)f(x)為[3,7]上的減函數(shù).(2)由單調(diào)函數(shù)的定義可得f(x)max=f(3)=4,f(x)min=f(7)=.類型三常見函數(shù)的最值問題(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1不含參數(shù)的最值問題

【典例】函數(shù)f(x)=-2x2+x+1在區(qū)間[-1,1]上最小值點(diǎn)為________,最大值為________.

【思路導(dǎo)引】求出一元二次函數(shù)的對(duì)稱軸,利用對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系解題.【解析】函數(shù)f(x)=-2x2+x+1的對(duì)稱軸為x=,函數(shù)的圖像開口向下,所以函數(shù)的最小值點(diǎn)為-1,最大值為

答案:-1

角度2含參數(shù)的最值問題

【典例】設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2-|x-a|+1,x∈R.(1)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.(2)當(dāng)0<a<時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值.【思路導(dǎo)引】(1)代入a的值,化簡(jiǎn)后求最值.(2)討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求最值.【解析】(1)當(dāng)a=0,x∈[0,2]時(shí)函數(shù)f(x)=x2-x+1,因?yàn)閒(x)的圖像開口向上,對(duì)稱軸為x=,所以,當(dāng)x=時(shí)f(x)值最小,最小值為,當(dāng)x=2時(shí),f(x)值最大,最大值為3.(2)f(x)=①當(dāng)x≥a時(shí),f(x)=x2-x+a+1=+a+.因?yàn)?<a<,所以>a,則f(x)在[a,+∞)上的最小值為

+a;②當(dāng)x<a時(shí),函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=-a+.因?yàn)?<a<,所以-<a,則f(x)在(-∞,a)上的最小值為

-a.綜上,f(x)的最小值為-a.

【變式探究】將本例的函數(shù)改為f(x)=x2-2ax+1,試求函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最值.【解析】函數(shù)的對(duì)稱軸為x=a,(1)當(dāng)a<0時(shí),f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以f(x)min=f(0)=1;當(dāng)0≤a≤2時(shí),f(x)min=f(a)=-a2+1;當(dāng)a>2時(shí),f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),所以f(x)min=f(2)=5-4a,所以f(x)min=

(2)當(dāng)a≤1時(shí),f(x)max=f(2)=5-4a;當(dāng)a>1時(shí),f(x)max=f(0)=1,所以f(x)max=

【解題策略】一元二次函數(shù)的最值(1)不含參數(shù)的一元二次函數(shù)的最值配方或利用公式求出對(duì)稱軸,根據(jù)對(duì)稱軸和定義域的關(guān)系確定最值點(diǎn),代入函數(shù)解析式求最值.(2)含參數(shù)的一元二次函數(shù)的最值以一元二次函數(shù)圖像開口向上、對(duì)稱軸為x=m,區(qū)間[a,b]為例,①最小值:f(x)min=②最大值:f(x)max=當(dāng)開口向下、區(qū)間不是閉區(qū)間等時(shí),類似方法進(jìn)行討論,其實(shí)質(zhì)是討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系.【題組訓(xùn)練】

1.(2020·西安高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=9-ax2(a>0)在[0,3]上的最大值為 (

)

A.9 B.9(1-a) C.9-a D.9-a2【解析】選A.因?yàn)閍>0,所以f(x)=9-ax2開口向下,以y軸為對(duì)稱軸,所以f(x)=9-ax2在[0,3]上單調(diào)遞減,所以x=0時(shí),f(x)最大值為9.2.函數(shù)f(x)=x+ (

)A.有最小值,無最大值B.有最大值,無最小值C.有最小值,有最大值2D.無最大值,也無最小值【解析】選A.f(x)=x+的定義域?yàn)?在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)有最小值

,無最大值.3.函數(shù)f(x)=x2-3x-4在區(qū)間[0,2]上的最小值點(diǎn)為______,最大值為________.

【解析】函數(shù)的對(duì)稱軸為x=,開口向上,所以最小值點(diǎn)為,最大值為f(0)=-4.答案:

-4【補(bǔ)償訓(xùn)練】二次函數(shù)f(x)=x2-2x+3在[0,m]上有最大值3,最小值1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____.

【解析】因?yàn)閒(x)=x2-2x+3在[0,2]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增.則當(dāng)0<m<2時(shí),此時(shí)無解;當(dāng)2≤m≤4時(shí),x=2時(shí)有最小值1,x=0時(shí)有最大值3,此時(shí)條件成立;當(dāng)m>4時(shí),最大值必大于f(4)=3,此時(shí)條件不成立.綜上可知,實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2,4].答案:[2,4]

備選類型函數(shù)最值的應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)【典例】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:厘米)滿足關(guān)系式:C(x)=(0≤x≤10).若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式.(2)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)最小?并求其最小值.【思路導(dǎo)引】【解析】(1)由題意知C(0)=8,代入C(x)的關(guān)系式,得k=40,因此C(x)=(0≤x≤10),而每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元,所以隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)=20C(x)+6x=+6x(0≤x≤10).(2)令t=3x+5,由0≤x≤10,得5≤t≤35,從而有函數(shù)h(t)=+2t-10(5≤t≤35).令5≤t1<t2≤35,則h(t1)-h(t2)=(t1-t2),當(dāng)5≤t1<t2≤20時(shí),h(t1)-h(t2)=(t1-t2)>0;當(dāng)20≤t1<t2