專題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

【要點(diǎn)回顧】

1.一元二次方程的根的判斷式

一元二次方程加+法+c=O(awO),用配方法將其變形

為：.

由于可以用。2—4雙的取值情況來判定一元二次方程的根的情況.因此，把

b2-4ac叫做一元二次方程”2+云+。=0(々。0)的根的判別式，表示為：

△=〃—4ac

對于一元二次方程ay+Zur+c=O(a#0),有

[1]當(dāng)A_0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根:；

[2]當(dāng)△_()時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根:;

[3]當(dāng)△_()時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

定理：如果一元二次方程公2+云+C=o(。。0)的兩個(gè)根為王,32，那么：

說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，

所以通常把此定理稱為“韋達(dá)定理”.上述定理成立的前提是△?().

特別地，對于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程0=0,若汨，心是其兩

根，由韋達(dá)定理可知

小+尼=-p,X\?x-2=Qt即p=-(%i+%)fq=X、*x2，

所以，方程/+口￥+,=0可化為(*+用)才+為?蒞=0,由于小，蒞是一元

二次方程/+以+,=0的兩根，所以，x\,蒞也是一元二次方程下—(*+尼)彳+

X\?尼=0.因此有

以兩個(gè)數(shù)為，為為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為D是/一Gi+X2)x+

XI?質(zhì)=0.

【例題選講】

例1已知關(guān)于x的一元二次方程3/_2冗+攵=0,根據(jù)下列條件，分別求出％的

范圍：

(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

(3)方程有實(shí)數(shù)根；(4)方程無實(shí)數(shù)根.

解：V△=(—2)2-4x3x4=4—12左,A(1)4—12%>0=&<」；(2)

3

4-12%=0nZ=L(3)4-12^>0=>il>-；(4)4-12Z〈0=AvL

333

例2已知實(shí)數(shù)x、y滿足爐+/一孫+2%一丁+1=0,試求x、y的值.

解：可以把所給方程看作為關(guān)于％的方程，整理得：x2-(y-2)x+y2-y+i=0

由于1是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：

A=[―(y-2)]2—4(y2—y+1)=-3y2>0=>y=0,

代入原方程得：f+2x+i=()n戈=一].綜上知：x=-l,y=0

例3若如乙是方程f+2x-2007=0的兩個(gè)根，試求下列各式的值：

(1)(2)—I—；(3)(%,—5)(^2—5)；

*x2

(4)\xi-x2\.

解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：%+/=-2,即￥2=-2007

222

(1)+x2=(x,+x2)-2X,X2=(-2)-2(-2007)=4018

(2)_L+_L=9五=二=-_

玉x2x,x2-20072007

(3)(x,-5)(%-5)=x,x2-5(^+X2)+25=-2007-5(-2)+25=-1972

(4)|M/1=J(F_p)2=+/)2_4%多=J(-2f-4(—2007)=2J2OO8

說明，利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：

22/、2r11X.+X.

（占一/）2=（玉+工2產(chǎn)一4人入2，

+X2=（X,+/）-2再電，--1-------=--------------

斗x2x,x2

ix-wtJa+wATxw等等.韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想.

例4己知百,工2是一元二次方程4心：2_4丘+2+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

3

（1）是否存在實(shí)數(shù)3使（2%-々）（玉-2占）=-］成立？若存在，求出上的值；若

不存在，請說明理由.

⑵求使工+%-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)上的整數(shù)值.

Z%

解：（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)3使（2%-迎）（百-2々）=-|成立.：一元二次方程

4收_4去十k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.??

4A*0

?,nZ<0,又x?x,是一元二次方程

A=（-4k）2-4.4k（k+l）=-16k>0-

xi+x2=\

4H2_46+2+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，???\\+i

22

（2A1-人2）（人1-242）=2（A14-A2）—5人］人2=2（人］十人2）2—9人1人2

k+9

=~~4lT但/<0.

3

工不存在實(shí)數(shù)3使（2不一w）（X-2占）=一5成立.

（2）?/J玉―2二4+，_2=（X+%）_4.*--4=---

x2%1x^x2xtx2k+lk+\

???要使其值是整數(shù)，只需Z+1能被4整除，故欠+1=±1,±2,±4,注意到赴<0,

要使工+受-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值為-2,-3,-5.

【鞏固練習(xí)】

1.若不加是方程2f—6x+3=0的兩個(gè)根，則工+工的值為()

八與

19

A.2B.-2C.-D.-

22

2.若，是一元二次方程公2+法+。=03。0)的根，則判別式△=〃-4ac和完全

平方式M=(2〃f+b)2的關(guān)系是()

A.\=MB.A>MC.A<MD.大小關(guān)系不能確

定

3.設(shè)xpx2是方程f+px+q=O的兩實(shí)根，%+1,/+1是關(guān)于x的方程

/+/+〃=0的兩實(shí)根，貝ijp=,q=.

4.己知實(shí)數(shù)a,/?,c滿足。=6-"。2二出?一9,貝ija二?b-,c-

5.已知關(guān)于x的方程/+31-6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于11,求證：關(guān)于

x的方程(2-3)x2+kmx-nr+6〃L4=0有實(shí)數(shù)根.

6.若百,馬是關(guān)于x的方程/-(2R+DX+/+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且百,乙都大于

1.

(1)求實(shí)數(shù)女的取值范圍；(2)若土=?