第26講空間幾何體表面積和體積[玩前必備]1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征多面體棱柱棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多邊形棱錐棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點的三角形棱臺棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是平行且相似的多邊形旋轉(zhuǎn)體圓柱圓柱可由矩形繞其任意一邊旋轉(zhuǎn)得到圓錐圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到圓臺圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上、下底中點連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到球球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l3.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底·h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底·h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3[玩轉(zhuǎn)典例]題型一簡單幾何體的概念例1以下命題：①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．其中正確命題的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3例2給出下列四個命題：①有兩個側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體；④底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正確的命題為________．(填序號)[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1.給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直；③在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；④存在每個面都是直角三角形的四面體．其中正確命題的序號是________．題型二簡單幾何體的表面積例3(2018·全國Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π例4棱長為a的正四面體的表面積是()A.eq\f(\r(3),6)a2B.eq\f(\r(3),12)a2C.eq\f(\r(3),4)a2D.eq\r(3)a2[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1.已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()A．1cmB．2cmC．3cmD.eq\f(3,2)cm2.用長為8，寬為4的矩形做側(cè)面圍成一個圓柱，則圓柱的軸截面的面積為()A．32B.eq\f(32,π)C.eq\f(16,π)D.eq\f(8,π)題型三簡單幾何體的體積例5(2018·全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為________．例6圓環(huán)內(nèi)圓半徑為4，外圓半徑為5，則圓環(huán)繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為()A.eq\f(244π,3) B．eq\f(500π,3)C.eq\f(200π,3) D．eq\f(256π,3)[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1.(2017·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A．π B．eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)2.(2018·天津卷)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1-BB1D1D的體積為________．[玩轉(zhuǎn)練習(xí)]1.(2015·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛2.（2019全國Ⅲ理16）學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐O—EFGH后所得幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________.3.(2013·新課標(biāo)全國Ⅰ，6)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為(A)A、eq\f(500π,3)cm3 B、eq\f(866π,3)cm3QUOTE12 C、eq\f(1372π,3)cm3 D、eq\f(2048π,3)cm34.（2019江蘇9）如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是.5.(2019·江西重點中學(xué)聯(lián)考)《算術(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典著，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出圓錐的底面周長l與高h(yuǎn)，計算其體積V的近似公式V＝eq\f(1,36)l2h，它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3，那么，近似公式V≈eq\f(25,942)l2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取()A.eq\f(22,7) B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50) D.eq\f(355,113)6．（2019天津理11）已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.7．如圖所示，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水．若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則eq\f(R,r)＝________.8．一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________．9.(2018天津)已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為