期末押題重難點檢測卷（提高卷）

【考試范圍：人教版八上全部內(nèi)容】

注意事項：

本試卷滿分120分，考試時間120分鐘，試題共26題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑

色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置

一、選擇題（10小題，每小題3分，共30分）

1.（24-25八年級上?浙江紹興?期中）以下四個運動圖案中，屬于軸對稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，根據(jù)沿著某條直線折疊，兩邊的圖形能夠重合的圖形是軸對稱圖

形，進行逐項判斷即可.

【詳解】解：A、該圖形不是軸對稱圖形，故該選項不符合題意；

B、該圖形不是軸對稱圖形，故該選項不符合題意；

C、該圖形是軸對稱圖形，故該選項符合題意；

D、該圖形不是軸對稱圖形，故該選項不符合題意；

故答案為：C.

2.（24-25九年級上?云南文山?期中）下列運算正確的是（）

A.（a+b）=a~+6~B.2.a~-3cr=6<?4

C.（-x2）4=x7D.（-J：）3"=-x"

【答案】B

【分析】本題考查了完全平方公式，單項式乘以，除以單項式，累的乘方，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

分別利用完全平方公式計算，同底數(shù)幕的乘除法，塞的乘方進行計算即可判斷.

【詳解】解：A、（a+bf=a2+2ab+b2,故不符合題意；

B、2a2-3a2=6a4,正確,符合題意;

C、（-尤2）4=f,故不符合題意;

D、（T）3”+（T）2"=（T）",故不符合題意,

故選：B.

3.（24-25八年級上?河北保定?階段練習(xí)）統(tǒng)一度量衡極大地方便了生產(chǎn)與生活.如圖1和圖2,通過兩把

不同刻度的直尺說明其中的原因時，進行如下探究：將兩把尺子有刻度的一側(cè)緊貼，則由圖1和圖2可得

方程（）

0直尺A24

_|____|_

11

0直尺B32

圖1

,直尺A:

10直尺B:

圖2

A_2_4=___9__9

.32x-10x-10

「24932尤

C?—=-------D.

32x+10249

【答案】A

【分析】本題考查列分式方程，根據(jù)兩把尺子的刻度對應(yīng)成比例，列出方程即可.

【詳解】解：由圖可得：三24=W9；

32x-10

故選A.

4.（24-25八年級上.海南省直轄縣級單位.期中）在aABC和AB=AB=補充條件后仍

不一定能保證是/△44G，則補充的這個條件是（）

A.BC=BjC]B.NA=NAC.AC=AlClD./C=/C]

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）

是解題的關(guān)鍵.根據(jù)全等三角形的判定方法，結(jié)合42=44,=逐項分析即可.

【詳解】解：如圖,

A'

A、若添加BC=4G，可利用SAS進行全等的判定，故本選項錯誤；

B、若添加44=幺，可利用ASA進行全等的判定，故本選項錯誤；

C、若添加AC=4G，不能進行全等的判定，故本選項正確；

D、若添加/C=/￡,可利用AAS進行全等的判定，故本選項錯誤；

故選：C.

5.（2024八年級上?全國?專題練習(xí)）現(xiàn)有兩根長度分別和9cm的木棒，若要首尾相接釘成一個三角形木

架，則應(yīng)選取的第三根木棒長為（）

A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm

【答案】c

【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出第三邊的范圍，判斷即可.

【詳解】解：設(shè)第三根木棒長為Xcm,

由三角形三邊關(guān)系可知：9—4<x<9+4,BP5<x<13,

則應(yīng)選取的第三根木棒長為，

故選：C.

6.（24-25七年級上?吉林長春?期末）如圖，以正六邊形ABCDE尸的4B邊向內(nèi)作一個長方形ABHG,連接5E

交G8于點/,貝ljNB/G=（）

【答案】B

【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理、正多邊形的軸對稱性質(zhì).利用正六邊形的軸對稱性質(zhì)，可得

NABE=NCBE,然后根據(jù)正多邊形內(nèi)角的求法，可得出/A8E=60。，再根據(jù)長方形對邊平行的特點可得

AB〃GH,利用同旁內(nèi)角互補即可求解.

【詳解】解：由正六邊形ABCOE尸的軸對稱性質(zhì)可知，BE為對稱軸，

二NABE=ZCBE,

由多邊形的內(nèi)角和定理可求得：g2）xl80。MO。,

6

NABE=NCBE=-ZABC=60°,

2

由長方形A3”G的性質(zhì)可知，AB〃GH,

：.ZBIG=180°-ZABE=120°.

故選：B.

7.（24-25八年級上?安徽阜陽?期中）如圖，三角形ABC中，A8的垂直平分線交BC邊于點E,AC的垂直

平分線交3c邊于點N,若NR4c=74。，則/MLE的度數(shù)為（）

A.30°B.32°C.36°D.37°

【答案】B

【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的定義，掌握垂直平分線的性質(zhì)，

等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，EA=EB,NA=NC,則NB==NM4C,由三角形內(nèi)角和定理可

得/B+/C=106。，由此得到/EAB+/N4c=106。，即可求解.

【詳解】解：???48的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交2c邊于點N,

EA=EB,NA=NC,

：.NB=ZEAB,ZC=NAC,

ABAC=74°,

：.ZB+ZC=180°-ABAC=180°-74°=106°,

：./EAB+/NAC=106°,

?.?/EAB+ZNAC=NEAB+(/NAE+ZEAC)=/EAB+NEAC+ZNAE=106°,

.?.ZNAE=106°-(NEAB+ZEAC)=106°-ABAC=106°-74°=32°,

故選：B.

8.(24-25九年級上?江蘇連云港?期中)利用圖形的分、和、移、補探索圖形關(guān)系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種

重要方法.如圖1,是矩形A3CD的對角線，將A3GD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然

后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若〃=4,b=2,則矩形ABC。的面積是()

C.18D.20

【答案】C

【分析】本題主要考查列代數(shù)式、多項式乘多項式與幾何圖形面積的應(yīng)用，設(shè)小正方形的邊長為工,利用。、

b、%表示矩形的面積，再利用。、b、x表示三角形以及正方形的面積，根據(jù)面積列出關(guān)于b、%的關(guān)

系式，解出乙即可求出矩形面積.

【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為X,

「?矩形A3CD的長為(〃+%),寬為3+%),

由圖1、圖2可得：—(tz+x)(Z?+x)=—axx2+—bxx2+x2,

整理得：X2+ax+bx—ab=0

?「〃=4,b=2,

/+6x—8—0>

爐+6x=8,

二.矩形ABCD面積為：m+%)3+X)

=(x+4)(x+2)

=x2+6x+S

=8+8

16.

故選：c.

9.（24-25八年級上?山東威海?期中）若關(guān)于x的方程上=2的解為正數(shù)，則根的取值范圍是（）

x-ll-x

A.m<-2B.m>-2

C.加<一2且加。一1D.機〉一2且加。一1

【答案】D

【分析】本題考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵，理解分式有意義的條件是

正確解答的前提.

先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解為正數(shù)以及分式有意義的條件確定相

的取值范圍.

【詳解】解：關(guān)于x的分式方程=-3=2化為整式方程得，x-m+2m^2（x-l）,

x-1l—x

角軍得x=m+2,

由于分式方程的解為正數(shù)，

所以加+2〉0,即機〉一2,

又,「x-lwO,1-"0,

解得：XW1,

/.m+2w1

??inw—1

Am的取值范圍為相〉-2且加

故選：D.

10.（24-25八年級上?福建廈門?期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是（0,6）,點B是無軸上的一個

動點.以AB為邊向右側(cè)作等邊三角形ABC,連接OC,在運動過程中，OC的最小值為（）

【答案】B

【分析】以。4為邊向左側(cè)作等邊三角形AOE,連接BE,先證出口。4＜：注出8年人5）,根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)可得8E=0C,再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)BEJ_x軸時，BE的值最小，即此時0C的值最小，最后利用

含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖，以。4為邊向左側(cè)作等邊三角形AOE,連接8E,

OA=EA=OE,ZOAE=NAOE=60°.

,/AABC為等邊三角形，

AB=AC,NBAC=60°,

ABAC-NOAB=ZEAO-ZOAB,即ZOAC=ZEAB,

：fOOAC^lEAB（SAS）,

：.OC=EB.

.,.當(dāng)BELLx軸時，BE最短，即此時0c最小.

VA（0,6）,

OA=6,

：.OE=6.

■：ZAOE=60°,ZAOB=90°,

NBOE=30°,

:.BE=；OE=3,即在運動過程中，OC的最小值為3.

故選B.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、垂線段最短、含30度角的直角三角形的

性質(zhì)等知識，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

二、填空題（8小題，每小題3分，共24分）

11.（24-25九年級上?云南文山?期中）分解因式：4x3y-4xy=.

【答案】4孫（x+l）（無一1）

【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵.先提取公因式，再利用平方差公式進

行分解.

【詳解】解：4x3y~4xy

=4孫+,

故答案為：4xy(x+l)(x-l)

12.（24-25八年級上?湖北恩施?期中）小瑜在公園路邊她發(fā)現(xiàn)了一處被茂密植被遮住的正多邊形花壇.如圖,

為了得出邊數(shù)，她將正多邊形的兩邊延長交于點尸，測量出NP=36。，則可得出正多邊形的邊數(shù)”=.

【答案】5

【分析】本題考查正多邊形的外角和公式及三角形內(nèi)角和公式，根據(jù)NP=36。，求出NPAB+NPBA,結(jié)合

正多邊形的每個外角都相等求出外角，結(jié)合外角和求解即可得到答案；

【詳解】解：ZP=36°,ZP+ZPAB+ZPBA=180°,

NPAB+ZPBA=180°-36°=144°,

???圖形是正多邊形花壇，

144°

NPAB=NPBA=——=72°,

2

故答案為：5.

13.（24-25八年級上?江西贛州?階段練習(xí)）已知一個等腰三角形的周長是13,其中一條邊長是5,則這個等

腰三角形的腰長是.

【答案】4或5

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系。長是5的邊是腰或者是底，因此分兩種情

況討論，并結(jié)合三角形的三邊關(guān)系得出結(jié)論.

【詳解】解：當(dāng)腰長為5時，則底邊長為13-5-5=3,

：3+5>5,

此時能構(gòu)成三角形，符合題意；

當(dāng)?shù)走呴L為5時，則腰長為3x(13-5)=4,

4+4>5,

此時能構(gòu)成三角形，符合題意；

綜上所述，該等腰三角形的腰長為4或5,

故答案為：4或5.

14.(23-24八年級上?青海西寧?期中)如圖,4D是中ZBAC的平分線，DE人A3交4B于點E,DF1AC

交AC于點E若%wc=7,DE=2,AB=4,則AC的長是.

【答案】7

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì).熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由角平分線的性質(zhì)可得，DF=DE=2,由題意知跖4℃=34。*。尸=7,計算求解即可.

【詳解】解：是/及1C的平分線，DE工AB,DFJ.AC,

：.DF=DE=2,

**=2ACxZZF,

：.-xACx2=7,

2

解得，AC=1,

故答案為：7.

15.(24-25七年級上?上海閔行?階段練習(xí))若%+2〃=0,則代數(shù)式Y(jié)—+—的值為_____

\m—mnm)m—n

_3

【答案】I

【分析】本題考查了分式的化簡求值，由條件可得機=-2”，再化簡一^+一+一~2,再整體代入

\m-mnm)m-n

計算即可.

【詳解】解：Vm+2n=0,

m=-2n,

(2m+n1Am

i—+—

-mnmJm-

2m+nm-n

=------1------

m(m-H)m(m-n)m

_3m(m+n)(m-)

m(m-n)m

3(m+n)

m

3x(-2〃+〃)

一2〃

_3

=2；

3

故答案為：—

16.(24-25八年級上?江蘇南通?期中)設(shè)〃=x—2023,b=x-2025,c=x-2024.^a2+b2=16,則，的

值是.

【答案】7

【分析】本題考查了完全平方公式變形求值，根據(jù)題意得出。2=(°-1)優(yōu)+1)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)完全平方

公式得出6=2,ab=6,進而根據(jù)已知條件得出，=(。-1)優(yōu)+1),進而即可求解.

【詳解】解：=尤一2023,6=尤一2025,c=x-2024,

a-l=x-2024=c,b+l=x-2024=c,a-b=2,

,?*-b)=—=16,

A22=16-2ab,則H=6,

c2=(〃_1)優(yōu)+1)

=ab+^a-b^-1

=6+2-1

=7,

故答案為：7.

_2y+2

17.(24-25九年級上?重慶?階段練習(xí))若關(guān)于y的不等式組,一<二一有且只有4個整數(shù)解，且關(guān)于X的

4y+l-m>0

Im

分式方程3-的解為非負整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)機的和為_____.

1-xx-1

【答案】-2

【分析】根據(jù)不等式組的整數(shù)解的個數(shù)確定。的取值范圍，再根據(jù)分式方程的非負數(shù)解確定a的取值范圍,

從而求出符合條件的所有整數(shù)即可得結(jié)論.

本題考查了不等式組的整數(shù)解、分式方程的解，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式組的整數(shù)解的個數(shù)及分式方

程的解確定a的取值范圍.

①

【詳解】解：：3,

4y+l-m>0②

解不等式①得：y<4；

解不等式②得y2，，

4

cy+2

.?.不等式組『y—2<--3----的解集為m丁—1V〉<4,

4y+l-m>0

,y+2

y-2<-----

?.?不等式組’3有且只有4個整數(shù)解，

4y+l-m>0

.?.-1<<0,

解得-3〈根K1；

???3'=工

\—xx—\

?.?方程有非負數(shù)整數(shù)解，

3

m>-2,

=l時，是方程的增根，

此時m=1,無意義，舍去，

-2V"7Vl且/1

.?.符合題意的整數(shù)小的值為-2,0,

符合條件的所有整數(shù)加的和是-2+0=-2,

故答案為：-2.

18.（24-25八年級上?四川成都?期中）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC,點E為BC上一點，點H為AC

上一點，連接AE和瓦/交于點孔/ABH=NCAE.連接FC,若FC平分NEFH,則==_____，在此條

CH

件下，延長到點。，連接C。，使乙4CO+3NABC=180。，此時若AE+￡＞尸=146，BH+AF=16也,

EC

-1

【答案】1^/0.2

【分析】過點A作A。，8H于點Q,過點C作CM_LB。于點M,CN1AECN1AE,交AE的延長線于

點、N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到CM=CN,證明口48。空CAN(AAS),推出AQ=CN=CM,進而證明

□AQH^LCMH(AAS),得到A"=",即可得到答案；過點C作CP〃AE交8。于點P,過點C作CG〃AB

交8。延長線于點G,先證明口4族對CHP(ASA),得到AF=CP=",FH=PH=^FP,同理可證

□ABH^QCGH(AAS),得至ljAB=CG=AC,BH=GH,再結(jié)合平行線的性質(zhì)，推出ZDCG=NA8C=N4CB,

從而證明口AEC對GOC(ASA),得到AE=Z)G,然后根據(jù)已知條件求出切=，BF=10^3,即可得

到答案.

【詳解】解：如圖，過點A作AQLBH于點Q,過點C作CM_LBD于點M,CN1AE,交AE的延長線

于點N,

FC平分NEFH,

在口42。和△CAN中,

AB=AC

ZABQ=NCAN,

ZAQB=ZCNA

竺CAN(AAS),

AQ=CN,

AQ=CM,

在口人?！昂涂凇Ｖ?中，

ZAQH=ZCMH=90°

<ZAHQ=ZCHM

AQ=CM

.?口AQH^3CMH(AAS),

/.AH=CH,

?AH

~CH

如圖，過點。作c尸〃AE交5。于點尸，過點。作CG〃A3交3。延長線于點G,

...ZEAC=ZACP,ZEFC=ZFCP,

???ZEFC=ZPFC,

NFCP=NPFC,

:.CP=FP,

?：CP//AE,

ZHAF=ZHCP,

在/和△CHF中,

ZHAF=ZHCP

<AH=CH,

NAHF=ZCHP

.nAHF^nCHP(ASA),

AF=CP=FP,FH=PH=-FP,

2

同理可證□ABHg口CGH(AAS),

AB=CG=AC,BH=GH,

?/CG//AB,

/.NG=/ABH=ZCAE,ZABC+/BCG=180°,

ZABC+ZACB+ZACD+ZDCG=180°,

2ZABC+ZACD+ZDCG=180。，

???ZACD+3ZABC=18O°,

ZDCG=NABC=ZACB,

ftAA￡C和CIGOC中，

ZCAE=ZG

<AC=CG,

ZACE=ZGCD

.EAEC竺GOC（ASA）,

AE=DG,

■：AE+DF=Uy[3,BH+AF=164,

：.DG+DF=FG=FH+GH=FH+BH=BF+2FH=1473，BH+FP=BH+2FH=BF+3FH=16日

FH=2?,BF=10A/3,

.HF273_1

'BF~1073一5,

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定

和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

三、解答題（8小題，共66分）

19.（24-25八年級上?北京?期中）因式分解：

⑴尤2-25

（2）3a°-6ab+3b2

（3）/-2x-24

【答案】（1）（尤+5）（%-5）

⑵3（a-bp

⑶"-6e+4）

【分析】本題考查了公式法以及提公因式法進行分解因式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

（1）直接運用平方差公式進行分解因式，即可作答.

（2）先提公因式，再運用完全平方公式進行分解因式，即可作答.

(3)直接運用十字相乘法進行分解因式，即可作答.

【詳解】⑴解:%2-25

=(尤+5)(無一5)；

(2)解：3a2-6ab+3b2

=3(a2-2ab+b2)

=3(a-6y；

(3)解：x2-2x-24

=(x-6)(x+4).

20.(23-24八年級上?新疆喀什.階段練習(xí))計算：

⑴廣y2T3疔+丁

(2)(—3a)(5q2——+—

【答案】(D/-27/+/；

⑵-15a3_3a.

【分析】(1)利用塞的乘方與積的乘方、同底數(shù)幕的乘法運算法法則計算；

(2)利用基的乘方與積的乘方、單項式乘多項式的運算法則計算，最后合并同類項.

本題考查了單項式乘多項式，同底數(shù)幕的乘法，幕的乘方與積的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握單項式乘多項式，

同底數(shù)募的乘法，幕的乘方與積的乘方運算法則.

【詳解】⑴解：原式=>5一27>6+9；

(2)解：原式=-15/+4。2-3。-4。2

——15，—3a?

21.(24-25九年級上?云南昆明?期中)先化簡，再求值：(4土—2三〃-。+2)+〃之3—39/73請從-2,-1,0,2中選擇一

(4+2)4+2

個數(shù)字a代入求值.

?田。+4-

【答案】-----，3

a

【分析】本題考查分式的化簡求值，先通分計算括號內(nèi)，除法變乘法，約分化簡后，代入一個使分式有意

義的值，計算即可.

?、“及77.左力(4—2〃c\"2—2〃

【詳解】解：---^+2-———

1〃+2J〃+2

4-2”/+公。+2

4+2)a(a-2)

(〃+4)(2-〃)q+2

a+2〃(。一2)

〃+4

a，

Qw0,a+2w0,a—2w0,

???當(dāng)4=-1時，原式=--=3.

-1

22.(24-25八年級上?江蘇泰州?期中)如圖，在△ABC和△AE。中，AB=AC,AE=AD,ABAC=ZEAD,

且點E,A,8在同一直線上，點C,。在班同側(cè)，連接BD,CE交于點

(1)求證：△ABO^AACE；

(2)若/CAD=110。，求/DME的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)35°

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平角的定義，三角形外角的性質(zhì)；

(1)由N8AC=NE4O,得出ZD4?=NEAC,再利用“SAS”即可證明△A3。之△ACE；

(2)由/BAC=/EAO,ZCAD=110°,得出ZBAC=35。，由外角的性質(zhì)得出/AEC+/ACE,由全等三

角形的性質(zhì)得出NECA=NDBA,由外角的性質(zhì)得出=/AEC+/ACE,可得答案.

【詳解】(1)證明：?.?/BAC=/￡AO,

/.ABAC+ADAC=NEAD+ADAC,

即ZDAB=NEAC,

在DEAC和口。42中,

AE=AD

，ZEAC=ZDAB,

AC=AB

:QABD^iACE(SAS)■

(2)vABAC=ZEAD,ZCAD=110°,

ABAC=NEAD=180°―/CAD=35。.

2

/BAC是DEAC的外角,

ABAC=ZAEC+ZACE=35°.

■.■QABD^JACE,

：.NECA=NDBA,

*.?NDME是口BME的外角,

ZDME=ZAEC+/ABD=ZAEC+ZACE=35°.

23.(24-25八年級上?湖北恩施?期中)在物理學(xué)中，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反

射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等.如圖1,是平面鏡，若入射光線4。與水平鏡面夾角為/I,反射

光線08與水平鏡面夾角為/2,則ZL=N2.

(1)如圖2,入射光線AB經(jīng)過2次反射后與反射光線C。交于點E.若NMON=65。,求NCEB的度數(shù)；

(2)如圖2,圖3,若NM0N=a,入射光線AB經(jīng)過兩次反射，得到反射光線C。，光線與C。所在的直

線相交于點E,/BEC=B,分別寫出］與夕之間滿足的等量關(guān)系是(直接寫出兩個結(jié)果).

【答案】(l)/CE3=50。

(2)2a+〃=180°,/3=2a.

【分析】(1)由/MON=65。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得/2+/3=115。，又N1=N2,/3=/4,則有

/ECB+ZEBC=130。，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解；

(2)圖2同(1)理可得2a+夕=180。，圖3中ZABC=180°-2Z2,ZBCD=180°-2Z3,由內(nèi)角和定理

得/BED=NABC-NBCD=0,再由三角形外角性質(zhì)N3OC=N3-N2=a,從而求解；

本題考查了三角形內(nèi)角和定理，對頂角相等，三角形外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運

用所學(xué)知識解決問題.

【詳解】(1)解：???/MON=65°,

???Z2+Z3=180°-ZMO^=180o-65o=115°,

Z1=Z2,/3=/4,

?,.ZECB+ZEBC=360°-2(Z2+Z3)=360o-115ox2=130°,

???/BEC=180O-ZECB-ZEBC=180°-l30°=50°；

(2)解:如圖2,

AMON=a,

???Z2+Z3=180°-AMON=180?！猘,

VZ1=Z2,/3=/4,

??.ZECB+ZEBC=360°-2(Z2+Z3)=360°-2(180。-a)=2a,

.?./BEC=180°-(ZECB4-NEBC)=180。-2。="，

2。+/=180°；

如圖3,

???/l=N2,/3=/4,

AZABC=180°-2Z2,ZBCD=180°-2Z3,

.?./BED=ZABC-/BCD=(180。—2Z2)-(180°-2/3)=2(/3-/2)二/，

??,ZBOC=Z3-Z2=a,

0=2a,

故答案為：2a+尸=180。，6=2a.

24.(24-25八年級上?廣西南寧?期中)如圖1是長為4入寬為〃的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊

小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形(如圖2).

圖1圖2

(1)請你用兩種不同的方式表示圖2陰影部分的面積(直接用含6的代數(shù)式表示).

方法一：;方法二：.由此可以得出的等式是;

⑵根據(jù)(1)中的結(jié)論，若x+y=5,孫=2,求(x-y)2的值；

(3)如圖3,已知正方形ABCD的邊長為x,E,歹分別是A。、OC上的點，且AE=1,CP=3,長方形EA/F。

的面積是24,分別以M尸、。尸為邊長作正方形MFRN和正方形GFL歸，求陰影部分的面積.

【答案】⑴5-匕/，(a+bjab,(a+b)2-4ab=(a-t>)2

⑵17

(3)陰影部分面積為20

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，圖形面積，平方差公式，理解完全平方公式的幾何意義是

解題的關(guān)鍵.

(1)方法一：根據(jù)圖象得出陰影部分正方形邊長即可求得面積；方法二：根據(jù)大正方形面積減去四個小長

方形的面積即可，根據(jù)方法一和方法二即可得到等式；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，利用完全平方公式變形求值即可求解；

(3)根據(jù)題意找出題中各線段之間的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系，設(shè)a=x-3,6=x-l,即"=24,陰影部分面

積=NR2-DF?=b2-a2,根據(jù)平方差公式與完全平方公式進行計算即可求解.

【詳解】(1)解：方法一：(a-b)2；方法二：(°+力2-4

由此可以得出的等式是(a+6)2-4a6=(a-6)2,

故答案為：(a-6)2,(a+b)2-4ab,(a+b)2-Aab-(a-b)1.

(2)解：?「x+y=5,孫=2,

.-.(x-y)2=(x+y)2—4xy=52-2x4=17.

(3)解：???正方形ABC。的邊長為x,正方形MFRN和正方形GED//,AE=1,CT=3,

：.EM=HG=DF=x-3,MG=EH=x-l-(x-3)=2,NR=ED=x-l,

:長方形EMF。的面積是24,

(x-3)(x-1)=24,

設(shè)a=x—3,。=尤一1,即ab=24,貝！jb—a=2,

.?.陰影部分面積=NR2-DF2=b2-a2=(b+a)(b-a)=2(6+a),

?.?(&+a)2=(Z?-a)2+4te=22+4x24=100,

:.b+a=W(負值已舍去),

2(b+a)=2xl0=20,

即陰影部分面積為20.

25.(24-25八年級上?河北承德?階段練習(xí))定義：如果兩個分式M與N的和為常數(shù)左，且左為正整數(shù)，則稱

X1v1

M與N互為“和整分式”，常數(shù)上稱為“和整數(shù)值”.例如，M=——，N=—,M+N=—+—=1,

x+\x+1x+1x+l

則M與N互為“和整分式”，“和整數(shù)值”左=1.

Y_7九2+9

⑴已知分式二三‘*再…’判斷A與B是否互為“和整分式”，若是，請求出“和整數(shù)值先

若不是，請說明理由；

3r-4P

(2)已知分式C=^—,￡>=k1,C與?；椤昂驼质健?，且“和整數(shù)值"上=3.

x-2x~-4

①求P所代表的代數(shù)式；

②若分式。的值為正整數(shù)，求正整數(shù)x的值.

【答案】(1)4與8互為“和整分式”，“和整數(shù)值”左=2.

(2)①尸=-2x-4,(2)1

【分析】本題考查了分式的混合運算，解分式方程，理解題意是解此題的關(guān)鍵.

(1)先計算A+B,再根據(jù)結(jié)果即可得解；

(2)①求出C+D,結(jié)合題意得出3/+2X-8+P=3(X+2)(X-2),計算即可得解；②先求出。，再結(jié)合題

意計算即可得解.

..x—7X2+6X+9

【詳解】(1)解:>

?三'■(x+3)(x-2)

x-7x2+6x+9

???A+5=

x-2(x+3)(%-2)

_x-7(x+3)2

x-2(x+3)(x-2)

x-7x+3

=----+----

x—2x—2

_2x—4

x—2

_2(x-2)

x-2

二2,

??.A與B互為“和整分式”，和“整數(shù)值”左=2；

3x-4八P

(2)解：C

x-2尤2-4

3x-4P(3x-4)(x+2)P3x2+2x-8+尸

尤一2x~—4(1x+2)(x—2)(尤+2)(x—2)(尤+2)(無一2)

?:C與D互為“和整分式”，且“和整數(shù)值"k=3,

.3x~+2尤—8+P

3,即3x~+2尤一8+尸=3(x+2)(x—2),

(x+2)(x-2)

P=3(X2-4)-(3X2+2X-8)=-2X-4；

…八P-2x-4-2(x+2)2

6X2-4(X+2)(X-2)(X+2)(X-2)X-2‘

若分式。的值為正整數(shù)，

x—2=—1或無一2=—2,

解得x=l或x=0(舍去)，

，正整數(shù)尤的值為1.

26.(24-25八年級上?廣西南寧?階段練習(xí))如圖，RtOACB中，ZACB=90°,AC=BC,點E為射線CB上

圖1圖2

⑴如圖1,請過F點作FDLAC交AC于O點，求證：FD=BC；

(2)如圖2,連結(jié)BF交AC于G點，若AG=3,CG=1,求證：點￡為BC中點.