第四章級數(shù)§1復數(shù)項級數(shù)

§2冪級數(shù)復數(shù)列的極限2.級數(shù)概念1.冪級數(shù)的概念2.收斂圓和收斂半徑3.收斂半徑的求法4.冪級數(shù)的運算和性質1§1復數(shù)項級數(shù)1.復數(shù)列的極限2.級數(shù)概念21.復數(shù)列的極限設{an}(n=1,2,...)為一復數(shù)列,其中an=an+ibn,又設a=a+ib為一確定的復數(shù).如果任意給定e>0,相應地能找到一個正數(shù)N(e),使|an-a|<e在n>N時成立,則a稱為復數(shù)列{an}當n

時的極限,記作此時也稱復數(shù)列{an}收斂于a.返回31.級數(shù)概念設{an}={an+ibn}(n=1,2,...)為一復數(shù)列,表達式稱為無窮級數(shù),其最前面n項的sn=a1+a2+...+an稱為級數(shù)的部分和.如果部分和數(shù)列{sn}收斂,返回4定理一

復數(shù)列{an}(n=1,2,...)收斂于a的充要條件是[證]如果,則對于任意給定的e>0,就能找到一個正數(shù)N,當n>N時,返回5返回6定理二

級數(shù)收斂的充要條件是級數(shù)

和都收斂

[證]因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)

+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,

其中sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分別為

和的部分和,由定理一,{sn}有極限存在的充要條件是{sn}和{tn}的極限存在,即級數(shù)和都收斂.返回7定理二將復數(shù)項級數(shù)的審斂問題轉化為實數(shù)項級數(shù)的審斂問題.返回8定理三[證]返回9返回10返回11例1下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.返回12[解]1)因返回132)由于an=ncos

in=nch

n,因此,當n

時,an.所以an發(fā)散.

例2下列級數(shù)是否收斂?是否絕對收斂?[解]1)

因發(fā)散;收斂,

故原級數(shù)發(fā)散.返回142)因,由正項級數(shù)的比值審斂法知

收斂,故原級數(shù)收斂,且為絕對收斂.3)因收斂;也收斂,

故原級數(shù)收斂.但因

為條件收斂,所以原級數(shù)非絕對收斂.返回15§2冪級數(shù)冪級數(shù)的概念

4.冪級數(shù)的運算和性質2.收斂圓和收斂半徑3.收斂半徑的求法退出16設{fn(z)}(n=1,2,...)為一復變函數(shù)序列,其中各項在區(qū)域D內有定義.表達式稱為復變函數(shù)項級數(shù).最前面n項的和

sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)稱為這級數(shù)的部分和.1.冪級數(shù)的概念返回17存在,則稱復變函數(shù)項級數(shù)(4.2.1)在z0收斂,而s(z0)稱為它的和.如果級數(shù)在D內處處收斂,則它的和一定是z的一個函數(shù)s(z):

s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...如果對于D內的某一點z0,極限s(z)稱為級數(shù)的和函數(shù)返回18這種級數(shù)稱為冪級數(shù).

如果令z-a=z,則(4.2.2)成為,這是

(4.2.3)的形式,為了方便,今后常就(4.2.3)討論當fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1時,就得到函數(shù)項級數(shù)的特殊情形:返回19定理一(阿貝爾Abel定理)z0xyO返回20[證]返回21返回22返回23利用阿貝爾定理,對一個冪級數(shù)來說,它的收斂情況不外乎三種:

i)對所有的正實數(shù)都是收斂的.這時,根據(jù)阿貝爾定理可知級數(shù)在復平面內處處絕對收斂.

ii)對所有的正實數(shù)除z=0外都是發(fā)散的.這時,級數(shù)在復平面內除原點外處處發(fā)散.

iii)既存在使級數(shù)收斂的正實數(shù),也存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù).設z=a(正實數(shù))時,級數(shù)收斂,z=b(正實數(shù))時,級數(shù)發(fā)散2.收斂圓和收斂半徑24例1

求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).[解]級數(shù)實際上是等比級數(shù),部分和為25返回263.收斂半徑的求法返回27返回28返回29返回30例2

求下列冪級數(shù)的收斂半徑返回31返回32返回334.冪級數(shù)的運算和性質在以原點為中心,r1,r2中較小的一個為半徑的圓內,這兩個冪級數(shù)可