2022-2023學(xué)年北師大七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專(zhuān)題08直角三角形的性質(zhì)一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?潁泉區(qū)期中）直角三角形一個(gè)銳角為71°，另一個(gè)銳角的大小為（）A．71° B．109° C．29° D．19°解：∵一個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角是71°，∴它的另一個(gè)銳角的大小為90°﹣71°＝19°．故選：D．2．（2分）（2022春?金牛區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，若∠BDE＝56°，則∠DAE的度數(shù)為（）度．A．23 B．28 C．52 D．56解：∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠BDE+∠B＝90°，∴∠CAB＝∠BDE，∵∠BDE＝56°，∴∠CAB＝56°，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠CAB＝28°，故選：B．3．（2分）（2022春?龍華區(qū)期末）如圖3，已知AB∥CD，現(xiàn)將一直角△PMN放入圖中，其中∠P＝90°，PM交AB于點(diǎn)E，PN交CD于點(diǎn)F．若∠PFD＝32°，則∠BEP的度數(shù)為（）A．58° B．68° C．32° D．60°解：延長(zhǎng)MP交CD于H，∵∠MPN是△PFH的外角，∴∠PHF＝∠MPN﹣∠PFD＝90°﹣32°＝58°，∵AB∥CD，∴∠BEP＝∠PHF＝58°，故選：A．4．（2分）（2022春?泉州期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，將△ABC沿直線m翻折．點(diǎn)A落在點(diǎn)D的位置，則∠1﹣∠2的度數(shù)是（）A．α B．2α C．90°﹣α D．45°+α解：如圖，∵∠1＝∠A+∠AEF，又∠AEF＝∠2+∠D，∴∠1＝∠A+∠2+∠D，而根據(jù)折疊得∠A＝∠D＝α，∴∠1＝∠A+∠2+∠D＝2α+∠2，∴∠1﹣∠2＝2α．故選：B．5．（2分）（2022春?蘭考縣期末）已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD與CE所在直線交于點(diǎn)H，則∠BHC的度數(shù)是（）A．45° B．45°或135° C．45°或125° D．135°解：①如圖1，△ABC是銳角三角形時(shí)，∵BD、CE是△ABC的高線，∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，在△ABD中，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝45°+90°＝135°；②如圖2，△ABC是鈍角三角形時(shí)，∵BD、CE是△ABC的高線，∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°，∵∠ACE＝∠HCD（對(duì)頂角相等），∴∠BHC＝∠A＝45°．綜上所述，∠BHC的度數(shù)是135°或45°．故選：B．6．（2分）（2022春?廣平縣期末）如圖是疊放在一起的兩張長(zhǎng)方形卡片，則圖中相等的角是（）A．∠1與∠2 B．∠2與∠3 C．∠1與∠3 D．三個(gè)角都相等解：∵兩張長(zhǎng)方形卡片疊在一起，∴∠C＝∠D＝∠A＝∠B＝∠AEF，∵∠CEG+∠DEF＝90°，∠CEG+∠CGE＝90°，∴∠CGE＝∠DEF，∵∠3+∠CGE＝180°，∠1+∠DFE＝180°，∴∠1與∠3的大小無(wú)法判定；∵∠AHG＝∠BHK，∠AGH+∠AHG＝90°，∠BHK+∠BKH＝90°，∴∠AGH＝∠BKH，∵∠3+∠AGH＝180°，∠2+∠BKH＝180°，∴∠2＝∠3．故選：B．7．（2分）（2022春?通川區(qū)期末）如圖，已知AB∥DC?，Rt△FEG?直角頂點(diǎn)在CD?上，已知∠FEC＝35°?，則∠GHB＝（）?A．35°? B．45°? C．55°? D．65°?解：∵∠FEG＝90°，∴∠GED+∠CEF＝90°，∵∠CEF＝35°，∴∠GED＝55°，∵AB∥CD，∴∠GHB＝∠GED＝55°．故選：C．8．（2分）（2021春?東平縣期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)F，AG平分∠DAC．給出下列結(jié)論：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正確結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，∴∠BAD＝∠C，故①正確；∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，又∵∠AFE＝∠BFD（對(duì)頂角相等），∴∠AEF＝∠AFE，故②正確；∵∠ABE＝∠CBE，∴只有∠C＝30°時(shí)∠EBC＝∠C，故③錯(cuò)誤；∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論是①②④．故選：C．9．（2分）（2019秋?柯橋區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、DE分別是△ABC和△ACD的高，∠B＝2∠CDE，則∠A＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°解：設(shè)∠CDE＝x，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、DE分別是△ABC和△ACD的高，∠B＝2∠CDE，∴∠B＝2x，∠A＝90°﹣2x，∴∠A＝∠CDE＝x，可得：90°﹣2x＝x，解得：x＝30°，∴∠A＝90°﹣2×30°＝30°，故選：C．10．（2分）（2022春?青島期末）如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝56°，AD⊥BC，DE∥AC．則∠ADE的度數(shù)為（）A．56° B．46° C．44° D．34°解：∵∠BAC＝90°，DE∥AC（已知）∴∠DEA＝180°﹣∠BAC＝90°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵AD⊥BC，∠B＝56°，∴∠BAD＝34°，在△ADE中，DE⊥AB，∴∠ADE＝56°．故選：A．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2020春?市中區(qū)期末）如圖，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的點(diǎn)，將△ACD沿直線CD翻折，使點(diǎn)A恰好落在BC上的點(diǎn)E處，若∠BDE＝10°，則∠A＝50°．解：由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，∠DEC＝∠A，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∠BDE＝10°，∴∠A＝∠B+10°，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠B+10°＝90°，∴∠B＝40°，∴∠A＝50°，故答案為：50°．12．（2分）（2020春?青羊區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若∠DBE＝25°，則∠CAB＝50°．解：∵BE⊥AE，∴∠E＝∠C＝90°，∵∠ADC＝∠BDE，∴∠CAD＝∠DBE＝25°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAB＝2∠CAD＝50°，故答案為50°．13．（2分）（2019春?天寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝59°，EF∥GH，若∠1＝58°，則∠2＝27°．解：∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝59°，∴∠A＝31°，由三角形外角性質(zhì)，可得∠ADF＝∠1﹣∠A＝27°，又∵EF∥GH，∴∠2＝∠ADF＝27°，故答案為：27．14．（2分）（2022春?佛山期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)E處，CA與CE重合，折痕為CD，則∠EDB的度數(shù)是14°．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，∴∠B＝90°﹣52°＝38°，由題意可知△ECD≌△ACD，∴∠CED＝∠A＝52°，由圖可知∠CED是△EBD的外角，∴∠CED＝∠B+∠EDB，∴52°＝38°+∠EDB，∴∠EDB＝14°．故答案為：14°．15．（2分）（2022春?東坡區(qū)期末）在△ABC中，AC⊥BC于點(diǎn)C，AD平分∠BAC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，AD、BE相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EH交EH于點(diǎn)H．下列結(jié)論中：①∠CAD+∠CBE＝45°；②∠AEH＝2∠BAD；③AC平分∠DAH；④∠ADC＝∠FAH．正確的選項(xiàng)有①②④．（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)所有正確項(xiàng)的符號(hào)）解：∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵AD，EB分別平分∠CAB，∠CBA，∴∠CAD+∠CBE＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，故①正確，∵EH∥AB，∴∠AEH＝∠CAB＝2∠BAD，故②正確，若AC平分∠DAH，則∠HAE＝∠EAF＝∠DAB＝30°，顯然與已知矛盾，故③錯(cuò)誤，∵AH⊥EH，∴∠AEH+∠EAH＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠EAH＝∠ABD，∵∠ADC＝∠DAB+∠ABD，∠DAB＝∠DAC，∴∠ADC＝∠DAC+∠EAH＝∠DAH，故④正確．故答案為：①②④．16．（2分）（2019春?達(dá)川區(qū)期末）在下列條件中①∠A：∠B：∠C＝1：1：2，②∠A+∠B＝∠C，③∠B＝90°﹣∠A，④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝∠B＝∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有①②③④⑤解：①∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．②∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．③∵∠B＝90°﹣∠A，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．④∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．⑤∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠C＝90°，∠B＝60°，∠A＝30°，∴△ABC是直角三角形，故答案為①②③④⑤．17．（2分）（2019春?南岸區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線a∥b，在Rt△ABC中，點(diǎn)C在直線a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，則∠B的度數(shù)為60°．解：如圖，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝54°，∵∠3＝∠2+∠A，∴∠A＝54°﹣24°＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，故答案為60°．18．（2分）（2019春?海安市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，BE⊥AD于點(diǎn)E．若∠CAB＝50°，則∠DBE＝25°．解：∵∠C＝∠E＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴∠DBE＝∠DAC，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠CAB＝25°，故答案為25°．19．（2分）（2022春?合肥期末）如圖，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，F(xiàn)H⊥AB，若∠EDC＝55°；則∠FHC＝125度．解：∵DE⊥AC，AC⊥BC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DCB＝∠EDC＝55°，∵CD⊥AB，F(xiàn)H⊥AB，∴DC∥FH，∴∠BCD+∠FHC＝180°，∴∠FHC＝180°﹣55°＝125°，故答案為：125．20．（2分）（2022春?新城區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線a∥直線b，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)A落在直線a上，點(diǎn)B落在直線b上，若∠1＝18°，∠2＝32°，則∠ABC的大小為40°．解：如圖，作CK∥a．∵a∥b，CK∥a，∴CK∥b，∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，∴∠ACB＝∠1+∠2＝18°+32°＝50°，∵∠CAB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，故答案為：40°．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（6分）（2022春?崇川區(qū)期末）定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α+2β＝100°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙三角形”．（1）如圖1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求證：△ABD為“奇妙三角形”（2）若△ABC為“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求證：△ABC是直角三角形；（3）如圖2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD為“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接寫(xiě)出∠C的度數(shù)．（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD．在△ABC中，∵∠ACB＝80°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，即∠A+2∠ABD＝100°，∴△ABD為“奇妙三角形”．（2）證明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，∵△ABC為“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，∴∠B＝10°或∠A＝10°，當(dāng)∠B＝10°時(shí)，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．當(dāng)∠A＝10°時(shí)，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．由此證得，△ABC是直角三角形．（3）解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵△ABD為“奇妙三角形”，∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，①當(dāng)∠A+2∠ABD＝100°時(shí)，∠ABD＝（100°﹣40°）÷2＝30°，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，∴∠C＝80°；②當(dāng)2∠A+∠ABD＝100°時(shí)，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，∴∠C＝100°；綜上得出：∠C的度數(shù)為80°或100°．22．（8分）（2022春?鄂城區(qū)期末）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，BD平分∠ABC，若∠A＝50°，求∠D的度數(shù)．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝20°，∵CD∥AB，∴∠D＝∠ABD＝20°．23．（8分）（2022春?南安市期末）如圖，在直角三角形ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠BCD＝35°．（1）求∠CBD的度數(shù)；（2）斜邊AB在直線EF上，求∠CAE的度數(shù)．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，∠BCD＝35°，∴∠CBD＝180°﹣90°﹣35°＝55°；（2）∵△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵∠CAE是△ABC的一個(gè)外角，∴∠CAE＝∠ACB+∠CBD＝90°+55°＝145°．24．（8分）（2019春?海淀區(qū)校級(jí)期末）在△AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C為直線AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O，A不重合），分別作∠OBC和∠ACB的角平分線，兩角平分線所在直線交于點(diǎn)E．（1）若點(diǎn)C在線段AO上，如圖1．①依題意補(bǔ)全圖1；②求∠BEC的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BEC的度數(shù)是否變化？若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若變化，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并直接寫(xiě)出∠BEC的度數(shù)．解：（1）①圖形如圖所示．②設(shè)∠EBO＝∠EBC＝x，∠OCE＝∠ECK＝y(tǒng)．則有：，可得∠E＝×90°＝45°．（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)C在OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論∠BEC＝135°．理由：∵∠AOB＝90°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，∵∠EBC＝∠OBC，∠ECB＝∠OCB，∴∠EBC+∠ECB＝×90°＝45°，∴∠BEC＝180°﹣45°＝135°．如圖當(dāng)點(diǎn)C在AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可證：∠BEC＝135°．25．（10分）（2022春?平潭縣期末）已知直線a∥b，直角三角形ABC的邊與直線a分別相交于O、G兩點(diǎn)，與直線b分別交于E，F(xiàn)點(diǎn)，且∠ACB＝90°．（1）將直角三角形ABC如圖1位置擺放，如果∠AOG＝56°，則∠CEF＝126°；（2）將直角三角形ABC如圖2位置擺放，N為AC上一點(diǎn)，∠NEF+∠CEF＝180°，請(qǐng)寫(xiě)出∠NEF與∠AOG之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）將直角三角形ABC如圖3位置擺放，若∠GOC＝135°，延長(zhǎng)AC交直線b于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是射線GF上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)用平行的相關(guān)知識(shí)，探究∠POQ，∠OPQ與∠PQF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．解：（1）如圖，作CP∥a，∵a∥b，CP∥a，∴CP∥a∥b，∴∠ACP＝∠AOG＝56°，∠BCP+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，∴∠CEF＝180°﹣90°+∠AOG＝126°．故答案為：126°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由如下：如圖，作CP∥a，則CP∥a∥b，∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，∵∠NEF+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝∠NEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+∠NEF＝90°．（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在GF上時(shí)，作PN∥a，連接PQ，OP，則PN∥a∥b，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∴∠OPQ＝∠OPN+∠NPQ＝∠GOP+∠PQF，∵∠GOC＝∠GOP+∠POQ＝140°，∴∠GOP＝140°﹣∠POQ，∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF．如圖，當(dāng)點(diǎn)P在GF延長(zhǎng)線上時(shí)，作PN∥a，連接PQ，OP，則PN∥a∥b，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．綜上所述，∠POQ，∠OPQ與∠PQF的數(shù)量關(guān)系是∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．26．（10分）（2021春?姜堰區(qū)期中）如果三角形中任意兩個(gè)內(nèi)角∠α與∠β滿足2∠α+∠β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．（1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，試判斷△ABC是否是“準(zhǔn)直角三角形”，并說(shuō)明理由；（2）如果△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，那么△ABC是③；（從下列四個(gè)選項(xiàng)中選擇，填寫(xiě)符合條件的序號(hào)）（①銳角三角形；②直角三角形；③鈍角三角形；④都有可能）（3）如圖，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．①若DE∥BC交AB于點(diǎn)E，在①△ADE，②△BDE，③△BDC，④△ABD中“準(zhǔn)直角三角形”是④（填寫(xiě)序號(hào)），并說(shuō)明理由；②在直線AB上取一點(diǎn)F，當(dāng)△BFD是“準(zhǔn)直角三角形”時(shí)，求出∠DFB的度數(shù)．解：（1）是，理由如下∠A＝100°，∠B＝70°，則∠C＝180°﹣100°﹣70°＝10°，則2∠C+∠B＝90°∴△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”；（2）若△ABC是“準(zhǔn)直角三角形“，則可設(shè)2∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠A＜90°，∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＞90°，∴△ABC為鈍角三角形．故答案為：③．（3）①∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴2∠A+∠ABD＝50°+40°＝90°，∴△ABD是“準(zhǔn)直角三角形”，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝80°，∠ADE＝∠C＝75°，∠A＝25°，△AED不滿足“準(zhǔn)直角三角形”條件，∵∠EBD＝∠EDB＝40°，∴∠BED＝100°，△BED不滿足“準(zhǔn)直角三角形”條件，∵∠DBC＝40°，∠C＝75°，∴∠BDC＝180°﹣40°