幾何-曲線(xiàn)型幾何-弓形-4星題

課程目標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率

弓形B1.認(rèn)識(shí)弓形圖少考

2.掌握弓形圖計(jì)算面積的方法

知識(shí)提要

弓形

概念

由弦及其所對(duì)的弧所組成的圖形叫做弓形。

?一般公式

弓形面積=扇形面積-三角形面積

精選例題

弓形

1.如右圖所示，這是由一個(gè)半徑為4的圓把四分之一的圓周翻折而得的圖形，此圖形的面積

為.（取兀=3.14）

【答案】41.12

【分析】詳解：如圖1所示，陰影部分面積等于直角三角形4BC。的面積加上一個(gè)半圓即

12

4x8+2+2X不兀=8兀+16=41.12.

2.下圖中，2B是圓。的直徑，長(zhǎng)6厘米，正方形BCDE的一個(gè)頂點(diǎn)E在圓周上，乙ABE=

45°,那么圓。中非陰影部分的面積與正方形BCDE中非陰影部分面積的差等于平方

厘米（取TT=3.14）.

OB

【答案】10.26

【分析】經(jīng)過(guò)分析可以得到：圓。中非陰影部分面積與正方形BCDE中非陰影部分面積的

差，就是大圓的面積減去正方形的面積.正方形的面積可以用對(duì)角線(xiàn)X對(duì)角線(xiàn)+2得到.

2

3x3.14-6x64-2=10.26.

3.圖中陰影部分的面積是多少.（兀取3.14）

【答案】1.92

【分析】如右上圖，虛線(xiàn)將陰影部分分成兩部分，分別計(jì)算這兩部分的面積，再相加即可得

到陰影部分的面積.

,1/3\211199

所分成的弓形的面積為：/X0-37X4X=^7T-g；

177199

另一部分的面積為：c71X3-3X7=^-7；

99992727

所以陰影部分面積為：談-9+砂-]==茄7r"■萬(wàn)=1.92375?1.92.

4.在下圖所示的正方形4BCD中，對(duì)角線(xiàn)AC長(zhǎng)2厘米，扇形ZDC是以。為圓心，以為

半徑的圓的一部分.求陰影部分的面積.（兀=3.14）

【答案】1.14平方厘米.

【分析】如下圖所示:

DC

冗212

S1=~xAD--ADf

2

1fAC\171717

S2+S3=^rxl—j--AD=-^ixAC--AD.

因?yàn)?/p>

AC2=2AD2=4,

所以陰影部分的面積為:

n7171717

-xAD--ADAC--AD

428L

112

-TixAC2--AC

42

兀一2

1.14.

5.如圖所示，求各圖中陰部部分的面積.（圖中長(zhǎng)度單位為厘米，1T取3.14）

【答案】2.28cm2；4.56cm2；13.965cm2.

【分析】(1)

S陰=2xx2?-2x2+2

=2ir-4

2

=2.28(cm);

(2)

S陰=2x(|irx22-1x42)

=4ir-8

2

=4.56(cm);

(3)

11

S陰=^x72-2X72

=38.465-24.5

2

=13,965(cm).

6.已知三角形ABC是直角三角形，AC=4厘米，BC=2厘米，求陰影部分的面積.（豆取

3.14）

If

【答案】3.85平方厘米.

【分析】設(shè)兩個(gè)半圓的交點(diǎn)為0,接C。，

S陰影=5大半圓-544。。+$小半圓-543。。

=S大半圓+S小半圓-S△ABC,

所以，

1/4\21(2\21

S陰影=選＞0+天加-2X2X4

=2.5*4

=3.85(平方厘米).

7.如圖，兩個(gè)半徑為1的半圓垂直相交，橫放的半圓直徑通過(guò)豎放半圓的圓心，求圖中兩塊

陰影部分的面積之差.E取3)

【答案】0.5

【分析】本題要求兩塊陰影部分的面積之差，可以先分別求出兩塊陰影部分的面積，再計(jì)算

它們的差，但是這樣較為繁瑣.由于是要求面積之差，可以考慮先從面積較大的陰影中割去與

面積較小的陰影相同的圖形，再求剩余圖形的面積.如下圖所示，可知弓形BC或CD均與弓

形4B相同，所以不妨割去弓形BC.剩下的圖形中，容易看出來(lái)4B與C。是平行的，所以

△BCD與△4CD的面積相等，所以剩余圖形的面積與扇形4C0的面積相等，而扇形AC。的

面積為T(mén)TxFx券=0.5,所以圖中兩塊陰影部分的面積之差為0.5.

8.在一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形內(nèi)，分別以它的三條邊為直徑向內(nèi)作三個(gè)半圓，則圖中陰影

部分的面積是多少平方厘米?

【答案】2

【分析】采用割補(bǔ)法.如果將陰影半圓中的2個(gè)弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就

形成兩個(gè)相同的等腰直角三角形，所以陰影部分的面積等于兩個(gè)等腰直角三角形的面積和，即

正方形面積的一半，所以陰影部分的面積等于2?*5=2平方厘米.

9.求圖中陰影部分的面積.

312C

【答案】36

【分析】

如圖，連接BD,可知陰影部分的面積與三角形BCD的面積相等，即為

11

—x—x12x12=36.

10.圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（圖中長(zhǎng)度單位為厘米，兀取3.14）

【答案】12平方厘米

【分析】陰影部分可以合成三個(gè)斜邊是4的等腰直角三角形，面積是3x4x4+4=12平

方厘米.

11.如圖，已知三角形GH/是邊長(zhǎng)為26厘米的正三角形，圓。的半徑為15厘米.

LAOB=/.COD=^EOF=90°.求陰影部分的面積.

AGF

【答案】221.625平方厘米.

【分析】

總陰影面積=每塊陰影面積x3=（大弓形-小弓形）x3.

關(guān)鍵在于大弓形中三角形的面積，設(shè)/為弧G/的中點(diǎn)，則可知G。〃是菱形，GQ/是正三角形,

所以，三角形GO。的面積

115

—xx26.

所以大弓形的面積：

1115

S=rnx157--X—x26=235.5-97.5=138.

以ril322

小弓形的面積：

1212

SFJE=^TTX15--X15=176.625-112.5=64.125.

所以，總陰影面積

（138-64.125）x3=221.625（平方厘米）.

12.如圖，4BC是等腰直角三角形，。是半圓周的中點(diǎn)，是半圓的直徑.已知

AB=BC=10,那么陰影部分的面積是多少？（n取3.14）

【答案】32.125

【分析】連接P。、AP,BD,如圖，P0平行于A(yíng)B,則在梯形ABOP中，對(duì)角線(xiàn)交于“點(diǎn),

那么AABD與△曲2面積相等，則陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為△ABP與圓內(nèi)的小弓形的面積和.

AABP的面積為:

10x(10+2)+2=25;

弓形面積：

3.14x5x5+4-5x5+2=7.125;

陰影部分面積為：

25+7.125=32.125.

13.如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為Sp空白部分面積為52,那么這

兩個(gè)部分的面積之比是多少？（圓周率取3.14）

【答案】57:100

【分析】如圖添加輔助線(xiàn)，小圓內(nèi)部的陰影部分可以填到外側(cè)來(lái)，這樣，空白部分就是一個(gè)

圓的內(nèi)接正方形.

222

設(shè)大圓半徑為r,MS2-2r,=irr-2r,所以

~=（3.14-2）:2=57:100.

移動(dòng)圖形是解這種題目的最好方法，一定要找出圖形之間的關(guān)系.

14.如圖，等腰直角三角形的一腰的長(zhǎng)是8厘米，以它的兩腰為直徑分別畫(huà)了兩個(gè)半圓，那么

陰影部分的面積共有多少平方厘米？（兀取3.14）

【答案】18.24

【分析】如下圖，我們將原題中陰影部分分成①、②、③、④4個(gè)部分，并且這4個(gè)部

分的面積相等.

有②、③部分的面積和為二分之一圓的面積與其內(nèi)等腰直角三角形的面積差.

二分之一圓的面積為

1

-X4X4XTT~8X3.14=25.12.

其內(nèi)等腰直角的底為8,高為4,所以其面積為

1

2x8x4=16,

所以②、③部分的面積和為

25.12-16=9.12（平方厘米）.

而①、②、③、④四部分的面積和為②、③部分的面積和的2倍，即為

9.12x2=18.24（平方厘米）.

所以，原題中陰影部分的面積共有18.24平方厘米.

15.大正方形的面積是400平方厘米，被平均分成4個(gè)相同的小正方形.請(qǐng)依次求出四個(gè)陰影

部分的面積？（n取3.14）

【答案】21.5平方厘米；28.5平方厘米；57平方厘米；28.5平方厘米.

【分析】大正方形的面積是400平方厘米，所以小正方形的面積是100平方厘米，邊長(zhǎng)是

10厘米.

陰影部分像鐮刀，面積為小正方形減扇形

1

S1=1（/2jxnx10“2=21.5（平方厘米）；

陰影部分即弓形，面積為扇形減等腰直角三角形

1212

S2=-XTTX10--X10=28.5（平方厘米）；

陰影部分像種子，面積為2倍的弓形

S3=2S2=2x28.5=57（平方厘米）；

陰影部分像魚(yú)的形狀，右上角像魚(yú)頭，左下角為魚(yú)尾，將魚(yú)頭一分為二分別補(bǔ)到魚(yú)尾處，陰影

部分就變成一個(gè)弓形，即

S4=S2=28.5（平方厘米）.

16.如下圖所示，4B為圓。的直徑，點(diǎn)。在圓。上.在梯形4BCD中，線(xiàn)段AB與線(xiàn)段DC

都分別垂直于BC；AB=2CD；弧。MB是以點(diǎn)C為圓心的圓弧.請(qǐng)問(wèn)下圖中陰影部分的面積

22

與圓。的面積之比是多少？（取TT=尸）

13

【答案】石

22

【分析】不妨設(shè)兩圓的半徑為1,則圓。的面積為了，陰影部分的面積等于梯形4BC0的面

積減去弓形DMB的面積的2倍：

112221213

—x（l+2）xl-2x—X—xl+2x—x1=-1

L4/L

所以面積比為