第七章相關(guān)與回歸分析第一節(jié)相關(guān)分析的意義和任務(wù)

第二節(jié)簡單線性相關(guān)分析

第三節(jié)直線回歸分析

大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析教學(xué)目的和要求教學(xué)目的：培養(yǎng)對(duì)雙變量數(shù)據(jù)資料進(jìn)行相關(guān)分析和回歸分析的基本能力。教學(xué)要求：①了解相關(guān)關(guān)系的概念及種類；②掌握相關(guān)分析的原理、相關(guān)系數(shù)的測(cè)定方法及相關(guān)系數(shù)取值含義；③掌握回歸分析的原理、方法及應(yīng)用，重點(diǎn)掌握簡單線性回歸方程的擬合及應(yīng)用，明確直線回歸方程中待定參數(shù)的含義。

教學(xué)重點(diǎn)：相關(guān)分析與線性回歸的基本步驟與方法，線性相關(guān)與線性回歸系數(shù)的意義及應(yīng)用。大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析變量之間的關(guān)系學(xué)歷和收入之間的關(guān)系廣告投入與銷售額之間的關(guān)系大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析第一節(jié)相關(guān)分析的意義和任務(wù)相關(guān)關(guān)系的概念相關(guān)關(guān)系的種類相關(guān)分析的主要內(nèi)容大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析⒈出租汽車費(fèi)用與行駛里程：總費(fèi)用=行駛里程每公里單價(jià)⒉家庭收入與恩格爾系數(shù)：家庭收入高，則恩格爾系數(shù)低。函數(shù)關(guān)系（確定性關(guān)系）相關(guān)關(guān)系（非確定性關(guān)系）一、相關(guān)關(guān)系的概念大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析某種商品的銷售額(y)與銷售量(x)之間的關(guān)系可表示為y=px

(p為單價(jià))圓的面積(S)與半徑之間的關(guān)系可表示為S=R2

企業(yè)的原材料消耗額(y)與產(chǎn)量(x1)、單位產(chǎn)量消耗(x2)、原材料價(jià)格(x3)之間的關(guān)系可表示為

y=x1x2x3

變量間的關(guān)系:一類是變量間存在著完全確定性的關(guān)系，這類變量間的關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系。大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析是一一對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系設(shè)有兩個(gè)變量x和y，變量y隨變量x一起變化，并完全依賴于x，當(dāng)變量x取某個(gè)數(shù)值時(shí)，

y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量各觀測(cè)點(diǎn)落在一條線上

xy大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析另一類是變量間不存在完全的確定性關(guān)系，不能用精確的數(shù)學(xué)公式來表示，雖然這些變量間存在著十分密切的關(guān)系，但不能由一個(gè)或幾個(gè)變量的值精確地求出另一個(gè)變量的值。這些變量間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系，把存在相關(guān)關(guān)系的變量稱為相關(guān)變量。大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析

相關(guān)關(guān)系的例子商品的消費(fèi)量(y)與居民收入(x)之間的關(guān)系商品銷售額(y)與廣告費(fèi)支出(x)之間的關(guān)系糧食畝產(chǎn)量(y)與施肥量(x1)、降雨量(x2)、溫度(x3)之間的關(guān)系收入水平(y)與受教育程度(x)之間的關(guān)系父親身高(y)與子女身高(x)之間的關(guān)系大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析變量間關(guān)系不能用函數(shù)關(guān)系精確表達(dá)一個(gè)變量的取值不能由另一個(gè)變量唯一確定當(dāng)變量x取某個(gè)值時(shí)，變量y的取值可能有幾個(gè)各觀測(cè)點(diǎn)分布在直線周圍

xy大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的聯(lián)系（1）都可用函數(shù)式加以描述，但表達(dá)式不同；（2）函數(shù)有時(shí)也可能表現(xiàn)為相關(guān)關(guān)系；（3）相關(guān)分析有時(shí)需要利用函數(shù)關(guān)系數(shù)學(xué)表達(dá)式來研究；（4）相關(guān)關(guān)系是相關(guān)分析的研究對(duì)象，函數(shù)關(guān)系是相關(guān)分析的工具。大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析相關(guān)關(guān)系按方向或性質(zhì)分正相關(guān)負(fù)相關(guān)按相關(guān)程度分完全相關(guān)不完全相關(guān)無相關(guān)按表現(xiàn)形式分直線相關(guān)曲線相關(guān)按變量個(gè)數(shù)分單相關(guān)復(fù)相關(guān)二、相關(guān)關(guān)系的種類大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析相關(guān)關(guān)系的圖示

不相關(guān)

負(fù)線性相關(guān)

正線性相關(guān)

非線性相關(guān)

完全負(fù)線性相關(guān)完全正線性相關(guān)

大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析相關(guān)分析的主要內(nèi)容歸納起來有：（1）確定變量之間有無相關(guān)關(guān)系及其表現(xiàn)形式；（2）確定相關(guān)關(guān)系的密切程度。三、相關(guān)分析的主要內(nèi)容大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析第二節(jié)簡單線性相關(guān)分析一、相關(guān)圖和相關(guān)表二、相關(guān)系數(shù)的測(cè)定與應(yīng)用大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析

先定性判斷，后定量分析（一）繪制相關(guān)圖與相關(guān)表

1.簡單相關(guān)表：是資料未經(jīng)分組的相關(guān)表，它是把某一變量按照從小到大的順序排列并配合另一變量值一一對(duì)應(yīng)而平行排列起來的統(tǒng)計(jì)表。

一、相關(guān)圖和相關(guān)表大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析銷售額與流通費(fèi)用相關(guān)表散點(diǎn)圖

大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析某市家庭收入與消費(fèi)支出相關(guān)表散點(diǎn)圖

（二）分組相關(guān)表和相關(guān)圖

大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析四組數(shù)據(jù)(每個(gè)有兩個(gè)變量的樣本)的散點(diǎn)圖大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析二、相關(guān)系數(shù)的測(cè)定與應(yīng)用相關(guān)系數(shù)的概念：說明變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度和方向的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)，一般用r表示。（一）積差法大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析（5）|r|<0.3為不相關(guān)，0.3<|r|<0.5低度相關(guān)，0.5<|r|<0.8明顯相關(guān)，|r|>0.8高度相關(guān)。相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)：（1）大小處于[-1,+1]之間；（2）絕對(duì)值越接近于1，相關(guān)程度越高；｜r｜=1表示完全相關(guān)；（3）越接近于0，相關(guān)程度越低；r=0表示變量之間不相關(guān)；（4）r>0表示正相關(guān),r<0表示負(fù)相關(guān)；大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析簡單相關(guān)關(guān)系的取值及其意義-1.0+1.00-0.5+0.5完全負(fù)相關(guān)無線性相關(guān)完全正相關(guān)負(fù)相關(guān)程度增加r正相關(guān)程度增加大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析積差法的簡化公式得到公式：大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析相關(guān)系數(shù)的簡捷公式或化簡為大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析簡單相關(guān)系數(shù)的方向和程度的決定因素根據(jù)公式，可以看出：簡單相關(guān)系數(shù)為正或負(fù)，主要取決于式子，若則說明是正相關(guān)；，則是負(fù)相關(guān)；，則是零相關(guān)?？梢姾唵蜗嚓P(guān)系數(shù)的實(shí)質(zhì)，是通過協(xié)方差來說明相關(guān)關(guān)系密切程度的。大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析產(chǎn)量（千件）單位成本（元/件）273372471373469568

理論上可以先通過定性判斷、畫散點(diǎn)圖等確定兩個(gè)變量間是否有關(guān)系，在此基礎(chǔ)上可以直接用公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)。公式的選擇可以根據(jù)實(shí)際的資料和計(jì)算條件來確定。注意：在計(jì)算相關(guān)系數(shù)時(shí)，無需確定自變量和因變量，所以x、y的確定是任意的。大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析用簡捷公式的相關(guān)系數(shù)計(jì)算表產(chǎn)量x（千件）單位成本y（元/件）xyx2y2273146453293722169518447128416504137321995329469276164761568340254624合計(jì)2142614817930268

即單位成本與產(chǎn)量間存在著高度的線性負(fù)相關(guān)關(guān)系。大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析

我國人均國民收入與人均消費(fèi)金額數(shù)據(jù)單位:元年份人均國民收入人均消費(fèi)金額年份人均國民收入人均消費(fèi)金額1981198219831984198519861987393.8419.14460.86544.11668.29737.73859.972492672893294064515131988198919901991199219931068.81169.21250.71429.51725.92099.56436907138039471148簡單相關(guān)系數(shù)的算例【例】在研究我國人均消費(fèi)水平的問題中，把全國人均消費(fèi)額記為y，把人均國民收入記為x。我們收集到1981～1993年的樣本數(shù)據(jù)(xi

，yi)，i=1,2,…，13，數(shù)據(jù)見下表，計(jì)算相關(guān)系數(shù)。大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析在計(jì)算時(shí)可以列出表格，將需要的數(shù)據(jù)列在表中的相應(yīng)位置，以免出錯(cuò)。解：根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式有人均國民收入與人均消費(fèi)金額之間的相關(guān)系數(shù)為0.9978，說明兩者之間是高度線性相關(guān)的。大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析第三節(jié)直線回歸分析一、簡單直線回歸分析二、多元線性回歸分析大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析

“回歸”一詞是由英國生物學(xué)家F.Galton在研究人體身高的遺傳問題時(shí)首先提出的。根據(jù)遺傳學(xué)的觀點(diǎn)，子輩的身高受父輩影響，以X記父輩身高，Y記子輩身高。雖然子輩身高一般受父輩影響，但同樣身高的父親，其子身高并不一致，因此，X和Y之間存在一種相關(guān)關(guān)系。一般而言，父輩身高者，其子輩身高也高，依此推論，祖祖輩輩遺傳下來，身高必然向兩極分化，而事實(shí)上并非如此，顯然有一種力量將身高拉向中心，即子輩的身高有向中心回歸的特點(diǎn)。“回歸”一詞即源于此。大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析平均身高回歸：退回regression1877年弗朗西斯?高爾頓爵士遺傳學(xué)研究回歸線大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析（一）回歸分析的概念及實(shí)質(zhì)

1.回歸分析概念：是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間的數(shù)量變化進(jìn)行數(shù)量測(cè)定，配合一定的模型，以便對(duì)因變量進(jìn)行預(yù)測(cè)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。

2.回歸分析的實(shí)質(zhì)：是在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，研究現(xiàn)象間的數(shù)量變化規(guī)律。大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析（二）回歸分析與相關(guān)分析的關(guān)系（1）相關(guān)分析中，變量x變量y處于平等的地位，毋需確定自變量、因變量，而回歸分析必須區(qū)別。（2）相關(guān)分析中所涉及的變量x和y都是隨機(jī)變量；回歸分析中，因變量y是隨機(jī)變量，自變量x可以是隨機(jī)變量，也可以是非隨機(jī)的確定變量。（3）相關(guān)分析主要是描述變量之間有無關(guān)系？密切程度如何？回歸分析則進(jìn)一步揭示變量x對(duì)變量y的影響大小，并可以由回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制。

大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析回歸分析的種類一元回歸（簡單回歸）多元回歸（復(fù)回歸）線性回歸非線性回歸一元線性回歸按自變量的個(gè)數(shù)分⒈按回歸曲線的形態(tài)分⒉大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析對(duì)于經(jīng)驗(yàn)判斷具有線性關(guān)系的兩個(gè)變量y與x，構(gòu)造一元線性回歸模型為：一、簡單直線回歸分析大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析（一）一元線性回歸方程的幾何意義截距斜率一元線性回歸方程的可能形態(tài)b為正b為負(fù)b為0大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析一元線性回歸方程：斜率（回歸系數(shù)）截距截距a表示在沒有自變量x的影響時(shí)，其它各種因素對(duì)因變量y的平均影響；回歸系數(shù)b表明自變量x每變動(dòng)一個(gè)單位，因變量y平均變動(dòng)b個(gè)單位。大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析1為了精確地描述Y與X之間的關(guān)系，必須使用這兩個(gè)變量的每一對(duì)觀察值，才不至于以點(diǎn)概面（作到全面）。2在Y與X的散點(diǎn)圖上畫出直線的方法很多。任務(wù)？找出一條能夠最好地描述Y與X（代表所有點(diǎn)）之間的直線。3什么是最好？—找出判斷“最好”的原則。最好指的是找一條直線使得這些點(diǎn)到該直線的縱向距離的平方和最小。（二）最小平方法大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析yx縱向距離橫向距離A為實(shí)際點(diǎn)，B為擬合直線上與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析問題：為什么要使殘差的平方和最小，而不是殘差和最小呢？考慮到符號(hào)問題，如果將各殘差取絕對(duì)值，然后再加總，計(jì)算過程會(huì)比較麻煩。而對(duì)各殘差取平方，再加總，可以避免殘差的符號(hào)問題，同時(shí)計(jì)算較為簡便?；叵腩愃频挠?jì)算原則。大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析基本數(shù)學(xué)要求：大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析整理得到由兩個(gè)關(guān)于a、b的二元一次方程組成的方程組：進(jìn)一步整理，有：大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析序號(hào)能源消耗量（十萬噸）x工業(yè)總產(chǎn)值（億元）yx2y2xy1234567891011121314151635384042495254596264656869717276242524283231374041404750495148581225144416001764240127042916348138444096422546244761504151845776576625576784102496113691600168116002209250024012601230433648409509601176156816121998236025422560305534003381362134564408合計(jì)916625550862617537887大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理經(jīng)典第七章相關(guān)與回歸分析【分析】因?yàn)楣I(yè)總產(chǎn)值與能源消耗量之間存在高度正相關(guān)關(guān)系（），所以可以擬合工業(yè)總產(chǎn)值對(duì)能源消耗量的線性回歸方程。【例】建立工業(yè)