第八章§8.5橢圓

知識(shí)過(guò)關(guān)

一、單項(xiàng)選擇題

1.“1<后<5”是方程“上+」'2-=1表示橢圓”的（）

5-k

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?濟(jì)南模擬）若橢圓C?+￥=1的離心率為W，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）

m23

A.2也B呼或2^6

C.2/D.2也或2#

3.（2022?全國(guó)甲卷）已知橢圓C：，+，=l（a>b>0）的離心率為:，Ax,4分別為C的左、右

頂點(diǎn)，8為C的上頂點(diǎn).若五不?互石=—1,則C的方程為（）

2彥

A.《十武=1Bx.L+-=1

181698

C.X=1口.：+戶1

32

4.（2024?昆明模擬）已知橢圓C：[+[=1的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,直線與橢圓

。交于4,8兩點(diǎn)，若以8尸尸1%|,則的面積等于（）

A.18B.10C.9D.6

5.（2023?沈陽(yáng)模擬）魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽（圖（1））為研究球體的體積公式，創(chuàng)造了一個(gè)獨(dú)特的立

體圖形“牟合方蓋”，它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一圓柱的側(cè)面

上.將兩個(gè)底面半徑為1的圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入棱長(zhǎng)為2的正方體時(shí)（如圖（2））,兩

圓柱公共部分形成的幾何體（如圖（3））即得一個(gè)“牟合方蓋”，圖（4）是該“牟合方蓋”的直觀

圖（圖中標(biāo)出的各點(diǎn)N,B,C,D,P,。均在原正方體的表面上）.

p

Q

⑶(4)

由“牟合方蓋”產(chǎn)生的過(guò)程可知，圖⑷中的曲線為一個(gè)橢圓，則此橢圓的離心率為

6.（2023?陜西省安康中學(xué)模擬）已知尸為橢圓C：1（心6>0）上一點(diǎn),若C的右焦點(diǎn)F

的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)M滿足|兩=1,PM-FM=0,若|西的最小值為2也，則橢圓C的方程為

)

B工+匕=i

3627

c工N+匕V2=i

167

二、多項(xiàng)選擇題

7.（2023?長(zhǎng)沙模擬）人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)

的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒定律，即衛(wèi)星

的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等.設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為

2a,2c,下列結(jié)論正確的是（）

A.衛(wèi)星向徑的取值范圍是[a—c,a+c]

B.衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最大

C.衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越圓

D.衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間

22

8.已知橢圓工+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸1,尸2,點(diǎn)尸在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂

42

點(diǎn)重合，則下列關(guān)于△尸。尸2的說(shuō)法正確的有（）

A.△PBEz的周長(zhǎng)為4+2也

B.當(dāng)/尸為尸2=90°時(shí)，|產(chǎn)西|=2

C.當(dāng)/尸田尸2=60°時(shí)，△尸西凡的面積為*?

3

D.橢圓上有且僅有6個(gè)點(diǎn)尸，使得△尸。尸2為直角三角形

三、填空題

9.已知~(—2,0),22(2,0)是橢圓C的焦點(diǎn)，過(guò)尸2且垂直于x軸的直線交橢圓C于42兩

點(diǎn)，且［48|=6,則橢圓C的方程為.

10.橢圓T^+《=l(加>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為尸1,F2,與夕軸的一個(gè)交點(diǎn)為4若NF1AF2

=四，則m=.

3--------

11.已知一個(gè)離心率為1,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，其兩個(gè)焦點(diǎn)分別為尸1,反，在橢圓上存在一

2

點(diǎn)尸，使得/尸上尸2=60。，設(shè)△尸為凡的內(nèi)切圓半徑為r,則r的值為_(kāi)_______.

12.(2023?濰坊模擬)如圖，菱形架/BCD是一種作圖工具，由四根長(zhǎng)度均為4的直桿用錢(qián)鏈

首尾連接而成.已知力,?？稍趲Щ鄣闹睏U/上滑動(dòng)；另一根帶滑槽的直桿D8長(zhǎng)度為4,

且一端記為“，另一端用錢(qián)鏈連接在D處，上述兩根帶滑槽直桿的交點(diǎn)尸處有一栓子(可在

帶滑槽的直桿上滑動(dòng)).若將〃，8固定在桌面上，且兩點(diǎn)之間距離為2,轉(zhuǎn)動(dòng)桿/TO,則點(diǎn)P

到點(diǎn)B距離的最大值為.

D

四、解答題

13.(2024?西安模擬)已知橢圓C：定+，=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為9(—c,0),F2(c,0),

過(guò)尸2作垂直于X軸的直線/交橢圓于a8兩點(diǎn),且滿足|/尸2|=近，

6

(1)求橢圓C的離心率；

(2)M,N是橢圓C短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)(異于橢圓C的頂點(diǎn))，直線VP,

NF分別與x軸相交于R,。兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若。穴卜。0|=4,求橢圓C的方程.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8與點(diǎn)/I1'2」關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與8尸

的斜率之積等于1

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并注明X的取值范圍；

（2）設(shè)直線AP與BP分別與直線x=3交于M,N,問(wèn)是否存在點(diǎn)P使得與面積

相等？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

lb能力拓展

15.（2023?衡陽(yáng)聯(lián)考）已知橢圓C：4+片=15>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為為，尸2,過(guò)尸1作直

crb1

線/與橢圓。相交于跖N兩點(diǎn)，NMFW=90。，且4門(mén)劉=3/陽(yáng)，則橢圓的離心率為（）

22

⑹（2。24?呼和浩特模擬）已知點(diǎn)P是橢%+.1上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，用為橢圓的左、

右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若/是/尸1尸產(chǎn)2平分線上的一點(diǎn)，且記應(yīng)?癡=0,則|勵(lì)的取值范

圍是?

§8.5橢圓

1.A2.D3.B4.C

5.A［如圖，連接/C,3。交于點(diǎn)O,連接尸O,

立

Q

由“牟合方蓋”產(chǎn)生的過(guò)程可知，圖中的曲線網(wǎng)0D所對(duì)應(yīng)的橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=2口=2/,

短軸長(zhǎng)2b=|尸。|=2,

于是可得此橢圓的半焦距二涼=1,

因此離心率e=-=-.］

a2

6.B［如圖，

OX

???|兩=1,

又：屈f俞=0,

：.PM±FM,

即PMLFM,

：.\PM\=\PM\=yJ\PF\2~\FA4\2=yj\PF\2-l,

當(dāng)點(diǎn)尸為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，|尸尸|取最小值,\PF\mm=a-c=a-3,

此時(shí)|兩min=>(a—3)2—1=2仍,

解得。=0(舍)或a=6,

222

b=a—c=36—9=279

二橢圓。的方程為？+正=1.］

7.ACD［根據(jù)橢圓定義知衛(wèi)星向徑的取值范圍是［Q—C,a+c］,A正確；

根據(jù)面積守恒定律，衛(wèi)星在近地點(diǎn)時(shí)向徑最小，故速度最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑最大，故速度

最小，B不正確；

a-c_1_e_2

1,比值越大，則e越小，橢圓軌道越圓，C正確;

a-\-c1+e1+e

當(dāng)衛(wèi)星在左半橢圓弧上運(yùn)行時(shí)，對(duì)應(yīng)的速度慢，根據(jù)面積守恒定律，則運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)，D正確.]

8.AD[由橢圓的方程可得，a=2,b=、/2,c=~\j2,

△PF1F2的周長(zhǎng)為1PBl+|尸尸2|+尸匹|=20+2c=4+2也，故A正確；

當(dāng)NPE尸2=90。時(shí)，PE_Lx軸，令x~也,可得y=±l,

所以故B不正確；

當(dāng)NEPF2=60。時(shí)，的面積為b2-tan30o=2X/=",故C不正確；

33

當(dāng)點(diǎn)P位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，『為|=|尸/司=。=2,而內(nèi)正2|=2c=2也，此時(shí)/尸山尸2=90。,

有2個(gè)直角三角形，

當(dāng)PFi±FIF2時(shí)，NPFiFz=90°,

此時(shí)點(diǎn)尸位于第二或第三象限，有2個(gè)直角三角形，

同理可得尸入J_FIF2時(shí)，/PF/i=90。，

此時(shí)有2個(gè)直角三角形，所以共有6個(gè)直角三角形，故D正確.]

9.—+^=110.3

1612

113

3

解析因?yàn)闄E圓的離心率為:，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,所以。=2,c=l,

2

在△PEB中，由余弦定理得

222ICOSI2I

IF1F2I=\PFII+\PF2\-2|PF||PF2|600=（|^F|+|PF2|）一3|PF||PF2|,

解得尸尸小尸7司=4,

所以S△咫后=3代4PF2|sin60。=%P人|+叱2|+「典），

即1X4X/=LX（4+2）,

222

解得

3

12.3

解析連接5。，PB,（圖略），

因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則4C為線段班）的垂直平分線，故|必|=甲。，

所以|耽十|必|=|尸2/|+1尸0=|。//|=4>2=|班7|,

故點(diǎn)夕的軌跡是以5,〃為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，

可得2a=4,2c=2,即Q=2,c=l,

所以|尸的最大值為a+c=3.

13.解(1)由題意，

令》=°,可得產(chǎn)=〃[1—力，

解得了=盧，可得尤=金以

aa6

又由c2=a2~b2,

整理得6a2—6c2=\[3ac,

即6—6e2=yj3e,

即6/+#?—6=0,解得e=宣，

2

即橢圓C的離心率為

2

(2)由橢圓。的方程，可得MO,b),N(0，—b),

設(shè)P(xo,yd),所以b2xi+a2yi=a2b2,

則直線〃尸的方程為y=也二"+6,

Xo

令y=0,可得XR=3,

b—yo

同理直線NF的方程為了=如乜-6,令y=0,可得攻=凡

XQb+次

因?yàn)?。刈。。|=儼;=層=4,

解得。=2,

又因?yàn)閑=也，所以c=3,

2

則b=\ja2—c2=1,

所以橢圓C的方程為：+產(chǎn)=1.

14.解(1)因?yàn)辄c(diǎn)2與點(diǎn)/1―1'J

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為[1，-2),

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,回，

3.3

y—y~\2

由題意得，?，=—9,

X-\-1X—1

化簡(jiǎn)得止+M=l(xW±l),

43

22

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為工+工=l(xN±l).

43

(2)若存在點(diǎn)P使得△243與△PAW的面積相等，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(xo,yo),

則3口卜『3卜$也//尸5

■\PN\-sinZMPN,

因?yàn)閟in/APB=sin/MPN,

所以也=叫

\PM\\PB\

所以的+1|=|3一瀏

|3—xo||xo-1|

即(3—xo)2=|x§—1|,

解得xo=9,

3

22

因?yàn)楣?匕=l(xW±l),

43

所以外=色，

6

故存在點(diǎn)尸使得AP4B與叢PMN的面積相等,

［5,而］

此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為〔3，6J.

15.D［如圖所示，設(shè)「典|=2c,

因?yàn)?尸訓(xùn)=3門(mén)陽(yáng)，

設(shè)/切=3/,

則尸幽=47,

在RtAF2AW中，\MN\=幣而不M=5/,

由橢圓定義可知/囹=2a—3f,

\F\M\=2a~4t,

|RN|+\FxM\=\MN\=4a—7t=5t,