第02講等差數(shù)列及其前n項和

（10類核心考點精講精練）

IfV考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2024年新I卷，第19題,17分等差數(shù)列通項公式的基本量計算數(shù)列新定義

等差數(shù)列通項公式的基本量計算

2024年新H卷，第12題,5分無

求等差數(shù)列前n項和

等差數(shù)列通項公式的基本量計算

2024年全國甲卷，第4題,5分利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算無

等差數(shù)列前n項和的基本量計算

由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列

2023年新I卷，第7題,5分充分條件與必要條件的判定

等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)

等差數(shù)列通項公式的基本量計算利用

2023年新I卷，第20題,12分等差數(shù)列的性質(zhì)計算無

等差數(shù)列前n項和的基本量計算

利用定義求等差數(shù)列通項公式

2023年新H卷，第18題,12分等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等分組（并項）-奇偶項求和

差數(shù)列前n項和

利用%與￡，關(guān)系求通項或項

2022年新I卷，第17題,10分利用等差數(shù)列通項公式求數(shù)列中的項累乘法求數(shù)列通項

裂項相消法求和

數(shù)學(xué)新文化

2022年新II卷，第3題,5分等差數(shù)列通項公式的基本量計算

已知斜率求參數(shù)

等比數(shù)列通項公式的基本量計算

2022年新H卷，第17題,10分等差數(shù)列通項公式的基本量計算

數(shù)列不等式能成立（有解）問題

利用定義求等差數(shù)列通項公式由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)

2021年新I卷，第17題,10分

求等差數(shù)列前n項和分組（并項）-奇偶項求和

等差數(shù)列通項公式的基本量計算

2021年新H卷，第17題,10分解不含參數(shù)的一元二次不等式

求等差數(shù)列前n項和

1

2020年新I卷，第14題,5分求等差數(shù)列前n項和無

2020年新H卷，第15題,5分求等差數(shù)列前"項和無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分

【備考策略】1.理解等差數(shù)列的概念

2掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式

3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題

4.理解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系及等差數(shù)列通項公式與前n項和的關(guān)系

5.熟練掌握等差數(shù)列通項公式與前n項和的性質(zhì)

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等差數(shù)列，或通過構(gòu)造為等差數(shù)列，求通

項公式及前〃項和。需綜合復(fù)習(xí)

d2?考點梳理?

知識點1等差數(shù)列的定義

知識點2數(shù)學(xué)表達(dá)式

知識點3通項公式

知識點4等差數(shù)列通頊公式與函數(shù)關(guān)系

知識點5等差中項

知識點6等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)

知識點7等差數(shù)列前詆和

知識點8等差數(shù)列前n項和與函數(shù)關(guān)系

知識點9等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)

知識點10證明數(shù)列為等差數(shù)列的方法

考點1等差數(shù)列的項、公差及通項公式的求解

考點2等差中項的應(yīng)用

考點3等差數(shù)列的性質(zhì)

考點4等差數(shù)列前胸和的求解

考點5等差數(shù)列前傾和的性質(zhì)

核心考點考點6等差數(shù)列通項公式與前n項和的關(guān)系

考點7等差數(shù)列通項公式與前n項和的最值

考點8等差數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化

考點9等差數(shù)列奇偶項的和

考點10等差數(shù)列的證明

知識講解

1.等差數(shù)列的定義

從第二項開始，后一項與前一項的差為同一個常數(shù)，這個數(shù)列是等差數(shù)列，這個常數(shù)是等差數(shù)列的公差,

2

用d表示

2.數(shù)學(xué)表達(dá)式

an^-an=d

3.通項公式

an=al+(n-\)d,(ne7V+),an=am+｛n-m)d,｛neN+)

4.等差數(shù)列通項公式與函數(shù)關(guān)系

an=q+-\）d=>an=dn+d_d）

令K=d,B=ax-d,=>+5=>等差數(shù)列｛a,J為一次函數(shù)

5.等差中項

若A,B,C三個數(shù)成等差數(shù)列，則23=2+C,其中8叫做Z,C的等差中項

6.等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)

(1)若加+〃=)+[=am+an=ap+aq,或加+場=2。=am+an=2ap

⑵若｛%｝,包｝為等差數(shù)列，貝ij｛%土”｝,｛加％土機(jī)｝仍為等差數(shù)列

7.等差數(shù)列前n項和

?n(a,+??)??n(n-1W

S=-——或S=na,+——)—

"n2n2

8.等差數(shù)列前n項和與函數(shù)關(guān)系

cmn-l)ddn2-dn「d?(d\

S?=na,+------—=>d?=na,---------=4>S?=-+a,-----\n

"1222I2j

令A(yù)=一，B=a,——,=4>S=An2+Bn

22"

n等差數(shù)列｛4｝前〃項和公式是無常數(shù)項的二次函數(shù)

9.等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)

(1)耳，邑*—耳，s3k-s2k……仍成等差數(shù)列

(2)圖為等差數(shù)列

推導(dǎo)過程：=An+B（一次函數(shù)）n出為等差數(shù)列

nnInI

（3）Sm+n=Sm+Sn+rnnd

⑷$20_1=（2〃—1）%

10.證明數(shù)列為等差數(shù)列的方法

（1）an+l-a?=c（C為常數(shù)）=>｛4｝為等差數(shù)列

2

（2）通項公式：an=Kn+B（一次函數(shù)），前〃項和：Sn=An+Bn（無常數(shù)項的二次函數(shù)）

3

(3)若28=Z+C,則Z,B,。三個數(shù)成等差數(shù)列

考點一、等差數(shù)列的項、公差及通項公式的求解

電典例引領(lǐng)

1.(2024?安徽池州?模擬預(yù)測)在等差數(shù)列｛g｝中，&+%=24,%=15,則4=()

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為比因為%+6=2&=24,所以必=12,又％=15,

所以公差d=3,%=。6-24=6.

故選：C

2.(2022?河南南陽?三模)已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，％=2,2%+&=%+13,則該數(shù)列的公差

為.

【答案】3

【分析】由已知，利用等差數(shù)列通項公式列方程求公差即可.

【詳解】設(shè)公差為d,則2az+d=13,又出=%+1,

則2%+3d=4+3d=13,可得(7=3.

故答案為：3

3.(2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測)若等差數(shù)列｛aj滿足4+4+1=4〃+1,則%=()

31

A.3B.-C.1D.-

22

【答案】B

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛與｝的公差為d,由通項公式寫出。，=%+("-1W和。用=4+”[,都代入

4+4+1=4〃+1中，化簡即可求出生?

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則?！?4+("-l)d,an+1^al+nd,

因為a”+a“+i=4?+1,可得+a“+i=2%+(2〃-1”=2a；-d+2nd,

/2%-d=lL=-

所以有,解得12,

4卜=2

故選：B.

4.(2024?山東?二模)已知數(shù)歹！]｛。"｝嗎=13q+]=%-4.求:

(1)數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵數(shù)列｛。,｝的前〃項和S?的最大值.

4

【答案】⑴4=-4"+17；

（2）28

【分析】（1）根據(jù)題目條件得到｛%｝是以13為首項，-4為公差的等差數(shù)列，求出通項公式；

（2）求出通項公式，解不等式，得到數(shù)列從第5項開始小于0,從而得到數(shù)列｛4｝的前4項和最大，利用

求和公式求出答案.

【詳解】（1）由。什1=?！?4,可知。=-4,

所以數(shù)列｛%｝是以13為首項，以-4為公差的等差數(shù)列，

所以=13-4（〃-1）=-4〃+17；

（2）由（1）可知%=-4〃+17,

17

令一4〃+17>0,解得〃<一，

令一4〃+17<0,解得〃〉一,

即數(shù)列從第5項開始小于0,所以數(shù)列｛4｝的前4項和最大,

4x3

最大值為=4x13H---x(—4)=28.

即時檢測

1.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛%｝滿足的+%=14,且%-。2=8,則首項％=（）

【答案】A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式直接求解即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛七｝的公差為d,因為出+%=14,且。4-%=8,

\a2+a3=2%+3d=14=1

所以彳c，o>所以L,?

一%=24=8[a=4

故選：A

2.（2024?四川雅安?三模）在等差數(shù)列｛%｝中，若出+&=10，%=9,則為=（）

A.21B.24C.27D.29

【答案】A

【分析】由等差中項的性質(zhì)、以及等差數(shù)列基本量的計算得公差d,進(jìn)一步即可得解.

【詳解】在等差數(shù)列｛6｝中，若%+&=羽=10，%=9,即&=5

則公差d=。5=4,所以6=%+34=21.

故選：A.

5

3.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)在公差為d的等差數(shù)列｛?！埃?，&=6,%%=48,貝()

A.1或2B.1C.-1D.-2

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列通項列式求解即得.

【詳解】在等差數(shù)列｛%｝中，％=6,%。7=48

則a3al=(a6—3d)(R+d)=3(2—d)(6+d)=48,整理得(d+2>=0,

所以〃=—2.

故選：D

4.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知｛與｝是遞增的等差數(shù)列，出，Q是方程--5x+6=0的根.

(1)求｛a“｝的通項公式；

(2)求數(shù)列樣;的前〃項和.

【答案】(1)%=看

【分析】(1)由等差數(shù)列基本量的計算可得公差，進(jìn)而即可得解;

(2)直接由等比數(shù)列求和公式以及錯位相減法即可運算求解.

【詳解】(1)因為。2，。4是方程--5%+6二=0的兩個根，且｛%｝為遞增等差數(shù)列,

所以2=2,%=3,公差d=^3-=2],1

所以%=2+?(〃2)=2-

(2)由⑴知2：=2用，

所以S.=2?+23+.一+2"+2用'①

34〃+1〃+2小

223222"力

3123[UJJ〃+2

①-②得入-等

1n+2

2423242"*2"2~4]_j_2

~2

_3+12幾+2_]〃+4

~442"+22"+2.2"+2，

所以，斗=2-5;

6

考點二、等差中項的應(yīng)用

中典例引領(lǐng)

1.（23-24高二下?北京懷柔,期中）若T,尤，3成等差數(shù)列，貝！|x的值為（）

A.1.5B.1C.2D.±72

【答案】B

【分析】根據(jù)條件，利用等差中項，即可求出結(jié)果.

【詳解】因為-1,x,3成等差數(shù)列，所以2x=-l+3,解得x=l,

故選：B.

2.（重慶?高考真題）在等差數(shù)列｛《,｝中，若出=4,%=2,則&=

A.-1B.0C.1D.6

【答案】B

【詳解】在等差數(shù)列｛6｝中，若%=4,&=2,則%=：（%+6）=1（4+6）=2,解得&=。，故選B.

.即_時__檢__測___

1.（23-24高二上?上海寶山?期末）3-2后與3+2忘的等差中項為.

【答案】3

【分析】根據(jù)等差中項的定義求解.

【詳解】3-2也與3+2夜的等差中項為3-28+3+2后=3.

2

故答案為：3.

2.（24-25高二上?上海?課前預(yù)習(xí)）等差數(shù)列｛%｝的前三項依次為x,2x+l,4尤+2,則x的值為.

【答案】0

【分析】根據(jù)等差中項知識即可求解.

【詳解】等差數(shù)列｛。“｝的前三項依次為x,2x+l,4x+2,

x+4x+2=2x（2x+1）,貝x=0.

故答案為：0.

3.（江西?高考真題）設(shè)數(shù)列｛為｝,｛6｝都是等差數(shù)列，若如+比=7,a3+b3=21,則。5+加=.

【答案】35

【詳解】因為｛。/｛6｝都是等差數(shù)歹力所以｛%+4｝也成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，。1+岳=7,。3+

仇=21,。5+仇成等差數(shù)列，因而。5+d=2x21-7=35.

7

考點三、等差數(shù)列的性質(zhì)

中典例引領(lǐng)

1.（江西,高考真題）已知等差數(shù)列｛%｝,若。1+。2+〃3~'----HQ]?=21,貝%+。8+。11=___-

【答案】7

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和題設(shè)條件，求得%+%2=鼻，結(jié)合生+。5+/+%=2（4+%2），即可求解.

【解答】因為等差數(shù)列｛%｝中，滿足%+%+/+…+%2=21,

7

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得/+4+。3--------1~。12=6Q+%2）=21,解得q+々2=5，

又由。2+。5+。8+1=2口+的）=7.

故答案為：7.

2.（北京,高考真題）在等差數(shù)列｛4｝中，已知1+電+。3+。4+。5=20,那么%等于（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】設(shè)首項為生,公差為d，由已知有5%+10d=20,所以可得%的值.

【詳解】解：???｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)首項為q,公差為d,

由已知有54+10（7=20,/.ax+2d=4,

即。3=q+2d=4.

故選：A.

3.（2024?河南關(guān)B州?一模）已知數(shù)列｛〃〃｝為等差數(shù)列，%+出+〃3=7,%+為+為=13,則13+14+%5=（

A.19B.22C.25D.27

【答案】A

【分析】依題意由等差數(shù)列性質(zhì)計算可得出=：7，歿=羨13，利用等差中項計算可得知=1]9，可求出

。13+64+。15=3。14=19.

【詳解1根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，由％+%+。3=7,%+“8+。9=13可得3a2=7,3右=13,

713

所以可得出=§用=不，

19

又生+%4=2〃8可得%=牙，

所以。13+%4+a15=3%4=19.

故選：A

8

即時校L

1.（2024?廣西柳州?模擬預(yù)測）在等差數(shù)列｛0“｝中，若%+%+%7+。20=48,貝1%=（）.

A.7B.12C.16D.24

【答案】B

【分析】觀察數(shù)列下標(biāo)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.

【詳解】在等差數(shù)列｛%｝中，

^m+n=p+q,則%,+a“=<+與，

所以出+%+%7+?0=48=為“，所以％[=12.

故選：B

2.（2023?廣西南寧?模擬預(yù)測）在等差數(shù)列｛%｝中，若％+/+%+%+%=120,貝1]2&-%=.

【答案】24

【分析】

由等差中項的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為在等差數(shù)列｛%｝中，有為+%=。2+。4=犯，所以由4+出+。3+%+。5=120,

5〃3=120,Q3=24,3^,“3+。9=2a6—cig—%—24.

故答案為：24

3.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，且S28=56,則

%2+13+。14+%5+。16+%7=.

【答案】12

【分析】由等差數(shù)列前〃項和公式可得%+%8=4,再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由%=（%+?）X28=56,得%+%8=4,

貝I」%2+413+〃14+45+〃16+。17=3（Q]+28）=12.

故答案為：12.

考點四、等差數(shù)列前〃項和的求解

典例引領(lǐng)

1.（2024?全國?高考真題）記S"為等差數(shù)列｛%｝的前"項和,若%+%=7,3a,+a5—5,則品=.

【答案】95

【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出為再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.

9

(q+2d+q+3d=7[(J——4

【詳解】因為數(shù)列4〃為等差數(shù)列，則由題意得”，、,…:，解得[Q，

[3(q+d)+。]+4d=5[d=3

inxo

則S]o=lOq+^—d=10x(—4)+45x3=95.

故答案為：95.

2.(2024?全國?高考真題)記S〃為等差數(shù)列｛凡｝的前〃項和，已知S5=S/a5=l,則4=()

7717

A.-B.-C.一一D.——

23311

【答案】B

【分析】由S5=S]。結(jié)合等差中項的性質(zhì)可得1=0,即可計算出公差，即可得q的值.

【詳解】由S]0—S5=&+%+。8+“9+"10=以=0,則。8=°，

則等差數(shù)列｛凡｝的公差故為=%-紀(jì)=1-4'.：|=:.

故選:B.

3.(2023?全國,高考真題)記S”為等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項和.若g+4=10，%。8=45,則/=()

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列｛%｝的公差和首項，再根據(jù)前〃項和公式即可解出;

方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列｛4｝的公差，再根據(jù)前"項和公式的性質(zhì)即可解出.

【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,首項為外,依題意可得，

a2+a6=al+d+al+5d=10,即為+3a=5,

又為。8=(4+%)(4+7d)=45,解得：d=l,a1=2,

5x4

所以S5=5%+；-xd=5x2+10=20.

故選：C.

方法二：4+。6=24=1°，。4。8=45,所以%=5,6=9,

從而"="二幺=1,于是%=%-4=5-1=4,

8—4

所以￡=5%=20.

故選：C.

4.(2023?全國?高考真題)記S,為等差數(shù)列｛aj的前〃項和，已知出=11,兀=40.

(1)求｛%｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛|。”|｝的前〃項和

【答案】⑴?！?15-2〃

10

i^n-n2,n<7

⑵騫

n2-14〃+98,〃>8

【分析】(1)根據(jù)題意列式求解力,",進(jìn)而可得結(jié)果；

(2)先求S“，討論知的符號去絕對值，結(jié)合S”運算求解.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為"，

42-q+。-1][ax+d=\\\ax=13

由題意可得。1A10x9「心，即:皿Q，解得「、，

SI0=1OQ]H-----d=40[2〃]+9d=8[d=-2

、2

所以=13-2(〃-1)=15-2〃，

(2)因為S"="13+；5-2〃)=]加”,

令a“=15-2〃>0,解得“<￡,且〃eN*,

當(dāng)〃V7時，則>0,可得T.=同+同T--F㈤="+a2T---3%=S"=14n—n2；

當(dāng)〃28時，則%<0,可得看=同+|“2卜---=---卜。7)-(。8"---

222

=S7-(Sn-S7)=2S7-S?=2(14x7-7)-^4n-n)=n-14n+98；

J14n-n2,n<7

綜上所述:

[n2-14M+98,H>8

5.(2021?全國?高考真題)記S“是公差不為0的等差數(shù)列｛與｝的前力項和，若生=&，出氏=邑?

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式?！埃?/p>

(2)求使J>4成立的?的最小值.

【答案】⑴/=2"-6；⑵7.

【分析】(1)由題意首先求得。3的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項公式;

(2)首先求得前n項和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

【詳解】⑴由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：$5=56，則：%=5。3，，%=0,

2

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,從而有:a2a.=(a3-d)(a3+d)=-d,

S4=%+。2+。3+。4=(03—2d)+(%_1)+%+(°3+d)=-2d,

從而：-d2=-2d，由于公差不為零，故：[=2,

數(shù)列的通項公式為：-3)4=2"-6.

⑵由數(shù)列的通項公式可得：%=2-6=-4,貝hS'=〃X(-4)+"(1)X2=〃2—5〃,

則不等式即：”2一5〃>2〃-6,整理可得：("-1)(〃-6)>0,

解得："<1或〃>6,又〃為正整數(shù)，故〃的最小值為7.

11

【點睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)

列的有關(guān)公式并能靈活運用.

即時檢測

I____________________

1.（2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測）在等差數(shù)列｛。"｝中，公差d=3,S”為其前"項和，若$8=$9,貝尼7=（）

A.-2B.0C.2D.4

【答案】B

\S.,n=1

【分析】根據(jù)2=二0、。求出％=0,利用等差數(shù)列求和公式和性質(zhì)得到答案.

【詳解】％=$9-國=0,用「7（丁"）=]7%=0.

故選：B.

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）等差數(shù)列｛%｝的前〃項和記為J,若％=2,/+%=8,則L=（）

A.51B.102C.119D.238

【答案】B

【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)先求出公差d,然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.

【詳解】等差數(shù)列｛4｝中，％=2,。3+〃7=2。5=8,即%=4,

所以八—L二,

5-12

貝Ui=17X2+”^?XL102.

22

故選：B.

3.（23-24高三上?陜西漢中?期末）設(shè)等差數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾",%=3,§5=35.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛|%|｝的前〃項和為求

【答案】⑴4=13-2〃

⑵52

【分析】（1）設(shè)出｛?！埃墓顬閐,利用等差數(shù)列通項公式和前〃項和公式求解即可;

（2）由（1）判斷出｛%｝前六項為正，后四項為負(fù)，進(jìn)而利用前〃項和公式求解即可.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

%=%+=3

,%=3,S$—35,*5x4,

S5=5〃iH—--d=35

12

解得多=11,d=-2,

故cin=〃]+(九—l)d-13—2n.

(2)由(1)知=-2幾+13,d=—2,

/.a6=I,%=-1,Sn=-----------=12n—n,

=kJ+|^22|H--F|=Q]+4----F〃6—(%+〃8++40)

=S6-(5l0-56)=2S6-Sl0=52.

4.(2024?吉林?模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且4+2%=",24+%=7.

(1)求數(shù)列｛6｝的通項公式；

(2)若S,22〃+15,求"的最小值.

【答案】⑴。“=21；

(2)5.

【分析】（1）利用等差數(shù)列基本量求得力和公差，即可寫出通項公式；

（2）根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式求得5“，再解不等式，即可求得結(jié)果.

z、［3。］+4"=11

【詳解】（1）設(shè)｛%｝的公差為d,由題可得：J?r'

+2d=7

解得4=1,d=2,故％=2〃-1.

（2）根據(jù)（1）中所求可得S=叫+心二0"=〃2,

由S“N2〃+15,則可得“2-2〃-1520,即（〃-5）（〃+3”0

解得“V-3（舍去）或"之5,

故”的最小值為5.

5.（2024?貴州六盤水,三模）已知｛0?｝為等差數(shù)列，且%=3。1，ax+as+a14—a10+24.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）若2"?22%+出+…+4恒成立，求實數(shù)力的取值范圍.

【答案】⑴％=2”+2

（2）［尹）

【分析】（1）根據(jù)題意建立方程求出等差數(shù)列的首項與公差，從而可求解；

（2）先求出等差數(shù)列的前〃項和，再將恒成立問題參變分離，接著利用數(shù)列的單調(diào)性求出最值，從而得解.

%+4d=3%

【詳解】（1）設(shè)數(shù)列｛?！埃墓顬閐,則根據(jù)題意可得

3al+17d=%+9d+24

13

I?.=4

解得]c，貝lJ%=2〃+2.

[a=2

(2)由(1)可知運用等差數(shù)列求和公式，得至US”=%+%+…+?！?/+3”,

乂2'〃之％+與+…+。”恒成立，則22sH恒成立，

設(shè)則加+1)-/(")=一〃2襄+4,

當(dāng)”=1時，/(2)-/(1)=|>0,即〃2)>/(1)；

當(dāng)心2時，-n2-n+4<-2,貝1|/(〃+1)-/(")<0,則〃"+1)<八")；

則“"KL"2)，故22/(2)=，

故實翻的取值范圍為g,E).

考點五、等差數(shù)列前1項和的性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.(遼寧?高考真題)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為若$3=9,國=36,貝|%+/+%=()

A.63B.36C.45D.27

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前"項和的性質(zhì)，列式求解.

【詳解】由等差數(shù)列的〃項和的性質(zhì)可知，成等差數(shù)列，

即9,27,y-久成等差數(shù)列，所以9+S-"=54,所以W-S6=45.

即a7+as+a9=45.

故選：C

2.(全國?高考真題)等差數(shù)列前"項的和為30,前2〃項的和為100,則它的前力項的和為()

A.130B.170C.210D.260

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前"項和的性質(zhì)，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，求解即可.

【詳解】利用等差數(shù)列的性質(zhì)：S“，邑”-s“,邑”-$2“成等差數(shù)歹U,

所以S”+(S3"F)=2(S「S")，即30+(邑"-100)=2(100—30),解得%=210.

故選：C.

S13S

3.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)設(shè)S,,是等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若U=77,貝巾色=____-

?611dll

14

【分析】由等差數(shù)列前〃項和公式計算％,"的等量關(guān)系，代入所求即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛?！ǎ墓顬閐,

..五_74+21d_13

,/.ax=36d,

S66%+15d11

幾_15%+105d645

川5^―11%+55d-451

645

故答案為：-

已知等差數(shù)列｛%｝，也｝的前〃項和分別為總工，且,=缶，則￡=（）

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）

57115

A.—B.C.—D.-

1616168

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式及求和公式可得結(jié)果.

【詳解】因為S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，所以可設(shè)（等差數(shù)列前〃項和的二級結(jié)論）

2

同理因為（為等差數(shù)列抄/的前〃項和,所以可設(shè)Tn=Cn^Dn.

n-1n(An+B\An+Bn-\/-、/、/、

又寸=F，所以----------------一----,即++=(C/7+/>)(?-1),

Tn?+ln[Cn+D^Cn+D

整理得4幾之+(/+B)〃+B=Cn2+(。一C)〃一。,解得A=—B=C=D.

不妨設(shè)s“=〃（〃一1）,則北=〃（〃+1）,則R=56盟=10力8=n-。=16,故答=■!，

故選：D.

5.（2024?河北衡水?三模）已知數(shù)列｛%｝，｛2｝均為等差數(shù)列，其前〃項和分別為S”，Tn,滿足

%+/+。9

(2〃+3洱=(3〃-1)&則)

b6+bW

A.2B.3C.5D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，利用得出數(shù)列的性質(zhì)和得出數(shù)列的求和公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.

【詳解】因為數(shù)列｛。/，色｝均為等差數(shù)列，可得%+6+%=3。8=，156=!幾,

且&+廂=々+砥，又由十」5伍；.）,可得

a9_38二4

因此%+為+X—=2.

4+狐2Tl523

故選：A.

15

.即_時__檢__測___

1.（陜西?高考真題）等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,,若$2=2,S,=10,則$6等于

A.12B.18C.24D.42

【答案】C

【分析】數(shù)列每2項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為6,計算得到答案.

【詳解】第一個2項和為2,第二個2項和為8,則每2項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為6,

第三個2項和為14,貝U$6=2+8+14=24,

故選：C.

【點睛】本題考查了等差數(shù)列和的性質(zhì)，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為5“，邑=6,5?_3=16（?>4,?eN*）,S,=20,

則〃的值為（）

A.16B.12C.10D.8

【答案】B

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，以及前“項和公式，即可求解.

【詳解】由'=6,得4+°2+%=6①，

因為S“-3=16（"W4,〃eN*）,S,=20,

所以S“-S0-3=4,即g+%+%_2=4②，

①②兩式相加，得4+a“+出+。”_1+%+。4-2=1°，即3（q）=10,

所以％+%=乎，所以邑=〃（％+""）=.=20,解得”=12.

3”23

故選：B.

3.（2024?陜西咸陽?二模）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若邑=2,其=12,則S2。=（）

A.30B.58C.60D.90

【答案】D

【分析】借助等差數(shù)列片斷和的性質(zhì)計算即可得.

【詳解】由數(shù)列｛g｝為等差數(shù)列，

故見、$8-$4、兒-$8、品，-&、S?。-&亦為等差數(shù)列，

由$4=2,5=12,則$8-$4=10，

故兒-$8=18,%-幾=26,520-516=34,

即有S[2=18+Sg=30,岳6=26+S]2=56,S20=34+S16-90.

故選：D.

4.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛6｝和｛勾｝的前"項和分別為S,和（，且*=*,則

16

a3_

石=-------

【答案】I

【分析】根據(jù)率設(shè)出工工的二次形式，由此求得生，與，即可化簡得到結(jié)果.

T“wT

【詳解】因為等差數(shù)列｛凡｝和｛4｝的前n項和分別為*和7；,

故可設(shè)清=—人。，

Tnn-1kn[n-\）

所以S“=初（及+3）/=布（〃一1）,左。0,

、/S3~^218左—10左8k4

所以廢一￡F_\及-&一短一1.

4

故答案為：—.

5.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列｛4｝,｛〃｝的前〃項和分別為S〃，Tn,若對任意正整數(shù)〃都有

S”2〃一3a.a

—=-----,則——+—Q—=（）

Tn4n-34+"&+&

351919巧7曰

A.—B.—C.—D.—E.均不7E

7214140

【答案】C

【分析】運用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列前〃項和公式求解即可.

【詳解】由等差數(shù)列的等和性可得，

11,+〃）

aaaa+a11

/2_39_3+〃9_\H_2I1_SH_2x11_3_19

可記+1記=紊+亞=嘰=4+g=1囪+如]二4x11一3=4r.

故選：C.

考點六、等差數(shù)列通項公式與前〃項和的關(guān)系

典例引領(lǐng)

1.（全國?高考真題）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差是心如果它的前〃項和S“=f2,那么（）

A.?！?2"—1,d=-2B.%=2〃—1,d—2

C.d?-—2n+1,d=—2D.ax=—2n+1,d—2

【答案】C

【分析】由與與S,的關(guān)系即可求得數(shù)列通項，由等差數(shù)列的定義可求得公差.

【詳解】當(dāng)〃=1時，4=岳=-1,

17

當(dāng)時，aa=S,-S“_]=-，-[-("-Di=4〃+1，

符合％=T的情況，

故%=—2n+1,所以%+i=-2(〃+1)+1=—2?—1,

6+1—=—2,故公差d=-2.

故選：C

2.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)記5”為數(shù)列｛4｝的前〃項和，設(shè)甲：｛%｝為等差數(shù)列；乙:｛—｝為等差數(shù)列,

n

則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前〃項和與第項的關(guān)系推理判

斷作答.，

【詳解】方法1,甲：｛與｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項為外,公差為d,

ecn(n-l),Sn-\,ddS,

貝US=H--------------d,—n=Q]+--------d=-n+Q]—-jn+1

n