高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省黔南布依族苗族自治州2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，所以.故選：B2.已知向量，.若，則（）A. B. C. D.12【答案】C【解析】向量，，由，得，所以.故選：C3.樣本數(shù)據(jù)：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位數(shù)是（）A.16 B.19 C.20 D.22【答案】C【解析】共有10個(gè)數(shù)，，故從小到大排列，選擇第7個(gè)數(shù)和第8個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即20為第70百分位數(shù).故選：C.4.曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】由，求導(dǎo)得，則，而，因此曲線在點(diǎn)處的切線為，該切線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，所以該切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積.故選：A5.若為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，即直線與圓相離，又點(diǎn)在該圓上，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故選：A6.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，即，解得，所以.故選：C7.三次函數(shù)的圖象如圖所示.下列說(shuō)法正確的是（）A.，，， B.，，，C.，，， D.，，，【答案】D【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，觀察函數(shù)圖象，得函數(shù)有異號(hào)兩個(gè)極值點(diǎn)，且，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，排除A；由，得則，，得，排除C；由不等式的解集為，得，即，排除B；又是方程的二根，，則，選項(xiàng)D符合題意.故選：D8.通常用小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度（單位：）來(lái)判斷降雨量的大小，如下表：降雨等級(jí)小雨中雨大雨暴雨大暴雨特大暴雨積水厚度（）某同學(xué)用如圖所示的圓臺(tái)形容器接了小時(shí)雨水，則這小時(shí)內(nèi)降雨的等級(jí)是（）A.中雨 B.大雨 C.暴雨 D.大暴雨【答案】A【解析】作圓臺(tái)的軸截面如圖，由題意得，，，所以容器內(nèi)雨水的體積，所以小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度為，因?yàn)?，所以這小時(shí)內(nèi)降雨等級(jí)是中雨.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.若，，則C.數(shù)列為等比數(shù)列 D.若，則數(shù)列的公比為2【答案】ACD【解析】對(duì)于A，令等差數(shù)列公差為，則，，為常數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，A正確；對(duì)于B，等差數(shù)列中，成等差數(shù)列，則，解得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令等比數(shù)列的公比為，則，為常數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列，C正確；對(duì)于D，等比數(shù)列的公比為，由，得，則，而，解得，D正確.故選：ACD10.函數(shù)的部分圖象如圖所示.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)y=fxB.函數(shù)y=fxC.函數(shù)y=fxD.函數(shù)y=fx的圖象與直線在區(qū)間【答案】BD【解析】由圖象可知，最小正周期，所以，將，代入中得，結(jié)合，解得，所以，，則，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上不單調(diào)，故A錯(cuò)；，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；，所以不是的對(duì)稱(chēng)中心，故C錯(cuò)；令，解得或，因?yàn)?，所以或，所以的圖象與直線在上有兩個(gè)公共點(diǎn)，故D正確.故選：BD.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn).若拋物線在點(diǎn)，處的切線的斜率分別為，，且拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小值為4B.若，則C.若，則直線的方程為D.直線傾斜角的最小值為【答案】ABD【解析】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，，顯然直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，由消去得，顯然，，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，而，因此，B正確；對(duì)于C，由，求導(dǎo)得，則，由，得，則，解得，直線的方程為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線的斜率，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則或，因此直線的傾斜角，直線的傾斜角的最小值為，D正確.故選：ABD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則___________.【答案】【解析】，所以.故答案為：.13.的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.(用數(shù)字作答)【答案】【解析】由題意二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.14.已知集合為不超過(guò)的正整數(shù)，.若，，則的最大值與最小值之和為_(kāi)__________.【答案】【解析】由題意可得，，且，，對(duì)于的最小值，要盡可能讓每一項(xiàng)取最大值；對(duì)于的最大值，要盡可能讓每一項(xiàng)取最小值；當(dāng)盡可能取大的值時(shí)，會(huì)取到最小值，當(dāng)時(shí)，n取到最大值，最大值為60；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以取時(shí)，，此時(shí)n恰好取到最小值，綜上的最大值為，的最小值為，則的最大值與最小值之和為.故答案為：15.已知的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，.（1）求和；（2）已知點(diǎn)在線段上，且平分，求的長(zhǎng).解：（1）在中，由，得，而，則，由余弦定理，得，即，即，而，所以.（2）由（1）知，，由平分，得，即，則，即，所以.16.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，要函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.17.如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，底面，.（1）求證：平面平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：在四棱錐中，由底面，底面，得，由，得，而平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）解：過(guò)作直線，由底面，得底面，直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，又為平行四邊形，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的傾斜角為90°，求的值.解：（1）橢圓的二焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在橢圓上，則，解得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）依題意，點(diǎn)不在軸上，即直線不垂直于軸，且直線不垂直于軸，否則重合，設(shè)直線方程為，，由消去得，，顯然，設(shè)，由直線的傾斜角為90°，得點(diǎn)，則，所以，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，所以.19.若無(wú)窮正項(xiàng)數(shù)列同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)性質(zhì)：①為單調(diào)數(shù)列；②存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意都有成立，則稱(chēng)數(shù)列具有性質(zhì).（1）若，，判斷數(shù)列，是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（2）已知離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，，記為奇數(shù)的概率為.（?。┊?dāng)時(shí)，求，；（ⅱ）求，并證明數(shù)列具有性質(zhì).解：（1）由，得，即是遞增數(shù)