專題11三角形中的特殊模型-高分線模型、雙（三）垂直模型

近年來(lái)各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直

模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1:高分線模型

4

條件：4D是高，AE是角平分線

例1.（2023?遼寧本溪?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖,在0ABe中,AD是0ABe的高,AE是0ABe的角平分線,&8=40。,

國(guó)C=60。，貝峋的度數(shù)為（）

A.20°B.10°C.50°D.60°

例2.（2023春?河南南陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，01=02,G為的中點(diǎn)，BG的延長(zhǎng)線交

AC于點(diǎn)E,尸為AB上的一點(diǎn)，C尸與垂直，交于點(diǎn)“，則下面判斷正確的有（）

@AD是&ABE的角平分線；②BE是△48。的邊AO上的中線；

③CH是“CD的邊AD上的高；④A”是AACF的角平分線和高

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

例3.（2022秋?北京朝陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在—ABC中，AD是高，AE是中線，若AD=3,SABC=6,

則3E的長(zhǎng)為（）

C.2D.4

例4.（2023春?河北滄州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在一ABC中，AD,AE分別是_ABC的高和角平分線.

⑴若ZB=30。，ZC=50°,求NZME的度數(shù)；

（2）若/3=a,NC=尸，且請(qǐng)直接寫出NTME與a,夕關(guān)系.

模型2：雙垂直模型

結(jié)論：①/A=/C；?ZB=ZAFD=ZCFE；③ABCD=AE-BC。

例L（2023?陜西咸陽(yáng)?統(tǒng)考一模）如圖，在.ABC中，BE分別是AB,AC邊上的高，并且。,BE交于

點(diǎn)P,若NA=50°,則ZBPC的度數(shù)為（）

A.130°B.120°C.110°D.100°

例2.（2023,黑龍江哈爾濱?八年級(jí)?？荚驴迹┤鐖D，在一JLBC中，AB=2,3C=4,一ABC的邊AB上的

高CE與邊BC上的高AD的比值是（）

A.gB.-C.1D.2

23

例3.（2023春?河南周口?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在,ABC中，AB=8,BC=10,CF1AB于點(diǎn)F,ADJ.BC

于點(diǎn)D,AD與C尸交于點(diǎn)E,ZB=46°.

⑴求—AEC的度數(shù).⑵若AT>=6,求CF的長(zhǎng).

BDC

模型3：子母型雙垂直模型（射影定理模型）

結(jié)論：?ZB=ZCAD；②?AB-ACAD-BCo

例L（2023?廣東廣州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在AICB中，NACB=90。，CDLAB于。,求證:

ZB=ZACD.

11H

例2.（2023?云南玉溪,八年級(jí)校考期中）如圖所示，在EAC2中，0ACB=90°,01=0B.

⑴求證：CD是0ABe的高；⑵如果AC=8,BC=6,AB=W,求CD的長(zhǎng).

例3.（2022秋?北京通州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在_ABC中，ZABC=90°,BDLAC,垂足為O.如

C.38D,巫

2

例4.（2023春?江蘇泰州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在.A5C中，ZACB=90°,。、E分別在邊A3、

BC上,AE,C■。相交于點(diǎn)

⑴給出下列信息：①NCFE=NCEF；②AE是一ABC的角平分線；③。是一ABC的高.請(qǐng)你用其中的兩

個(gè)事項(xiàng)作為條件，余下的事項(xiàng)作為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)真命題，并給出證明；

條件：,結(jié)論：.（填序號(hào)）

證明：

（2）在（1）的條件下，若NB=a,求/。正的度數(shù).（用含。的代數(shù)式表示）

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023春?云南文山?七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖,AE,AD分別是ABC的高和角平分線，ZB=30°,ZC=70°,

則一D4E的度數(shù)為（）

A.40°B.20°C.10°D.30°

2.（2023?綿陽(yáng)市八年級(jí)月考）如圖，在「ABC中，AF平分NBAC交于點(diǎn)尸、BE平分交AC于

點(diǎn)、E,AF與8E相交于點(diǎn)O,AD是BC邊上的高，若NC=50。，BELAC,則NZMF的度數(shù)為（）

3.（2023春?江蘇宿遷?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在，中，ZBAC=90°,ZC=40°,AH,分別是，IBC

的高和角平分線，點(diǎn)E為8C邊上一點(diǎn)，當(dāng)，為直角三角形時(shí)，則NCDE=。.

4.（2023秋?重慶?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在一ABC中，AD1BC,AE平分/B4C,若N1=35。，Z2=20°,

貝"8=.

BEDC

5.（2023?江蘇八年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）已知：如圖，AC0BC,垂足為C,回BCD是回B的余角

證明：0ACEBC（已知）

EHACB=90°（）

00BCD是I3DCA的余角

B3BCD是I3B的余角（已知）

00ACD=0B（）

6.（2023春?河南新鄉(xiāng)?七年級(jí)?？计谀┤鐖D，ABC是直角三角形，ZACB=90°,CD,Afi于點(diǎn)。，AF

是，ABC的角平分線，過點(diǎn)。作。GAE交8C于點(diǎn)G,求證：NCEF=NCGD.請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過程.

0ZADC=(),

BZDAE+ZAED^90°(直角三角形兩銳角互余)，

SZACB=90°(已知)，

團(tuán)N—+ZCFA=90°(直角三角形兩銳角互余)，

EIAF是的角平分線，，

SZCAF=ZDAE(),

^\ZAED=ZCFA(),

SZAED=ZCEF(),

回NCEF=—(等量代換)，

SDGAF(已知)，

EINCK4=NCGD(),

團(tuán)NCEF=NCGD().

7.（2023春?陜西咸陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在ABC中，ABAC=90°,AD/3C于點(diǎn)，BF平分/ABC

交AD于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)孔求證：AE=AF.

8.（2023春?四川樂山?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,在直角中，/ACB=90。，CO是斜邊A3上的高，ZA=35°,

求:

（1）/EBC的度數(shù)；（2）NBCD的度數(shù).

對(duì)于上述問題，在以下解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）

解：（1）0ZACB=9O°,ZA=35°（已知），

又EINEBC=NACB+NA（）,

0ZEBC=90°+35°=125°（）.

（2）0ZEBC=ZBDC+ZBCD（）,

ElZBCD=ZEBC-ZBDC（等式的性質(zhì)）.

SCD±AB（已知），

國(guó)N3￡）C=90。（垂直定義）.

0ZBCD=-90°=35°（等量代換）.

9.（2022秋?遼寧撫順?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在,ABC中，AD1,AE平分NBAC,ZB=70°,ZC=30°.

⑴求—的度數(shù)；（2）求NIME的度數(shù)；⑶直接寫出NB,/C三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系.

10.（2023?上海閔行?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知A5c的兩條高4XCE相交于點(diǎn)。，ZACE=45。,

ZZMC=20°,求/B的度數(shù).

11.（2022秋?山東威海?七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AD是一ABC的高，E是4c上一點(diǎn)，BE交AD于F,

且有9=AE>,DF=DC,試說明MLAC.

12.（2022春,江蘇?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示,在..ABC中，已知FD，3c于DDE工AB于E,ZAFD=150°,

ZB=ZC,求/EOF的大小.

13.如圖所示，在ABC中，AD是高，AE,防是角平分線，它們相交于點(diǎn)。，ZBAC=50°,ZC=10°,

求—D4C、N8Q4的度數(shù).

14.（2022秋?廣東東莞?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，CD為ABC的高，AE為.ABC的角平分線,

CD交AE于點(diǎn)G,ZBCD比二3大10。，ZBEA=110°,求—ACD的大小.

15.（2023秋?山東?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知在..ABC中，ABAC=90°,AD13C于點(diǎn)O.

A

（1）尺規(guī)作圖：作/ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)廠；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，不

下結(jié)論）

（2）在（1）的條件下，求證：ZAFE=ZAEF.

AD1BC

:.ZADB=90°

■.+NBFD=90°

又?ZBFD=

ZFBD+=90°

Za4C=90°

:.ZABF+=90°

3月平分/ABC

:.ZABF=__________

NAFE=ZAEF.

16.（2023春?黑龍江?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，J1BC中，AD1BC,AE平分/SAC,ZB=75°,ZC=45°.

⑴求一ZME的度數(shù).（2）直接寫出圖中四對(duì)相等的銳角，

17.（2023春?陜西榆林?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，8。是，ABC的角平分線，BE是ABC的AC邊上的中線.

（1）若一一ME的周長(zhǎng)為13,BE=6,CE=4,求A3的長(zhǎng)度；

⑵若ZA=90。，△ABD的面積為10,