第5章特殊平行四邊形5.1矩形第1課時(shí)矩形的性質(zhì)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1矩形的定義1.在平行四邊形ABCD中，∠C=60°.要使平行四邊形ABCD為矩形，AD至少要繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)()A.30° B.40° C.60° D.120°[變式]在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AO=OC，BO=OD，則當(dāng)∠ABC=度時(shí)，四邊形ABCD是矩形.

知識(shí)點(diǎn)2矩形的性質(zhì)2.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC=8cm，∠AOD=120°，則AB的長(zhǎng)為()A.3cm B.2cm C.23cm D.4cm3.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E、O，連結(jié)CE，則CE的長(zhǎng)為()A.3 B.3.5 C.2.5 D.2.84.折紙大約起源于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時(shí)的中國(guó)，6世紀(jì)時(shí)傳入日本，再經(jīng)由日本傳到全世界，也有說(shuō)法認(rèn)為折紙起源于日本和西班牙.如圖，這是一張矩形紙片，點(diǎn)E在邊AB上，將紙片沿直線DE折疊，點(diǎn)A恰好落在邊BC上的點(diǎn)F處.若AE=5，BF=3，則CD的長(zhǎng)是()A.7 B.8 C.9 D.105.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，E是斜邊AB上任意一點(diǎn)，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，則矩形CFEG的周長(zhǎng)是.

能力提升全練6.如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A、D分別落在矩形ABCD外部的點(diǎn)A1、D1處，則兩個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)之和為()A.15 B.20 C.25 D.307.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)O(0，0)，點(diǎn)A(5，0)，點(diǎn)B(0，3).以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)線段AO，得到線段AD，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D.當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A.12,3 B.(1，3) C.32,38.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=5，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，且AP=CQ，連結(jié)CP，QD，則PC+QD的最小值為()A.41 B.29 C9.(2022浙江溫州期末)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線AC的兩側(cè)，且到所在三角形三邊的距離都等于1.若AC=5，則EF的長(zhǎng)為()A.52 B.5 10.已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若AC⊥BD且AC≠BD，則四邊形EFGH的形狀是.

11.(2022浙江紹興中考節(jié)選)如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD，DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，A，D關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)分別為M，N，連結(jié)MN.當(dāng)E在邊AD上且DE=2時(shí)，求∠AEM的度數(shù).12.如圖，已知矩形ABCD中，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，且AF=BC，DE⊥AF，垂足是E，連結(jié)DF.求證：(1)△ABF≌△DEA；(2)DF是∠EDC的平分線.素養(yǎng)探究全練13.如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是S1、S2、S3、S4，給出如下結(jié)論：①S1+S2=S3+S4；②S2+S4=S1+S3；③若S3=2S1，則S4=2S2；④若S1=S2，則P點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上.其中正確的結(jié)論的序號(hào)是.

第5章特殊平行四邊形5.1矩形第1課時(shí)矩形的性質(zhì)答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.A∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠C=60°，∴∠DAB=∠C=60°，要使平行四邊形ABCD為矩形，只需∠DAB=90°，∵90°-60°=30°，∴AD至少要繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°.[變式]90解析∵在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AO=OC，BO=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，四邊形ABCD是矩形.2.D∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=12AC=4cm.故選D3.C∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=4，CD=AB=2，∠D=90°，∵直線EO是線段AC的垂直平分線，∴AE=CE.設(shè)AE=x，則ED=AD-AE=4-x，CE=x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+(4-x)2，解得x=2.5，即CE的長(zhǎng)為2.5.故選C.4.C∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB，∠B=90°，由折疊可知EF=AE=5，在Rt△BEF中，BE=EF∴CD=AB=AE+BE=5+4=9，故選C.5.12解析∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵四邊形CFEG是矩形，∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∴∠A=∠AEF，∴AF=EF，同理EG=BG，∴矩形CFEG的周長(zhǎng)=EF+FC+CG+GE=AF+FC+CG+GB=AC+CB=2AC=12.故答案為12.能力提升全練6.D因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，AB=10，BC=5，所以CD=AB=10，AD=BC=5，根據(jù)折疊可得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，設(shè)線段D1F與線段AB交于點(diǎn)M，則兩個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)之和為(A1E+EM+MD1+A1D1)+(MB+MF+FC+CB)=AE+EM+MD1+AD+MB+MF+FC+CB=(AE+EM+MB)+(MD1+MF+FC)+AD+CB=AB+CD+10=10+10+10=30.故選D.7.B如圖，∵A(5，0)，B(0，3)，∴OA=5，OB=3，∵四邊形AOBC是矩形，∴OB=AC=3，OA=BC=5，∠C=90°，∵線段AD是由線段AO旋轉(zhuǎn)得到的，∴AD=OA=5，在Rt△ACD中，CD=AD∴BD=5-4=1，∴D(1，3).故選B.8.A如圖，連結(jié)BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=5，∵AP=CQ，∴AD-AP=BC-CQ，即DP=QB，∵DP∥QB，∴四邊形DPBQ是平行四邊形，∴PB=DQ，∴PC+QD=PC+PB，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，使AE=AB=2，連結(jié)PE，則BE=2AB=4，∵PA⊥BE，∴直線PA是線段BE的垂直平分線，∴PB=PE，∴PC+PB=PC+PE，連結(jié)CE，則PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，易知CE=BE∴PC+QD的最小值為41，故選A.9.B設(shè)EH⊥AB于H，EG⊥BC于G，EM⊥AC于M，F(xiàn)N⊥AC于N，AC交EF于O，連結(jié)AE，CE，EN，F(xiàn)M，如圖所示：∴EM∥FN，由題意得EH=EG=EM=FN=1，∴四邊形EMFN是平行四邊形，∴OM=ON=12MN，OE=OF=12∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，易知四邊形BGEH是正方形，∴BH=BG=EH=1，在Rt△AHE和Rt△AME中，AE∴Rt△AHE≌Rt△AME(HL)，∴AH=AM，在Rt△CGE和Rt△CME中，CE∴Rt△CGE≌Rt△CME(HL)，∴CG=CM，設(shè)AB=x，BC=y，且y≥x，則AH=AM=x-1，CG=CM=y-1，∵AC=5，∴x解得x=3,y=4或x=4,同理得CN=2，∴OM=12MN=12(AC-AM-CN在Rt△EMO中，由勾股定理得OE=EM∴EF=2OE=5.10.矩形解析如圖，易知HE=GF=12DB，HE∥DB∥GF，HG=EF=12HG∥AC∥EF，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵AC⊥BD，∴HE⊥HG，∴∠EHG=90°，∴?EFGH為矩形.11.解析如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=8，∵DE=2，∴AE=6=AB，∴∠AEB=∠ABE=45°.由對(duì)稱的性質(zhì)知∠BEM=45°，∴∠AEM=90°.12.證明(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC.∴∠DAE=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠DEA=90°=∠B.∵AF=BC，∴AF=AD.∴△ABF≌△DEA.(2)方法一：由(1)知△ABF≌△DEA，∴DE=AB.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=90°，DC=AB.∴DC=DE.∵DE⊥AF，∴∠DEF=90°=∠C.∵DF=DF，∴Rt△DCF≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠CDF.∴DF是∠EDC的平分線.方法二：由(1)知△ABF≌△DEA，∴BF=EA.∵AF=BC，∴EF=CF.∵DE⊥AF，∴∠DEF=90°=∠C.∴DF是∠EDC的平分線.素養(yǎng)探究全練13.②④解析過(guò)點(diǎn)P分別作△PAB、△PBC、△PCD、△PAD的高，分別記做h1、h2、h3、h4，如圖①，由矩形的性質(zhì)知AB=CD，AD=BC，所以S1+S2=12AB·?1+12BC·h2，S3+S4=S1+S3=12AB·?1+12CD·?3=S2+S4=12BC·?2+12AD·?4=12因?yàn)镾3=2S1，AB=DC，所以h3=2h1，因?yàn)辄c(diǎn)P到直線AD的距離與點(diǎn)P到直線BC的距離不確定，即h4與h2