專題12一次函數(shù)解答題壓軸訓(xùn)練（時(shí)間：60分鐘總分：120）班級(jí)姓名得分一、解答題1．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)，定義如下：點(diǎn)M與點(diǎn)N的“直角距離”為，記作．例如：點(diǎn)與的“直角距離”．（1）已知點(diǎn)，則在這四個(gè)點(diǎn)中，與原點(diǎn)O的“直角距離”等于1的點(diǎn)是__________；（2）如圖，已知點(diǎn)，根據(jù)定義可知線段上的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)O的“直角距離”都等于1．若點(diǎn)P與原點(diǎn)O的“直角距離”．請(qǐng)?jiān)趫D中將所有滿足條件的點(diǎn)P組成的圖形補(bǔ)全；（3）已知直線，點(diǎn)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，若直線上存在點(diǎn)D，滿足，求k的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若線段上任意一點(diǎn)H都滿足，直接寫出t的取值范圍．【答案】（1）P1，P4；（2）見解析；（3）①-1≤k≤；②-2≤t≤0或t=2【分析】（1）根據(jù)“直角距離”分別計(jì)算四個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即可判斷；（2）根據(jù)“直角距離”的定義得|x|+|y|=1，分四種情況可得四個(gè)函數(shù)關(guān)系式，分別畫出即可；（3）①先根據(jù)題意可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），根據(jù)dCD=1，并由（2）可得：點(diǎn)D在正方形EFMN邊上，如圖2，通過觀察圖2可得：k的最大值是過點(diǎn)E的直線，k的最小值是過F，M的直線，代入可得結(jié)論；②根據(jù)k=-2可得直線EF的解析式為：y=-2x+2，計(jì)算點(diǎn)E和F的坐標(biāo)，設(shè)H（m，-2m+2），根據(jù)點(diǎn)H在線段EF上，可得0≤m≤1，根據(jù)“直角距離”的定義列式得dCH=|t-m|+|-2m+2|=|t-m|-2m+2，列不等式后分兩種情況進(jìn)行討論可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)，∴dP1O=|-1|+0=1，dP2O=，dP3O=，dP4O=，∴與原點(diǎn)O的“直角距離”等于1的點(diǎn)是P1，P4；故答案為：P1，P4；（2）設(shè)P（x，y），∵點(diǎn)P與原點(diǎn)O的“直角距離”dOP=1，∴|x|+|y|=1，當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，x+y=1，即y=-x+1，當(dāng)x＞0，y＜0時(shí)，x-y=1，即y=x-1，當(dāng)x＜0，y＞0時(shí)，-x+y=1，即y=x+1，當(dāng)x＜0，y＜0時(shí)，-x-y=1，即y=-x-1，如圖1所示，（3）①當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），由（2）可得：dCD=1，則點(diǎn)D在正方形EFMN邊上，如圖2，∴F（2，0），E（3，1），M（3，-1），N（4，0），又∵點(diǎn)D在直線y=kx+2，又直線y=kx+2過點(diǎn)（0，2），由圖2可知：當(dāng)直線y=kx+b過點(diǎn)E時(shí)，通過觀察圖2可得：k的最大值是過點(diǎn)E的直線，k的最小值是過F，M的直線，把點(diǎn)E的坐標(biāo)（3，1）代入y=kx+2中，3k+2=1，k=，把點(diǎn)F的坐標(biāo)（2，0）代入y=kx+2中，2k+2=0，k=-1，故k的取值范圍是：-1≤k≤，②當(dāng)k=-2時(shí)，直線的解析式為：y=-2x+2，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=1，∴E（1，0），F(xiàn)（0，2），設(shè)H（m，-2m+2）（0≤m≤1），dCH=|t-m|+|-2m+2|=|t-m|-2m+2，∵1≤dCH≤4，即1≤|t-m|-2m+2≤4，又0≤-2m+2≤2，即-1≤|m-t|≤4，當(dāng)t≤m時(shí)，有-1≤m-t≤4，∵0≤m≤1，∴-4≤t≤2，又t≤m，∴-4≤t≤1，當(dāng)t＞m時(shí)，有-1≤t-m≤4，∵0≤m≤1，∴-1≤t≤5，又t＞m，∴1≤t≤5，當(dāng)-4≤t＜-2時(shí)，dCH＞4，不符合題意，

當(dāng)0＜t＜2時(shí)，dCH＜1，不符合題意，

當(dāng)2＜t≤5時(shí)，dCH＞4，不符合題意，

綜上，t的取值范圍為：-2≤t≤0或t=2．

【點(diǎn)睛】本題屬于新定義與一次函數(shù)相結(jié)合的綜合壓軸題，讀懂定義，緊扣定義解題，熟練掌握“直角距離”的定義是解答此題的關(guān)鍵．2．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，，，點(diǎn)P，點(diǎn)Q分別是邊，邊上的點(diǎn)，連結(jié)，，點(diǎn)B1是點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)．（1）若四邊形為長方形，如圖1，①若點(diǎn)P，點(diǎn)Q分別是邊，邊上中點(diǎn)，求直線的解析式；②若，且點(diǎn)落在上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若四邊形為平行四邊形，如圖2，且，過點(diǎn)作軸，與對(duì)角線，邊分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F．若，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）【答案】（1）①；②，；（2）或【分析】（1）①根據(jù)A、C坐標(biāo)和中點(diǎn)的定義得到P、Q坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解．②求出直線的解析式，利用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，如圖2，延長與軸交于點(diǎn)，②當(dāng)點(diǎn)在線段（除點(diǎn)，外）上時(shí)，如圖3，延長與軸交于點(diǎn)，分別求解即可解決問題．【詳解】解：（1）①，，四邊形是矩形，∴BC=4，AB=2，∴B（4，2），又點(diǎn)P和點(diǎn)Q是BC和AB中點(diǎn)，∴P（2，2），Q（4，1），設(shè)PQ的解析式為，則，解得：，∴PQ的解析式為；②設(shè)，則，如圖1，設(shè)直線的解析式是，把代入，得，解得，直線的解析式是，把代入上式，得，解得．，；（2），，，，．，有以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，如圖2，延長與軸交于點(diǎn)，由題意可知，設(shè)，則，，，，，，解得．點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．②當(dāng)點(diǎn)在線段（除點(diǎn)，外）上時(shí)，如圖3，延長與軸交于點(diǎn)，同理可求得的縱坐標(biāo)為．綜上所述，滿足條件的的縱坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．3．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝kx+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，且ABO的面積為9．（1）如圖1，求k的值；（2）如圖2，若點(diǎn)P是線段AO上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC∥AB，交y軸于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段BC的長為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)D為線段AB的延長線上一點(diǎn)，連接DO，DO與PC的延長線交于點(diǎn)E，若∠BPC＝2∠BOD，BP﹣PE＝，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1）k＝；（2）d＝t+3；（3）(1，)【分析】（1）根據(jù)題意先求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，依據(jù)三角形面積列方程求解即可；（2）先根據(jù)兩直線平行時(shí)，其解析式一次項(xiàng)系數(shù)相等，求出直線PC的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得到答案；（3）在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)F，使FO＝BO＝3，連接PF，延長DO交PF于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BHPF交OD于H，證明△BHD和△FGO，過點(diǎn)D作DT⊥y軸于T，設(shè)D（m，m+3），根據(jù)題意建立方程求解．【詳解】解：（1）∵直線y＝kx+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，∴A（﹣，0），B（0，3），∴OA＝|﹣|，OB＝3，∴S△ABO＝?OA?OB＝×|﹣|×3＝||，∵S△ABO＝9，∴||＝9，解得：k＝±，∵由題圖知k＞0，∴k＝；（2）∵PCAB，P（t，0），設(shè)直線PC的解析式為y＝x+n，則0=t+n，∴n=-t，∴直線PC的解析式為y＝x﹣t，令x＝0，得y＝﹣t，∴C（0，﹣t），∴BC＝3﹣（﹣t）＝t+3，∵線段BC的長為d，∴d＝t+3；（3）如圖3，在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)F，使FO＝BO＝3，連接PF，延長DO交PF于點(diǎn)G，∵BF⊥PO，F(xiàn)O＝BO，∴BP＝PF，設(shè)∠BOD＝α，∠PBO＝β，∵∠BPC＝2∠BOD，∴∠BPC＝2α，∠OFG＝∠PBO＝β，∠GOF＝∠BOD＝α，∠PGE＝∠PFO+∠GOF＝α+β，∵∠BCE＝∠PBO+∠BPC＝∠BOD+∠PEO，∴β+2α＝α+∠PEO，∴∠PEO＝α+β，∴∠PEO＝∠PGE，∴PE＝PG，過點(diǎn)B作BHPF交OD于H，∴∠BHD＝∠PGE，∠BHO＝∠FGO，∵PCAB，∴∠BHD＝∠PEO，∴∠BHD＝∠BDH，∴BD＝BH，在△BHO和△FGO中，，∴△BHO和△FGO（AAS），∴GF＝BH＝BD，∵BP﹣PE＝，BP＝PF，PE＝PG，∴PF﹣PG＝，即GF＝，∴BD＝，過點(diǎn)D作DT⊥y軸于T，設(shè)D（m，m+3），且m＞0，則TD＝m，TB＝TO﹣BO＝m+3﹣3＝m，在Rt△BTD中，TD2+BT2＝BD2，即m2+（m）2＝（）2，解得：m1＝1，m2＝﹣1，當(dāng)m＝1時(shí)，m+3＝×1+3＝，∴D(1，)．【點(diǎn)睛】此題主要考查一次函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用．4．一次函數(shù)y＝x+2的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以AB為邊在第二象限內(nèi)作等邊△ABC．（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)M（m，1），使S△ABM＝S△ABC，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將△ABC沿著直線AB翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處；再將△ABE繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15°，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，過點(diǎn)F作FG⊥y軸于G．求△EFG的面積．【答案】（1），；（2），；（3）2【分析】（1）先求得A、的坐標(biāo)，然后可得到，依據(jù)含直角三角形的性質(zhì)可得到，則，然后依據(jù)勾股定理求得的長，從而可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作，則．設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得的值，然后將代入的解析式可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）先求出，進(jìn)而表示出，，用勾股定理建立方程求出，最后用面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，．，．，，，．為等邊三角形，．．，．（2）如圖，過點(diǎn)作．，．設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，解得．直線的解析式為．將代入的解析式得：，解得：，，．（3）如圖，由（1）知，，，，為等邊三角形，，由折疊知，，由旋轉(zhuǎn)知，，，取上取一點(diǎn)使，，連接，，設(shè)，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形的面積、軸對(duì)稱路徑最短問題，構(gòu)造出特殊直角三角形是解本題的關(guān)鍵．5．如圖①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D→C→D運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長度；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．連結(jié)PQ、AC、CP、CQ．（1）點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)，t=；當(dāng)點(diǎn)Q到終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為；（2）用含t的代數(shù)式表示PD的長；（3）設(shè)△CPQ的面積為，求與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，將△APQ沿PQ折疊，點(diǎn)A落在平面內(nèi)的點(diǎn)A′處，PQ與AC交于點(diǎn)E．當(dāng)與△ACD的邊DC、AC平行時(shí)，直接寫出t的值．【答案】（1）6，16（2）當(dāng)＜t≤2時(shí)，PD=4－2t，當(dāng)2＜t≤6時(shí)PD=2t－4，當(dāng)6＜t≤8時(shí)，PD=20－2t；（3）當(dāng)＜t≤2時(shí)，，當(dāng)2＜t≤6時(shí)，，當(dāng)6＜t≤8時(shí)，；（4）【分析】（1）計(jì)算AC的長，除以速度即可；計(jì)算點(diǎn)Q的運(yùn)算時(shí)間AB÷速度，得到的時(shí)間乘以點(diǎn)P的速度即可；（2）根據(jù)t的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，分＜t≤2，2＜t≤6，6＜t≤8三種情形計(jì)算；（3）根據(jù)（2）的情形，對(duì)應(yīng)計(jì)算三角形的面積即可；（4）在2＜t≤6，6＜t≤8兩種情形下，分別計(jì)算∥DC和∥AC計(jì)算．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)時(shí)，t==6，∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：8÷1=8，故答案為：6,16；∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為2×8=16（2）當(dāng)＜t≤2時(shí)，∵PA=2t，PA+PD=AD=4，∴PD=4－2t；當(dāng)2＜t≤6時(shí)，∵PA=2t，AD+PD=PA，AD=4，∴PD=2t－4；當(dāng)6＜t≤8時(shí)，∵2t=AD+CD+PC，PC+PD=CD，AD=4，∴PD=8-(2t-12)=20－2t；（3）當(dāng)＜t≤2時(shí)，=；當(dāng)2＜t≤6時(shí)，；當(dāng)6＜t≤8時(shí)，；（4）當(dāng)2＜t≤6，且∥AC時(shí)，如圖1，根據(jù)折疊的意義，得∠AQP=∠QP，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠AQP=∠CPE，∵∥AC,∴∠QP=∠CEP，∵∠AEQ=∠CEP，∴∠AQP=∠CPE=∠QP=∠CEP=∠AEQ，∴AE=AQ，CP=CE，∵四邊形ABCD是矩形，AB=8，AD=4∴BC=4,∠ABC=90°，AC==,設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則PA=2t,AQ=t,∴CP=12-PA=12-2t，∵AE+EC=AC,∴AQ+PC=AC,∴12-2t+t=,∴t=12-；當(dāng)2＜t≤6，且∥DC時(shí)，如圖2，根據(jù)折疊的意義，得∠AQP=∠QP=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAQ=90°，∴AD∥PQ，∴四邊形AQPD是矩形，∴PD=AQ，設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則PA=2t,AQ=t,∴PD=2t-4，∴2t-4=t,∴t=4；當(dāng)6＜t≤8，且∥AC時(shí)，如圖3，根據(jù)前面的證明，得到AC=，CP=CE,AQ=AE，設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AQ=t,CP=2t-12，∵AE+EC=AC,∴AQ+PC=AC,∴2t-12+t=,∴t=4+；當(dāng)6＜t≤8，且∥DC時(shí)，如圖4，根據(jù)前面的證明，得到AQ=PD，設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AQ=t,DP=20-2t，∴20-2t=t,∴t=；綜上所得，t的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，函數(shù)的表達(dá)式，分類思想，靈活運(yùn)用分類思想，適當(dāng)分割圖形表示面積是解題的關(guān)鍵．6．某市為創(chuàng)建“全國文明城市”，計(jì)劃購買甲、乙兩種樹苗綠化城區(qū)，購買50棵甲種樹苗和20棵乙種樹苗需要5000元，購買30棵甲種樹苗和10棵乙種樹苗需要2800元．（1）求購買的甲、乙兩種樹苗每棵各需要多少元．（2）經(jīng)市綠化部門研究，決定用不超過42000元的費(fèi)用購買甲、乙兩種樹苗共500棵，其中乙種樹苗的數(shù)量不少于甲種樹苗數(shù)量的，求甲種樹苗數(shù)量的取值范圍．（3）在（2）的條件下，如何購買樹苗才能使總費(fèi)用最低？【答案】（1）購買的甲種樹苗的單價(jià)是60元，乙種樹苗的單價(jià)是100元；（2）；（3）購買的甲種樹苗400棵，購買乙種樹苗100棵，總費(fèi)用最低【分析】（1）設(shè)甲種樹苗每棵元，乙種樹苗每棵元，根據(jù)：“購買50棵甲種樹苗和20棵乙種樹苗共需5000元，購買30棵甲種樹苗和10棵乙種樹苗共需2800元”列方程組求解可得；（2）設(shè)購買的甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，由題意列出一元一次不等式組，則可得出答案；（3）設(shè)購買的甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，總費(fèi)用為，即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可解決最值問題．【詳解】解：（1）設(shè)購買的甲種樹苗的單價(jià)為元，乙種樹苗的單價(jià)為元．依題意得：，解這個(gè)方程組得：，答：購買的甲種樹苗的單價(jià)是60元，乙種樹苗的單價(jià)是100元；（2）設(shè)購買的甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，由題意得，，解得，．∴甲種樹苗數(shù)量的取值范圍是．（3）設(shè)購買的甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，總費(fèi)用為，∴．∵，∴值隨值的增大而減小，∵，∴當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為元．即購買的甲種樹苗400棵，購買乙種樹苗100棵，總費(fèi)用最低．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組，一元一次不等式組，一次函數(shù)的增減性，熟練掌握方程組，不等式組的解法，靈活運(yùn)用一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．7．如圖，四邊形是張放在平面直角坐標(biāo)系中的正方形紙片，點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上，，點(diǎn)E在邊上．（1）若點(diǎn)N的坐標(biāo)為，過點(diǎn)N且平行于y軸的直線與交于點(diǎn)M，將紙片沿直線折疊，頂點(diǎn)C恰好落在上，并與上的點(diǎn)G重合．①求點(diǎn)G、點(diǎn)E的坐標(biāo)；②若直線平行于直線，且與長方形有公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出n的取值范圍．（2）若點(diǎn)E為上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為G，連接，請(qǐng)求出線段的最小值．【答案】（1）①G（3，4），E（，5）；②-15≤n≤-4；（2）【分析】（1）①根據(jù)折疊的性質(zhì)求出OG，根據(jù)勾股定理計(jì)算求出GN，得到點(diǎn)G的坐標(biāo)，設(shè)CE=x，根據(jù)勾股定理求出x，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；②利用待定系數(shù)法求出OE所在直線的解析式，根據(jù)平行的性質(zhì)求出m，分別把點(diǎn)M、點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式求出n，得到答案；（2）連接OB，OG，求出BC=，OC=OG=5，推出當(dāng)O、B、G三點(diǎn)共線時(shí)，BG取得最小值，從而計(jì)算．【詳解】解：（1）由折疊的性質(zhì)可知，OG=OC=5，由勾股定理得，GN=，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，4）；設(shè)CE=x，則EM=3-x，由折疊的性質(zhì)可知：EG=CE=x，∵GN=4，∴GM=5-4=1，在Rt△EMG中，，即，解得：x=，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，5）；設(shè)OE所在直線的解析式為：y=kx，則k=5，解得，k=3，∴OE所在直線的解析式為：y=3x，∵直線l：y=mx+n平行于直線OE，∴m=3，即直線l的解析式為y=3x+n，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)M（3，5）時(shí)，5=3×3+n，解得，n=-4，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A（5，0）時(shí)，0=3×5+n，解得，n=-15，∴直線l與長方形ABMN有公共點(diǎn)時(shí)，-15≤n≤-4；（3）連接OB，OG，∵OC=BC=5，∠OCB=90°，∴BC=OC=，∵點(diǎn)C關(guān)于直線OE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G，∴OC=OG=5，∴BG≥OB-OG，∴當(dāng)O、B、G三點(diǎn)共線時(shí)，BG取得最小值，∴BG的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的知識(shí)、折疊的性質(zhì)、最短路徑問題，掌握待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式的一般步驟，得到O、B、G三點(diǎn)共線時(shí)，BG取得最小值是解題的關(guān)鍵．8．如圖，正方形邊長cm，點(diǎn)在邊上，且cm，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以5cm/s的速度在、之間往返勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（單位：s）．在運(yùn)動(dòng)過程中的面積（單位：）隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間的變化而變化．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，求值及此時(shí)的面積．（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，求與的關(guān)系式．【答案】（1）t=2，此時(shí)的面積=40；（2）見解析【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度得出時(shí)間，再得出AM的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案；（2）分①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，②當(dāng)2＜t≤3時(shí)，③當(dāng)3＜t≤4時(shí)，④當(dāng)4＜t≤6時(shí)，⑤當(dāng)6＜t≤8時(shí)，五種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】解：（1）∵當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，cm，點(diǎn)的速度為5cm/s，

∴，∵點(diǎn)的速度為2cm/s，

∴EM=2×2=4cm，∴AM=AE+EM=4+4=8，∴的面積=．（2）∵當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，∴，①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，AN=5t，AM=4+2t，的面積=；②當(dāng)2＜t≤3時(shí)，AN=20-5t，AM=4+2t，的面積=；③當(dāng)3＜t≤4時(shí)，AN=20-5t，的高為10cm，的面積=；④當(dāng)4＜t≤6時(shí)，AN=5t-20，的高為10cm，的面積=；⑤當(dāng)6＜t≤8時(shí)，AN=40-5t，的高為10cm，的面積=；【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和三角形的面積計(jì)算，分類討論的數(shù)學(xué)思想，確定點(diǎn)M、N所在的位置，是解決本題的關(guān)鍵．9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸相交于、兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上，將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)恰好落在直線上時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求經(jīng)過、兩點(diǎn)的一次函數(shù)表達(dá)式．如圖2，將沿軸正方向平移得，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的面積；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）證明見解析；（2），，2.5；（3）存在，，，．【分析】(1)由即可證明；(2)由的面積的面積，即可求解；(3)分、、三種情況，分別求解即可．【詳解】解：，∴，，∴，，∴；設(shè)直線解析式為，把，代入上式得，解得，故直線的解析式為，由得：，設(shè)，而，，點(diǎn)在直線上，把代入上式并解得，，點(diǎn)，的面積的面積；存在，理由：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，而點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為、，由點(diǎn)P、C、D的坐標(biāo)得：，，，當(dāng)時(shí)，則，解得：，當(dāng)時(shí)，則，解得：，當(dāng)時(shí)，則，解得：(舍去)或5，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等和面積的計(jì)算等，其中(3)要注意分類求解，避免遺漏．10．已知小明的家、體育場(chǎng)、文化宮在同一直線上，下面的圖象反映的過程是：小明早上從家跑步去體育場(chǎng)，在那里鍛煉了一陣后又走到文化宮去看書畫展覽，然后散步回家，圖中x表示時(shí)間（單位是分鐘），y表示到小明家的距離（單位是千米）．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：（1）填表：小明離開家的時(shí)間/510153045小明離家的距離/1（2）填空：①小明在文化宮停留了________；②小明從家到體育場(chǎng)的速度為________；③小明從文化宮回家的平均速度為_________；④當(dāng)小明距家的距離為時(shí)，他離開家的時(shí)間為_______．（3）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【答案】（1），1，0.5；（2）①25；②；③④9或42；（3）【分析】（1）由圖可知，前15min小明離家的距離y與小明離開家的時(shí)間x成正比例函數(shù)，利用待定系數(shù)法解得該正比例函數(shù)，再依次代入x=10，x=15解題，從圖中可知，當(dāng)小明離開家的時(shí)間為45min時(shí)，小明離家的距離為0.5km，據(jù)此計(jì)算填表；（2）①從圖中可知，小明離家為45min時(shí)，到達(dá)文化館，小明離家時(shí)間為70min時(shí)，離開文化館，將二者時(shí)間相減即可解題；②從圖中可知，小明離家時(shí)間為15min時(shí)，到達(dá)1km的體育館，根據(jù)速度公式解題；③從圖中可知，小明離家時(shí)間為70min時(shí)，離開距家0.5km的文化館，小明離家時(shí)間為100min時(shí)，根據(jù)速度公式解題；④從圖中可知，小明距家的距離有兩次為,分別在0min到15min和30min到45min之間，滿足令，解得他離開家的時(shí)間為9min，由圖可知，在30min到45min之間小明離家的距離y與小明離開家的時(shí)間x成一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法解得此函數(shù)，再計(jì)算當(dāng)時(shí)，x的值即可解題；（3）由（1）（2）中的解析式解題．【詳解】解：（1）由圖可知，前15min小明離家的距離y與小明離開家的時(shí)間x成正比例函數(shù)，設(shè)小明離家的距離y與小明離開家的時(shí)間x的關(guān)系式為：把代入得，當(dāng)x=10時(shí)，，當(dāng)x=15時(shí)，，從圖中可知，當(dāng)小明離開家的時(shí)間為45min時(shí)，小明離家的距離為0.5km，故答案為：；1；0.5；（2）①從圖中可知，小明離家為45min時(shí)，到達(dá)文化館，小明離家時(shí)間為70min時(shí)，離開文化館，故小明在文化館停留了：70-45=25min；②從圖中可知，小明離家時(shí)間為15min時(shí)，到達(dá)1km的體育館，則速度為：；③從圖中可知，小明離家時(shí)間為70min時(shí)，離開距家0.5km的文化館，小明離家時(shí)間為100min時(shí)，回到家中，則速度為：；④從圖中可知，小明距家的距離有兩次為,分別在0min到15min和30min到45min之間，滿足當(dāng)時(shí)，即，，則小明第一次距家的距離為0.6km時(shí)，他離開家的時(shí)間為9min，由圖可知，在30min到45min之間小明離家的距離y與小明離開家的時(shí)間x成一次函數(shù)，則設(shè)小明離家的距離y與小明離開家的時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為：將代入得，則當(dāng)時(shí)，即則小明第二次距家的距離為0.6km時(shí)，他離開家的時(shí)間為42min，故答案為：①25；②；③④9或42；（3）由圖可知，在15min到30min之間小明離家的距離不變1km,由（1）（2）和知，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法解一次函數(shù)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．11．2020年江蘇開通了多條省內(nèi)高鐵，其中一條可以從南京——鎮(zhèn)江——揚(yáng)州——淮安的高鐵線路如圖①所示，本線路高鐵最高速度不超過每分鐘5千米．現(xiàn)有甲、乙兩車按以下方式營運(yùn)，甲車從南京勻速行駛?cè)セ窗?，在?zhèn)江和揚(yáng)州兩站都停靠5分鐘；乙車從南京勻速行駛直達(dá)淮安，乙車比甲車晚出發(fā)20分鐘．設(shè)甲車出發(fā)x分鐘后行駛的路程為y1千米，圖②中的折線O—A—B—C—D—E表示在整個(gè)行駛過程中y1與x的函數(shù)圖像．（1）甲車速度為千米/分；（2）若乙車行駛1小時(shí)到達(dá)淮安，則乙車出發(fā)多久后與甲車相遇？（3）若乙車行駛的過程中不得與甲車在鎮(zhèn)江站與揚(yáng)州站的站臺(tái)內(nèi)相遇，并要在甲之前到達(dá)淮安，則乙車速度v乙的范圍為．【答案】（1）3；（2）乙車出發(fā)30分鐘后與甲相遇；（3）＜v乙＜5或＜v乙＜【分析】（1）根據(jù)線段OA段然后利用速度=路程÷時(shí)間求解即可；（2）首先求出乙車的速度，然后表示出乙車行駛的路程，然后根據(jù)甲乙的路程相等即可求出時(shí)間；（3）分別求出三種臨界狀態(tài)：①甲、乙兩車在鎮(zhèn)江站之前相遇；②甲、乙兩車在鎮(zhèn)江站和揚(yáng)州站之間相遇，則恰好離開鎮(zhèn)江站時(shí)速度最大，到達(dá)揚(yáng)州站時(shí)速度最?。虎奂住⒁覂绍囋趽P(yáng)州站和鎮(zhèn)江揚(yáng)州站之間相遇，則恰好離開揚(yáng)州站時(shí)速度最大，到達(dá)鎮(zhèn)江站時(shí)速度最小，然后即可得出乙車的速度的范圍．【詳解】解：（1）根據(jù)線段OA段，30分鐘行駛了90千米，∴甲車的速度為千米/分；（2）∵乙車行駛1小時(shí)到達(dá)淮安，∴乙車的速度為千米/分，∴y乙＝4.5（x－20），yBC＝90+3（x－35），當(dāng)y乙＝y(tǒng)BC時(shí)，4.5（x－20）＝90+3（x－35）解得：x＝50，50－20＝30．所以，乙車出發(fā)30分鐘后與甲相遇．（3）①甲、乙兩車在鎮(zhèn)江站之前相遇，則恰好到鎮(zhèn)江站時(shí)速度最小，則v乙，由題意得v乙，故不符合題意；②甲、乙兩車在鎮(zhèn)江站和揚(yáng)州站之間相遇，則恰好離開鎮(zhèn)江站時(shí)速度最大，到達(dá)揚(yáng)州站時(shí)速度最小，則v乙，即v乙，∵v乙，∴v乙③甲、乙兩車在揚(yáng)州站和鎮(zhèn)江揚(yáng)州站之間相遇，則恰好離開揚(yáng)州站時(shí)速度最大，到達(dá)鎮(zhèn)江站時(shí)速度最小，則v乙，即v乙，綜上所述，＜v乙＜5或＜v乙＜．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與行程問題，利用方程的思想解題是關(guān)鍵．12．問題提出（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一點(diǎn)D，使得AD將△ABC分成面積相等的兩部分，作出線段AD，并求出AD的長度；問題探究（2）如圖②，點(diǎn)A、B在直線a上，點(diǎn)M、N在直線b上，且a∥b，連接AN、BM交于點(diǎn)O，連接AM、BN，試判斷△AOM與△BON的面積關(guān)系，并說明你的理由；解決問題（3）如圖③，劉老伯有一個(gè)形狀為箏形OACB的養(yǎng)雞場(chǎng)，在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在邊AC上存在一點(diǎn)P，使得過B、P兩點(diǎn)修一道筆直的墻（墻的寬度不計(jì)），將這個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)分成面積相等的兩部分？若存在，請(qǐng)求出直線BP的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）圖見解析，；（2）S△AOM＝S△BON，理由見解析；（3）存在，【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)時(shí)，AD將△ABC分成面積相等的兩部分，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一般，可求出AD的長度；（2）根據(jù)同底等高的三角形面積相等，再減去相等的部分，就可以得出△AOM與△BON的面積相等；（3）連接AB，過點(diǎn)O作AB的平行線，交CA的延長線于點(diǎn)F，連接BF，交OA于點(diǎn)G，則△OBG的面積等于△AFG的面積，則四邊形OACB的面積轉(zhuǎn)化為△BCF的面積，取CF的中點(diǎn)P，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求出直線BP的表達(dá)式．【詳解】（1）如圖①，取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD，則線段AD即為所求．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD＝BC＝．（2）S△AOM＝S△BON，理由如下：由圖可知，S△AOM＝S△ABM﹣S△AOB，S△BON＝S△ABN﹣S△AOB，如圖②，過點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作NE⊥AB于點(diǎn)E，∴MD∥NE，∠MDE＝90°，又∵M(jìn)N∥DE，∴四邊形MDEN是矩形，∴MD＝NE，∵S△ABM＝，S△ABN＝，∴S△ABM＝S△ABN，∴S△AOM＝S△BON．（3）存在，直線BP的表達(dá)式為：y＝x+4．如圖③，連接AB，過點(diǎn)O作OF∥AB，交CA的延長線于點(diǎn)F，連接BF，交OA于點(diǎn)G，由（2）的結(jié)論可知，S△OBG＝S△AFG，∴S四邊形OACB＝S△BCF，取CF的中點(diǎn)P，作直線BP，直線BP即為所求．∵A(4,0)，B(0,4)，C(6,6)，∴線段AB所在直線表達(dá)式為：y＝﹣x+4，線段AC所在直線的表達(dá)式為：y＝3x﹣12，∵OF∥AB，且直線OF過原點(diǎn)，∴直線OF的表達(dá)式為：y＝﹣x，聯(lián)立，解得，∴F（3，﹣3），∵點(diǎn)P是CF的中點(diǎn)，∴P，∴直線BP的表達(dá)式為：y＝x+4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、三角形一邊上的中線的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等內(nèi)容，作出輔助線并進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化是解決本題第三問的關(guān)鍵．13．某中學(xué)為籌備校慶，準(zhǔn)備印制一批紀(jì)念冊(cè)．該紀(jì)念冊(cè)每?jī)?cè)需要10張紙，其中4張彩色頁，6張黑白頁．印刷該紀(jì)念冊(cè)的總費(fèi)用由制版費(fèi)和印刷費(fèi)兩部分組成，制版費(fèi)與印數(shù)無關(guān)，價(jià)格為2200元，印刷費(fèi)與印數(shù)的關(guān)系見表．印數(shù)a（千冊(cè)）彩色（元/張）2.12黑白（元/張）0.80.5（1）若印制2千冊(cè)，則共需多少元？（2）該校先印制了x千冊(cè)紀(jì)念冊(cè)，后發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)失誤，補(bǔ)印了y（）千冊(cè)紀(jì)念冊(cè)，且補(bǔ)印時(shí)無需再次繳納制版費(fèi)，學(xué)校發(fā)現(xiàn)補(bǔ)印的單冊(cè)造價(jià)便宜了，但兩次繳納費(fèi)用恰好相同．①用含x的代數(shù)式表示y．②若該校沒有統(tǒng)計(jì)錯(cuò)誤，一次性打印全部紀(jì)念冊(cè)，最少需要多少錢？【答案】（1）28600元；（2）①；②101200元．【分析】（1）先根據(jù)印制的冊(cè)數(shù)確定彩色頁和黑白頁的單價(jià)，然后計(jì)算出彩色頁和黑白頁的總頁數(shù)，最后計(jì)算需要的錢數(shù)即可得到答案．（2）①分和兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)兩次繳納的費(fèi)用相同列等量關(guān)系即可得到答案；②先算出總冊(cè)數(shù)，然后算出相應(yīng)的彩色頁和黑白頁的單價(jià)和頁數(shù)，最后進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵印制的冊(cè)數(shù)為2千冊(cè)，∴彩色頁的單價(jià)為2.1元每張，彩色頁的頁數(shù)=2000×4=8000頁，黑白頁的單價(jià)為0.8元每張，黑白頁的頁數(shù)=2000×6=12000頁，∴需要的費(fèi)用=2200+2.1×8000+0.8×12000=28600（元），故一共需要28600元；（2）①第一種情況當(dāng)時(shí)，，，即，∵，∴即；第二種情況當(dāng)時(shí)，，即，∴，②設(shè)兩次一共需要印刷的冊(cè)數(shù)為m，需要的錢數(shù)為W，則，，∴，∴，∴，∴，故，故當(dāng)，時(shí)所需要的的錢數(shù)最少為101200元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與實(shí)際問題的應(yīng)用，解題的關(guān)