專題23圓的證明與計(jì)算

鼠務(wù)復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.了解圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。

2.掌握圓的基本性質(zhì)。

3.掌握圓中復(fù)雜證明及兩圓位置關(guān)系中證明。

，考點(diǎn)梳理

一、圓的有關(guān)概念

1.圓的定義

如圖所示，有兩種定義方式：

①在一個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做

圓.固定的端點(diǎn)O叫做圓心，以O(shè)為圓心的圓記作OO,線段OA叫做半徑；

②圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.

2.與圓有關(guān)的概念

①弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦；如上圖所示線段AB,BC,AC都是弦.

②直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如AC是OO的直徑，直徑是圓中最長的弦.

③?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，如曲線BC、BAC都是OO中的弧，分別記作5C,

BAC.

④半圓：圓中任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓，如NC是半圓.

⑤劣?。合癫∵@樣小于半圓周的圓弧叫做劣弧.

⑥優(yōu)?。合馎4c這樣大于半圓周的圓弧叫做優(yōu)弧.

⑦同心圓：圓心相同，半徑不相等的圓叫做同心圓.

⑧弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.

⑨等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓.

⑩等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.

?圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角，如上圖中NAOB,NBOC是圓心角.

?圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如上圖中NBAC、NACB都是圓周角.

例1.已知：如圖所示，在OO中，弦AB的中點(diǎn)為C,過點(diǎn)C的半徑為0D.

(1)若AB=2G，OC=1,求CD的長；

(2)若半徑OD=R,ZAOB=120°,求CD的長.

【答案】

解：,??半徑0D經(jīng)過弦AB的中點(diǎn)C,

???半徑0D1AB.

(1)VAB=2A/3,AC=BC=V3.

vOC=l,由勾股定理得0A=2.

.?.CD=OD-OC=OA-OC=1,

即CD=1.

(2)vODlAB,OA=OB,

???NAOD=Z_BOD.

.-.ZAOB=120°,.*.zAOC=60o.

OC=OA-cosZAOC=OA-cos60°=—R,

2

：.CD=OD-OC=R--R=-R.

22

二、圓的有關(guān)性質(zhì)

1.圓的對稱性

圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的直線都是它的對稱軸，有無數(shù)條.圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心，又

是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，即旋轉(zhuǎn)任意角度和自身重合.

2.垂徑定理

①垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分弦所對的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.如圖所示:

在圖中(1)直徑CD,(2)CD1AB,(3)AM=MB,(4)ZC=8C,(5)AD=BD.若上述5個(gè)條件有2個(gè)成立,

則另外3個(gè)也成立.因此，垂徑定理也稱“五二三定理”.即知二推三.

注意：(1)(3)作條件時(shí)，應(yīng)限制AB不能為直徑.

3.弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；

②在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應(yīng)的其余各組量也相等.

4.圓周角定理及推論

①圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

②圓周角定理的推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.

例2.如圖所示，AB=AC,O是BC的中點(diǎn)，與AB相切于點(diǎn)D,求證：AC與相切.

【答案】

證明：連接OD,作OEJ_AC,垂足為E,連結(jié)OA.

???AB與OO相切于點(diǎn)D,.?.OD1AB.

???AB=AC,OB=OC,.'.Z1=Z2,

?1?OE=OD.

?■-OD為OO半徑,

???AC與OO相切.

三、與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

如圖所示.d表示點(diǎn)到圓心的距離，r為圓的半徑.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如下表:

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系d與r的大小關(guān)系

點(diǎn)在圓內(nèi)d<r

點(diǎn)在圓上d=r

點(diǎn)在圓外d>r

(1)圓的確定：

①過一點(diǎn)的圓有無數(shù)個(gè)，如圖所示.

②過兩點(diǎn)A、B的圓有無數(shù)個(gè)，如圖所示.

③經(jīng)過在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.

④不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.如圖所示.

B

(2)三角形的外接圓

經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以畫一個(gè)圓，并且只能畫一個(gè).經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓.三

角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.三角形的外心就是三角

形三條邊的垂直平分線交點(diǎn).它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等，都等于三角形外接圓的半徑.如圖所示.

2.直線與圓的位置關(guān)系

①設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系如下表.

位置關(guān)系相離相切相交

CD；

圖形電

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012

數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r

②圓的切線.

切線的定義：和圓有唯一公共點(diǎn)的直線叫做圓的切線.這個(gè)公共點(diǎn)叫切點(diǎn).

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端.且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

友情提示：直線/是OO的切線，必須符合兩個(gè)條件：①直線/經(jīng)過OO上的一點(diǎn)A；@OA1/.

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

切線長定義：我們把圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長.

切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線

的夾角.

③三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心,

這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形，三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn).

3.三角形外心、內(nèi)心有關(guān)知識比較

圖形名稱確定方法性質(zhì)

外心（三三角形三①OA=OB=

角形外邊垂直平OCi②外心不

接圓的分線的一定在三角形

圓心）交點(diǎn)的內(nèi)部

A內(nèi)心（三三角形三(WD=OE=OF!

角形內(nèi)個(gè)內(nèi)角平②Q4、OB、CC分

切圓的分線的別平分

D圓心）變點(diǎn)ZABC^ZACB

4.圓與圓的位置關(guān)系

在同一平面內(nèi)兩圓作相對運(yùn)動(dòng)，可以得到下面5種位置關(guān)系，其中R、r為兩圓半徑（RNr）.d為圓心距.

位置關(guān)系圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)R、r與d的關(guān)系

外離出「0d>R+r

外切1d=R+v

相交2K—+r

內(nèi)切1d=R-r

內(nèi)含笆0d<R-r

①相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)舍.其中相切和相交是重點(diǎn).

②同心圓是內(nèi)含的特殊情況.

③圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個(gè)圓的相對運(yùn)動(dòng)來理解.

④"r「功"時(shí)，要特別注意，rj>r2.

四、正多邊形和圓

1.正多邊形的有關(guān)概念

正多邊形的外接圓（或內(nèi)切圓）的圓心叫正多邊形的中心.外接圓的半徑叫正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫

正多邊形的邊心距，正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等，這個(gè)角叫正多邊形的中心角，正多邊形

的每一個(gè)中心角都等于血.

n

要點(diǎn)詮釋：

通過中心角的度數(shù)將圓等分，進(jìn)而畫出內(nèi)接正多邊形，正六邊形邊長等于半徑.

2.正多邊形的性質(zhì)

任何一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩圓是同心圓.正多邊形都是軸對稱圖形，偶數(shù)條邊

的正多邊形也是中心對稱圖形，同邊數(shù)的兩個(gè)正多邊形相似，其周長之比等于它們的邊長（半徑或邊心距）之

比.

3.正多邊形的有關(guān)計(jì)算

定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形.

正n邊形的邊長a、邊心距r、周長P和面積S的計(jì)算歸結(jié)為直角三角形的計(jì)算.

360°180°

an-幽，I…。s

nnn

a

火n

2=/+，只=〃?a“，Sn?rn?〃=.小

五、圓中的計(jì)算問題

1.弧長公式：1=出,其中/為n。的圓心角所對弧的長，R為圓的半徑.

180

2.扇形面積公式：S="4-,其中5=』次.圓心角所對的扇形的面積，另外無=工次.

36022

3.圓錐的側(cè)面積和全面積:

圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，這個(gè)扇形的半徑等于圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓的周長.

圓錐的全面積是它的側(cè)面積與它的底面積的和.

集，綜合訓(xùn)練

1.（2021?四川省宜賓市第二中學(xué)校九年級）如圖，為OO的直徑，弦45，。。，垂足為￡,CE=\,

AB=6,則。。的半徑為（）

A.3B.4C.5D.無法確定

【答案】C

【分析】

連接由垂徑定理得/￡=3,設(shè)O/=OC=x,根據(jù)勾股定理列出方程，進(jìn)而即可求解.

【詳解】

連接CU,

出

I

為。。的直徑，弦48LCD,

：.4E=”B=3,

設(shè)OA=OC=x,則OE=x-\,

.?.（x-1）2+32-x2,解得：x=5,

.??。。的半徑為5.

故選C.

2.（2021?河南九年級期末）如圖，2。為。0的直徑，AD=6cm,ADAC=ZABC,則/C的長度為（

e

a

A.72B.2A/2C.3亞D.3G

【答案】c

【分析】

連接C。，由圓周角定理可知//CD=90。，再根據(jù)==N48C可知/C=CD,由勾股定理即可得出NC

的長.

【詳解】

解：連接C。，

B

-：4D是。。的直徑，

ZACD=90°,

???ZDAC=ZABC,ZABC=ZADC,

ZDAC=ZADC,

■■CD=AC>

AC=CD,

XQAC2+CD2=AD2,

2AC2=AD2,

AD=6,

:.AC=3^，

故選：C.

3.（2021?全國九年級課時(shí)練習(xí)）。。的半徑為10cm,肱ABHCD.若48=12cm,C。=16cm,則4B和CD

的距離為（）

A.2cmB.14cmC.2cm或14cmD.2cm或10cm

【答案】C

【分析】

分4B、CD在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況求得與CD的距離.構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求出即

可.

【詳解】

當(dāng)弦48和CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖1,

過點(diǎn)。作OEL42于點(diǎn)E,反向延長OE交CD于點(diǎn)尸，連接CM,OC,

■■ABWCD,

■.OF1CD,

'-AB=\2cm,CD=16cm,

??.AE=6cm，CF=Scm,

,-'OA=OC=\Ocm,

在放A40E中，由勾股定理可得；EO=>]OA2-AE2=V102-62=?,cm,

在及△(%)尸中，由勾股定理可得：OF=Sc2-CF=Jl()2_82=6cm,

：?EF=OF+OE=8+6=14cm.

圖1

當(dāng)弦和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖2,

過點(diǎn)。作。加CD,垂足為R交AB于點(diǎn)、E,連接。4,OC,

-AB\\CDf

???OEL4B,

?：AB=l2cm,CD=\6cm,

??AE=6cm,CF=8cm,

'*OA=OC=5cm,

在用A40E中，由勾股定理可得：EO=y]OA2-AE2=^102-62=8cm,

在中，由勾股定理可得：OF=NOC。一C—2=Ji。？一年=6cw，

?-EF=OE-OF=8-6=2cm；

圖2

故選c.

4.（2021?全國九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在ANBC中，AB=W,AC=S,BC=6,經(jīng)過點(diǎn)C且與邊4B相切的

動(dòng)圓與CB,。分別相交于點(diǎn)￡,F,則線段E尸長度的最小值是（）

A.472B.4.75C.5D.4.8

【答案】D

【分析】

設(shè)環(huán)的中點(diǎn)為。，OO與的切點(diǎn)為。，連接OD,連接CO,CD,則有OOL48,由勾股定理逆定理知,

是直角三角形，OC+OD=EF,而OC+ODNCD,只有當(dāng)點(diǎn)。在CD上時(shí)，OC+OD=EF有最小值為。

的長，即當(dāng)點(diǎn)O在直角三角形/8C的斜邊N8的高上CD時(shí)，EF=CD有最小值，由直角三角形的面積公式

知求出CD的長即可.

【詳解】

解：設(shè)封的中點(diǎn)為。，。。與A3的切點(diǎn)為。，連接OD,連接CO,CD,

AS=10,AC=8,BC=6,

.-.AC^+B^AB2,

.?.A4BC是直角三角形，乙4c5=90。,

???斯是。。的直徑,

：.OC+OD=EF,

?；OO與邊AB相切，

；,OD1AB,

-OC+OD>CD,

即當(dāng)點(diǎn)。在直角三角形4BC的斜邊48的高上時(shí)，OC+OD=所有最小值,

此時(shí)最小值為CD的長，

■■■EF的最小值為4.8.

故選D.

5.（2020?沐陽縣懷文中學(xué)九年級月考）有下列說法：①直徑是圓中最長的弦；②等弧所對的弦相等；③

圓中90。的角所對的弦是直徑；④相等的圓心角對的弧相等；⑤平分弦的直徑垂直于弦；⑥任意三角形一

定有一個(gè)外接圓.其中正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【分析】

根據(jù)直徑的定義對①進(jìn)行判斷；根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對②④進(jìn)行判斷；根據(jù)圓周角定理對③進(jìn)行判

斷；根據(jù)垂徑定理對⑤進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形外接圓的定義對⑥進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：①直徑是圓中最長的弦；故①正確，符合題意；

②能夠重合的弧叫做等弧，等弧所對的弦相等；故②正確，符合題意；

③圓中90。的圓周角所對的弦是直徑；故③錯(cuò)誤，不符合題意；

④在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等；故④錯(cuò)誤，不符合題意；

⑤平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直于弦；故⑤錯(cuò)誤，不符合題意；

⑥任意三角形一定有一個(gè)外接圓；故⑥正確，符合題意；

其中正確的有①②⑥，

故選：B.

6.（2021?廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級開學(xué)考試）四邊形中，△/CD是邊長為6的等邊三角形，"BC

是以/C為斜邊的直角三角形，則對角線3。的長的取值范圍是（）

A.3<5D<3+3A/3B.3<BD<6

C.6<BD<3+343D.3<BDM3c

【答案】C

【分析】

由△NBC是以/C為斜邊的直角三角形可知點(diǎn)8在以/C為直徑的圓上，然后結(jié)合點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離求出對

角線AD長度的取值范圍.

【詳解】

???△/8C是以/C為斜邊的直角三角形，

.?.點(diǎn)8在以NC為直徑的圓上，

如圖中O。，連接。。并延長，交。。于點(diǎn)E和點(diǎn)2,

?:等邊AACD的邊長為6,

:.AC=BE=6,OB=OE=OA=OC=3,ODLAC,

.?"00=90。，

■OD=yJcD2-OC2=A/62-32=373，

.-.BD=OD+OB=3y/3+3,

???△4CD是邊長為6的等邊三角形，

當(dāng)3與4c重合時(shí)，AD最小=6

???對角線BD的長度的取值范圍為6<BD<3^3+3.

故選：C.

7.（2021?河南九年級期末）如圖，在及AABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AB=3,將放Z\ABC繞直

角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)H落在邊上時(shí)，停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則點(diǎn)8經(jīng)過的路徑長為.

B'

2

【分析】

首先根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC長，再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)計(jì)算出60°,進(jìn)而可得

ZBCB'=60°,然后再根據(jù)弧長公式可得答案.

【詳解】

解：VZB=30°,43=3,zACB=90°

13

工4C==萬,Z_A=60°>

BC=^AB2-AC2=—

2

?：AC=AC,

:.^AA'C是等邊三角形，

ZACA'=60°，

:.ZBCB'=60°,

“n3g

..?弧長,60?萬?；-石，

I=--------=--7T

1802

故答案為：—.

2

8.（2021?河南九年級期末）如圖，在“8C中，乙4c3=90。，48=60。，以NC為直徑做半圓交N8于點(diǎn)

D,若BC=1,則圖中陰影部分的面積為.

【答案］蕓立

8

【分析】

連接O。，CD,根據(jù)圓周角定理得到N4DC=90。，解直角三角形求得NC=取。=省,

CD=^=OC=OD,AD=\,/COD=60。，然后根據(jù)扇形的面積和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

22

【詳解】

解：連接CD,

在ANBC中，N4CB=9Q°,Z8=60。，

.-.ZA=90°-ZB=30°,

又???5C=1,

??.BA=IBC=2,

??AC=yjB^-BC2=V3，

???4C為OO的直徑，

ZADC=90°,OA=-AC=—,

22

又???/4=30。，

:.CD=-AC=—,

22

AD=ylAC2-CD2=|,

???//=30。，

:.ZCOD=2ZA=60°f

陰影首R分的面積=S—BC—（s扇形COD+S\AOD）+S半圓—（s扇形COD+\AOD）

=S^ABC+S半圓—2S扇［形COQ+^S^ACD

60%?

gxlx#1113小

+—7T'-2H—x—x—x——

23602222

7

%+小

8

故答案為:萬十G

~~S

co

9.(2021?河南九年級期末)如圖，在中，AB=BC,以45為直徑的。。交5。于點(diǎn)。，交4c于點(diǎn)

F,過點(diǎn)。作CE//4B,S.ZCAD=ZCAE.

(1)求證：力上是。。的切線；

(2)若43=5,40=4,求C￡的長.

【答案】(1)見解析；(2)2

【分析】

(1)利用平行線的性質(zhì)，圓的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，證明△ZEC和△4。。全等即可得到結(jié)論;

(2)由勾股定理求出。。=2,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出答案.

【詳解】

(1)證明：?；AB=BC,

/.ABAC=NBCA,

?：CE/IAB,

NBAC=NACE,

ZACB=ZACE,

在△ZEC和△4DC中，

ACAD=/CAE

<AC=AC,

/ACB=/ACE

AADC二△4EC(AS4),

/.ZADC=ZE,

CM3是O。的直徑，

ZADB=/ADC=90°,

「./￡=90。，

vAB!ICE,

/./A4E+/￡=180。，

NBAE=90°,

/E是。。的切線；

(2)解：;ZADB