知識(shí)必備08相似三角形（公式、定理、結(jié)論圖表）

I1思維導(dǎo)圖

「知識(shí)梳理

考點(diǎn)一、比例線段

1.比例線段的相關(guān)概念

如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a,b的長(zhǎng)度分別為m,n,那么就說這兩條線段的比是

nm

,或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng).

bn

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱

比例線段.

若四條a,b,c,d滿足或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a,d叫做比例外項(xiàng)，

線段b,c叫做比例內(nèi)項(xiàng).

/7h

如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即—或a：b=b：c,那么線段b叫做線段a,c的比例中

bc

項(xiàng).

2、比例的性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)：①a：b=c：dOad=be②a：b=b：c<=>Z?2=ac.

（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）

?二二（交換內(nèi)項(xiàng)）

ca

acWdcz._口工、

—I—（父換外項(xiàng)）

baba

db

—二—（同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）

ca

（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：v=4=^-=-

baac

A,,u,aca±bc±d

（Z4）X合比性質(zhì)：-=

baba

/、acem,,「八、a+c+e-\----\-ma

（5）等比性質(zhì)：一二一二一二???=一z（b+d+fH---1-〃wO）n-----------------二一

bdfnb+d+f----\-nb

3、黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC,BC（AOBC）,并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)

V5-1

C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=——AB?0.618AB.

2

典例1：（2022?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿.衡

桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線.用該衡桿稱物，可以把被稱物與祛碼放

在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個(gè)祛碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體.圖為銅

衡桿的使用示意圖，此時(shí)被稱物重量是祛碼重量的1.2倍.

【解答】解：由題意得，5加被稱物=6，"祛碼.

被稱物：“I祛媽=6：5=1.2.

故答案為：1.2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查比例，熟練掌握比例的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

典例2：（2022?衡陽）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于

下部與全部的高度比，可以增加視覺美感.如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2機(jī)的雷鋒雕像，那么該雕像

的下部設(shè)計(jì)高度約是（結(jié)果精確到0.01%.參考數(shù)據(jù)：72^1.414,我心1.732,巡心2.236）（）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

【分析】設(shè)下部高為尤根據(jù)雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的

高度比列方程可解得答案.

【解答】解：設(shè)下部的高度為X%,則上部高度是（2-X）m,

???雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，

???2-x_,x-,

X2

解得X=?-1或X=-y-1（舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)，x=V5-1是原方程的解，

-"-x=yfs_1^1.24,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查黃金分割及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出分式方程解決問題.

考點(diǎn)二、相似圖形

1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.（全等是特殊的相似圖

形）.

2.相似多邊形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：

相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成的比相等.

相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

(2)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線的比相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線的比相等，都等

于相似比.

(3)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.

【要點(diǎn)詮釋】

結(jié)合兩個(gè)圖形相似，得出對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它角的度數(shù)和線段

的長(zhǎng).對(duì)于復(fù)雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；

(3)如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；

(4)如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

(5)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊的比對(duì)應(yīng)相等,

那么這兩個(gè)三角形相似.

典例3：(2022?襄陽)如圖，在AABC中，。是AC的中點(diǎn)，ZkABC的角平分線AE交8。于點(diǎn)凡若BF：

FD=3-.1,AB+BE=3M，則△ABC的周長(zhǎng)為5M.

【分析】如圖，過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)FNLAC于點(diǎn)N,過點(diǎn)。作。T〃A￡交于點(diǎn)T.證明A2

=3AD,設(shè)AD=CD=a,證明ET=CT,設(shè)ET=CT=b,則BE=3%,求出a+b,可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)尸作于點(diǎn)FNLAC于點(diǎn)N,過點(diǎn)。作。T〃AE交8c于點(diǎn)T.

B

ETC

TAE平分NBAC,FM±AB,FN±AC,

:?FM=FN,

.bAABF_BF_2

??---------3,

SAADFDF氏Q.FN

：.AB=3AD,

設(shè)A0=DC=a,貝!JA3=3〃，

9：AD=DC,DT//AE,

：.ET=CT,

?BEBFQ

ETDF

設(shè)ET=CT=b,則BE=36,

\'AB+BE=3yf3,

；.3a+36=35/§,

a+b—yf^,

：.△4BC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=5a+56=5?,

故答案為：573.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)

解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

典例4：（2022?賀州）如圖，在△ABC中，DE//BC,DE=2,BC=5,則SAADE：%ABC的值是（）

B

A.2B.C.2D.旦

252555

【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可.

【解答】解：：。石〃2（7,

AADE^AABC,

,:DE=2,BC=5,

??S/\ADE-S^ABC的值為4，

25

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)

鍵.

典例5：(2022?荷澤)如圖，在RtaABC中，ZABC=90°,E是邊AC上一點(diǎn)，且3E=BC,過點(diǎn)A作BE

的垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，求證：△AOES/XABC.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/C=/CEB=NAE。，由可得/A=/ABC=90°,即可

得△ADES/VIBC.

【解答】證明：：BE=BC,

:.NC=NCEB,

'：ZCEB=ZAED,

：.ZC=ZAED,

?；AD_LBE,

：.ZD=ZABC=90°,

△ABC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.

典例6:(2022?湘潭)如圖，在。。中，直徑與弦CD相交于點(diǎn)E,連接AC、BD.

(1)求證：AAECs△DEB；

(2)連接A。，若AD=3,NC=30°,求。。的半徑.

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理和相似三角形的判定可以證明結(jié)論成立；

(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理，可以得到A3的長(zhǎng)，從而可以得到。。的半徑.

【解答】（1）證明：VZC=ZB,ZAEC=ADEB,

：.AAECsADEB；

（2）解：VZC=ZB,ZC=30°,

；.NB=30°,

「AB是。。的直徑，AD=3,

：.ZADB=9Q°,

.,.AB—6,

???。。的半徑為3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定、圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想

解答.

典例7：（2022?陜西）小明和小華利用陽光下的影子來測(cè)量一建筑物頂部旗桿的高.如圖所示，在某一時(shí)刻，

他們?cè)陉柟庀?，分別測(cè)得該建筑物的影長(zhǎng)OC為16米，OA的影長(zhǎng)QD為20米，小明的影長(zhǎng)FG為

2.4米，其中。、C、。、F、G五點(diǎn)在同一直線上，A、B、。三點(diǎn)在同一直線上，S.AO±OD,EFLFG.已

【分析】解法一：先證明列比例式可得A。的長(zhǎng)，再證明△BOCs/XA。。，可得。g的

長(zhǎng)，最后由線段的差可得結(jié)論.

解法二：過點(diǎn)C作CM1.于C,證明AEGFsAMDC可得結(jié)論.

【解答】解：解法一：：AQ〃EG,

ZADO=ZEGF,

VZAOD^ZEFG^90°,

小AODs/XEFG,

?AO-0D即AO—20

*'EF-FG，178-274，

；.AO=15,

同理得△BOCs/XAOD,

?BO_OC即BO_16

??而一而‘l5-20，

:.BO=n,

：.AB=AO-BO=15-12=3（米）；

解法二：如圖，過點(diǎn)。作。加，?！辏┯贑,交AD于

"：/\EGF^/\MDC,

.EF=CM即1.8_CM

,?而DC'27420-16,

；.CAf=3,

即AB=CM=3（米），

答：旗桿的高A8是3米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵掌握相似三角形的判定，屬于中考常考

題型.

典例8：（2022?資陽）如圖，平行四邊形ABC。中，AB=5,BC=10,BC邊上的高AM=4,點(diǎn)E為BC邊

上的動(dòng)點(diǎn)（不與8、C重合，過點(diǎn)E作直線AB的垂線，垂足為R連接。E、DF.

（1）求證：△ABM'sAEBF；

（2）當(dāng)點(diǎn)E為8C的中點(diǎn)時(shí)，求。￡的長(zhǎng)；

（3）設(shè)BE=x,△￡）環(huán)的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最

【分析】（1）利用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形全等即可證明

(2)過點(diǎn)E作EN_LA。于點(diǎn)M可得四邊形AMEN為矩形，從而得到NE=AM=4,AN=ME,再由勾

股定理求出BM=3,從而得到ME=AN=2,進(jìn)而得到DN=8,再由勾股定理，即可求解；

(3)延長(zhǎng)FE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.根據(jù)sin/B=M旦-可得EF』x，再證得

ABBE5

可得GC總(10-x)，從而得到DG^(10-x)+5,再根據(jù)三角形的面積公式，得到函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)

55

二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【解答】(1)證明：AM是BC邊上的高，

Z.ZAMB=ZEFB=90°,

又,：NB=/B,

(2)解：過點(diǎn)E作ENLAD于點(diǎn)N,如圖：

在平行四邊形A8C￡＞中，AD//BC,

又YAM是BC邊上的高，

：.AM.LAD,

：.ZAME=ZMAN=/ANE=90°,

...四邊形AMEN為矩形，

；.NE=AM=4,AN=ME,

在RtAABM中,BM=VAB2-AM2=^52-42=3,

又為BC的中點(diǎn)，

BE-|-BC=5'

:.ME=AN=2,

:.DN=8,

在RtADNE中，DE=7DN2+NE2=^42+82=475；

(3)解：延長(zhǎng)FE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖:

?.?-4--E-F

5x

...EF——4x,

5

,JAB//CD,

：.ZB=ZECG,ZEGC=ZBFE=90°,

又,.,NAM2=/EGC=90°,

：.AABMsAECG,

.CGEC

,面詞

?.?-C-G-=10-x’，

35

，GC=3(10-X),

5

：.DG^DC+GC^5+—(10-x),

5

2

.?.>=皂>市="&[5+旦(10-x)]=--LX+22.X=--L(x-生)2+1Z1,

-22552552566

??.當(dāng)工二變時(shí)，y有最大值為3,

66

答：y=-A?+22x,當(dāng)尤=變時(shí)，y有最大值為3.

25566

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，

解直角三角形，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)三、位似圖形

1.位似圖形的定義：

兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，不經(jīng)過交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個(gè)

圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫位似中心.

2.位似圖形的分類：

(1)外位似：位似